{
  "chapter": {
    "id": "arithmetique",
    "level": "seconde",
    "theme": "Nombres et calculs, algèbre",
    "title": "Arithmétique",
    "description": "Notations $\\mathbb{N}$ et $\\mathbb{Z}$, multiples et diviseurs,\nnombres pairs et impairs, fractions irréductibles, premiers\nraisonnements (somme de multiples, carré d'un impair) et tests\nalgorithmiques.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "multiple"
      ],
      "title": "Reconnaître un multiple",
      "statement": "Le nombre $51$ est-il un multiple de $17$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $51 = 3 \\times 17$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il existe un entier $k$ (ici $k = 3$) tel\nque $51 = k \\times 17$ : c'est la définition d'un multiple."
        },
        {
          "text": "Non, car $51$ est impair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la parité ne concerne que la divisibilité par\n$2$. Un nombre impair peut très bien être multiple de\n$17$ : $51 = 3 \\times 17$."
        },
        {
          "text": "Non, car $17 + 17 = 34 \\neq 51$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu t'es arrêté trop tôt. Les multiples de $17$\nsont $17$, $34$, $51$, $68$… : $51$ en fait partie\n($3 \\times 17$)."
        },
        {
          "text": "Oui, car $51$ se termine par $1$ comme... $17$ ?",
          "correct": false,
          "feedback": "La conclusion est bonne mais la raison est fausse : aucun\ncritère de divisibilité ne se lit sur le dernier chiffre\npour $17$. La seule justification valable est\n$51 = 3 \\times 17$."
        }
      ],
      "explanation": "Définition : $a$ est multiple de $b$ s'il existe un entier $k$\ntel que $a = kb$. Ici $51 = 3 \\times 17$ : $51$ est multiple de\n$17$ (et $17$ est un diviseur de $51$)."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "parite"
      ],
      "title": "Écriture d'un nombre pair",
      "statement": "Comment caractérise-t-on un entier pair $n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pair = multiple de $2$. Cette écriture\n$n = 2k$ est l'outil de toutes les démonstrations de\nparité."
        },
        {
          "text": "Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2k + 1$ est l'écriture d'un nombre **impair**\n(un pair plus un)."
        },
        {
          "text": "$n$ se termine par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : $14$, $36$, $58$, $70$ sont pairs sans se\nterminer par $2$. Le critère du dernier chiffre est\n« $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ », mais la **définition** est\n$n = 2k$."
        },
        {
          "text": "$n$ est positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe n'a rien à voir avec la parité. $-6$ est\npair ($-6 = 2 \\times (-3)$)."
        }
      ],
      "explanation": "$n$ pair $\\Leftrightarrow$ $n = 2k$ avec $k$ entier ;\n$n$ impair $\\Leftrightarrow$ $n = 2k + 1$. Ces écritures\nlittérales servent à démontrer (par exemple que le carré d'un\nimpair est impair)."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "multiple",
        "piege"
      ],
      "title": "Le cas de zéro",
      "statement": "Le nombre $0$ est-il un multiple de $7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $0 = 0 \\times 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la définition demande un entier $k$ tel que\n$0 = k \\times 7$, et $k = 0$ convient. $0$ est multiple de\n**tout** entier."
        },
        {
          "text": "Non, car $0$ n'est dans la table de personne",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la « table de 7 » commence bien par\n$0 \\times 7 = 0$. L'intuition des tables récitées à partir\nde $1$ fait oublier ce premier terme."
        },
        {
          "text": "Non, car on ne peut pas diviser par $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : on ne divise pas **par** $0$, mais ici c'est\n$0$ qu'on divise par $7$ ($0 \\div 7 = 0$, sans problème)."
        },
        {
          "text": "Oui, mais seulement si on admet $k$ non entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $k = 0$ est un entier parfaitement valable. Aucune\nextension n'est nécessaire."
        }
      ],
      "explanation": "$0 = 0 \\times b$ pour tout entier $b$ : $0$ est multiple de\ntous les entiers. En revanche, $0$ ne **divise** aucun entier\nnon nul."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "demonstration",
        "multiple"
      ],
      "title": "Somme de deux multiples",
      "statement": "Soient $m$ et $n$ deux multiples de $7$. Que peut-on dire de\nleur somme $m + n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "C'est toujours un multiple de $7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $m = 7k$ et $n = 7j$ donnent\n$m + n = 7(k + j)$, avec $k + j$ entier : c'est la\ndémonstration du programme."
        },
        {
          "text": "C'est un multiple de $14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $7 + 14 = 21$ est multiple de $7$ mais pas de\n$14$. La somme reste dans les multiples de $7$, sans\ndoubler la base."
        },
        {
          "text": "Ce n'est un multiple de $7$ que si $m = n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune condition n'est nécessaire :\n$7(k + j)$ fonctionne pour tous entiers $k$ et $j$."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire en général",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la factorisation $m + n = 7k + 7j = 7(k+j)$\nconclut dans tous les cas."
        }
      ],
      "explanation": "Démonstration type (au programme) : $m = 7k$, $n = 7j$, donc\n$m + n = 7(k + j)$ : multiple de $7$. La factorisation par $7$\nest tout l'argument."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "demonstration",
        "parite"
      ],
      "title": "Carré d'un nombre impair",
      "statement": "Soit $n = 2k + 1$ un entier impair. Sa mise au carré donne\n$n^2 = 4k^2 + 4k + 1$. Que peut-on en conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n^2$ s'écrit $2 \\times \\text{entier} + 1$,\nla forme exacte d'un nombre impair. C'est la démonstration\ndu programme."
        },
        {
          "text": "$n^2$ est pair car $4k^2 + 4k$ est pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture : $4k^2 + 4k$ est bien pair, mais il\nreste le $+1$ final qui rend le total **impair**."
        },
        {
          "text": "$n^2$ est multiple de $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $+1$ empêche la divisibilité par $4$ (et même\npar $2$). Exemple : $3^2 = 9$, pas multiple de $4$."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien conclure sans connaître $k$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écriture $2(2k^2 + 2k) + 1$ conclut pour\n**tout** entier $k$ : c'est la force du calcul littéral."
        }
      ],
      "explanation": "$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ : la forme\n$2 \\times \\text{entier} + 1$ prouve que le carré d'un impair\nest impair, quel que soit $k$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "diviseurs"
      ],
      "title": "Compter les diviseurs",
      "statement": "Combien l'entier $12$ possède-t-il de diviseurs positifs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$ (à savoir $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on les trouve par paires de produit $12$ :\n$1 \\times 12$, $2 \\times 6$, $3 \\times 4$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : n'oublie pas les extrêmes $1$ et $12$, qui sont\ntoujours diviseurs."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : recompte par paires ($1 \\times 12$,\n$2 \\times 6$, $3 \\times 4$) : cela fait $6$ diviseurs."
        },
        {
          "text": "Une infinité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce sont les **multiples** de $12$ qui sont en\nnombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en\nnombre fini."
        }
      ],
      "explanation": "Diviseurs de $12$ : $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Méthode : chercher les\npaires dont le produit vaut $12$. Diviseurs = nombre fini ;\nmultiples = infinité."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "fractions"
      ],
      "title": "Fraction irréductible",
      "statement": "Quelle est la forme irréductible de la fraction\n$\\dfrac{42}{56}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $42 = 14 \\times 3$ et $56 = 14 \\times 4$ :\non simplifie par $14$ et il ne reste aucun diviseur commun."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{21}{28}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Simplification inachevée : tu as divisé par $2$, mais $21$\net $28$ restent tous deux divisibles par $7$ :\n$\\dfrac{21}{28} = \\dfrac{3}{4}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{6}{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Simplification inachevée : $6$ et $8$ sont encore\ndivisibles par $2$ : $\\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{2}{3} \\approx 0{,}67$ alors que\n$\\dfrac{42}{56} = 0{,}75$. La simplification correcte par\n$14$ donne $\\dfrac{3}{4}$."
        }
      ],
      "explanation": "Irréductible = numérateur et dénominateur sans diviseur commun\nautre que $1$. $\\dfrac{42}{56} = \\dfrac{42 \\div 14}{56 \\div 14}\n= \\dfrac{3}{4}$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ensembles",
        "notation"
      ],
      "title": "Les ensembles $\\mathbb{N}$ et $\\mathbb{Z}$",
      "statement": "Quelle affirmation est correcte à propos du nombre $-3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{Z}$ mais $-3 \\notin \\mathbb{N}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\mathbb{N}$ contient les entiers\n**naturels** ($0, 1, 2, \\ldots$) et $\\mathbb{Z}$ tous les\nentiers **relatifs**, négatifs compris."
        },
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{N}$ et $-3 \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\mathbb{N}$ ne contient aucun nombre négatif.\nLes négatifs entiers n'apparaissent qu'à partir de\n$\\mathbb{Z}$."
        },
        {
          "text": "$-3 \\notin \\mathbb{Z}$ car il est négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est précisément la raison d'être de\n$\\mathbb{Z}$ : accueillir les entiers négatifs\n($\\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \\ldots$)."
        },
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{N}$ car $3 \\in \\mathbb{N}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'appartenance ne se transmet pas à l'opposé.\n$3 \\in \\mathbb{N}$ mais $-3$ n'y est pas."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{N} = \\{0\\,;\\,1\\,;\\,2\\,;\\,\\ldots\\}$ (entiers naturels)\net $\\mathbb{Z} = \\{\\ldots\\,;\\,-2\\,;\\,-1\\,;\\,0\\,;\\,1\\,;\\,2\\,;\\,\n\\ldots\\}$ (entiers relatifs) : $\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z}$\net $-3 \\in \\mathbb{Z} \\setminus \\mathbb{N}$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "raisonnement",
        "parite"
      ],
      "title": "Raisonner sur la parité de $n^2$",
      "statement": "Soit $n$ un entier tel que $n^2$ est pair. Que peut-on en\ndéduire pour $n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n$ est pair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $n$ était impair, son carré serait\nimpair (propriété démontrée en cours). Par contraposée,\n$n^2$ pair force $n$ pair."
        },
        {
          "text": "$n$ est impair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : teste $n = 4$ : $n^2 = 16$ pair et $n$ pair. Un\ncarré pair ne peut pas provenir d'un impair."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la propriété « impair $\\Rightarrow$ carré\nimpair » interdit à un impair d'avoir un carré pair. La\nconclusion $n$ pair est certaine."
        },
        {
          "text": "$n = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop précis : $n$ peut être $0$, $\\pm 2$, $\\pm 4$, etc.\nOn déduit la **parité** de $n$, pas sa valeur."
        }
      ],
      "explanation": "Raisonnement par contraposée : « $n$ impair $\\Rightarrow$\n$n^2$ impair » équivaut à « $n^2$ pair $\\Rightarrow$ $n$\npair ». (C'est l'ingrédient clé de l'irrationalité de\n$\\sqrt{2}$.)"
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "parite",
        "calcul-litteral"
      ],
      "title": "Somme d'un pair et d'un impair",
      "statement": "Que peut-on dire de la somme d'un entier pair et d'un entier\nimpair ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est toujours impaire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2k + (2j + 1) = 2(k + j) + 1$, forme d'un\nnombre impair, quels que soient les entiers $k$ et $j$."
        },
        {
          "text": "Elle est toujours paire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 + 3 = 5$, impair. L'écriture littérale\n$2(k+j) + 1$ montre que le $+1$ subsiste toujours."
        },
        {
          "text": "Sa parité dépend des nombres choisis",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le calcul littéral tranche une fois pour toutes :\npair $+$ impair $= 2(k+j) + 1$, impair **dans tous les\ncas**."
        },
        {
          "text": "Elle est multiple de $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la parité ne dit rien de la divisibilité par\n$3$ ($2 + 3 = 5$ n'est pas multiple de $3$)."
        }
      ],
      "explanation": "Table de parité, prouvée par le littéral : pair $+$ pair $=$\npair ; impair $+$ impair $=$ pair ; pair $+$ impair $=$\nimpair ($2k + 2j + 1 = 2(k+j) + 1$)."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "algorithme",
        "python"
      ],
      "title": "Tester un multiple en Python",
      "statement": "En Python, quelle condition teste si l'entier `a` est un\nmultiple de l'entier `b` (avec `b` non nul) ?",
      "options": [
        {
          "text": "`a % b == 0`",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : `a % b` est le **reste** de la division\neuclidienne de `a` par `b` ; un reste nul signifie\nexactement que `b` divise `a`."
        },
        {
          "text": "`b % a == 0`",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : cette condition teste si **`b` est multiple\nde `a`**. L'ordre des opérandes compte."
        },
        {
          "text": "`a / b == 0`",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : `a / b` est le quotient décimal ; il ne vaut $0$\nque si `a` vaut $0$. C'est le **reste** `%` qui teste la\ndivisibilité."
        },
        {
          "text": "`a == b`",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité est un cas très particulier. $51$ est\nmultiple de $17$ sans lui être égal."
        }
      ],
      "explanation": "L'opérateur `%` (modulo) renvoie le reste de la division\neuclidienne : `a % b == 0` équivaut à « $a$ est multiple de\n$b$ ». C'est l'algorithme du programme."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "multiple"
      ],
      "title": "Multiples communs",
      "statement": "Un bus A passe toutes les $4$ minutes, un bus B toutes les $6$\nminutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de\nminutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$ minutes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun\nnon nul de $4$ et $6$. Multiples de $4$ : $4, 8, 12$… ;\nde $6$ : $6, 12$… : premier commun, $12$."
        },
        {
          "text": "$24$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $24 = 4 \\times 6$ est **un** multiple commun,\nmais pas le plus petit : $12$ convient déjà\n($12 = 3 \\times 4 = 2 \\times 6$)."
        },
        {
          "text": "$10$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 = 4 + 6$ additionne les périodes ; or $10$\nn'est multiple ni de $4$ ni de $6$."
        },
        {
          "text": "$2$ minutes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est un **diviseur** commun de $4$ et $6$. On\ncherche ici un **multiple** commun (les instants de départ\nsimultané)."
        }
      ],
      "explanation": "Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de $4$\net $6$ : $12$, $24$, $36$… Le premier est $12$. Lister les\npremiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver."
    }
  ]
}