{
"chapter": {
"id": "fonctions-images-antecedents",
"level": "seconde",
"theme": "Fonctions",
"title": "Fonctions, images et antécédents",
"description": "Vocabulaire des fonctions : image, antécédent, ensemble de définition,\ncourbe représentative. Calculs d'images et d'antécédents à partir d'une\nformule, d'un tableau de valeurs ou d'une lecture graphique.",
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"vocabulaire"
],
"title": "Lire une égalité $f(2)=5$",
"statement": "Soit $f$ une fonction. Que signifie l'égalité $f(2) = 5$ ?",
"options": [
{
"text": "L'image de $2$ par $f$ est $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(2)$ désigne l'image de $2$ par la fonction\n$f$. On peut aussi dire que $2$ est **un** antécédent de $5$."
},
{
"text": "L'image de $5$ par $f$ est $2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'inversion : l'image de $5$ s'écrirait $f(5)$. Ici\nc'est bien $2$ qui entre dans la fonction, et $5$ qui en sort."
},
{
"text": "$f(5) = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien ne permet d'échanger les rôles de $2$ et $5$.\nEn général $f(5)$ n'a aucune raison de valoir $2$."
},
{
"text": "$5$ est un antécédent de $2$ par $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'inversion du vocabulaire : c'est $2$ qui est un\nantécédent de $5$, car $f$ transforme $2$ en $5$."
}
],
"explanation": "Dans l'écriture $f(2)=5$ : le nombre qui **entre** ($2$) a pour\n**image** le nombre qui **sort** ($5$), et $2$ est un **antécédent**\nde $5$. Le sens de lecture ne s'inverse jamais."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 1,
"skills": [
"calcul",
"image"
],
"title": "Calculer une image",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.\nQuelle est l'image de $4$ par $f$ ?",
"options": [
{
"text": "$7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $f(4) = 3 \\times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$."
},
{
"text": "$12$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as calculé $3 \\times 4 = 12$ mais oublié de\nsoustraire $5$. Il faut appliquer **toute** la formule."
},
{
"text": "$17$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $3 \\times 4 + 5 = 17$ correspond à la\nfonction $x \\mapsto 3x + 5$, pas à $3x - 5$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as résolu $3x - 5 = 4$, c'est-à-dire cherché un\n**antécédent** de $4$. On demande l'**image** de $4$ : on\nremplace $x$ par $4$ dans la formule."
}
],
"explanation": "Calculer l'image de $4$, c'est remplacer $x$ par $4$ :\n$f(4) = 3 \\times 4 - 5 = 7$."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"calcul",
"antecedent"
],
"title": "Calculer un antécédent",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.\nQuel est l'antécédent de $7$ par $f$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on résout $3x - 5 = 7$, soit $3x = 12$,\ndonc $x = 4$."
},
{
"text": "$16$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3 \\times 7 - 5 = 16$ est l'**image** de $7$.\nChercher un antécédent de $7$, c'est résoudre $f(x) = 7$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'algèbre : $\\dfrac{7-5}{3} = \\dfrac{2}{3}$ vient d'un\nmauvais transfert du $-5$. Dans $3x - 5 = 7$, le $-5$ passe de\nl'autre côté en $+5$ : $3x = 7 + 5 = 12$."
},
{
"text": "$-4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe dans la résolution : $3x = 12$ donne $x = 4$,\npas $x = -4$."
}
],
"explanation": "Un antécédent de $7$ est une solution de l'équation $f(x) = 7$ :\n$3x - 5 = 7 \\Leftrightarrow 3x = 12 \\Leftrightarrow x = 4$."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"vocabulaire"
],
"title": "Nombre d'images d'un nombre",
"statement": "Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre de son ensemble de\ndéfinition. Combien $a$ possède-t-il d'images par $f$ ?",
"options": [
{
"text": "Exactement une",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la définition même d'une fonction.\nÀ chaque nombre de l'ensemble de définition, elle associe\n**une unique** image."
},
{
"text": "Au plus deux",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu confonds avec les **antécédents**, qui peuvent\nêtre plusieurs (par exemple $9$ a deux antécédents par\n$x \\mapsto x^2$). L'image, elle, est toujours unique."
},
{
"text": "Autant qu'on veut",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : si un même $a$ avait plusieurs images, $f$ ne serait\npas une fonction. C'est le nombre d'**antécédents** qui peut\nvarier."
},
{
"text": "Aucune, sauf si la courbe coupe l'axe des ordonnées",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tout nombre de l'ensemble de définition a une image,\nindépendamment de l'axe des ordonnées."
}
],
"explanation": "Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition\n**exactement une** image. En revanche, un nombre peut avoir zéro,\nun ou plusieurs **antécédents**."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"calcul",
"antecedent"
],
"title": "Antécédents par la fonction carré",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.\nQuels sont les antécédents de $9$ par $f$ ?",
"options": [
{
"text": "$-3$ et $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 = 9$ a deux solutions, $x = 3$ et\n$x = -3$, car $(-3)^2 = 9$ aussi."
},
{
"text": "$3$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Oubli classique : $(-3)^2 = 9$ également. Une équation\n$x^2 = k$ avec $k > 0$ a toujours **deux** solutions opposées."
},
{
"text": "$81$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $81 = 9^2$ est l'**image** de $9$. On demande les\nantécédents, c'est-à-dire les solutions de $x^2 = 9$."
},
{
"text": "$4{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $9 \\div 2 = 4{,}5$ n'a rien à voir avec l'équation\n$x^2 = 9$. Le carré n'est pas une multiplication par $2$."
}
],
"explanation": "Chercher les antécédents de $9$, c'est résoudre $x^2 = 9$ :\nles solutions sont $3$ et $-3$. Pour $k > 0$, l'équation $x^2 = k$\na deux solutions : $\\sqrt{k}$ et $-\\sqrt{k}$."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"image"
],
"title": "Lire une image sur la courbe",
"statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.\nQuelle est l'image de $1$ par $f$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (2.7,3.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.12,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.15:2.15,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x-1});\n \\node[blue,font=\\small,above right] at (1.8,2.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de\nsommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et\n(2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point de la courbe d'abscisse $1$ est sur\nl'axe des abscisses, donc $f(1) = 0$."
},
{
"text": "$-1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-1$ est l'image de $0$ (le sommet de la courbe est\nen $(0\\,;\\,-1)$). Pour lire $f(1)$, on part de $x = 1$ sur\nl'axe des abscisses."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as relu l'abscisse de départ. L'image se lit sur\nl'axe des **ordonnées**, à la verticale de $x = 1$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3$ est l'image de $2$ (le point $(2\\,;\\,3)$ est sur\nla courbe), pas celle de $1$."
}
],
"explanation": "Pour lire $f(1)$ : on repère $x = 1$ sur l'axe des abscisses, on\nmonte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du\npoint atteint. Ici le point est $(1\\,;\\,0)$, donc $f(1) = 0$."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"antecedent"
],
"title": "Lire des antécédents sur la courbe",
"statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.\nQuels sont les antécédents de $3$ par $f$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (2.7,3.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.12,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.15:2.15,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x-1});\n \\node[blue,font=\\small,above right] at (1.8,2.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de\nsommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et\n(2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$-2$ et $2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite horizontale $y = 3$ coupe la courbe\nen deux points, d'abscisses $-2$ et $2$."
},
{
"text": "$2$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Oubli : la droite $y = 3$ coupe aussi la courbe du côté des\nabscisses négatives, au point $(-2\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu cherches les antécédents **de** $3$, c'est-à-dire\nles abscisses des points d'ordonnée $3$. Le nombre $3$ est ici\nune ordonnée, pas une abscisse."
},
{
"text": "$8$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8 = f(3)$ serait l'**image** de $3$ (hors du\ngraphique). Les antécédents se lisent en coupant la courbe\npar la droite horizontale $y = 3$."
}
],
"explanation": "Pour lire les antécédents de $3$ : on trace la droite horizontale\n$y = 3$ et on lit les **abscisses** des points d'intersection avec\nla courbe. Ici, elle coupe $\\mathcal{C}_f$ en $(-2\\,;\\,3)$ et\n$(2\\,;\\,3)$ : les antécédents sont $-2$ et $2$."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"courbe"
],
"title": "Courbe représentative",
"statement": "Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Qu'est-ce que\nla courbe représentative de $f$ dans un repère ?",
"options": [
{
"text": "L'ensemble des points de coordonnées $(x\\,;\\,f(x))$ pour $x$\ndans $I$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un point $M(x\\,;\\,y)$ appartient à la courbe\nsi et seulement si $y = f(x)$."
},
{
"text": "L'ensemble des points de coordonnées $(f(x)\\,;\\,x)$ pour $x$\ndans $I$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'inversion : l'abscisse est la variable $x$, et\nl'ordonnée est l'image $f(x)$, pas l'inverse."
},
{
"text": "Le tableau des valeurs de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un tableau de valeurs ne donne que quelques points ;\nla courbe est l'ensemble de **tous** les points\n$(x\\,;\\,f(x))$."
},
{
"text": "La droite qui passe par tous les points où $f$ s'annule",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les points où $f$ s'annule sont seulement les\nintersections de la courbe avec l'axe des abscisses."
}
],
"explanation": "La courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points\n$M(x\\,;\\,f(x))$ pour tous les $x$ de l'ensemble de définition.\nL'équation de la courbe est $y = f(x)$."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"ensemble-definition"
],
"title": "Ensemble de définition",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \\dfrac{1}{x - 2}$.\nQuel est son ensemble de définition ?",
"options": [
{
"text": "Tous les réels sauf $2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le dénominateur s'annule pour $x = 2$, et la\ndivision par zéro est impossible. Partout ailleurs, le calcul\nest possible."
},
{
"text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : pour $x = 2$, le dénominateur vaut $0$ et le\nquotient n'existe pas. Il faut exclure cette valeur."
},
{
"text": "Tous les réels sauf $-2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : on résout $x - 2 = 0$, qui donne $x = 2$,\npas $x = -2$."
},
{
"text": "Les réels strictement supérieurs à $2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un quotient existe dès que son dénominateur est non\nnul, même s'il est négatif. Tu confonds avec la condition de\nla racine carrée."
}
],
"explanation": "Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non\nnul : $x - 2 \\neq 0$, donc $x \\neq 2$. L'ensemble de définition\nest $\\mathbb{R}$ privé de $2$."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-de-valeurs",
"antecedent"
],
"title": "Antécédents dans un tableau de valeurs",
"statement": "Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne :\n$f(-2) = 5$, $f(-1) = 2$, $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$.\n\nD'après ce tableau, quels sont les antécédents de $2$ par $f$ ?",
"options": [
{
"text": "$-1$ et $1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans la ligne des images, $2$ apparaît deux\nfois, pour $x = -1$ et pour $x = 1$."
},
{
"text": "$-1$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Oubli : il faut balayer **toute** la ligne des images. La\nvaleur $2$ apparaît aussi dans la colonne de $x = 1$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ est l'image de $-2$. Pour trouver des\nantécédents de $2$, on cherche $2$ dans la ligne du **bas**\net on remonte à la ligne du haut."
},
{
"text": "$2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as relu le nombre cherché. Les antécédents sont\nles valeurs de $x$ dont l'image vaut $2$, ici $-1$ et $1$."
}
],
"explanation": "Dans un tableau de valeurs, les antécédents de $2$ se trouvent en\nrepérant $2$ dans la ligne des images $f(x)$, puis en lisant les\nvaleurs de $x$ correspondantes : ici $-1$ et $1$."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"piege",
"raisonnement"
],
"title": "L'égalité $f(a+b) = f(a) + f(b)$",
"statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.\nA-t-on toujours $f(a + b) = f(a) + f(b)$ ?",
"options": [
{
"text": "Non : par exemple $f(1+1) = 4$ alors que $f(1) + f(1) = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ n'est en général\npas égal à $a^2 + b^2$. Un seul contre-exemple suffit à\nréfuter l'égalité."
},
{
"text": "Oui, car c'est vrai pour toute fonction",
"correct": false,
"feedback": "Erreur très répandue : une fonction ne « distribue » pas sur\nl'addition. Teste toujours sur des valeurs concrètes avant de\ngénéraliser."
},
{
"text": "Oui, car $f$ est donnée par une formule",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avoir une formule ne donne aucune propriété\nparticulière. Ici $(1+1)^2 = 4 \\neq 1^2 + 1^2 = 2$."
},
{
"text": "Non, sauf si $a$ et $b$ sont positifs",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : même pour $a$ et $b$ positifs l'égalité échoue,\ncomme le montre $a = b = 1$. Elle n'est vraie que si $a$ ou\n$b$ est nul."
}
],
"explanation": "$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : le double produit $2ab$ empêche\nl'égalité $f(a+b) = f(a) + f(b)$ dès que $a$ et $b$ sont non nuls.\nContre-exemple : $f(1+1) = 4 \\neq 2 = f(1) + f(1)$."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"lecture-graphique",
"equation"
],
"title": "Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement",
"statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.\nQuelles sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (2.7,3.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.12,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.15:2.15,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x-1});\n \\node[blue,font=\\small,above right] at (1.8,2.3) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de\nsommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et\n(2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$x = -1$ et $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe coupe l'axe des abscisses aux\npoints d'abscisses $-1$ et $1$ ; ce sont les solutions de\n$f(x) = 0$."
},
{
"text": "$x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en $x = 0$, la courbe passe par $(0\\,;\\,-1)$, donc\n$f(0) = -1 \\neq 0$. Tu as confondu avec le sommet de la\ncourbe."
},
{
"text": "$x = -1$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Oubli : la courbe traverse l'axe des abscisses **deux** fois.\nIl faut relever toutes les intersections."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de nature : une solution de $f(x) = 0$ est un\n**nombre** (une abscisse), pas un point. Et $(0\\,;\\,-1)$\nn'est pas sur l'axe des abscisses."
}
],
"explanation": "Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement, c'est lire les abscisses des\npoints d'intersection de la courbe avec l'**axe des abscisses** :\nici $-1$ et $1$."
}
]
}