{
"chapter": {
"id": "probabilites",
"level": "seconde",
"theme": "Statistiques et probabilités",
"title": "Probabilités",
"description": "Modèle probabiliste : loi de probabilité, événement contraire,\néquiprobabilité et formule $P(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A)}\n{\\text{Card}(\\Omega)}$, probabilité conditionnelle $P_A(B)$,\narbres de probabilité (pondérations et multiplication le long\nd'un chemin), loi des grands nombres en version vulgarisée.",
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition"
],
"title": "Qu'est-ce qu'une probabilité ?",
"statement": "Lequel de ces nombres peut être la probabilité d'un\névénement ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une probabilité est toujours un nombre\ncompris entre $0$ (événement impossible) et $1$\n(événement certain)."
},
{
"text": "$1{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : aucune probabilité ne dépasse $1$ (on ne\npeut pas être « plus que certain »)."
},
{
"text": "$-0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : une probabilité n'est jamais négative ; le\nminimum est $0$, pour un événement impossible."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : $\\dfrac{7}{5} = 1{,}4 > 1$. Dans une\nfraction de probabilité, le numérateur ne peut pas\ndépasser le dénominateur."
}
],
"explanation": "Pour tout événement $A$ : $0 \\leq P(A) \\leq 1$. Les valeurs\nextrêmes : $P = 0$ (impossible) et $P = 1$ (certain)."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 1,
"skills": [
"contraire"
],
"title": "Probabilité de l'événement contraire",
"statement": "Soit $A$ un événement de probabilité $P(A) = 0{,}3$. Que vaut\nla probabilité de son contraire $\\overline{A}$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(\\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3\n= 0{,}7$ : l'un des deux se réalise forcément."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le contraire n'a la même probabilité que si\n$P(A) = 0{,}5$. En général : $P(\\overline{A}) = 1 -\nP(A)$."
},
{
"text": "$-0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : une probabilité n'est jamais négative. On\nretranche **de $1$**, pas de $0$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{0{,}3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'inverse n'intervient pas ici (et\n$1/0{,}3 \\approx 3{,}3 > 1$). La règle est additive :\n$P(A) + P(\\overline{A}) = 1$."
}
],
"explanation": "$P(A) + P(\\overline{A}) = 1$, donc $P(\\overline{A}) = 1 -\nP(A)$. Réflexe très utile quand le contraire est plus simple\nà compter que l'événement lui-même."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equiprobabilite",
"calcul"
],
"title": "Un dé équilibré",
"statement": "On lance un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir un nombre pair ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : issues favorables $\\{2\\,;\\,4\\,;\\,6\\}$,\nsoit $3$ sur $6$ issues équiprobables."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{6}$ est la probabilité d'**une**\nface précise. « Pair » regroupe trois faces : on\nadditionne leurs probabilités."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de compte : les pairs entre $1$ et $6$ sont $2$,\n$4$ et $6$ : trois issues sur six, soit $\\dfrac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de compte : il y a **trois** nombres pairs sur le\ndé ($2$, $4$, $6$), pas deux."
}
],
"explanation": "En situation d'équiprobabilité : $P(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A)}\n{\\text{Card}(\\Omega)} = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$ : nombre\nde cas favorables sur nombre de cas possibles."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"equiprobabilite",
"calcul"
],
"title": "Tirage dans une urne",
"statement": "Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules bleues,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle\nest la probabilité qu'elle soit rouge ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{5}{8}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $5$ boules favorables sur $5 + 3 = 8$\nboules équiprobables."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$, car il y a deux couleurs",
"correct": false,
"feedback": "Piège de la fausse équiprobabilité : ce sont les\n**boules** qui sont équiprobables, pas les couleurs. Les\nrouges, plus nombreuses, sortent plus souvent."
},
{
"text": "$\\dfrac{5}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{5}{3} > 1$, impossible pour une\nprobabilité. Le dénominateur est le **total** des boules\n($8$), pas l'effectif de l'autre couleur."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{8}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{8}$ est la probabilité de tirer une\nboule **bleue**. Pour les rouges : $\\dfrac{5}{8}$."
}
],
"explanation": "L'équiprobabilité porte sur les issues élémentaires (les $8$\nboules). $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{5}{8}$. Méfiance envers le\nréflexe « deux possibilités donc $\\frac{1}{2}$ »."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"modele",
"raisonnement"
],
"title": "L'équiprobabilité est une hypothèse",
"statement": "Un jeu a deux issues : « gagner » ou « perdre ». La\nprobabilité de gagner est-elle nécessairement $\\dfrac{1}{2}$ ?",
"options": [
{
"text": "Non : l'équiprobabilité est une hypothèse de modèle, pas\nune conséquence du nombre d'issues",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : gagner au loto ou perdre au loto sont\ndeux issues, certainement pas équiprobables. Le choix du\nmodèle doit se justifier (symétrie, fréquences\nobservées)."
},
{
"text": "Oui : deux issues, donc une chance sur deux",
"correct": false,
"feedback": "Erreur fondamentale : compter les issues ne suffit pas,\nil faut justifier leur équiprobabilité. Sinon tout serait\nà $50\\ \\%$, même gagner au loto."
},
{
"text": "Oui, si le jeu est électronique",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le support du jeu ne dit rien des probabilités,\nqui dépendent de sa **conception**."
},
{
"text": "Non : la probabilité de gagner est toujours inférieure à\n$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'interdit un jeu favorable au joueur. Le\npoint est qu'on ne peut pas conclure **sans information**\nsur le modèle."
}
],
"explanation": "Point d'insistance du programme : une loi de probabilité est\nune **hypothèse du modèle choisi** (symétrie d'un dé, ou\nfréquences observées via la loi des grands nombres) ; elle ne\nse déduit pas du simple comptage des issues."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"arbre",
"chemin"
],
"title": "Multiplier le long d'un chemin",
"statement": "L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes.\nQuelle est la probabilité du chemin « $A$ puis $B$ »\n(c'est-à-dire de l'événement $A \\cap B$) ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\\small]\n \\coordinate (R) at (0,0);\n \\node (A) at (2.2,1.4) {$A$};\n \\node (nA) at (2.2,-1.4) {$\\overline{A}$};\n \\node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};\n \\node (nB1) at (4.4,0.7) {$\\overline{B}$};\n \\node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};\n \\node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\\overline{B}$};\n \\draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};\n \\draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};\n \\draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};\n \\draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};\n \\draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};\n \\draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la\nbranche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à\nA-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.\nDepuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le long d'un chemin, on **multiplie** les\npondérations des branches : $P(A) \\times P_A(B)$."
},
{
"text": "$0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : additionner conviendrait à des chemins\n**différents** (cas incompatibles). Le long d'un même\nchemin, les branches s'enchaînent : on multiplie."
},
{
"text": "$0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $0{,}6 = P_A(B)$ suppose $A$ déjà réalisé.\nLe chemin complet exige aussi de passer la première\nbranche ($0{,}3$)."
},
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $0{,}3 = P(A)$ ne mène qu'au premier étage.\nIl faut encore la branche $A \\to B$ ($0{,}6$)."
}
],
"explanation": "Règle de l'arbre : la probabilité d'un chemin est le\n**produit** des pondérations de ses branches :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) = 0{,}3 \\times 0{,}6 =\n0{,}18$."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"conditionnelle",
"definition"
],
"title": "Que signifie $P_A(B)$ ?",
"statement": "Que désigne la notation $P_A(B)$ ?",
"options": [
{
"text": "La probabilité que $B$ se réalise, **sachant que** $A$\nest réalisé",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on se place dans le monde où $A$ a eu\nlieu, et on y mesure les chances de $B$."
},
{
"text": "La probabilité que $A$ et $B$ se réalisent tous les deux",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : « $A$ et $B$ » se note $P(A \\cap B)$ ; sur\nl'arbre, c'est le **produit** $P(A) \\times P_A(B)$, pas\nla pondération d'une seule branche."
},
{
"text": "La probabilité que $A$ se réalise sachant $B$",
"correct": false,
"feedback": "Inversion : l'indice indique la **condition**. Dans\n$P_A(B)$, c'est $A$ qui est supposé réalisé."
},
{
"text": "Le produit $P(A) \\times P(B)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit n'a pas de statut général. La\nconditionnelle se lit sur la deuxième branche de l'arbre,\nou se calcule dans un tableau croisé."
}
],
"explanation": "$P_A(B)$ : probabilité de $B$ **conditionnée** par $A$\n(l'indice porte la condition). Sur un arbre, c'est la\npondération de la branche $A \\to B$ ; dans un tableau\nd'effectifs : $\\dfrac{\\text{Card}(A \\cap B)}\n{\\text{Card}(A)}$."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"conditionnelle",
"tableau"
],
"title": "Conditionnelle dans un tableau d'effectifs",
"statement": "Dans un lycée de $100$ élèves, il y a $60$ filles, dont $24$\ndemi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard et on\napprend que c'est une fille. Quelle est la probabilité\nqu'elle soit demi-pensionnaire ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{24}{60} = 0{,}4$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sachant « fille », l'univers se réduit\naux $60$ filles : $P_F(D) = \\dfrac{\\text{Card}(F \\cap D)}\n{\\text{Card}(F)} = \\dfrac{24}{60}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{24}{100} = 0{,}24$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}24 = P(F \\cap D)$ garde l'univers entier.\nL'information « c'est une fille » **réduit** l'univers\naux $60$ filles."
},
{
"text": "$\\dfrac{60}{100} = 0{,}6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}6 = P(F)$ est la probabilité de la\ncondition elle-même, pas celle de la demi-pension sachant\nla condition."
},
{
"text": "$\\dfrac{24}{44}$",
"correct": false,
"feedback": "Conditionnement inversé : $\\dfrac{24}{44} = P_D(F)$,\nprobabilité d'être une fille **sachant** demi-pensionnaire."
}
],
"explanation": "Pont entre statistiques et probabilités (au programme) : le\ntirage au sort d'un individu fait des fréquences\nconditionnelles des probabilités conditionnelles :\n$P_F(D) = \\dfrac{24}{60} = 0{,}4$."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 3,
"skills": [
"conditionnelle",
"inversion"
],
"title": "$P_A(B)$ et $P_B(A)$",
"statement": "En général, les probabilités conditionnelles $P_A(B)$ et\n$P_B(A)$ sont-elles égales ?",
"options": [
{
"text": "Non : elles ont des conditions différentes et diffèrent\nen général",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans le lycée précédent, $P_F(D) =\n\\dfrac{24}{60} = 0{,}4$ alors que $P_D(F) =\n\\dfrac{24}{44} \\approx 0{,}545$. Confondre les deux est\nl'erreur d'inversion du conditionnement."
},
{
"text": "Oui : c'est la même intersection $A \\cap B$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le numérateur est commun, mais les\n**dénominateurs** diffèrent ($\\text{Card}(A)$ contre\n$\\text{Card}(B)$) : les deux quotients n'ont aucune raison\nde coïncider."
},
{
"text": "Oui, dès que $A$ et $B$ sont compatibles",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la compatibilité (intersection non vide) ne\nrétablit pas l'égalité : l'exemple du lycée le montre\n($0{,}4 \\neq 0{,}545$)."
},
{
"text": "Non, elles sont toujours complémentaires ($P_A(B) +\nP_B(A) = 1$)",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucune relation systématique de ce type :\n$0{,}4 + 0{,}545 \\neq 1$. Elles sont simplement\ndifférentes en général."
}
],
"explanation": "$P_A(B) = \\dfrac{\\text{Card}(A \\cap B)}{\\text{Card}(A)}$ et\n$P_B(A) = \\dfrac{\\text{Card}(A \\cap B)}{\\text{Card}(B)}$ :\nmême numérateur, dénominateurs différents. Leur confusion\n(« inversion du conditionnement ») est au cœur des erreurs de\ntype « faux positifs »."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"loi-probabilite"
],
"title": "Compléter une loi de probabilité",
"statement": "Une expérience a trois issues $a$, $b$, $c$ avec\n$P(a) = 0{,}2$ et $P(b) = 0{,}5$. Que vaut $P(c)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la somme des probabilités des issues vaut\n$1$ : $P(c) = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}7 = 1 - 0{,}3$ ? Le calcul correct\nretranche les **deux** probabilités connues :\n$1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la **somme totale** qui vaut $1$, pas la\ndernière probabilité."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
}
],
"explanation": "Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre\npositif, la somme faisant $1$. Issue manquante :\n$1 - (0{,}2 + 0{,}5) = 0{,}3$."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"loi-grands-nombres"
],
"title": "Fréquences et loi des grands nombres",
"statement": "On simule $10\\,000$ lancers d'une pièce équilibrée avec un\nprogramme Python. Qu'observe-t-on pour la fréquence de\n« pile », d'après la loi des grands nombres (version\nvulgarisée du programme) ?",
"options": [
{
"text": "Elle est, sauf exception, proche de $0{,}5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : « lorsque $n$ est grand, sauf exception,\nla fréquence observée est proche de la probabilité ».\nC'est ce lien qui permet aussi d'**estimer** une\nprobabilité inconnue par simulation."
},
{
"text": "Elle vaut exactement $0{,}5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le hasard laisse toujours fluctuer la fréquence\nautour de $0{,}5$ ($0{,}4987$, $0{,}5031$…). La loi parle\nde **proximité**, pas d'égalité."
},
{
"text": "Après une série de piles, la pièce compense avec plus de\nfaces",
"correct": false,
"feedback": "Illusion du joueur : la pièce n'a pas de mémoire, chaque\nlancer reste à $0{,}5$. L'équilibre vient de la\n**dilution** des écarts dans le grand nombre, pas d'une\ncompensation."
},
{
"text": "Rien de prévisible : la fréquence peut être n'importe où\nentre $0$ et $1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur $10\\,000$ lancers, une fréquence de\n$0{,}3$ serait extraordinairement improbable. La\nstabilisation des fréquences est précisément le contenu\nde la loi des grands nombres."
}
],
"explanation": "Version vulgarisée au programme : « lorsque $n$ est grand,\nsauf exception, la fréquence observée est proche de la\nprobabilité ». Elle justifie l'estimation de probabilités par\nsimulation, et interdit l'idée de « compensation » du hasard."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"arbre",
"interpretation"
],
"title": "Interpréter une pondération de l'arbre",
"statement": "Dans l'arbre ci-dessous, que représente le nombre $0{,}2$\nporté par la branche allant de $\\overline{A}$ vers $B$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\\small]\n \\coordinate (R) at (0,0);\n \\node (A) at (2.2,1.4) {$A$};\n \\node (nA) at (2.2,-1.4) {$\\overline{A}$};\n \\node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};\n \\node (nB1) at (4.4,0.7) {$\\overline{B}$};\n \\node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};\n \\node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\\overline{B}$};\n \\draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};\n \\draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};\n \\draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};\n \\draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};\n \\draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};\n \\draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : A\navec 0,3 et A-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et\nB-barre avec 0,4. Depuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre\navec 0,8.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "La probabilité conditionnelle\n$P_{\\overline{A}}(B)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : toute branche de deuxième niveau porte une\nprobabilité **conditionnée par son point de départ** :\nici, $B$ sachant $\\overline{A}$."
},
{
"text": "La probabilité $P(B)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(B)$ n'apparaît sur aucune branche unique :\n$B$ peut arriver par deux chemins ($A$ puis $B$, ou\n$\\overline{A}$ puis $B$)."
},
{
"text": "La probabilité $P(\\overline{A} \\cap B)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'intersection est la probabilité du **chemin\ncomplet** : $0{,}7 \\times 0{,}2 = 0{,}14$, pas la\npondération d'une seule branche."
},
{
"text": "La probabilité $P(\\overline{A})$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $P(\\overline{A}) = 0{,}7$ est portée par la\nbranche du **premier** niveau. Le $0{,}2$ vit au second\nniveau, donc conditionné."
}
],
"explanation": "Grammaire de l'arbre (au programme) : premier niveau =\nprobabilités simples ; branches suivantes = probabilités\n**conditionnelles** au nœud de départ ; produit le long d'un\nchemin = probabilité de l'intersection."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"evenements-extremes"
],
"title": "Événement certain, événement impossible",
"statement": "On lance un dé à six faces. Que vaut la probabilité de\nl'événement « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » ?",
"options": [
{
"text": "$1$ : l'événement est certain",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : toutes les issues conviennent :\nprobabilité $\\frac{6}{6} = 1$, le maximum possible."
},
{
"text": "$0$",
"correct": false,
"feedback": "Inverse : $0$ est la probabilité d'un événement\n**impossible** (« obtenir $7$ ») : ici tout tirage\nconvient."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{1}{6}$ vaut pour UNE face précise :\nl'événement proposé les accepte toutes les six."
},
{
"text": "$6$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse jamais $1$ :\n$6$ est le **nombre d'issues**, pas une probabilité."
}
],
"explanation": "Échelle des probabilités : de $0$ (impossible) à $1$\n(certain), jamais au-delà. Tout résultat hors de\n$[0\\ ;\\ 1]$ signale une erreur de calcul."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"incompatibles"
],
"title": "Événements incompatibles",
"statement": "$A$ et $B$ sont incompatibles (ils ne peuvent pas se\nproduire en même temps), avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) =\n0{,}4$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : incompatibles = aucun recouvrement : les\nprobabilités s'additionnent simplement : $0{,}3 +\n0{,}4$."
},
{
"text": "$0{,}12$",
"correct": false,
"feedback": "Produit : $0{,}3 \\times 0{,}4$ concernerait des\névénements **indépendants** ET simultanés ($A \\cap B$) :\nla réunion d'incompatibles s'additionne."
},
{
"text": "$0{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction : rien à retrancher ici : l'intersection\nest vide ($P(A \\cap B) = 0$)."
},
{
"text": "Impossible à savoir",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'incompatibilité est exactement l'information\nqui permet de conclure : addition directe."
}
],
"explanation": "Incompatibles ($A \\cap B = \\varnothing$) : $P(A \\cup B) =\nP(A) + P(B)$ : le cas particulier confortable. Avec\nrecouvrement, la formule générale retranche l'intersection."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 1,
"skills": [
"deux-pieces"
],
"title": "Deux pièces équilibrées",
"statement": "On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité\nd'obtenir deux « pile » ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{1}{4}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quatre issues équiprobables (PP, PF, FP,\nFF), une seule favorable : $\\frac{1}{4}$ (ou $\\frac{1}{2}\n\\times \\frac{1}{2}$ le long de l'arbre)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{2}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{1}{2}$ vaut pour UNE pièce : la deuxième\ndoit aussi tomber sur pile : on multiplie les deux\n$\\frac{1}{2}$."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{3}$",
"correct": false,
"feedback": "Univers mal compté : « deux piles, deux faces, un de\nchaque » ne sont PAS équiprobables : « un de chaque »\nrecouvre deux issues (PF et FP) : l'univers correct a\nquatre issues."
},
{
"text": "$1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : trois autres issues existent (PF, FP, FF) :\nl'événement n'a rien de certain."
}
],
"explanation": "Expérience à deux épreuves : l'univers est le produit\n(ici $2 \\times 2 = 4$ issues équiprobables). Le piège\nhistorique (compter « un de chaque » comme UNE issue) date\nde d'Alembert : l'arbre le dissout."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"reunion-generale"
],
"title": "La formule de la réunion",
"statement": "On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}2$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $P(A) + P(B) - P(A \\cap B) = 0{,}5 +\n0{,}4 - 0{,}2$ : l'intersection, comptée deux fois dans\nla somme, se retranche une fois."
},
{
"text": "$0{,}9$",
"correct": false,
"feedback": "Double comptage : $0{,}5 + 0{,}4$ compte deux fois la\nzone commune : la formule la retire : $-0{,}2$."
},
{
"text": "$0{,}2$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $0{,}2$ est l'**intersection** ($A$ et $B$\nensemble) : la réunion ($A$ ou $B$) est bien plus\nlarge."
},
{
"text": "$1{,}1$",
"correct": false,
"feedback": "Alerte : une probabilité au-dessus de $1$ est\nimpossible : signe certain qu'une soustraction manque."
}
],
"explanation": "$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ : le diagramme\n« patate » le montre : additionner les deux zones compte\ndeux fois le recouvrement. Garde-fou : le résultat doit\nrester dans $[0\\ ;\\ 1]$."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 2,
"skills": [
"deux-des"
],
"title": "Somme de deux dés",
"statement": "On lance deux dés équilibrés et on additionne. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir une somme égale à $7$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{6}{36} = \\dfrac{1}{6}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $36$ couples équiprobables ; six donnent\n$7$ : $(1\\ ;6), (2\\ ;5), (3\\ ;4), (4\\ ;3), (5\\ ;2),\n(6\\ ;1)$ : la somme la plus probable."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{11}$",
"correct": false,
"feedback": "Sommes équiprobables imaginées : les valeurs $2$ à $12$\nexistent, mais avec des poids différents ($7$ se\nfabrique de six façons, $2$ d'une seule)."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{36}$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre oublié : $(3\\ ;4)$ et $(4\\ ;3)$ sont deux issues\ndistinctes (premier dé, second dé) : six couples, pas\ntrois."
},
{
"text": "$\\dfrac{7}{36}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la valeur $7$ de la somme n'est pas son nombre\nde décompositions : on compte les **couples** ($6$)."
}
],
"explanation": "Deux dés : univers de $36$ couples ordonnés équiprobables :\ncompter les couples favorables. Les sommes, elles, ne sont\nPAS équiprobables : leur histogramme en pyramide culmine à\n$7$."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 2,
"skills": [
"conditionnelle-contraire"
],
"title": "Contraire dans un monde conditionné",
"statement": "On sait que $P_A(B) = 0{,}7$. Que vaut $P_A(\\bar{B})$ ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans le monde restreint à $A$, $B$ et\n$\\bar{B}$ se partagent tout : $P_A(\\bar{B}) = 1 -\nP_A(B)$."
},
{
"text": "$0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $B$ et son contraire ne peuvent pas peser\npareil sauf à $0{,}5$ : ils somment à $1$ : $1 - 0{,}7\n= 0{,}3$."
},
{
"text": "Impossible sans connaître $P(A)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la règle du contraire fonctionne À L'INTÉRIEUR\ndu monde conditionné : $P_A(B) + P_A(\\bar{B}) = 1$,\nquel que soit $P(A)$."
},
{
"text": "$-0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Impossible : une probabilité n'est jamais négative : le\ncontraire se calcule par $1 - 0{,}7$."
}
],
"explanation": "Les probabilités conditionnelles obéissent à toutes les\nrègles des probabilités : $P_A(\\bar{B}) = 1 - P_A(B)$. Sur\nl'arbre : les branches issues d'un même nœud somment à $1$."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-intersection"
],
"title": "Intersection dans un tableau",
"statement": "Sur $200$ élèves, le tableau croisé indique $30$ élèves à la\nfois internes et sportifs. On choisit un élève au hasard.\nQue vaut $P(\\text{interne} \\cap \\text{sportif})$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{30}{200} = 0{,}15$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'intersection se lit dans la case\ncroisée, rapportée à l'effectif **total** : $30$ sur\n$200$."
},
{
"text": "$30$",
"correct": false,
"feedback": "Effectif brut : une probabilité est une **proportion** :\ndiviser par le total $200$."
},
{
"text": "$\\dfrac{30}{100}$",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais total : l'univers compte $200$ élèves : la case\nse divise par $200$ (diviser par un sous-total donnerait\nune **conditionnelle**)."
},
{
"text": "$0{,}85$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $0{,}85 = 1 - 0{,}15$ est la probabilité du\n**contraire** de l'intersection."
}
],
"explanation": "Dans un tableau croisé : case / total = probabilité de\nl'intersection ; case / marge = probabilité conditionnelle.\nLe choix du dénominateur fait toute la différence : total\npour « et », marge pour « sachant »."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 2,
"skills": [
"arbre-branche-manquante"
],
"title": "Branche manquante d'un arbre",
"statement": "Sur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les\nprobabilités $0{,}25$, $0{,}45$ et $p$. Que vaut $p$ ?",
"options": [
{
"text": "$p = 0{,}3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud\nsomment à $1$ : $p = 1 - 0{,}25 - 0{,}45$."
},
{
"text": "$p = 0{,}7$",
"correct": false,
"feedback": "Soustraction incomplète : $1 - 0{,}25 - 0{,}45$ retire\nles DEUX branches connues : $0{,}3$."
},
{
"text": "$p = 0{,}25$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : rien n'impose des branches égales : c'est la\nsomme à $1$ qui contraint : $0{,}3$."
},
{
"text": "Impossible à déterminer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la loi du nœud (somme $= 1$) détermine toujours\nla branche manquante."
}
],
"explanation": "Règle de cohérence d'un arbre pondéré : à chaque nœud, la\nsomme des branches sortantes vaut $1$. C'est le premier\ncontrôle à faire sur tout arbre, donné ou construit."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 3,
"skills": [
"sans-remise"
],
"title": "Deux tirages sans remise",
"statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ bleues. On tire\ndeux boules **sans remise**. Quelle est la probabilité\nd'obtenir deux rouges ?",
"options": [
{
"text": "$\\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{3}{10}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : première rouge : $\\frac{3}{5}$ ; il\nreste alors $2$ rouges sur $4$ boules : $\\frac{2}{4}$ :\nl'arbre multiplie le long du chemin, avec des\nprobabilités **mises à jour**."
},
{
"text": "$\\dfrac{3}{5} \\times \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{9}{25}$",
"correct": false,
"feedback": "Remise fantôme : après un premier tirage rouge, l'urne a\nchangé ($2$ rouges sur $4$) : sans remise, la deuxième\nbranche s'actualise."
},
{
"text": "$\\dfrac{2}{5}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{2}{5}$ est la proportion de bleues :\nl'événement demande DEUX tirages : produit de deux\nfractions."
},
{
"text": "$\\dfrac{6}{10}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\frac{3}{5} + \\frac{2}{4} - \\dots$ : aucune\naddition ici : le chemin « rouge puis rouge » se calcule\nen **produit** : $\\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}$."
}
],
"explanation": "Sans remise : chaque tirage modifie l'urne : les\nprobabilités de la deuxième branche se recalculent avec une\nboule de moins. C'est la différence structurelle avec le\ntirage avec remise (branches identiques)."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 3,
"skills": [
"au-moins-un"
],
"title": "« Au moins un » par le contraire",
"statement": "On lance deux fois un dé équilibré. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir **au moins un** six ?",
"options": [
{
"text": "$1 - \\dfrac{25}{36} = \\dfrac{11}{36}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le contraire de « au moins un six » est\n« aucun six » : $\\frac{5}{6} \\times \\frac{5}{6} =\n\\frac{25}{36}$ : le complément fait le reste."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6} + \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{2}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Addition abusive : elle compte deux fois le double six\n($\\frac{1}{36}$) : le calcul exact passe par le\ncontraire (ou retranche l'intersection :\n$\\frac{12 - 1}{36}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{36}$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $\\frac{1}{36}$ est la probabilité de DEUX\nsix : « au moins un » est beaucoup plus fréquent\n($\\frac{11}{36}$)."
},
{
"text": "$\\dfrac{1}{6} \\times \\dfrac{1}{6}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit calcule « six au premier ET au\nsecond » : « au moins un » englobe trois scénarios : le\ncontraire est plus rapide."
}
],
"explanation": "« Au moins un » : passer systématiquement par le\ncontraire « aucun » : $P = 1 - P(\\text{aucun})$. Un seul\nproduit au lieu d'un inventaire de cas : le réflexe le plus\nrentable du chapitre."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 3,
"skills": [
"intersection-vs-conditionnelle"
],
"title": "« Et » ou « sachant » ?",
"statement": "Dans un lycée, $P(\\text{interne} \\cap \\text{sportif}) =\n0{,}15$ et $P_{\\text{interne}}(\\text{sportif}) = 0{,}6$.\nQue signifie la différence entre ces deux nombres ?",
"options": [
{
"text": "$0{,}15$ : proportion des élèves à la fois internes et\nsportifs dans TOUT le lycée ; $0{,}6$ : proportion de\nsportifs PARMI les internes",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : même case du tableau, deux dénominateurs :\nle total pour l'intersection, l'effectif des internes\npour la conditionnelle : d'où des valeurs très\ndifférentes."
},
{
"text": "Les deux nombres devraient être égaux : il y a une\nerreur d'énoncé",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ils coïncideraient seulement si tous les élèves\nétaient internes : en général, conditionner change le\ndénominateur, donc la valeur."
},
{
"text": "$0{,}6$ est faux : une conditionnelle est toujours plus\npetite que l'intersection",
"correct": false,
"feedback": "Inverse : la conditionnelle divise l'intersection par un\nnombre $\\leq 1$ : elle est toujours plus **grande** (ou\négale)."
},
{
"text": "$0{,}15$ concerne les internes, $0{,}6$ les sportifs",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les deux concernent les élèves internes ET\nsportifs : c'est l'univers de référence (total ou\ninternes) qui distingue les deux mesures."
}
],
"explanation": "« Et » = intersection (dénominateur : tout l'univers) ;\n« sachant » ou « parmi » = conditionnelle (dénominateur : la\ncondition). Lien : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ (ici\n$0{,}15 = 0{,}25 \\times 0{,}6$ : un quart d'internes)."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 3,
"skills": [
"equiprobabilite-piege"
],
"title": "Le faux « une chance sur deux »",
"statement": "« Au loto, soit je gagne, soit je perds : donc j'ai une\nchance sur deux. » Que penser de ce raisonnement ?",
"options": [
{
"text": "Il est faux : deux issues n'ont aucune raison d'être\néquiprobables",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'équiprobabilité est une HYPOTHÈSE à\njustifier (symétrie du dé, tirage au hasard…), pas une\nconséquence du nombre d'issues : ici gagner est\ninfiniment plus rare que perdre."
},
{
"text": "Il est correct : deux issues, donc $\\dfrac{1}{2}$\nchacune",
"correct": false,
"feedback": "Le sophisme visé : compter les issues ne suffit jamais :\nil faut leur POIDS : au loto, les combinaisons perdantes\nécrasent l'unique gagnante."
},
{
"text": "Il est correct si on joue une seule fois",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le nombre de tentatives ne change pas la\nprobabilité d'un tirage : elle reste minuscule à chaque\ngrille."
},
{
"text": "Il est faux car il y a trois issues : gagner, perdre,\nmatch nul",
"correct": false,
"feedback": "Hors sujet : ajouter des issues ne répare rien :\nl'erreur est de postuler l'équiprobabilité sans\njustification."
}
],
"explanation": "L'équiprobabilité se **justifie** (symétrie, « au hasard »),\nelle ne se décrète pas en comptant les issues. Le\nraisonnement « soit ça marche, soit ça rate : 50/50 » est le\nsophisme probabiliste le plus répandu : savoir le démonter."
}
]
}