{ "chapter": { "id": "droites-du-plan", "level": "seconde", "theme": "Géométrie", "title": "Droites du plan", "description": "Équation réduite et équation cartésienne d'une droite, pente\n(coefficient directeur), ordonnée à l'origine, vecteur directeur,\nappartenance d'un point, droites parallèles ou sécantes, point\nd'intersection, alignement.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "equation-reduite", "pente" ], "title": "Lire la pente", "statement": "Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite\nd'équation réduite $y = 2x - 1$ ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : dans $y = mx + p$, la pente est $m$, le\ncoefficient de $x$. Chaque pas de $1$ vers la droite fait\nmonter de $2$." }, { "text": "$-1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-1$ est l'**ordonnée à l'origine** $p$ (la\nhauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées)." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de\n$x$, sans l'inverser : $m = 2$." }, { "text": "$2x$", "correct": false, "feedback": "Erreur de nature : la pente est un **nombre** fixe, pas\nune expression en $x$." } ], "explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est la pente (variation de\n$y$ pour un pas de $1$ en $x$), $p$ l'ordonnée à l'origine.\nIci $m = 2$, $p = -1$." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique", "equation-reduite" ], "title": "Équation d'une droite tracée", "statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite $d$ tracée\nci-dessous ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-3.7) grid (3.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-3.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:2.82,very thick,blue] plot (\\x,{2*\\x-1});\n \\fill[blue] (0,-1) circle (0.08);\n \\fill[blue] (1,1) circle (0.08);\n \\node[blue,font=\\small] at (2.9,4.1) {$d$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec une droite croissante passant par les\npoints (0 ; -1) et (1 ; 1), marqués en bleu : elle coupe\nl'axe des ordonnées en -1 et monte de 2 pour chaque pas de 1\nvers la droite.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$y = 2x - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la droite coupe l'axe des ordonnées en\n$-1$ (donc $p = -1$) et monte de $2$ entre les deux points\nmarqués (donc $m = 2$)." }, { "text": "$y = x - 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de pente : entre $(0\\,;\\,-1)$ et $(1\\,;\\,1)$, la\ndroite monte de $2$, pas de $1$ : $m = 2$." }, { "text": "$y = 2x + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des\nordonnées **en dessous** de l'origine, en $-1$." }, { "text": "$y = -2x - 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : la droite **monte** de gauche à droite,\nsa pente est positive." } ], "explanation": "Lecture en deux temps : l'ordonnée à l'origine au croisement\navec l'axe vertical ($p = -1$), puis la pente entre deux\npoints du quadrillage ($m = \\frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2$).\nD'où $y = 2x - 1$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "vecteur-directeur" ], "title": "Vecteur directeur d'une droite en équation réduite", "statement": "Quel vecteur est directeur de la droite d'équation\n$y = 3x + 2$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un pas de $1$ en abscisse fait varier\nl'ordonnée de la pente $m = 3$ : le vecteur\n$(1\\,;\\,m)$ dirige toujours la droite $y = mx + p$." }, { "text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées inversées : la pente $3$ est la variation\n**verticale** pour $1$ d'avance horizontale : $(1\\,;\\,3)$." }, { "text": "$\\vec{u}(0\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(0\\,;\\,2)$ est vertical, il dirigerait une\ndroite parallèle à l'axe des ordonnées. Le $2$ de\nl'équation est l'ordonnée à l'origine, pas une direction." }, { "text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as recopié les deux coefficients de\nl'équation. La direction ne dépend que de la **pente** :\n$(1\\,;\\,3)$." } ], "explanation": "Pour $y = mx + p$, le vecteur $(1\\,;\\,m)$ est directeur :\n« j'avance de $1$, je monte de $m$ ». Ici $(1\\,;\\,3)$ (ou\ntout multiple non nul)." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "equation-cartesienne", "vecteur-directeur" ], "title": "Vecteur directeur en équation cartésienne", "statement": "Quel vecteur est directeur de la droite d'équation\ncartésienne $2x - y + 3 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,2)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour $ax + by + c = 0$, le vecteur\n$(-b\\,;\\,a)$ est directeur : ici $(-(-1)\\,;\\,2) =\n(1\\,;\\,2)$. (Cohérent : l'équation se réécrit\n$y = 2x + 3$, pente $2$.)" }, { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,-1)$", "correct": false, "feedback": "Piège : $(a\\,;\\,b) = (2\\,;\\,-1)$ recopie les coefficients\ndans l'ordre. Le vecteur directeur les **croise** :\n$(-b\\,;\\,a)$." }, { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le terme constant $c$, qui positionne la\ndroite mais n'influence pas sa direction." }, { "text": "$\\vec{u}(0\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le vecteur nul ne dirige aucune droite (il n'a\npas de direction)." } ], "explanation": "Droite $ax + by + c = 0$ : vecteur directeur $(-b\\,;\\,a)$.\nIci $a = 2$, $b = -1$ : $\\vec{u}(1\\,;\\,2)$. Vérification par\nl'équation réduite $y = 2x + 3$ : pente $2$, directeur\n$(1\\,;\\,2)$." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "appartenance" ], "title": "Un point est-il sur la droite ?", "statement": "Le point $A(1\\,;\\,5)$ appartient-il à la droite d'équation\n$y = 3x + 2$ ?", "options": [ { "text": "Oui, car $3 \\times 1 + 2 = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coordonnées de $A$ vérifient\nl'équation ($y_A = 3x_A + 2$) : le point est sur la\ndroite." }, { "text": "Non, car $1 \\neq 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée\n(cela ne vaut que pour la droite $y = x$). On teste\nl'équation de **cette** droite." }, { "text": "Non, car $5 \\times 3 + 2 = 17 \\neq 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de substitution : c'est $x = 1$ qu'on injecte dans\n$3x + 2$, et on compare le résultat à $y = 5$. Tu as\néchangé les rôles de $x$ et $y$." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans tracer la droite", "correct": false, "feedback": "Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :\nremplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point." } ], "explanation": "$A(x_A\\,;\\,y_A)$ appartient à la droite d'équation\n$y = mx + p$ si et seulement si $y_A = m\\,x_A + p$. Ici\n$5 = 3 + 2$ : oui." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "parallelisme" ], "title": "Reconnaître des droites parallèles", "statement": "Les droites $d_1 : y = 3x + 1$ et $d_2 : y = 3x - 4$\nsont-elles parallèles ?", "options": [ { "text": "Oui : même pente, ordonnées à l'origine différentes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux droites (non verticales) sont\nparallèles si et seulement si elles ont la **même pente**.\nIci $m = 3$ pour les deux, et $1 \\neq -4$ : strictement\nparallèles." }, { "text": "Non, car $1 \\neq -4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les ordonnées à l'origine différentes empêchent\nseulement les droites d'être **confondues**. Le\nparallélisme se lit sur la pente." }, { "text": "Elles sont confondues", "correct": false, "feedback": "Erreur : confondues exigerait la même équation complète\n(même pente **et** même ordonnée à l'origine). Ici elles\nsont distinctes." }, { "text": "Elles sont sécantes au point $(3\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3x + 1 = 3x - 4$ donnerait $1 = -4$, impossible.\nDeux droites de même pente ne se coupent jamais." } ], "explanation": "Droites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ : parallèles\n$\\Leftrightarrow$ $m = m'$ (confondues si de plus $p = p'$).\nIci : parallèles strictes." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "intersection", "calcul" ], "title": "Point d'intersection", "statement": "Quel est le point d'intersection des droites\n$d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : y = -x + 5$ ?", "options": [ { "text": "$(2\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on égale les deux expressions :\n$2x - 1 = -x + 5$, d'où $3x = 6$, $x = 2$, puis\n$y = 2 \\times 2 - 1 = 3$." }, { "text": "$(3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées inversées : l'équation $3x = 6$ donne\nl'**abscisse** $x = 2$, puis l'ordonnée $y = 3$." }, { "text": "$(6\\,;\\,11)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x = 6$ vient d'un oubli de division par $3$\ndans $3x = 6$. Et vérifie toujours dans les **deux**\néquations : $-6 + 5 = -1 \\neq 11$." }, { "text": "Ces droites ne se coupent pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : leurs pentes ($2$ et $-1$) sont différentes :\nelles sont sécantes en exactement un point." } ], "explanation": "Intersection de deux droites en équations réduites : égaler\nles expressions de $y$, résoudre en $x$, puis calculer $y$.\n$2x - 1 = -x + 5 \\Rightarrow x = 2$, $y = 3$ : point\n$(2\\,;\\,3)$." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "pente", "calcul" ], "title": "Pente à partir de deux points", "statement": "Quelle est la pente de la droite passant par $A(1\\,;\\,2)$ et\n$B(3\\,;\\,8)$ ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =\n\\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = \\dfrac{6}{2} = 3$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : la pente met la variation des\n**ordonnées** au numérateur :\n$\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\dfrac{6}{2}$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $6 = y_B - y_A$ n'est que la variation\nverticale ; il faut la rapporter à la variation\nhorizontale $\\Delta x = 2$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{y_B + y_A}{x_B - x_A} = \\dfrac{10}{2}$ ?\nLa formule utilise des **différences** au numérateur comme\nau dénominateur." } ], "explanation": "Pente d'une droite par deux points :\n$m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation verticale sur\nvariation horizontale). Ici $m = 3$." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "droite-verticale", "piege" ], "title": "La droite verticale", "statement": "Quelle équation correspond à une droite **verticale**\n(parallèle à l'axe des ordonnées) ?", "options": [ { "text": "$x = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : tous les points d'abscisse $2$, quelle que\nsoit l'ordonnée : une verticale. Elle n'a **pas**\nd'équation réduite ($y = mx + p$), car sa pente serait\ninfinie." }, { "text": "$y = 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $y = 2$ regroupe les points d'**ordonnée** $2$ :\nune droite **horizontale** (pente nulle)." }, { "text": "$y = 2x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est une droite oblique de pente $2$ passant par\nl'origine ; elle n'est pas verticale." }, { "text": "Une droite verticale n'a pas d'équation", "correct": false, "feedback": "Erreur : elle n'a pas d'équation **réduite**, mais elle a\nbien une équation cartésienne, de la forme $x = c$." } ], "explanation": "Deux familles : les droites non verticales ($y = mx + p$) et\nles verticales ($x = c$), qui échappent à la forme réduite.\nC'est pourquoi l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ est\nplus générale." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "pente", "variations" ], "title": "Signe de la pente et sens de la droite", "statement": "Que peut-on dire de la droite d'équation\n$y = -0{,}5x + 3$ ?", "options": [ { "text": "Elle descend de gauche à droite (fonction affine\ndécroissante)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pente $m = -0{,}5 < 0$ : chaque pas vers\nla droite fait descendre d'un demi-carreau." }, { "text": "Elle monte de gauche à droite", "correct": false, "feedback": "Erreur : une droite monte quand sa pente est\n**positive**. Ici $m = -0{,}5 < 0$." }, { "text": "Elle est horizontale", "correct": false, "feedback": "Erreur : horizontale correspond à une pente **nulle**\n($y = 3$ par exemple). Ici $m = -0{,}5 \\neq 0$." }, { "text": "Elle passe par l'origine", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 0$, $y = 3 \\neq 0$ : la droite coupe\nl'axe des ordonnées en $(0\\,;\\,3)$." } ], "explanation": "Le signe de la pente donne le sens de variation de la fonction\naffine associée : $m > 0$ croissante, $m < 0$ décroissante,\n$m = 0$ constante. Ici : décroissante." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "alignement" ], "title": "Trois points alignés ?", "statement": "Les points $A(0\\,;\\,1)$, $B(2\\,;\\,4)$ et $C(4\\,;\\,7)$\nsont-ils alignés ?", "options": [ { "text": "Oui : les pentes de $(AB)$ et de $(BC)$ valent toutes deux\n$\\dfrac{3}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $m_{AB} = \\dfrac{4-1}{2-0} = \\dfrac{3}{2}$\net $m_{BC} = \\dfrac{7-4}{4-2} = \\dfrac{3}{2}$ : mêmes\npentes avec un point commun $B$, donc même droite." }, { "text": "Non, car $AB \\neq BC$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'alignement n'exige pas des distances égales\n(ce serait « $B$ milieu »). On compare les **pentes** ou\non utilise la colinéarité des vecteurs." }, { "text": "Non, car aucun des trois n'a la même abscisse", "correct": false, "feedback": "Erreur : des abscisses égales caractérisent une droite\n**verticale** seulement. Une droite oblique traverse\ntoutes les abscisses." }, { "text": "Oui, car leurs coordonnées sont toutes positives", "correct": false, "feedback": "La conclusion est bonne, l'argument non : le signe des\ncoordonnées ne dit rien de l'alignement. Seul le calcul\n(pentes égales ou déterminant nul) conclut." } ], "explanation": "Trois points sont alignés si les droites $(AB)$ et $(BC)$ ont\nla même pente (elles partagent déjà $B$). Ici $\\frac{3}{2}$\ndes deux côtés : alignés. Variante : déterminant de\n$\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ nul." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "equation-cartesienne", "conversion" ], "title": "De la cartésienne à la réduite", "statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation\ncartésienne $4x + 2y - 6 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$y = -2x + 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2y = -4x + 6$ puis, en divisant par $2$ :\n$y = -2x + 3$." }, { "text": "$y = 2x - 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signes : en passant $4x$ et $-6$ de l'autre\ncôté, ils changent de signe : $2y = -4x + 6$." }, { "text": "$y = -4x + 6$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division : il reste $2y$ à gauche. On divise\n**tout** par $2$ : $y = -2x + 3$." }, { "text": "$y = -2x - 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur la constante : $-(-6)/2 = +3$.\nVérifie avec un point : $x = 0$ donne $2y = 6$, donc\n$y = 3$." } ], "explanation": "Pour passer en équation réduite : isoler $y$.\n$4x + 2y - 6 = 0 \\Rightarrow 2y = -4x + 6 \\Rightarrow\ny = -2x + 3$ : pente $-2$, ordonnée à l'origine $3$." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "ordonnee-origine" ], "title": "Ordonnée à l'origine", "statement": "Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation\n$y = 3x - 5$ ?", "options": [ { "text": "$-5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en $x = 0$ : $y = -5$ : la droite coupe\nl'axe des ordonnées au point $(0\\ ;\\ -5)$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $3$ est le **coefficient directeur** (la\npente) : l'ordonnée à l'origine est le terme constant." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Signe perdu : le terme constant est $-5$ : la droite\ncoupe l'axe SOUS l'origine." }, { "text": "$\\dfrac{5}{3}$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $\\frac{5}{3}$ est l'abscisse où $y = 0$ (le\npoint sur l'axe des **abscisses**) : l'ordonnée à\nl'origine se lit en $x = 0$." } ], "explanation": "$y = mx + p$ : $m$ = pente, $p$ = ordonnée à l'origine\n(l'altitude au départ, en $x = 0$). Les deux nombres se\nlisent directement et racontent toute la droite." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "droite-horizontale" ], "title": "La droite $y = 2$", "statement": "Que représente l'équation $y = 2$ dans le plan ?", "options": [ { "text": "Une droite horizontale : tous les points d'ordonnée $2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la condition ne porte que sur $y$ : $x$\nest libre : ligne horizontale à hauteur $2$, de pente\nnulle." }, { "text": "Une droite verticale", "correct": false, "feedback": "Inversé : les verticales s'écrivent $x = c$ (abscisse\nfixée) : ici c'est l'**ordonnée** qui est fixée :\nhorizontale." }, { "text": "Le seul point $(0\\ ;\\ 2)$", "correct": false, "feedback": "Trop pauvre : $(1\\ ;\\ 2)$, $(-7\\ ;\\ 2)$… conviennent\naussi : une équation à une condition dans le plan\ndessine une **ligne**." }, { "text": "La droite passant par l'origine de pente $2$", "correct": false, "feedback": "Confusion : cette droite-là s'écrit $y = 2x$ : ici, pas\nde $x$ : pente nulle, hauteur constante." } ], "explanation": "$y = c$ : horizontale (pente $0$) ; $x = c$ : verticale (pas\nde pente). Les deux cas « dégénérés » de l'équation de\ndroite, à reconnaître au premier coup d'œil." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "parallele-par-point" ], "title": "Parallèle passant par un point", "statement": "Quelle est l'équation de la droite parallèle à $y = 2x + 1$\npassant par le point $(0\\ ;\\ 4)$ ?", "options": [ { "text": "$y = 2x + 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : parallèles = même pente ($2$) ; le point\n$(0\\ ;\\ 4)$ est sur l'axe des ordonnées : $p = 4$\ndirectement." }, { "text": "$y = 4x + 1$", "correct": false, "feedback": "Rôles inversés : le parallélisme conserve la **pente**\n($2$), pas l'ordonnée à l'origine : c'est elle qui\ns'ajuste au point." }, { "text": "$y = 2x + 1$", "correct": false, "feedback": "Point ignoré : cette droite passe par $(0\\ ;\\ 1)$, pas\npar $(0\\ ;\\ 4)$ : il faut ajuster la constante." }, { "text": "$y = -\\dfrac{1}{2}x + 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-\\frac{1}{2}$ construirait une\nperpendiculaire (notion de première) : parallèle = MÊME\ncoefficient directeur." } ], "explanation": "Parallèle : recopier la pente, recalculer l'ordonnée à\nl'origine avec le point donné (immédiat quand le point est\nsur l'axe ; sinon résoudre $y_A = m\\,x_A + p$)." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "equation-depuis-donnees" ], "title": "Droite par un point et une pente", "statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient\ndirecteur $-2$ passant par $A(0\\ ;\\ 3)$ ?", "options": [ { "text": "$y = -2x + 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pente $-2$ donnée, et $A$ sur l'axe des\nordonnées fournit $p = 3$ : l'équation s'assemble\ndirectement." }, { "text": "$y = 3x - 2$", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : la pente ($-2$) multiplie $x$ ;\nl'ordonnée à l'origine ($3$) est le terme constant." }, { "text": "$y = -2x - 3$", "correct": false, "feedback": "Signe : $A(0\\ ;\\ 3)$ impose $p = +3$ (la droite coupe\nl'axe à $+3$)." }, { "text": "$y = 2x + 3$", "correct": false, "feedback": "Signe de la pente : le coefficient directeur donné est\n$-2$ : la droite descend." } ], "explanation": "Équation réduite $y = mx + p$ : deux paramètres, deux\ninformations nécessaires (pente + un point, ou deux points).\nQuand le point est $(0\\ ;\\ p)$, tout est déjà donné." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "intersection-systeme" ], "title": "Intersection par le calcul", "statement": "Où se coupent les droites $y = x + 1$ et $y = -x + 5$ ?", "options": [ { "text": "Au point $(2\\ ;\\ 3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : égaler : $x + 1 = -x + 5$ donne $2x =\n4$, $x = 2$, puis $y = 3$. Contrôle dans la seconde :\n$-2 + 5 = 3$ ✓." }, { "text": "Au point $(3\\ ;\\ 2)$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées échangées : $x = 2$ d'abord (la solution de\nl'équation), $y = 3$ ensuite (son image)." }, { "text": "Elles ne se coupent pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : pentes $1$ et $-1$ **différentes** : les\ndroites ne sont pas parallèles : intersection garantie\n(et unique)." }, { "text": "Au point $(2\\ ;\\ 0)$", "correct": false, "feedback": "Ordonnée non calculée : en $x = 2$, les deux droites\npassent à $y = 3$, pas à $0$." } ], "explanation": "Intersection : égaler les deux expressions de $y$, résoudre\nen $x$, remonter à $y$. Vérifier dans **l'autre** équation :\nle point doit satisfaire les deux à la fois." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "droite-deux-points" ], "title": "Équation d'une droite par deux points", "statement": "Quelle est l'équation réduite de la droite passant par\n$A(1\\ ;\\ 2)$ et $B(3\\ ;\\ 8)$ ?", "options": [ { "text": "$y = 3x - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pente $m = \\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$,\npuis $A$ donne $2 = 3 \\times 1 + p$, soit $p = -1$.\nContrôle avec $B$ : $3 \\times 3 - 1 = 8$ ✓." }, { "text": "$y = 3x + 2$", "correct": false, "feedback": "Ordonnée bâclée : $p$ n'est pas l'ordonnée de $A$ (sauf\nsi $x_A = 0$) : on résout $2 = 3 + p$, donc $p = -1$." }, { "text": "$y = \\dfrac{1}{3}x - 1$", "correct": false, "feedback": "Pente renversée : $m = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} =\n\\frac{6}{2} = 3$ (les ordonnées au numérateur)." }, { "text": "$y = 6x - 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $6$ est l'écart des ordonnées seul : la pente\nle divise par l'écart des abscisses ($2$) : $m = 3$." } ], "explanation": "Par deux points : 1) pente $m = \\frac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A}$ ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications\ngratuites." } ] }