{
  "chapter": {
    "id": "calcul-litteral-equations",
    "level": "seconde",
    "theme": "Nombres et calculs, algèbre",
    "title": "Calcul littéral, équations et inéquations",
    "description": "Identités remarquables, développement et factorisation,\npuissances et racines carrées ($\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}$,\n$\\sqrt{a^2} = |a|$), équations du premier degré, produit nul,\nquotient, $x^2 = a$, inéquations et opérations sur les\ninégalités, isoler une variable dans une formule.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identites",
        "developpement"
      ],
      "title": "Développer $(x + 3)^2$",
      "statement": "Quel est le développement de $(x + 3)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^2 + 6x + 9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, avec le\ndouble produit $2 \\times x \\times 3 = 6x$."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme\nn'est pas la somme des carrés. Le double produit $6x$ est\nindispensable (teste avec $x = 1$ : $(1+3)^2 = 16 \\neq\n10$)."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 3x + 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme croisé est le **double** produit\n$2 \\times 3 \\times x = 6x$, pas $3x$."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 6x + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dernier terme est le **carré** de $3$, soit\n$9$, pas $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici\n$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Vérification rapide avec une valeur :\n$x = 1$ donne $16$ des deux côtés."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identites",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Factoriser $x^2 - 25$",
      "statement": "Quelle est la factorisation de $x^2 - 25$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(x - 5)(x + 5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : différence de deux carrés,\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 5$."
        },
        {
          "text": "$(x - 5)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$, avec un double\nproduit et un $+25$. La **différence** de carrés se\nfactorise en produit de facteurs conjugués."
        },
        {
          "text": "$(x - 25)(x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 24x - 25$. C'est $b^2 =\n25$ donc $b = 5$ qui entre dans la factorisation."
        },
        {
          "text": "Cette expression ne se factorise pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :\n$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$."
        }
      ],
      "explanation": "Troisième identité remarquable :\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ici $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$,\npoint de départ des équations produit nul."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "produit-nul"
      ],
      "title": "Équation produit nul",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 2)(x + 5) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 2$ ou $x = -5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un\nde ses facteurs est nul : $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$ ou $x = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$. Le signe de\nla solution est l'**opposé** de celui écrit dans le\nfacteur."
        },
        {
          "text": "$x = -2$ ou $x = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes inversés sur les deux facteurs : $x - 2 = 0\n\\Rightarrow x = 2$ et $x + 5 = 0 \\Rightarrow x = -5$."
        },
        {
          "text": "$x = -10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as peut-être multiplié $2 \\times (-5)$. On ne\ncombine pas les solutions : chaque facteur nul en donne\nune."
        }
      ],
      "explanation": "Règle du produit nul : $A \\times B = 0 \\Leftrightarrow A = 0$\nou $B = 0$. Ici : $x = 2$ ou $x = -5$. C'est la raison d'être\nde la factorisation."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "carre"
      ],
      "title": "Résoudre $x^2 = 5$",
      "statement": "Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\sqrt{5}$ ou $x = -\\sqrt{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :\nl'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) a deux solutions,\n$\\pm\\sqrt{a}$."
        },
        {
          "text": "$x = \\sqrt{5}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : $(-\\sqrt{5})^2 = 5$ aussi. Le réflexe « racine\ncarrée » ne donne que la solution positive."
        },
        {
          "text": "$x = 2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2{,}5 = 5 \\div 2$ confond carré et double.\n$2{,}5^2 = 6{,}25 \\neq 5$."
        },
        {
          "text": "L'équation n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est $x^2 = -5$ qui n'a pas de solution réelle\n(un carré n'est jamais négatif). Pour $5 > 0$, il y en a\ndeux."
        }
      ],
      "explanation": "Équation $x^2 = a$ : deux solutions $\\pm\\sqrt{a}$ si $a > 0$,\nune seule ($0$) si $a = 0$, aucune si $a < 0$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "quotient"
      ],
      "title": "Équation quotient",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$\\dfrac{x + 1}{x - 3} = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = -1$ seulement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un quotient est nul quand son\n**numérateur** est nul et son dénominateur non nul :\n$x = -1$ (et la valeur interdite $x = 3$ est écartée)."
        },
        {
          "text": "$x = -1$ ou $x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = 3$ annule le **dénominateur** : le quotient\nn'y existe même pas. C'est une valeur interdite, pas une\nsolution."
        },
        {
          "text": "$x = 3$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est la valeur **interdite**. La nullité d'un\nquotient se joue au numérateur : $x + 1 = 0$."
        },
        {
          "text": "L'équation n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = -1$ convient : $\\dfrac{0}{-4} = 0$, et le\ndénominateur n'est pas nul en $-1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0 \\Leftrightarrow A(x) = 0$ **et**\n$B(x) \\neq 0$. Réflexe : commencer par noter la valeur\ninterdite (ici $x = 3$), puis résoudre le numérateur."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation"
      ],
      "title": "Inéquation et division par un négatif",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$-2x + 6 > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,3[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-2x > -6$ puis, en divisant par $-2$,\nl'inégalité **se renverse** : $x < 3$."
        },
        {
          "text": "$]3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur classique : diviser par un nombre **négatif**\nrenverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec $x = 0$ :\n$-2(0) + 6 = 6 > 0$, donc $0$ est solution, et $0 < 3$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur la borne : $-2x > -6$ donne $x < 3$,\npas $x < -3$."
        },
        {
          "text": "$]-3\\,;\\,3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une inéquation du premier degré délimite une\n**demi-droite**, pas un intervalle borné."
        }
      ],
      "explanation": "Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre\n**strictement négatif** change son sens. $-2x + 6 > 0\n\\Leftrightarrow -2x > -6 \\Leftrightarrow x < 3$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "puissances"
      ],
      "title": "Produit de puissances",
      "statement": "Que vaut $a^3 \\times a^5$ (pour $a$ réel non nul) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a^8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on **ajoute** les exposants :\n$a^3 \\times a^5 = a^{3+5}$ (trois facteurs $a$ suivis de\ncinq facteurs $a$)."
        },
        {
          "text": "$a^{15}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier les exposants correspond à la\npuissance de puissance $(a^3)^5$. Pour un produit, on les\najoute."
        },
        {
          "text": "$a^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : soustraire les exposants correspond au\n**quotient** $\\dfrac{a^5}{a^3}$."
        },
        {
          "text": "$2a^8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun facteur $2$ n'apparaît. Compter les\nfacteurs $a$ suffit : $3 + 5 = 8$ facteurs."
        }
      ],
      "explanation": "Règles des puissances : $a^m \\times a^n = a^{m+n}$ ;\n$\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$. Le produit\n**ajoute** les exposants."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines"
      ],
      "title": "Simplifier $\\sqrt{50}$",
      "statement": "Quelle est l'écriture simplifiée de $\\sqrt{50}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5\\sqrt{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\times 2} =\n\\sqrt{25}\\,\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$ (la règle\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}$ est démontrée en cours)."
        },
        {
          "text": "$25\\sqrt{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{25} = 5$, pas $25$. La racine « défait »\nle carré : $25 = 5^2$ sort en $5$."
        },
        {
          "text": "$2\\sqrt{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de décomposition : $2\\sqrt{5} = \\sqrt{4 \\times 5} =\n\\sqrt{20}$, pas $\\sqrt{50}$. Il faut extraire le plus\ngrand carré : $50 = 25 \\times 2$."
        },
        {
          "text": "$10\\sqrt{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10\\sqrt{5} = \\sqrt{100 \\times 5} = \\sqrt{500}$.\nContrôle utile : $\\sqrt{50} \\approx 7{,}07$ et\n$5\\sqrt{2} \\approx 7{,}07$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré\nparfait. $\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\times 2} = 5\\sqrt{2}$, grâce à\n$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\,\\sqrt{b}$ (pour $a, b \\geq 0$)."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racines",
        "valeur-absolue",
        "piege"
      ],
      "title": "La relation $\\sqrt{a^2} = |a|$",
      "statement": "Que vaut $\\sqrt{(-3)^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-3)^2 = 9$ et $\\sqrt{9} = 3$. En\ngénéral, $\\sqrt{a^2} = |a|$ : la racine carrée renvoie\ntoujours un résultat **positif**."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la racine et le carré ne « s'annulent » pas\npurement : $\\sqrt{a^2} = |a|$, jamais négatif. Le signe de\ndépart est perdu par le carré."
        },
        {
          "text": "$\\pm 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : le symbole $\\sqrt{9}$ désigne **le** nombre\npositif de carré $9$. Le « $\\pm$ » apparaît en résolvant\nl'équation $x^2 = 9$, pas dans la valeur de la racine."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9$ est le carré ; la racine le ramène à $3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sqrt{a^2} = |a|$ pour tout réel $a$ : la racine carrée est\npositive par définition. $\\sqrt{(-3)^2} = \\sqrt{9} = 3 =\n|-3|$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formules",
        "isoler"
      ],
      "title": "Isoler une variable dans une formule",
      "statement": "La loi d'Ohm s'écrit $U = R \\times I$. Comment exprime-t-on\n$I$ en fonction de $U$ et $R$ (avec $R \\neq 0$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$I = \\dfrac{U}{R}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $I$ est multiplié par $R$ ; pour\nl'isoler, on divise les deux membres par $R$."
        },
        {
          "text": "$I = \\dfrac{R}{U}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction renversée : contrôle par les ordres de grandeur :\nsi $U = 12$ et $R = 4$, alors $I = 3$, ce qui correspond à\n$U/R$ et non $R/U = 1/3$."
        },
        {
          "text": "$I = U - R$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'opération : $U = RI$ est un **produit** ; on le\ndéfait par une division, pas par une soustraction."
        },
        {
          "text": "$I = U \\times R$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier encore par $R$ éloigne de la\nsolution. On divise pour défaire la multiplication."
        }
      ],
      "explanation": "Isoler une variable : appliquer aux deux membres l'opération\ninverse. $U = RI \\Rightarrow I = \\dfrac{U}{R}$. Même méthode\npour $d = vt$, $S = \\pi r^2$, etc."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inegalites",
        "piege"
      ],
      "title": "Opérations sur les inégalités",
      "statement": "Soient des réels tels que $a < b$ et $c < d$. Laquelle de ces\ninégalités est **toujours** vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a + c < b + d$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les inégalités **de même sens\ns'additionnent** toujours."
        },
        {
          "text": "$a - c < b - d$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : on ne soustrait pas des inégalités membre à membre.\nContre-exemple : $0 < 1$ et $0 < 10$, mais\n$0 - 0 = 0 > 1 - 10 = -9$."
        },
        {
          "text": "$ac < bd$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux sans hypothèse de signe : $-3 < 1$ et $-3 < 1$, mais\n$(-3)(-3) = 9 > 1$. La multiplication exige des nombres\npositifs."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{a}{c} < \\dfrac{b}{d}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux en général (et $c$ ou $d$ pourrait être nul). Même\navec des positifs, diviser des inégalités membre à membre\nn'est pas une règle valide."
        }
      ],
      "explanation": "Seule l'**addition** membre à membre est toujours licite :\n$a < b$ et $c < d \\Rightarrow a + c < b + d$. Soustraction,\nproduit et quotient demandent des précautions de signe, ou\nsont carrément faux."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inegalites"
      ],
      "title": "Multiplier une inégalité par un négatif",
      "statement": "Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. Que peut-on\ndire de $-2a$ et $-2b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-2a > -2b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier par $-2 < 0$ **renverse**\nl'inégalité. Exemple : $1 < 3$ donne $-2 > -6$."
        },
        {
          "text": "$-2a < -2b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : teste $a = 1$, $b = 3$ : $-2a = -2$ et\n$-2b = -6$, or $-2 > -6$. Le facteur négatif inverse\nl'ordre."
        },
        {
          "text": "$-2a = -2b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par une même constante non nulle\nconserve la **différence** entre les nombres, elle ne les\négalise pas."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas comparer sans connaître les signes de $a$\net $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la règle vaut pour **tous** les réels : le signe\ndu multiplicateur ($-2$) suffit à déterminer le sens."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplication d'une inégalité : par un réel **positif**, le\nsens est conservé ; par un réel **négatif**, il est renversé.\n$a < b \\Rightarrow -2a > -2b$ (lien avec la décroissance de\n$x \\mapsto -2x$)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reduire"
      ],
      "title": "Réduire une expression",
      "statement": "Comment se réduit l'expression $3x + 5 + 2x - 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5x + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ ($3x + 2x\n= 5x$) et les constantes ($5 - 1 = 4$)."
        },
        {
          "text": "$9x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mélange interdit : $5$ et $-1$ ne portent pas de $x$ :\non ne peut pas les fusionner avec $3x$ et $2x$."
        },
        {
          "text": "$5x - 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $5 - 1 = +4$ (le moins ne porte que sur le\n$1$)."
        },
        {
          "text": "$6x + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de somme : $3x + 2x = 5x$ (additionner les\ncoefficients : $3 + 2$)."
        }
      ],
      "explanation": "Réduire = regrouper les termes **de même nature** : les $x$\nensemble, les constantes ensemble. Chaque famille se\ncombine, jamais les familles entre elles."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equation-premier-degre"
      ],
      "title": "Résoudre $2x + 1 = 7$",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $2x + 1 = 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2x = 6$ (retirer $1$ des deux côtés),\npuis $x = 3$ (diviser par $2$). Contrôle : $2 \\times 3 +\n1 = 7$ ✓."
        },
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre des opérations : diviser $7 + 1 = 8$ par $2$\nsuppose d'avoir **ajouté** $1$ : or on doit le\nretrancher : $\\frac{7 - 1}{2} = 3$."
        },
        {
          "text": "$x = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $2x = 6$ n'est pas fini : il reste à\ndiviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{7}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $+1$ a été ignoré : avant de diviser, il faut\nd'abord isoler $2x$ en retirant $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition\n($-1$ des deux côtés), puis défaire la multiplication\n($\\div 2$). Et toujours vérifier en remplaçant."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissances-negatives"
      ],
      "title": "Puissance d'exposant négatif",
      "statement": "Que vaut $10^{-3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}001$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10^{-3} = \\dfrac{1}{10^3} =\n\\dfrac{1}{1000}$ : l'exposant négatif signifie\n« inverse »."
        },
        {
          "text": "$-1000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant négatif ne rend pas le nombre\nnégatif : il le rend **petit** ($\\frac{1}{1000}$),\ntoujours positif."
        },
        {
          "text": "$-30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 \\times (-3)$ multiplie au lieu d'élever en\npuissance : $10^{-3}$ est un inverse de puissance."
        },
        {
          "text": "$0{,}0001$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un zéro de trop : $\\frac{1}{1000} = 0{,}001$ (trois\nrangs après la virgule pour l'exposant $3$)."
        }
      ],
      "explanation": "$a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$ : notation des inverses. Pour les\npuissances de $10$ : l'exposant compte les rangs de la\nvirgule ($10^{-3}$ : trois rangs vers la gauche) : la base\nde l'écriture scientifique."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "double-distributivite"
      ],
      "title": "Développer $(2x + 1)(x - 3)$",
      "statement": "Quel est le développement de $(2x + 1)(x - 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2x^2 - 5x - 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quatre produits : $2x^2 - 6x + x - 3$,\npuis réduction : $-6x + x = -5x$."
        },
        {
          "text": "$2x^2 - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Termes croisés oubliés : la double distributivité génère\n**quatre** produits : les termes du milieu ($-6x$ et\n$+x$) ne s'annulent pas ici."
        },
        {
          "text": "$2x^2 + 5x - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $2x \\times (-3) = -6x$ domine le $+x$ : le\nterme du milieu est $-5x$."
        },
        {
          "text": "$3x - 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner les parenthèses au lieu de les\nmultiplier : le produit crée un terme en $x^2$."
        }
      ],
      "explanation": "Double distributivité : chaque terme de la première\nparenthèse multiplie chaque terme de la seconde ($2 \\times 2\n= 4$ produits), puis on réduit. Le terme du milieu concentre\ntoutes les erreurs : le calculer en premier."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "facteur-commun"
      ],
      "title": "Factoriser par le facteur commun",
      "statement": "Comment se factorise $6x^2 + 4x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2x(3x + 2)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur commun le plus grand est\n$2x$ : $6x^2 = 2x \\times 3x$ et $4x = 2x \\times 2$.\nContrôle en redéveloppant."
        },
        {
          "text": "$x(6x + 4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Factorisation incomplète : le $2$ commun à $6$ et $4$\npeut encore sortir : on extrait toujours le facteur\n**maximal**."
        },
        {
          "text": "$2x(3x + 4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $2x \\times 4 = 8x \\neq 4x$ : après\nextraction de $2x$, il reste $2$, pas $4$."
        },
        {
          "text": "$10x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner $6x^2 + 4x$ en un seul terme est\nimpossible (degrés différents) : factoriser = mettre en\n**produit**."
        }
      ],
      "explanation": "Factoriser par le facteur commun : repérer ce que TOUS les\ntermes partagent (ici $2$ et $x$), l'extraire, écrire le\nreste entre parenthèses. Vérification systématique : le\ndéveloppement doit redonner l'expression de départ."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "identite-remarquable"
      ],
      "title": "Développer $(x - 4)^2$",
      "statement": "Quel est le développement de $(x - 4)^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^2 - 8x + 16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : le\ndouble produit vaut $-2 \\times x \\times 4 = -8x$, et le\ncarré de $-4$ est $+16$."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas\nla différence des carrés : le double produit $-8x$ est\nobligatoire (testez $x = 4$ : $(0)^2 = 0 \\neq 32$)."
        },
        {
          "text": "$x^2 - 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ : c'est l'identité\n$a^2 - b^2$, pas le carré de $(x - 4)$."
        },
        {
          "text": "$x^2 - 8x - 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dernier signe : $(-4)^2 = +16$ : un carré est toujours\npositif."
        }
      ],
      "explanation": "$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : trois termes, jamais deux.\nLe contrôle par une valeur ($x = 4$ donne $0$) démasque\nimmédiatement les développements faux."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-deux-membres"
      ],
      "title": "Inconnues des deux côtés",
      "statement": "Quelle est la solution de $3x - 2 = x + 6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : regrouper les $x$ à gauche ($3x - x =\n2x$), les nombres à droite ($6 + 2 = 8$) : $2x = 8$,\n$x = 4$. Contrôle : $12 - 2 = 10 = 4 + 6$ ✓."
        },
        {
          "text": "$x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $3 \\times 2 - 2 = 4$ mais $2 + 6 = 8$ : pas\négaux. Erreur probable : $6 - 2 = 4$ divisé par... les\ntransferts de termes demandent de changer les signes."
        },
        {
          "text": "$x = 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $2x = 8$ donne $x = 4$ : le\ncoefficient $2$ se retire en dernier."
        },
        {
          "text": "$x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $3 - 2 = 1$ mais $1 + 6 = 7$ : le\nregroupement correct donne $2x = 8$."
        }
      ],
      "explanation": "Avec des $x$ des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un\ncôté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de\ntout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et\nTOUJOURS contrôler dans l'équation de départ."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines-piege"
      ],
      "title": "Racine d'une somme",
      "statement": "Que vaut $\\sqrt{9 + 16}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5$ : on\nadditionne D'ABORD sous la racine."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège visé : $\\sqrt{9} + \\sqrt{16} = 3 + 4 = 7$,\nmais la racine ne se distribue PAS sur l'addition :\n$\\sqrt{a + b} \\neq \\sqrt{a} + \\sqrt{b}$."
        },
        {
          "text": "$12{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{25}{2}$ ne correspond à rien : la\nracine de $25$ est le nombre positif dont le carré vaut\n$25$ : c'est $5$."
        },
        {
          "text": "$625$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $625 = 25^2$ élève au carré au lieu de\nprendre la racine."
        }
      ],
      "explanation": "La racine respecte les **produits** ($\\sqrt{ab} =\n\\sqrt{a}\\sqrt{b}$) mais jamais les sommes : $\\sqrt{9 + 16}\n= 5$ alors que $\\sqrt{9} + \\sqrt{16} = 7$. Ce contre-exemple\nà $3$-$4$-$5$ est à garder en réserve."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "substitution"
      ],
      "title": "Évaluer une expression en $x = -2$",
      "statement": "Que vaut l'expression $x^2 - 3x$ pour $x = -2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-2)^2 - 3 \\times (-2) = 4 + 6 = 10$ :\nle carré efface le signe, et « moins fois moins » donne\nplus."
        },
        {
          "text": "$-2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs de signe : $(-2)^2 = +4$ (pas $-4$) et $-3\n\\times (-2) = +6$ (pas $-6$)."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur le double produit : $-3 \\times (-2) = +6$ :\non obtient $4 + 6$, pas $4 - 2$."
        },
        {
          "text": "$-10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe global : les deux termes sont **positifs** ($4$\net $6$) : total $+10$."
        }
      ],
      "explanation": "Substituer une valeur négative : TOUJOURS avec parenthèses :\n$(-2)^2 = 4$, $-3 \\times (-2) = +6$. La moitié des erreurs\nde calcul littéral sont des parenthèses omises autour des\nnégatifs."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-fraction"
      ],
      "title": "Équation avec une fraction",
      "statement": "Quelle est la solution de $\\dfrac{x}{3} - 2 = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 18$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{x}{3} = 6$ (ajouter $2$), puis\n$x = 18$ (multiplier par $3$). Contrôle : $\\frac{18}{3}\n- 2 = 4$ ✓."
        },
        {
          "text": "$x = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication oubliée : $6$ est la valeur de\n$\\frac{x}{3}$ : il reste à multiplier par $3$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{4 + 2}{3} = 2$ divise au lieu de\nmultiplier : pour défaire une division par $3$, on\n**multiplie** par $3$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{4}{3} + 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre : le $-2$ se neutralise en premier (sur les deux\nmembres entiers), la division par $3$ en dernier : $x =\n6 \\times 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Défaire les opérations dans l'ordre inverse de leur\napplication : le $-2$ d'abord (opération la plus externe),\nla division par $3$ ensuite. Chaque geste s'applique aux\nDEUX membres."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "carre-somme-piege"
      ],
      "title": "Le faux réflexe $(a + b)^2 = a^2 + b^2$",
      "statement": "L'égalité $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ est-elle vraie pour tous\nréels $a$ et $b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $(1 + 1)^2 = 4$ alors que $1^2 + 1^2 = 2$ : il\nmanque le double produit $2ab$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le carré d'une somme vaut $a^2 + 2ab +\nb^2$ : l'égalité proposée n'est vraie que si $2ab = 0$\n(l'un des deux est nul)."
        },
        {
          "text": "Oui : le carré se distribue sur l'addition",
          "correct": false,
          "feedback": "Le faux réflexe exact : la puissance se distribue sur\nles **produits** ($(ab)^2 = a^2b^2$), jamais sur les\nsommes : contre-exemple $a = b = 1$."
        },
        {
          "text": "Oui, pour $a$ et $b$ positifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $a = b = 1$ sont positifs et l'égalité échoue\n($4 \\neq 2$) : le signe n'y change rien."
        },
        {
          "text": "Non, sauf pour $a = b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $a = b = 1$ donne justement $4 \\neq 2$ : le\nseul salut est $ab = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : le double produit n'est pas\nune option. Un contre-exemple numérique (une seconde de\ncalcul) suffit à réfuter une « formule » douteuse : réflexe\nà cultiver."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "programme-calcul"
      ],
      "title": "Traduire un programme de calcul",
      "statement": "Programme : « choisir un nombre, lui ajouter $3$, mettre le\nrésultat au carré ». Quelle expression traduit ce programme\nappliqué à $x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(x + 3)^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'addition se fait d'abord, PUIS le\ncarré s'applique au résultat entier : les parenthèses\ntraduisent l'ordre des étapes."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : $x^2 + 3$ met au carré **puis** ajoute\n$3$ : le programme fait l'inverse. (Test avec $x = 1$ :\n$16$ contre $4$.)"
        },
        {
          "text": "$x + 3^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ici le carré ne porte que sur le $3$ : $x + 9$ :\nle programme élève au carré tout le résultat."
        },
        {
          "text": "$2(x + 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : « mettre au carré » signifie multiplier par\n**lui-même** ($u^2$), pas par $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Traduire un programme de calcul : chaque étape enveloppe la\nprécédente, et les parenthèses matérialisent cet ordre.\nTester avec un nombre concret ($x = 1$ : $1 \\to 4 \\to 16$)\ndépartage les candidats en quelques secondes."
    }
  ]
}