{
  "chapter": {
    "id": "nombres-reels-intervalles",
    "level": "seconde",
    "theme": "Nombres et calculs, algèbre",
    "title": "Nombres réels et intervalles",
    "description": "Ensembles de nombres ($\\mathbb{N}$, $\\mathbb{Z}$, $\\mathbb{D}$,\n$\\mathbb{Q}$, $\\mathbb{R}$), droite numérique, intervalles et\nappartenance, valeur absolue comme distance, inéquations\n$|x - a| \\leq r$, encadrements décimaux et arrondis.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intervalles",
        "appartenance"
      ],
      "title": "Borne ouverte ou fermée",
      "statement": "Le nombre $5$ appartient-il à l'intervalle $[2\\,;\\,5[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : le crochet ouvert exclut la borne $5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $[2\\,;\\,5[$ contient les réels $x$ tels\nque $2 \\leq x < 5$. L'inégalité **stricte** exclut $5$."
        },
        {
          "text": "Oui : $5$ est écrit dans l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les bornes écrites délimitent l'intervalle mais\nn'y appartiennent que si le crochet est **fermé** (tourné\nvers l'intérieur). Ici il est ouvert : $5$ exclu."
        },
        {
          "text": "Oui, car $5 \\geq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : il faut vérifier les **deux** conditions.\n$5 \\geq 2$ certes, mais la seconde exige $x < 5$, ce que\n$5$ ne vérifie pas."
        },
        {
          "text": "Non, car $5$ n'est pas entre $2$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Raison imprécise : $2$ appartient bien à l'intervalle (sa\nborne est fermée). C'est le **crochet ouvert en $5$** qui\nexclut $5$, pas une position « entre »."
        }
      ],
      "explanation": "$[2\\,;\\,5[ \\,= \\{x \\in \\mathbb{R} \\mid 2 \\leq x < 5\\}$ :\nborne gauche incluse (crochet fermé), borne droite exclue\n(crochet ouvert). Donc $2 \\in [2\\,;\\,5[$ mais\n$5 \\notin [2\\,;\\,5[$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intervalles",
        "notation"
      ],
      "title": "Traduire une inégalité en intervalle",
      "statement": "À quel intervalle correspond la condition $x \\geq 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « supérieur ou égal » inclut $3$ (crochet\nfermé), et l'infini est toujours exclu (crochet ouvert)."
        },
        {
          "text": "$]3\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce crochet ouvert exclut $3$, ce qui traduirait\nl'inégalité **stricte** $x > 3$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : cet intervalle contient les nombres\n**inférieurs** ou égaux à $3$."
        },
        {
          "text": "$[3\\,;\\,+\\infty]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Notation incorrecte : $+\\infty$ n'est pas un nombre, on ne\npeut jamais fermer le crochet de son côté."
        }
      ],
      "explanation": "$x \\geq 3 \\Leftrightarrow x \\in [3\\,;\\,+\\infty[$. Large\n($\\geq$, $\\leq$) = crochet fermé sur la borne ; strict\n($>$, $<$) = crochet ouvert ; du côté de $\\pm\\infty$, le\ncrochet est toujours ouvert."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "definition"
      ],
      "title": "Valeur absolue et distance",
      "statement": "Pour deux réels $x$ et $a$, que représente $|x - a|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La distance entre $x$ et $a$ sur la droite numérique",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est l'interprétation officielle de la\nvaleur absolue au programme : $|5 - 2| = 3$, distance\nentre $5$ et $2$."
        },
        {
          "text": "Le nombre $x - a$ rendu positif seulement si $x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur absolue rend la **différence** positive\nquel que soit le signe de $x$ : $|2 - 5| = 3$ aussi."
        },
        {
          "text": "Le plus grand des deux nombres $x$ et $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $|x - a|$ mesure leur **écart**, pas leur\nmaximum : $|7 - 4| = 3$, alors que le plus grand est $7$."
        },
        {
          "text": "Le milieu de $x$ et $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le milieu est $\\dfrac{x + a}{2}$. La valeur\nabsolue de la différence donne la **longueur** du segment,\npas son centre."
        }
      ],
      "explanation": "$|x - a|$ = distance entre les points d'abscisses $x$ et $a$.\nCas particulier : $|x| = |x - 0|$ est la distance de $x$ à\n$0$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "inequation"
      ],
      "title": "Résoudre $|x| \\leq 4$",
      "statement": "Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| \\leq 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[-4\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|x| \\leq 4$ signifie « $x$ est à distance\nau plus $4$ de $0$ », donc entre $-4$ et $4$."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli des négatifs : $|-3| = 3 \\leq 4$, donc $-3$ est\nsolution. La distance à $0$ ignore le signe."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-10$ vérifierait $x \\leq 4$ mais\n$|-10| = 10 > 4$. La valeur absolue borne des **deux**\ncôtés."
        },
        {
          "text": "$\\{-4\\,;\\,4\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces deux nombres sont les solutions de\nl'**équation** $|x| = 4$. L'inéquation large admet tout\nl'intervalle entre eux."
        }
      ],
      "explanation": "$|x| \\leq r$ (avec $r > 0$) $\\Leftrightarrow$\n$-r \\leq x \\leq r$ $\\Leftrightarrow$ $x \\in [-r\\,;\\,r]$ :\nl'ensemble des points à distance au plus $r$ de $0$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ensembles",
        "rationnels"
      ],
      "title": "La nature de $\\dfrac{1}{3}$",
      "statement": "Quelle est la nature du nombre $\\dfrac{1}{3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Rationnel, mais pas décimal",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est un quotient d'entiers (rationnel),\nmais son écriture décimale $0{,}333\\ldots$ ne s'arrête\njamais : il n'est pas décimal (démonstration au\nprogramme)."
        },
        {
          "text": "Décimal, car il s'écrit $0{,}33$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}33$ n'est qu'une **valeur approchée** :\n$3 \\times 0{,}33 = 0{,}99 \\neq 1$. Aucune écriture décimale\nfinie n'égale $\\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "Irrationnel, car son écriture décimale est infinie",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une écriture infinie ne suffit pas à rendre un\nnombre irrationnel. $\\dfrac{1}{3}$ est un quotient\nd'entiers, donc rationnel (son développement est infini\nmais **périodique**)."
        },
        {
          "text": "Entier, une fois simplifié",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ est déjà irréductible et vaut\nenviron $0{,}33$ : ce n'est pas un entier."
        }
      ],
      "explanation": "Emboîtements : $\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset\n\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R}$.\n$\\dfrac{1}{3} \\in \\mathbb{Q}$ mais $\\dfrac{1}{3} \\notin\n\\mathbb{D}$ : tout rationnel n'est pas décimal."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "irrationnels"
      ],
      "title": "La nature de $\\sqrt{2}$",
      "statement": "Quelle est la nature du nombre $\\sqrt{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Irrationnel : il n'est le quotient d'aucun couple d'entiers",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'irrationalité de $\\sqrt{2}$ est une\ndémonstration du programme (raisonnement par l'absurde\navec la parité)."
        },
        {
          "text": "Rationnel, car $\\sqrt{2} = \\dfrac{2}{\\sqrt{2}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un rationnel est un quotient de deux\n**entiers** ; or $\\sqrt{2}$ au dénominateur n'est pas\nentier. Cette écriture ne prouve rien."
        },
        {
          "text": "Décimal : $\\sqrt{2} = 1{,}414$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}414$ est une approximation\n($1{,}414^2 = 1{,}999396 \\neq 2$). Aucun décimal n'a un\ncarré exactement égal à $2$."
        },
        {
          "text": "Ce n'est pas un nombre réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{2}$ est parfaitement réel : c'est la\nlongueur de la diagonale d'un carré de côté $1$, un point\nprécis de la droite numérique."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sqrt{2}$ est réel (constructible géométriquement) mais\nirrationnel : aucune fraction d'entiers ne l'égale. Les\nirrationnels remplissent $\\mathbb{R} \\setminus \\mathbb{Q}$,\navec $\\pi$ comme autre exemple du programme."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrement décimal",
      "statement": "Quel est l'encadrement de $\\pi$ d'amplitude $10^{-2}$ par des\ndécimaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}14 < \\pi < 3{,}15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes sont des décimaux à deux\nchiffres après la virgule et leur écart vaut exactement\n$10^{-2} = 0{,}01$."
        },
        {
          "text": "$3{,}1 < \\pi < 3{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'amplitude : cet encadrement est correct mais son\namplitude vaut $0{,}1 = 10^{-1}$, dix fois trop large."
        },
        {
          "text": "$3{,}14 < \\pi < 3{,}16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'amplitude vaut ici $0{,}02 = 2 \\times 10^{-2}$.\nL'encadrement demandé serre $\\pi$ entre deux décimaux\nconsécutifs au centième."
        },
        {
          "text": "$\\pi = 3{,}14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3{,}14$ est une valeur **approchée**, pas une\négalité : $\\pi$ est irrationnel, aucun décimal ne l'égale.\nD'où l'intérêt des encadrements."
        }
      ],
      "explanation": "Encadrer un réel à $10^{-n}$ près : le placer entre deux\ndécimaux consécutifs à $n$ chiffres. Pour $\\pi$ :\n$3{,}14 < \\pi < 3{,}15$ (amplitude $10^{-2}$)."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "intervalles",
        "intersection"
      ],
      "title": "Intersection d'intervalles",
      "statement": "Que vaut l'intersection $[1\\,;\\,5] \\cap [3\\,;\\,8]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[3\\,;\\,5]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intersection regroupe les nombres\ncommuns, ceux qui vérifient à la fois $1 \\leq x \\leq 5$ et\n$3 \\leq x \\leq 8$, soit $3 \\leq x \\leq 5$."
        },
        {
          "text": "$[1\\,;\\,8]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la **réunion** : $[1\\,;\\,8]$ regroupe les\nnombres qui sont dans l'un **ou** l'autre. L'intersection\ngarde le « et »."
        },
        {
          "text": "$[5\\,;\\,3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Notation invalide : les bornes d'un intervalle s'écrivent\ndans l'ordre croissant. La zone commune est $[3\\,;\\,5]$."
        },
        {
          "text": "$\\varnothing$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux intervalles se chevauchent (par exemple\n$4$ appartient aux deux). L'intersection est vide\nseulement quand ils sont disjoints."
        }
      ],
      "explanation": "Sur la droite numérique, l'intersection est la zone de\n**recouvrement** : $[1\\,;\\,5] \\cap [3\\,;\\,8] = [3\\,;\\,5]$\n(du plus grand début au plus petit bout)."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "intervalles",
        "reunion"
      ],
      "title": "Réunion d'intervalles",
      "statement": "Que vaut la réunion $[1\\,;\\,3[ \\,\\cup\\, [3\\,;\\,5]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[1\\,;\\,5]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre $3$, exclu du premier\nintervalle, est récupéré par le second (crochet fermé) :\naucun trou, la réunion est l'intervalle complet."
        },
        {
          "text": "$[1\\,;\\,5] \\setminus \\{3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ appartient bien à la réunion, car\n$3 \\in [3\\,;\\,5]$. Il suffit d'être dans **au moins un**\ndes deux intervalles."
        },
        {
          "text": "$[1\\,;\\,3[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la réunion ne garde pas que le premier\nintervalle ; elle ajoute tout $[3\\,;\\,5]$."
        },
        {
          "text": "$\\{3\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec l'**intersection** (qui vaudrait d'ailleurs\n$\\varnothing$ ici, $3$ n'étant pas dans le premier). La\nréunion rassemble tout : $[1\\,;\\,5]$."
        }
      ],
      "explanation": "Réunion = tous les nombres appartenant à l'un **ou** l'autre.\nLes deux intervalles se raccordent exactement en $3$ :\n$[1\\,;\\,3[ \\,\\cup\\, [3\\,;\\,5] = [1\\,;\\,5]$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "valeur-absolue",
        "inequation"
      ],
      "title": "Résoudre $|x - 3| \\leq 1$",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$|x - 3| \\leq 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[2\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|x - 3| \\leq 1$ signifie « $x$ à distance\nau plus $1$ de $3$ » : l'intervalle de centre $3$ et de\nrayon $1$, soit $[3 - 1\\,;\\,3 + 1]$."
        },
        {
          "text": "$[-1\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de centre : $[-1\\,;\\,1]$ résout $|x| \\leq 1$\n(distance à $0$). Ici la distance se mesure à $3$."
        },
        {
          "text": "$]2\\,;\\,4[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de bornes : l'inégalité est **large** ($\\leq$),\ndonc $2$ et $4$ (à distance exactement $1$) sont\nsolutions : crochets fermés."
        },
        {
          "text": "$[3\\,;\\,4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du côté gauche : $2{,}5$ vérifie\n$|2{,}5 - 3| = 0{,}5 \\leq 1$. La distance joue des deux\ncôtés de $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Lecture géométrique (au programme) : $|x - a| \\leq r$\n$\\Leftrightarrow$ $x \\in [a - r\\,;\\,a + r]$, intervalle de\ncentre $a$ et de rayon $r$. Ici : $[2\\,;\\,4]$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ensembles",
        "inclusion"
      ],
      "title": "La chaîne des ensembles de nombres",
      "statement": "Quelle chaîne d'inclusions est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{D} \\subset\n\\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque ensemble élargit le précédent :\nentiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Q} \\subset\n\\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur au départ : $\\mathbb{Z}$ contient les négatifs, que\n$\\mathbb{N}$ n'a pas : c'est $\\mathbb{N} \\subset\n\\mathbb{Z}$."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{Q} \\subset\n\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur au milieu : $\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{Q}$ et non\nl'inverse : $\\dfrac{1}{3}$ est rationnel sans être\ndécimal."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R} \\subset \\mathbb{Q}$, car tout réel a une\nécriture décimale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{2}$ et $\\pi$ sont réels mais pas\nrationnels : $\\mathbb{Q}$ est strictement plus petit que\n$\\mathbb{R}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{D} \\subset\n\\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R}$, chaque inclusion étant\nstricte : $-2 \\in \\mathbb{Z}\\setminus\\mathbb{N}$,\n$0{,}7 \\in \\mathbb{D}\\setminus\\mathbb{Z}$,\n$\\frac{1}{3} \\in \\mathbb{Q}\\setminus\\mathbb{D}$,\n$\\sqrt{2} \\in \\mathbb{R}\\setminus\\mathbb{Q}$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "arrondi"
      ],
      "title": "Arrondi au centième",
      "statement": "Quel est l'arrondi au centième du nombre $2{,}4567$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2{,}46$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le chiffre suivant ($6 \\geq 5$) fait\narrondir **au-dessus** : $2{,}4567 \\approx 2{,}46$."
        },
        {
          "text": "$2{,}45$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la **troncature** (on coupe sans regarder la\nsuite). L'arrondi observe le chiffre suivant : $6$, donc\non monte à $2{,}46$."
        },
        {
          "text": "$2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de rang : $2{,}5$ est l'arrondi au **dixième**. Au\ncentième, on garde deux chiffres après la virgule."
        },
        {
          "text": "$2{,}457$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de rang : trois chiffres après la virgule, c'est\nl'arrondi au **millième**."
        }
      ],
      "explanation": "Arrondir au centième : garder deux chiffres après la virgule\net regarder le troisième : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente\nle dernier chiffre conservé. $2{,}45\\underline{6}7 \\to\n2{,}46$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nature-pi"
      ],
      "title": "La nature de $\\pi$",
      "statement": "Dans quels ensembles de nombres se trouve $\\pi$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi \\in \\mathbb{R}$ mais $\\pi \\notin \\mathbb{Q}$ :\nc'est un irrationnel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\pi$ ne s'écrit comme aucune fraction\nd'entiers (résultat admis) : réel, mais ni rationnel, ni\ndécimal, ni entier."
        },
        {
          "text": "$\\pi \\in \\mathbb{Q}$, car $\\pi = \\dfrac{22}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur célèbre : $\\frac{22}{7} \\approx 3{,}142857$\nn'est qu'une **approximation** : $\\pi$ n'est égal à\naucune fraction."
        },
        {
          "text": "$\\pi \\in \\mathbb{D}$, car $\\pi = 3{,}14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3{,}14$ est un arrondi : les décimales de\n$\\pi$ ne s'arrêtent jamais (et ne se répètent pas)."
        },
        {
          "text": "$\\pi \\notin \\mathbb{R}$ : c'est un nombre « spécial »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\pi$ est un point parfaitement réel de la\ndroite numérique (entre $3{,}14$ et $3{,}15$) :\n« irrationnel » ne veut pas dire « irréel »."
        }
      ],
      "explanation": "$\\pi$ et $\\sqrt{2}$ : les deux irrationnels de référence :\ndans $\\mathbb{R}$, hors de $\\mathbb{Q}$. Leur développement\ndécimal est infini SANS période : aucune fraction ne les\natteint."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "intervalle-non-borne"
      ],
      "title": "Traduire $x \\geq 2$",
      "statement": "Quel intervalle traduit la condition $x \\geq 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[2\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : borne $2$ **incluse** (crochet fermé,\ncar $\\geq$), et ouvert du côté de l'infini (qui n'est\npas un nombre)."
        },
        {
          "text": "$]2\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne exclue à tort : $\\geq$ inclut la valeur $2$ :\ncrochet **fermé** en $2$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : cet intervalle traduit $x \\leq 2$ : la\ncondition $\\geq$ regarde vers la droite."
        },
        {
          "text": "$[2\\ ;\\ +\\infty]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Crochet impossible : $+\\infty$ n'est pas un nombre : le\ncrochet est toujours **ouvert** du côté de l'infini."
        }
      ],
      "explanation": "Inégalité large ($\\geq$, $\\leq$) : borne incluse, crochet\nfermé ; stricte : crochet ouvert ; infini : toujours ouvert.\nTrois règles, zéro exception."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "appartenance-Z-N"
      ],
      "title": "$-3$ et les ensembles de nombres",
      "statement": "Quelle affirmation est correcte au sujet de $-3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{Z}$ mais $-3 \\notin \\mathbb{N}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\mathbb{N}$ ne contient que les entiers\n**positifs ou nul** ; les négatifs entrent au niveau de\n$\\mathbb{Z}$ (entiers relatifs)."
        },
        {
          "text": "$-3 \\in \\mathbb{N}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\mathbb{N} = \\{0, 1, 2, \\dots\\}$ : aucun\nnégatif : $-3$ attend l'étage $\\mathbb{Z}$."
        },
        {
          "text": "$-3 \\notin \\mathbb{Q}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-3 = \\frac{-3}{1}$ est une fraction d'entiers :\ntout entier relatif est aussi rationnel (les ensembles\ns'emboîtent)."
        },
        {
          "text": "$-3 \\notin \\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout nombre de la droite numérique est réel :\n$-3$ y a sa place, trois unités à gauche de zéro."
        }
      ],
      "explanation": "Emboîtement : $\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset\n\\mathbb{D} \\subset \\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R}$ : un\nnombre appartient à son premier étage ET à tous les\nsuivants. $-3$ entre en $\\mathbb{Z}$ et monte jusqu'à\n$\\mathbb{R}$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "decimal-ou-non"
      ],
      "title": "$\\dfrac{1}{7}$ est-il décimal ?",
      "statement": "Le nombre $\\dfrac{1}{7}$ est-il un nombre décimal ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : son écriture décimale $0{,}142857142857\\dots$ ne\ns'arrête jamais",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : décimal = un nombre FINI de chiffres\naprès la virgule : $\\frac{1}{7}$ boucle sur le motif\n$142857$ sans fin : rationnel, mais pas décimal."
        },
        {
          "text": "Oui : il a des chiffres après la virgule",
          "correct": false,
          "feedback": "Critère erroné : avoir des décimales ne suffit pas : il\nfaut qu'elles **s'arrêtent** ($0{,}25$ oui,\n$0{,}142857\\dots$ non)."
        },
        {
          "text": "Oui : toute fraction est décimale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seules les fractions dont le dénominateur\n(simplifié) n'a que des facteurs $2$ et $5$ sont\ndécimales : $7$ n'en fait pas partie."
        },
        {
          "text": "Non : $\\dfrac{1}{7}$ est irrationnel",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop loin : c'est une fraction d'entiers, donc\n**rationnel** : il est non décimal, mais parfaitement\nrationnel (ses décimales se répètent)."
        }
      ],
      "explanation": "Hiérarchie fine : décimal = développement fini ; rationnel =\nfini OU périodique ; irrationnel = infini sans période.\n$\\frac{1}{4} = 0{,}25$ (décimal), $\\frac{1}{7}$ (rationnel\nnon décimal), $\\sqrt{2}$ (irrationnel)."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "appartenance-inclusion"
      ],
      "title": "$\\in$ ou $\\subset$ ?",
      "statement": "Quelle écriture est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 \\in \\mathbb{N}$ et $\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\in$ relie un **élément** à un ensemble\n($2$ est un nombre), $\\subset$ relie deux **ensembles**\n($\\mathbb{N}$ est contenu dans $\\mathbb{Z}$)."
        },
        {
          "text": "$2 \\subset \\mathbb{N}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symbole inadapté : $2$ est un élément, pas un ensemble :\non écrit $2 \\in \\mathbb{N}$."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{N} \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symbole inadapté : $\\mathbb{N}$ est un ensemble : sa\nrelation à $\\mathbb{Z}$ est l'**inclusion** $\\subset$\n(tous ses éléments y sont)."
        },
        {
          "text": "Les deux symboles sont interchangeables",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ils décrivent deux relations de natures\ndifférentes : appartenir (élément-ensemble) et être\ninclus (ensemble-ensemble)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\in$ : « est un élément de » (nombre → ensemble) ;\n$\\subset$ : « est contenu dans » (ensemble → ensemble). Test\nrapide : ce qui est à gauche est-il un nombre ou une\ncollection ?"
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comparaison-fraction-decimal"
      ],
      "title": "Comparer $\\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$",
      "statement": "Lequel des deux nombres $\\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$ est le\nplus grand ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}43$, car $\\dfrac{3}{7} = 0{,}4285\\dots < 0{,}43$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : diviser (ou comparer $3 \\times 100$ et\n$43 \\times 7 = 301$ : $300 < 301$) : la fraction est\nlégèrement en dessous."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{7}$, car une fraction est plus précise",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la précision d'écriture ne dit rien de la\n**taille** : seul le calcul compare ($0{,}4286 <\n0{,}43$)."
        },
        {
          "text": "Ils sont égaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{3}{7}$ n'est pas décimal : il ne peut\npas être exactement $0{,}43$ (produit en croix : $300\n\\neq 301$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{7}$, car $3 + 7 = 10 > 0{,}43$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération sans sens : additionner numérateur et\ndénominateur ne mesure rien : on compare par division ou\nproduit en croix."
        }
      ],
      "explanation": "Comparer fraction et décimal : mettre au même format\n(division posée) ou produit en croix ($3 \\times 100$ contre\n$43 \\times 7$). Les écarts minuscules ($300$ contre $301$)\njustifient l'exigence de calcul exact."
    }
  ]
}