{
  "chapter": {
    "id": "croisement-variables",
    "level": "seconde",
    "theme": "Statistiques et probabilités",
    "title": "Croisement de deux variables qualitatives",
    "description": "Tableaux croisés d'effectifs, fréquences marginales et fréquences\nconditionnelles, inversion du conditionnement (« parmi les X,\nquelle part de Y » contre « parmi les Y, quelle part de X »),\nlecture et complétion de tableaux, situation type « faux\npositifs ».",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "frequence-marginale"
      ],
      "title": "Fréquence marginale",
      "statement": "Dans un lycée de $100$ élèves, on compte $60$ filles, dont\n$24$ demi-pensionnaires. Quelle est la fréquence\n**marginale** des filles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fréquence marginale rapporte l'effectif\nd'une modalité au **total général** : $\\dfrac{60}{100}$."
        },
        {
          "text": "$24\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $24\\ \\%$ est la fréquence de l'intersection\n« fille **et** demi-pensionnaire ». La marginale des\nfilles ignore l'autre variable : $60/100$."
        },
        {
          "text": "$40\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $40\\ \\%$ est la fréquence marginale des\n**garçons**. Les filles représentent $60\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{24}{60} = 40\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{24}{60}$ est une fréquence\n**conditionnelle** (la part de demi-pensionnaires parmi\nles filles), pas une marginale."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un tableau croisé, les fréquences **marginales** se\nlisent sur les marges (totaux de lignes ou de colonnes)\nrapportées au total général : filles $= \\dfrac{60}{100} =\n60\\ \\%$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "frequence-conditionnelle"
      ],
      "title": "Fréquence conditionnelle",
      "statement": "Toujours dans ce lycée ($60$ filles dont $24$\ndemi-pensionnaires), quelle est la proportion de\ndemi-pensionnaires **parmi les filles** ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{24}{60} = 40\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « parmi les filles » restreint l'ensemble\nde référence aux $60$ filles : $24$ sur $60$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{24}{100} = 24\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de référence : $24/100$ rapporte au lycée entier\n(fréquence de l'intersection). « Parmi les filles »\nimpose de diviser par $60$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{24}{44} \\approx 54{,}5\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conditionnement inversé : $24/44$ est la part de filles\n**parmi les demi-pensionnaires**. La question conditionne\npar les filles, pas par la demi-pension."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{60}{24} = 250\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction renversée (une proportion ne dépasse jamais\n$100\\ \\%$) : l'effectif de la sous-catégorie va au\nnumérateur."
        }
      ],
      "explanation": "Fréquence conditionnelle : l'expression « parmi les X » donne\nle **dénominateur**. Parmi les filles :\n$\\dfrac{24}{60} = 40\\ \\%$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "frequence-conditionnelle",
        "inversion"
      ],
      "title": "Que représente ce quotient ?",
      "statement": "Dans le même lycée ($44$ demi-pensionnaires dont $24$\nfilles), que représente le quotient $\\dfrac{24}{44}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La proportion de filles parmi les demi-pensionnaires",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le dénominateur $44$ est l'effectif des\ndemi-pensionnaires : on regarde la composition de **ce**\ngroupe."
        },
        {
          "text": "La proportion de demi-pensionnaires parmi les filles",
          "correct": false,
          "feedback": "Conditionnement inversé : cette proportion serait\n$\\dfrac{24}{60} = 40\\ \\%$. Le dénominateur dit toujours\n« parmi qui » on se place."
        },
        {
          "text": "La proportion de filles demi-pensionnaires dans le lycée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette proportion rapporte au total :\n$\\dfrac{24}{100} = 24\\ \\%$. Ici on divise par $44$, pas\npar $100$."
        },
        {
          "text": "Le nombre moyen de repas des filles",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : aucun comptage de repas dans ces données. Le\nquotient compare deux effectifs du tableau croisé."
        }
      ],
      "explanation": "Lire un quotient d'effectifs : $\\dfrac{24}{44}$ = part de\nl'intersection (filles demi-pensionnaires) **dans le groupe du\ndénominateur** (les demi-pensionnaires) : environ\n$54{,}5\\ \\%$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-croise",
        "intersection"
      ],
      "title": "Fréquence de l'intersection",
      "statement": "Quelle est la proportion, dans tout le lycée ($100$ élèves),\ndes élèves qui sont **à la fois** filles et\ndemi-pensionnaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "$24\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'effectif de la case « fille et\ndemi-pensionnaire » ($24$) rapporté au total ($100$)."
        },
        {
          "text": "$40\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $40\\ \\% = 24/60$ est la fréquence\n**conditionnelle** parmi les filles. Ici la référence est\nle lycée entier."
        },
        {
          "text": "$44\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $44\\ \\%$ est la fréquence marginale des\ndemi-pensionnaires (filles **et** garçons confondus)."
        },
        {
          "text": "$84\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner $60\\ \\%$ et $24\\ \\%$ n'a pas de\nsens ; l'intersection se lit dans **une case** du tableau,\npas en sommant des colonnes."
        }
      ],
      "explanation": "Trois niveaux de lecture d'un tableau croisé : la case\n(intersection : $24/100$), la marge (marginale : $60/100$ ou\n$44/100$), et la case rapportée à sa marge (conditionnelle :\n$24/60$ ou $24/44$)."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inversion",
        "langue"
      ],
      "title": "Traduire une phrase en fréquence",
      "statement": "Quelle phrase correspond exactement au calcul\n$\\dfrac{24}{60} = 40\\ \\%$ dans notre lycée ?",
      "options": [
        {
          "text": "« $40\\ \\%$ des filles sont demi-pensionnaires »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « des filles » signale que l'ensemble de\nréférence est celui des filles ($60$), et $24$ d'entre\nelles sont demi-pensionnaires."
        },
        {
          "text": "« $40\\ \\%$ des demi-pensionnaires sont des filles »",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversion : cette phrase correspondrait à $\\dfrac{24}{44}\n\\approx 54{,}5\\ \\%$. « Des demi-pensionnaires » ferait de\n$44$ le dénominateur."
        },
        {
          "text": "« $40\\ \\%$ des élèves sont des filles demi-pensionnaires »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « des élèves » renvoie au total $100$ : cette\nphrase correspondrait à $24\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "« $40\\ \\%$ des filles mangent à la maison »",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : $40\\ \\%$ est la part des filles\n**demi-pensionnaires** ; celles qui ne le sont pas\nreprésentent $60\\ \\%$ des filles."
        }
      ],
      "explanation": "Travail sur la langue (au programme) : dans « $p\\ \\%$ des X\nsont Y », le groupe X est l'ensemble de référence\n(dénominateur). Inverser X et Y change le nombre : c'est\nl'inversion du conditionnement."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tableau-croise",
        "completion"
      ],
      "title": "Compléter le tableau croisé",
      "statement": "Dans notre lycée : $100$ élèves, $60$ filles, $44$\ndemi-pensionnaires, dont $24$ filles. Combien y a-t-il de\ngarçons **non** demi-pensionnaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : garçons $= 100 - 60 = 40$ ; garçons\ndemi-pensionnaires $= 44 - 24 = 20$ ; garçons non\ndemi-pensionnaires $= 40 - 20 = 20$."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $40$ est le total des garçons ; la moitié\nd'entre eux ($20$) sont demi-pensionnaires, il en reste\n$20$."
        },
        {
          "text": "$36$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $36 = 60 - 24$ compte les **filles** non\ndemi-pensionnaires. Attention à la ligne du tableau."
        },
        {
          "text": "$56$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $56 = 100 - 44$ est le total des non\ndemi-pensionnaires (filles comprises). Il faut croiser\navec le sexe : $56 - 36 = 20$ garçons."
        }
      ],
      "explanation": "Un tableau croisé se complète par différences avec les marges :\nchaque ligne et chaque colonne doit sommer à son total. Ici la\ncase cherchée vaut $40 - 20 = 20$ (ou $56 - 36 = 20$ :\ndouble contrôle)."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "frequence",
        "definition"
      ],
      "title": "Définition d'une fréquence",
      "statement": "Dans une série statistique, comment se calcule la fréquence\nd'une modalité ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{\\text{effectif de la modalité}}{\\text{effectif\ntotal}}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fréquence est une proportion, toujours\ncomprise entre $0$ et $1$ (ou $0$ et $100\\ \\%$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\text{effectif total}}{\\text{effectif de la\nmodalité}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction renversée : ce quotient dépasse $1$, ce n'est\npas une proportion."
        },
        {
          "text": "L'effectif de la modalité, tout simplement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'effectif est un **nombre brut** ($24$\nélèves) ; la fréquence le rapporte au total pour permettre\nles comparaisons ($24\\ \\%$)."
        },
        {
          "text": "Le nombre de modalités de la variable",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : le nombre de modalités décrit la variable\n(par exemple deux : fille/garçon), pas la répartition des\nindividus."
        }
      ],
      "explanation": "Fréquence $= \\dfrac{\\text{effectif}}{\\text{total}}$ : c'est\nle passage aux proportions qui rend comparables des groupes de\ntailles différentes."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "frequence-conditionnelle",
        "coherence"
      ],
      "title": "Somme de fréquences conditionnelles",
      "statement": "Parmi les filles du lycée, $40\\ \\%$ sont demi-pensionnaires.\nQuelle est la part des filles **non** demi-pensionnaires,\nparmi les filles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : au sein d'un même groupe de référence,\nles fréquences conditionnelles des modalités\ncomplémentaires somment à $100\\ \\%$ : $100 - 40 = 60$."
        },
        {
          "text": "$44\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $44\\ \\%$ est la fréquence marginale des\ndemi-pensionnaires dans le lycée : rien à voir avec la\nrépartition **interne** aux filles."
        },
        {
          "text": "$36\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $36$ est l'**effectif** des filles non\ndemi-pensionnaires ; leur part parmi les $60$ filles vaut\n$36/60 = 60\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans le tableau complet",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le complémentaire suffit : dans le groupe des\nfilles, être ou ne pas être demi-pensionnaire se partage\n$100\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un groupe de référence fixé, les fréquences\nconditionnelles des modalités d'une variable somment à\n$100\\ \\%$ : $40\\ \\% + 60\\ \\% = 100\\ \\%$ parmi les filles."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "proportion",
        "calcul"
      ],
      "title": "De la fréquence à l'effectif",
      "statement": "Dans un autre établissement de $200$ élèves, $30\\ \\%$ des\nélèves sont à la fois internes et sportifs. Combien d'élèves\ncela représente-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$ élèves",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $30\\ \\%$ de $200$ vaut $0{,}3 \\times 200\n= 60$."
        },
        {
          "text": "$30$ élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $30$ serait l'effectif si le total était $100$.\nIci le total est $200$ : $0{,}3 \\times 200 = 60$."
        },
        {
          "text": "$70$ élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $70\\ \\%$ est la fréquence **complémentaire** ;\net l'effectif demandé se calcule en multipliant la\nfréquence par le total."
        },
        {
          "text": "$600$ élèves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de virgule : $0{,}3 \\times 200 = 60$, pas $600$\n(qui dépasserait l'effectif du lycée !)."
        }
      ],
      "explanation": "Effectif $=$ fréquence $\\times$ total : $0{,}3 \\times 200 =\n60$. Toujours contrôler la vraisemblance (un effectif ne peut\npas dépasser le total)."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "frequence-marginale",
        "coherence"
      ],
      "title": "Somme des fréquences marginales",
      "statement": "Dans un tableau croisé « sexe $\\times$ régime », que vaut la\nsomme des fréquences marginales des modalités du sexe (filles\n$+$ garçons) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$100\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque élève est compté exactement une\nfois dans l'une des modalités : les marginales d'une même\nvariable somment au total."
        },
        {
          "text": "$200\\ \\%$, car il y a deux variables",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les marges d'**une** variable se partagent les\n$100\\ \\%$ ; l'autre variable a ses propres marges, qui\nsomment aussi à $100\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "Cela dépend du nombre de demi-pensionnaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la répartition filles/garçons ne dépend pas de\nl'autre variable : ses fréquences somment toujours à\n$100\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$50\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $50\\ \\%$ supposerait une répartition\nmoitié-moitié, ce qui n'a rien d'automatique. C'est la\n**somme** des marginales qui vaut $100\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Cohérences d'un tableau croisé : les fréquences marginales de\nchaque variable somment à $100\\ \\%$, et chaque case somme dans\nsa ligne et sa colonne. Ces contrôles détectent les erreurs de\ncalcul."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "faux-positifs",
        "inversion"
      ],
      "title": "La situation des « faux positifs »",
      "statement": "Sur $100$ personnes, $10$ sont malades. Un test dépiste $9$\ndes $10$ malades (positifs) mais se déclenche aussi, à tort,\nchez $9$ personnes saines. Parmi les personnes dont le test\nest positif, quelle est la proportion de personnes réellement\nmalades ?",
      "options": [
        {
          "text": "$50\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : positifs $= 9 + 9 = 18$, dont $9$\nmalades : $\\dfrac{9}{18} = 50\\ \\%$. Un test « fiable à\n$90\\ \\%$ » ne donne qu'une chance sur deux d'être malade\nquand il est positif : c'est l'effet de la rareté de la\nmaladie."
        },
        {
          "text": "$90\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversion du conditionnement : $90\\ \\%$ est la part de\npositifs **parmi les malades** ($9/10$). La question\ndemande la part de malades **parmi les positifs**\n($9/18$)."
        },
        {
          "text": "$9\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9\\ \\%$ est la fréquence des vrais positifs dans\nla population totale ($9/100$). La référence demandée est\nle groupe des $18$ positifs."
        },
        {
          "text": "$18\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $18\\ \\%$ est la proportion de tests positifs\ndans la population ($18/100$), pas la composition du\ngroupe des positifs."
        }
      ],
      "explanation": "Situation type du programme (vocabulaire des tests) : le\ntableau croisé donne positifs $= 9 + 9 = 18$, dont $9$\nmalades : $50\\ \\%$. Distinguer « positifs parmi les malades »\n($90\\ \\%$) et « malades parmi les positifs » ($50\\ \\%$) : deux\nconditionnements inverses."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "frequence-conditionnelle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Conditionnelle chez les garçons",
      "statement": "Dans notre lycée, $20$ des $40$ garçons sont\ndemi-pensionnaires. Quelle est la proportion de\ndemi-pensionnaires parmi les garçons ?",
      "options": [
        {
          "text": "$50\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{20}{40} = 50\\ \\%$ : un garçon sur\ndeux est demi-pensionnaire."
        },
        {
          "text": "$20\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $20\\ \\%$ rapporterait l'effectif $20$ au total\ndu lycée ($100$). « Parmi les garçons » impose le\ndénominateur $40$."
        },
        {
          "text": "$45{,}5\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{20}{44} \\approx\n45{,}5\\ \\%$ est la part de garçons parmi les\ndemi-pensionnaires."
        },
        {
          "text": "$40\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $40\\ \\%$ est la proportion de demi-pensionnaires\nparmi les **filles**. Chez les garçons, le calcul donne\n$20/40 = 50\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Même variable, groupes de référence différents : demi-pension\nchez les filles $40\\ \\%$, chez les garçons $50\\ \\%$, dans le\nlycée $44\\ \\%$. Comparer des fréquences conditionnelles, c'est\nle cœur de l'analyse d'un tableau croisé."
    }
  ]
}