{ "chapter": { "id": "fonctions-de-reference", "level": "seconde", "theme": "Fonctions", "title": "Fonctions de référence et tableaux de signes", "description": "Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube et valeur absolue :\nensembles de définition, courbes, symétries. Signe d'une fonction\naffine, tableau de signes d'un produit ou d'un quotient,\néquations et inéquations du type $x^2 = a$, $x^2 \\leq a$.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "courbes", "carre" ], "title": "La courbe de la fonction carré", "statement": "Comment s'appelle la courbe représentative de la fonction\ncarré $x \\mapsto x^2$, et quelle est son allure ?", "options": [ { "text": "Une parabole de sommet l'origine, tournée vers le haut", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la parabole passe par l'origine (son\nminimum) et remonte symétriquement des deux côtés." }, { "text": "Une hyperbole en deux branches", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'hyperbole est la courbe de la fonction\n**inverse**, avec ses deux branches séparées par les axes." }, { "text": "Une droite passant par l'origine", "correct": false, "feedback": "Erreur : les droites représentent les fonctions\n**linéaires** ($x \\mapsto ax$). Le carré n'est pas\nproportionnel : sa courbe s'incurve." }, { "text": "Une demi-parabole partant de l'origine", "correct": false, "feedback": "Erreur : la demi-parabole (couchée) est l'allure de la\ncourbe de la **racine carrée**, définie seulement sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$." } ], "explanation": "Images mentales à connaître : carré = parabole (sommet $O$,\nvers le haut) ; inverse = hyperbole ; racine = demi-parabole\ncouchée ; cube = courbe en S ; valeur absolue = V." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "lecture-graphique", "inverse" ], "title": "Reconnaître une courbe de référence", "statement": "La courbe ci-dessous est celle d'une fonction de référence.\nLaquelle ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.62]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-3.7) grid (3.7,3.7);\n \\draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-3.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.2) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.2,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=0.28:3.7,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{1/\\x});\n \\draw[domain=-3.7:-0.28,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{1/\\x});\n \\node[blue,font=\\small] at (2.5,1.1) {$\\mathcal{C}$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches : une\nbranche dans le quart supérieur droit qui descend vers l'axe\ndes abscisses, une branche symétrique dans le quart inférieur\ngauche. La courbe passe par (1 ; 1) et (-1 ; -1) et ne touche\njamais les axes.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "La fonction inverse $x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : hyperbole en deux branches, passant par\n$(1\\,;\\,1)$ et $(-1\\,;\\,-1)$, jamais définie en $0$, les\naxes pour asymptotes." }, { "text": "La fonction carré $x \\mapsto x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la parabole du carré est d'un seul tenant,\nentièrement **au-dessus** de l'axe des abscisses." }, { "text": "La fonction racine carrée $x \\mapsto \\sqrt{x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la racine carrée n'existe que pour $x \\geq 0$ :\nsa courbe est une demi-branche partant de l'origine, sans\npartie négative." }, { "text": "La fonction cube $x \\mapsto x^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la courbe du cube est d'un seul tenant et\ntraverse l'origine ; ici la courbe évite $0$ et se casse\nen deux branches." } ], "explanation": "Signature de l'inverse : deux branches (une par signe de $x$),\npoints de repère $(1\\,;\\,1)$ et $(-1\\,;\\,-1)$, valeur\ninterdite $0$, symétrie par rapport à l'origine." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "ensemble-definition", "inverse" ], "title": "Ensemble de définition de l'inverse", "statement": "Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$ ?", "options": [ { "text": "$]-\\infty\\,;\\,0[ \\,\\cup\\, ]0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : tout réel a un inverse, sauf $0$ (la\ndivision par zéro n'existe pas)." }, { "text": "$\\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{0}$ n'existe pas : il faut retirer\n$0$." }, { "text": "$]0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Trop restrictif : les négatifs ont un inverse\n($\\frac{1}{-2} = -0{,}5$). C'est la **racine carrée** qui\nexige du positif." }, { "text": "$\\mathbb{R}$ privé de $1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ a très bien un inverse (lui-même). La seule\nvaleur interdite est $0$." } ], "explanation": "Domaines des fonctions de référence : carré, cube, valeur\nabsolue : $\\mathbb{R}$ ; inverse : $\\mathbb{R}$ privé de $0$ ;\nracine carrée : $[0\\,;\\,+\\infty[$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "ensemble-definition", "racine" ], "title": "Ensemble de définition de la racine carrée", "statement": "Quel est l'ensemble de définition de la fonction\n$x \\mapsto \\sqrt{x}$ ?", "options": [ { "text": "$[0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la racine d'un négatif n'existe pas dans\n$\\mathbb{R}$, mais $\\sqrt{0} = 0$ existe : $0$ est inclus\n(crochet fermé)." }, { "text": "$]0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Presque : $\\sqrt{0} = 0$ existe parfaitement. C'est\nl'**inverse** qui exclut $0$, pas la racine." }, { "text": "$\\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\sqrt{-4}$ n'existe pas dans $\\mathbb{R}$ :\naucun réel au carré ne donne $-4$." }, { "text": "$[1\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ existe très bien. La\nseule contrainte est $x \\geq 0$." } ], "explanation": "$\\sqrt{x}$ est défini pour $x \\geq 0$ : domaine\n$[0\\,;\\,+\\infty[$, borne $0$ comprise. La courbe part de\nl'origine et monte de plus en plus lentement." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "parite", "symetrie" ], "title": "Symétrie de la parabole", "statement": "La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à\nquel objet ?", "options": [ { "text": "L'axe des ordonnées", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-x)^2 = x^2$ : deux abscisses opposées\nont la même image, la parabole se reflète dans l'axe\nvertical." }, { "text": "L'origine du repère", "correct": false, "feedback": "Erreur : la symétrie par rapport à l'origine caractérise\nles courbes de l'**inverse** et du **cube**\n($(-x)^3 = -x^3$)." }, { "text": "L'axe des abscisses", "correct": false, "feedback": "Erreur : une courbe de fonction ne peut pas être\nsymétrique par rapport à l'axe des abscisses (chaque $x$\nn'a qu'une image)." }, { "text": "La droite d'équation $y = x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette symétrie échange abscisses et ordonnées\n(elle relie une fonction et sa réciproque), ce n'est pas\nla symétrie de la parabole." } ], "explanation": "$(-x)^2 = x^2$ : la fonction carré prend les mêmes valeurs en\n$x$ et $-x$, d'où la symétrie de sa courbe par rapport à\nl'axe des ordonnées. Cube et inverse, eux, sont symétriques\npar rapport à l'origine." }, { "id": "q06", "difficulty": 1, "skills": [ "cube", "calcul" ], "title": "Cube d'un négatif", "statement": "Que vaut $(-2)^3$ ?", "options": [ { "text": "$-8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-2) \\times (-2) \\times (-2) =\n4 \\times (-2) = -8$. Le cube **conserve** le signe." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : trois facteurs négatifs donnent un résultat\nnégatif. C'est le **carré** (deux facteurs) qui efface le\nsigne." }, { "text": "$-6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-6 = -2 \\times 3$ confond puissance et\nmultiplication. $(-2)^3$ multiplie $-2$ par lui-même trois\nfois." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Double erreur : ni la valeur ($2^3 = 8$, pas $6$) ni le\nsigne (le cube d'un négatif est négatif)." } ], "explanation": "Le cube conserve le signe : $x^3 > 0$ si $x > 0$, $x^3 < 0$ si\n$x < 0$. D'où la courbe du cube qui traverse l'origine en\npassant du négatif au positif." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-de-signes", "produit" ], "title": "Signe d'un produit de facteurs affines", "statement": "Sur quel intervalle le produit $(x - 1)(x + 2)$ est-il\nstrictement négatif ?", "options": [ { "text": "Sur $]-2\\,;\\,1[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre les racines $-2$ et $1$, les deux\nfacteurs sont de signes contraires ($x + 2 > 0$ et\n$x - 1 < 0$) : produit négatif." }, { "text": "Sur $]1\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : au-delà de $1$, les **deux** facteurs sont\npositifs : produit positif. Le tableau de signes le montre\ncolonne par colonne." }, { "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-2[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : avant $-2$, les deux facteurs sont négatifs :\nproduit **positif** (moins par moins)." }, { "text": "Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours\npositif", "correct": false, "feedback": "Erreur : un produit est négatif dès que ses facteurs sont\nde **signes contraires**, ce qui arrive entre les racines." } ], "explanation": "Tableau de signes d'un produit d'affines : chaque facteur\nchange de signe à sa racine ($-2$ et $1$), et le produit est\nnégatif là où les signes diffèrent : sur $]-2\\,;\\,1[$." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-de-signes", "quotient" ], "title": "Signe d'un quotient", "statement": "Quel est le signe de $\\dfrac{x - 3}{x + 1}$ sur l'intervalle\n$]-1\\,;\\,3[$ ?", "options": [ { "text": "Strictement négatif", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur cet intervalle, $x + 1 > 0$ et\n$x - 3 < 0$ : signes contraires, quotient négatif." }, { "text": "Strictement positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : teste $x = 0$ : $\\dfrac{-3}{1} = -3 < 0$. Les\nrègles de signes d'un quotient sont celles d'un produit." }, { "text": "Nul", "correct": false, "feedback": "Erreur : le quotient ne s'annule qu'en $x = 3$ (numérateur\nnul), qui est exclu de l'intervalle ouvert." }, { "text": "Non défini", "correct": false, "feedback": "Erreur : la seule valeur interdite est $x = -1$\n(dénominateur nul), exclue de l'intervalle. Partout\nailleurs le quotient existe." } ], "explanation": "Un quotient suit les mêmes règles de signes qu'un produit,\navec en plus une **valeur interdite** au dénominateur (double\nbarre dans le tableau). Sur $]-1\\,;\\,3[$ :\n$\\frac{-}{+} = -$." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "equation", "carre" ], "title": "Résoudre $x^2 = 7$ graphiquement", "statement": "Combien l'équation $x^2 = 7$ admet-elle de solutions, et\ncomment se lisent-elles sur la parabole ?", "options": [ { "text": "Deux solutions, $\\sqrt{7}$ et $-\\sqrt{7}$ : abscisses des\nintersections de la parabole avec la droite $y = 7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la droite horizontale $y = 7$ coupe la\nparabole en deux points symétriques." }, { "text": "Une seule solution, $\\sqrt{7}$", "correct": false, "feedback": "Oubli : la parabole est symétrique, la droite $y = 7$ la\ncoupe **deux** fois : en $\\sqrt{7}$ et en $-\\sqrt{7}$." }, { "text": "Aucune solution, car $7$ n'est pas un carré parfait", "correct": false, "feedback": "Erreur : « carré parfait » concerne les entiers. Tout réel\npositif est le carré de sa racine : $(\\sqrt{7})^2 = 7$." }, { "text": "Une infinité de solutions", "correct": false, "feedback": "Erreur : une droite horizontale coupe la parabole en au\nplus deux points." } ], "explanation": "Résolution graphique de $x^2 = k$ : intersection de la\nparabole et de la droite $y = k$. Pour $k = 7 > 0$ : deux\nsolutions $\\pm\\sqrt{7} \\approx \\pm 2{,}65$." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "inequation", "carre" ], "title": "Résoudre $x^2 \\leq 9$", "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$x^2 \\leq 9$ ?", "options": [ { "text": "$[-3\\,;\\,3]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite\n$y = 9$ ont leurs abscisses entre $-3$ et $3$." }, { "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$", "correct": false, "feedback": "Piège majeur : $x \\leq 3$ n'équivaut pas à $x^2 \\leq 9$ :\npour $x = -10$, $x^2 = 100 > 9$. Les grands négatifs ont\nde grands carrés." }, { "text": "$[0\\,;\\,3]$", "correct": false, "feedback": "Oubli des négatifs : $(-2)^2 = 4 \\leq 9$, donc $-2$ est\nsolution. La parabole est symétrique." }, { "text": "$\\{-3\\,;\\,3\\}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux nombres résolvent l'**équation**\n$x^2 = 9$. L'inéquation large englobe tout l'intervalle\nentre eux." } ], "explanation": "Pour $k > 0$ : $x^2 \\leq k \\Leftrightarrow -\\sqrt{k} \\leq x\n\\leq \\sqrt{k}$. Ne jamais « prendre la racine » d'une\ninégalité sans penser à la branche négative de la parabole." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "comparaison", "carre", "piege" ], "title": "Comparer des carrés de négatifs", "statement": "On sait que $-3 < -2$. Comment se comparent $(-3)^2$ et\n$(-2)^2$ ?", "options": [ { "text": "$(-3)^2 > (-2)^2$ : sur les négatifs, la fonction carré\nrenverse l'ordre", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $9 > 4$. La fonction carré est\n**décroissante** sur $]-\\infty\\,;\\,0]$ : plus un négatif\nest loin de zéro, plus son carré est grand." }, { "text": "$(-3)^2 < (-2)^2$, car $-3 < -2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : mettre au carré ne conserve l'ordre que pour des\nnombres **positifs**. Ici $9 > 4$ : l'ordre s'est\ninversé." }, { "text": "$(-3)^2 = (-2)^2$, car les signes disparaissent", "correct": false, "feedback": "Erreur : les signes disparaissent mais les grandeurs\nrestent : $9 \\neq 4$." }, { "text": "On ne peut pas comparer des carrés de nombres négatifs", "correct": false, "feedback": "Erreur : leurs carrés sont des nombres positifs ordinaires\n($9$ et $4$), parfaitement comparables." } ], "explanation": "Variations de la fonction carré (démonstration au programme) :\ndécroissante sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, croissante sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$. Sur les négatifs, l'ordre des nombres et\nl'ordre des carrés s'inversent." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "valeur-absolue", "equation" ], "title": "Résoudre $|x| = 5$", "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $|x| = 5$ ?", "options": [ { "text": "$x = 5$ ou $x = -5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux nombres sont à distance $5$ de zéro :\n$5$ et $-5$. Graphiquement, la droite $y = 5$ coupe le\n« V » de la valeur absolue en deux points." }, { "text": "$x = 5$ seulement", "correct": false, "feedback": "Oubli : $|-5| = 5$ aussi. La valeur absolue efface le\nsigne, deux antécédents pour chaque valeur positive." }, { "text": "$x = -5$ seulement", "correct": false, "feedback": "Erreur : $|5| = 5$ convient évidemment aussi. L'équation a\ndeux solutions." }, { "text": "Aucune solution, car une valeur absolue est toujours\npositive", "correct": false, "feedback": "Contresens : c'est justement parce que $|x| \\geq 0$ que\nl'équation $|x| = 5$ (avec $5 > 0$) a des solutions :\n$\\pm 5$. (C'est $|x| = -5$ qui n'en aurait pas.)" } ], "explanation": "$|x| = k$ : deux solutions $\\pm k$ si $k > 0$, une seule\n($0$) si $k = 0$, aucune si $k < 0$. La courbe en V de la\nvaleur absolue rend ce compte de solutions visible." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "signe-affine" ], "title": "Signe de $2x - 4$", "statement": "Quel est le signe de l'expression $2x - 4$ selon les\nvaleurs de $x$ ?", "options": [ { "text": "Négatif pour $x < 2$, nul en $2$, positif pour $x > 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : racine en $x = 2$ ($2x - 4 = 0$), et\ncoefficient directeur positif : signe « $-$ puis $+$ »." }, { "text": "Positif pour $x < 2$, négatif pour $x > 2$", "correct": false, "feedback": "Ordre inversé : le coefficient de $x$ est **positif**\n($2$) : l'expression monte : négative avant sa racine,\npositive après." }, { "text": "Toujours positif", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 0$ : $-4 < 0$ : toute fonction affine\nnon constante change de signe en sa racine." }, { "text": "Négatif pour $x < 4$, positif pour $x > 4$", "correct": false, "feedback": "Racine fausse : $2x - 4 = 0 \\iff x = 2$ (diviser $4$\npar le coefficient $2$)." } ], "explanation": "Signe d'une affine $ax + b$ : racine en $-\\frac{b}{a}$,\nsigne de $a$ **après** la racine (« signe de $a$ à droite »).\nLa brique de base de tous les tableaux de signes." }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "comparaison-inverses" ], "title": "Comparer des inverses", "statement": "Sachant $0 < a < b$, comment se comparent $\\dfrac{1}{a}$ et\n$\\dfrac{1}{b}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{a} > \\dfrac{1}{b}$ : l'inverse renverse\nl'ordre des positifs", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la fonction inverse est décroissante sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ : plus le nombre est grand, plus son\ninverse est petit ($\\frac{1}{2} > \\frac{1}{3}$)." }, { "text": "$\\dfrac{1}{a} < \\dfrac{1}{b}$ : l'ordre se conserve", "correct": false, "feedback": "Erreur : testez $a = 2$, $b = 3$ : $\\frac{1}{2} = 0{,}5\n> \\frac{1}{3} \\approx 0{,}33$ : passer à l'inverse\nRENVERSE les inégalités (entre positifs)." }, { "text": "Impossible à comparer sans les valeurs", "correct": false, "feedback": "Erreur : la décroissance de la fonction inverse conclut\npour TOUS les couples $0 < a < b$ : aucune valeur\nnécessaire." }, { "text": "$\\dfrac{1}{a} = \\dfrac{1}{b}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : deux nombres distincts ont des inverses\ndistincts (la fonction inverse ne repasse jamais par la\nmême valeur)." } ], "explanation": "Sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$, la fonction inverse est strictement\ndécroissante : $0 < a < b \\Rightarrow \\frac{1}{a} >\n\\frac{1}{b}$. Attention : la comparaison échoue si $a$ et\n$b$ encadrent $0$ (deux branches séparées)." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "carre-entre-0-et-1" ], "title": "Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$", "statement": "Soit $0 < a < 1$. Comment se comparent $a^2$ et $a$ ?", "options": [ { "text": "$a^2 < a$ : le carré rapetisse les nombres entre $0$ et\n$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $a^2 = a \\times a < a \\times 1 = a$\n(multiplier par $a < 1$ diminue). Exemple : $0{,}5^2 =\n0{,}25$." }, { "text": "$a^2 > a$ : un carré est toujours plus grand", "correct": false, "feedback": "Intuition à corriger : elle ne vaut que pour $a > 1$ :\nentre $0$ et $1$, élever au carré **écrase** vers zéro\n($0{,}1^2 = 0{,}01$)." }, { "text": "$a^2 = a$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité $a^2 = a$ n'a lieu qu'en $a = 0$ et\n$a = 1$ : strictement entre les deux, le carré est\nstrictement plus petit." }, { "text": "Cela dépend de $a$", "correct": false, "feedback": "Erreur : sur TOUT l'intervalle $]0\\ ;\\ 1[$, la\nconclusion est la même : $a^2 < a$ (la parabole passe\nsous la droite $y = x$)." } ], "explanation": "Entre $0$ et $1$ : $a^2 < a$ (la parabole sous la\ndiagonale) ; au-delà de $1$ : $a^2 > a$. Les points de\ncroisement : $0$ et $1$. Une image graphique qui évite bien\ndes erreurs de majoration." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "racine-croissante" ], "title": "Comparer $\\sqrt{3}$ et $\\sqrt{5}$", "statement": "Sans calculatrice, comment justifier que $\\sqrt{3} <\n\\sqrt{5}$ ?", "options": [ { "text": "La fonction racine carrée est strictement croissante :\n$3 < 5 \\Rightarrow \\sqrt{3} < \\sqrt{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la croissance transporte l'inégalité des\nnombres vers leurs racines : aucun calcul de valeurs\napprochées nécessaire." }, { "text": "Parce que $\\sqrt{3} \\approx 1{,}73$ et $\\sqrt{5} \\approx\n2{,}24$", "correct": false, "feedback": "Justification faible : les valeurs approchées viennent\nde la calculatrice : l'argument de **cours** est la\ncroissance de la fonction racine." }, { "text": "On ne peut pas : les racines ne se comparent pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : la croissance de $\\sqrt{\\ }$ permet justement\nde comparer les racines par leurs radicandes." }, { "text": "C'est faux : $\\sqrt{3} > \\sqrt{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la racine **conserve** l'ordre (croissante) :\nl'inversion d'ordre appartient à la fonction inverse." } ], "explanation": "Comparer via les variations d'une fonction de référence :\ncroissante (racine, cube) = ordre conservé ; décroissante\n(inverse sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$) = ordre renversé. L'argument\nattendu cite la fonction et son sens." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "equation-cube" ], "title": "Résoudre $x^3 = -8$", "statement": "Combien de solutions réelles a l'équation $x^3 = -8$ ?", "options": [ { "text": "Une seule : $x = -2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-2)^3 = -8$, et la fonction cube,\nstrictement croissante sur $\\mathbb{R}$, ne repasse\njamais deux fois par la même valeur : solution unique." }, { "text": "Deux : $x = 2$ et $x = -2$", "correct": false, "feedback": "Réflexe du carré transposé à tort : $2^3 = +8 \\neq -8$ :\nle cube **conserve** le signe : une seule solution." }, { "text": "Aucune : un cube n'est jamais négatif", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est\nnégatif ($(-2)^3 = -8$) : la fonction cube atteint tous\nles réels." }, { "text": "$x = -\\dfrac{8}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser par $3$ ne défait pas un cube : on\ncherche le nombre dont le CUBE vaut $-8$ : c'est $-2$." } ], "explanation": "Contraste carré/cube : $x^2 = k > 0$ : deux solutions ;\n$x^3 = k$ : toujours UNE solution, du signe de $k$ (cube\nstrictement croissant sur $\\mathbb{R}$). La parité de\nl'exposant fait toute la différence." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "position-carre-identite" ], "title": "Parabole et diagonale sur $[0\\ ;\\ 1]$", "statement": "Sur l'intervalle $[0\\ ;\\ 1]$, comment se situe la courbe de\n$y = x^2$ par rapport à la droite $y = x$ ?", "options": [ { "text": "En dessous (elles se touchent en $0$ et en $1$)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - x = x(x - 1) \\leq 0$ sur\n$[0\\ ;\\ 1]$ (produit d'un positif et d'un négatif) : la\nparabole plonge sous la diagonale entre les deux points\nde contact." }, { "text": "Au-dessus", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 0{,}5$ : $0{,}25 < 0{,}5$ : la\nparabole est SOUS la droite (elle repasse au-dessus\naprès $1$)." }, { "text": "Elles ne se rencontrent jamais", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x^2 = x$ en $x = 0$ et $x = 1$ : deux points\ncommuns, bornes exactes de l'intervalle." }, { "text": "Elles sont confondues sur cet intervalle", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x^2 = x$ seulement aux deux extrémités :\nentre les deux, l'écart $x - x^2$ est strictement\npositif (maximal en $0{,}5$)." } ], "explanation": "Position relative = signe de la différence : $x^2 - x =\nx(x - 1)$, négatif entre ses racines $0$ et $1$. La même\nétude redonne $a^2 < a$ pour $0 < a < 1$ : deux habits d'un\nmême fait." } ] }