{
"chapter": {
"id": "variations-extremums",
"level": "seconde",
"theme": "Fonctions",
"title": "Variations et extremums",
"description": "Croissance et décroissance sur un intervalle, tableaux de\nvariations, maximum et minimum, variations des fonctions affines\n(signe du coefficient directeur), des fonctions carré et inverse,\nlectures graphiques et problèmes d'optimisation.",
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"definition",
"croissance"
],
"title": "Définition d'une fonction croissante",
"statement": "Que signifie « $f$ est croissante sur l'intervalle $I$ » ?",
"options": [
{
"text": "Pour tous $a$ et $b$ de $I$, si $a < b$ alors\n$f(a) \\leq f(b)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction croissante **conserve\nl'ordre** : des antécédents rangés donnent des images\nrangées dans le même sens."
},
{
"text": "$f(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion signe/variations : une fonction peut être\nnégative et croissante (elle monte en restant sous\nl'axe). Le signe dit où est la courbe, pas où elle va."
},
{
"text": "La courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses",
"correct": false,
"feedback": "Même confusion : être au-dessus de l'axe signifie\n$f > 0$. La croissance parle du sens de parcours de la\ncourbe (elle monte)."
},
{
"text": "$f(a) < f(b)$ pour certains $a < b$ de $I$",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : « pour certains » ne suffit pas ; la\ndéfinition exige la conservation de l'ordre pour **tous**\nles couples de $I$."
}
],
"explanation": "$f$ croissante sur $I$ : pour tous $a, b \\in I$, $a < b\n\\Rightarrow f(a) \\leq f(b)$ (ordre conservé) ; décroissante :\nordre renversé. À bien distinguer du **signe** de $f$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"extremum"
],
"title": "Lire un maximum sur la courbe",
"statement": "La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur\n$[-4\\,;\\,4]$. Quel est le maximum de $f$, et en quelle valeur\nest-il atteint ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-4.7,-2.7) grid (4.7,2.7);\n \\draw[->] (-4.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,2.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-4:4,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\\x,{4*\\x/(\\x*\\x+1)});\n \\draw[dashed] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);\n \\draw[dashed] (-1,0) -- (-1,-2) -- (0,-2);\n \\node[blue,font=\\small] at (3.4,1.35) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une courbe qui monte depuis (-4 ; -0,9)\nenviron, passe par l'origine, culmine au point (1 ; 2) marqué\nen pointillés, puis redescend vers (4 ; 0,9). Elle possède\naussi un minimum en (-1 ; -2), marqué en pointillés.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Le maximum vaut $2$, atteint en $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le point le plus haut de la courbe est\n$(1\\,;\\,2)$ : la plus grande **image** est $2$, prise en\nl'antécédent $1$."
},
{
"text": "Le maximum vaut $1$, atteint en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Inversion classique : le maximum est l'**ordonnée** du\nsommet ($2$), et il est atteint **en** l'abscisse $1$.\nNe pas échanger les deux nombres."
},
{
"text": "Le maximum vaut $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4$ est la borne de l'intervalle de définition\n(un antécédent extrême), pas la plus grande image. La\ncourbe ne monte jamais au-dessus de $2$."
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum, car la courbe redescend",
"correct": false,
"feedback": "Contresens : c'est justement parce qu'elle monte puis\nredescend que le sommet $(1\\,;\\,2)$ est un maximum,\natteint par la fonction."
}
],
"explanation": "Le maximum de $f$ est la plus grande **valeur** prise\n(ordonnée du point le plus haut), « atteint en » son\nantécédent : ici $f(1) = 2$. Formulation complète : « le\nmaximum de $f$ vaut $2$, atteint en $x = 1$ »."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"variations"
],
"title": "Lire les variations sur la courbe",
"statement": "D'après la courbe ci-dessous, sur quel intervalle la fonction\n$f$ est-elle croissante ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-4.7,-2.7) grid (4.7,2.7);\n \\draw[->] (-4.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,2.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-4:4,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\\x,{4*\\x/(\\x*\\x+1)});\n \\draw[dashed] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);\n \\draw[dashed] (-1,0) -- (-1,-2) -- (0,-2);\n \\node[blue,font=\\small] at (3.4,1.35) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une courbe qui descend de (-4 ; -0,9)\nenviron jusqu'au minimum (-1 ; -2), monte ensuite jusqu'au\nmaximum (1 ; 2) en traversant l'origine, puis redescend vers\n(4 ; 0,9). Les points extrêmes sont marqués en pointillés.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "Sur $[-1\\,;\\,1]$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la courbe monte du creux $(-1\\,;\\,-2)$\njusqu'au sommet $(1\\,;\\,2)$ : c'est l'intervalle de\ncroissance."
},
{
"text": "Sur $[0\\,;\\,2]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de bornes : la montée commence dès le minimum en\n$x = -1$ et s'arrête au maximum en $x = 1$ (après quoi la\ncourbe redescend)."
},
{
"text": "Sur $[-2\\,;\\,2]$",
"correct": false,
"feedback": "Trop large : en $x = -1{,}5$ la courbe descend encore, et\nen $x = 1{,}5$ elle redescend déjà. Les variations changent\nexactement aux extremums."
},
{
"text": "Sur $[-4\\,;\\,-1]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur cet intervalle la courbe **descend** (elle\nplonge vers le minimum). C'est un intervalle de\ndécroissance."
}
],
"explanation": "Les intervalles de variations se délimitent aux **abscisses\ndes extremums** : décroissante sur $[-4\\,;\\,-1]$, croissante\nsur $[-1\\,;\\,1]$, décroissante sur $[1\\,;\\,4]$. On les\nconsigne dans un tableau de variations."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-variations",
"comparaison"
],
"title": "Comparer des images sans calcul",
"statement": "Soit $f$ une fonction croissante sur $[0\\,;\\,10]$. Comment se\ncomparent $f(3)$ et $f(7)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(3) \\leq f(7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $3 < 7$ et $f$ croissante : l'ordre des\nantécédents se transmet aux images."
},
{
"text": "$f(3) \\geq f(7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est le comportement d'une fonction\n**décroissante** (qui renverse l'ordre)."
},
{
"text": "$f(3) = f(7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'égalité systématique caractérise une fonction\n**constante**. La croissance ne l'impose pas."
},
{
"text": "On ne peut pas comparer sans connaître la formule de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est toute la puissance de l'information\n« croissante » : elle permet de comparer les images\n**sans aucun calcul**."
}
],
"explanation": "Utilisation type des variations : $f$ croissante sur $I$ et\n$a < b$ dans $I$ $\\Rightarrow$ $f(a) \\leq f(b)$. Comparer des\nimages sans formule, juste avec le tableau de variations."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 1,
"skills": [
"affine",
"variations"
],
"title": "Variations d'une fonction affine",
"statement": "Quel est le sens de variation de la fonction affine\n$f(x) = -2x + 7$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Décroissante, car son coefficient directeur $-2$ est\nnégatif",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour une affine $f(x) = mx + p$, tout se\nlit sur le signe de $m$ : ici $m = -2 < 0$, la fonction\ndescend."
},
{
"text": "Croissante, car $7$ est positif",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $7$ est l'ordonnée à l'origine, elle place la\ndroite mais ne donne pas son inclinaison. Le sens de\nvariation dépend de $m = -2$."
},
{
"text": "Croissante puis décroissante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une fonction affine est représentée par une\n**droite** : elle garde le même sens de variation sur tout\n$\\mathbb{R}$. Les changements de sens appartiennent aux\ncourbes."
},
{
"text": "Constante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : constante correspond à $m = 0$ (droite\nhorizontale). Ici $m = -2 \\neq 0$."
}
],
"explanation": "Variations d'une affine $f(x) = mx + p$ (démonstration au\nprogramme) : croissante si $m > 0$, décroissante si $m < 0$,\nconstante si $m = 0$. L'ordonnée à l'origine $p$ n'y joue\naucun rôle."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"affine",
"calcul"
],
"title": "Retrouver une fonction affine",
"statement": "Soit $f$ une fonction affine telle que $f(0) = 2$ et\n$f(4) = 10$. Quelle est son expression ?",
"options": [
{
"text": "$f(x) = 2x + 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $p = f(0) = 2$, et le taux\nd'accroissement $m = \\dfrac{f(4) - f(0)}{4 - 0} =\n\\dfrac{8}{4} = 2$."
},
{
"text": "$f(x) = 2x + 10$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'ordonnée à l'origine est $f(0) = 2$, pas\n$10$. Contrôle : ta formule donnerait $f(0) = 10$."
},
{
"text": "$f(x) = 4x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de taux : $m = \\dfrac{10 - 2}{4 - 0} = 2$, pas\n$4$. Contrôle : $4 \\times 4 + 2 = 18 \\neq 10$."
},
{
"text": "$f(x) = 8x + 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $8$ est la **variation totale** $f(4) - f(0)$ ;\nle coefficient directeur la rapporte à l'écart des\nantécédents : $8 \\div 4 = 2$."
}
],
"explanation": "Déterminer une affine : $p = f(0)$ (ordonnée à l'origine) et\n$m = \\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ (taux d'accroissement). Ici\n$f(x) = 2x + 2$, à vérifier sur les deux valeurs données."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"carre",
"variations"
],
"title": "Variations de la fonction carré",
"statement": "Quel est le tableau de variations de la fonction carré sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Décroissante sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, croissante sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la parabole descend jusqu'à son sommet\n$(0\\,;\\,0)$ puis remonte : minimum $0$ atteint en $0$."
},
{
"text": "Croissante sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(-3)^2 = 9 > (-2)^2 = 4$ alors que $-3 < -2$ :\nsur les négatifs, le carré **décroît**."
},
{
"text": "Croissante sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, décroissante sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversés : ce tableau décrirait une parabole tournée\nvers le **bas** (comme $x \\mapsto -x^2$)."
},
{
"text": "Décroissante sur $\\mathbb{R}$ tout entier",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur les positifs, le carré croît sans conteste\n($2^2 < 3^2$). Le sens change en $0$."
}
],
"explanation": "La fonction carré décroît sur $]-\\infty\\,;\\,0]$ et croît sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$ (démonstration au programme) ; son minimum\nest $0$, atteint en $0$. Image mentale : la parabole."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 3,
"skills": [
"inverse",
"variations",
"piege"
],
"title": "L'inverse est-elle décroissante partout ?",
"statement": "La fonction inverse est décroissante sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ et\nsur $]-\\infty\\,;\\,0[$. Peut-on dire qu'elle est décroissante\nsur l'ensemble $]-\\infty\\,;\\,0[ \\,\\cup\\, ]0\\,;\\,+\\infty[$ tout\nentier ?",
"options": [
{
"text": "Non : par exemple $-1 < 1$ alors que $f(-1) = -1 <\nf(1) = 1$, l'ordre n'est pas renversé",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : entre les deux branches, l'ordre est\n**conservé** et non renversé : la décroissance ne vaut que\nsur chaque intervalle séparément. La monotonie se déclare\ntoujours **sur un intervalle**."
},
{
"text": "Oui : elle est décroissante des deux côtés, donc partout",
"correct": false,
"feedback": "Piège : le recollement échoue en traversant $0$ :\n$-1 < 1$ mais $\\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \\frac{1}{1}$.\nOrdre conservé, pas renversé."
},
{
"text": "Oui, car sa courbe descend toujours",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : chaque **branche** descend, mais la\nbranche de droite est entièrement **au-dessus** de celle\nde gauche : globalement, l'ordre n'est pas renversé."
},
{
"text": "Non, car la fonction inverse est croissante sur les\nnégatifs",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur $]-\\infty\\,;\\,0[$, l'inverse est bien\ndécroissante ($-2 < -1$ et $-\\frac{1}{2} > -1$). Le\nproblème est le **passage** d'une branche à l'autre."
}
],
"explanation": "Subtilité au programme : la fonction inverse est décroissante\nsur **chacun** des intervalles $]-\\infty\\,;\\,0[$ et\n$]0\\,;\\,+\\infty[$, mais pas sur leur réunion (contre-exemple :\n$f(-1) < f(1)$). La monotonie est une notion d'intervalle."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"extremum",
"forme-canonique"
],
"title": "Extremum d'une expression $(x - 2)^2 + 1$",
"statement": "Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 1$. Que peut-on dire de l'extremum de\n$f$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $1$, atteint en $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x-2)^2 \\geq 0$ avec égalité seulement en\n$x = 2$ : donc $f(x) \\geq 1$ et $f(2) = 1$."
},
{
"text": "$f$ admet un maximum égal à $1$, atteint en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de sens : le carré, positif, **s'ajoute** à $1$ :\nles valeurs partent de $1$ vers le haut. $1$ est un\nplancher, pas un plafond."
},
{
"text": "$f$ admet un minimum égal à $2$, atteint en $x = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Nombres échangés : le carré s'annule quand $x - 2 = 0$,\nc'est-à-dire **en** $x = 2$, et la valeur minimale est\nalors $0 + 1 = 1$."
},
{
"text": "$f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur\n$\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un domaine infini n'empêche pas un extremum : la\nparabole a bien un point le plus bas, $(2\\,;\\,1)$."
}
],
"explanation": "Lecture d'une forme $a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ avec $a > 0$ :\nminimum $\\beta$ atteint en $x = \\alpha$, car le carré est\npositif et s'annule en $\\alpha$. Ici : minimum $1$ en $2$."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-variations",
"extremum"
],
"title": "Maximum sur un intervalle",
"statement": "Soit $f$ une fonction **croissante** sur $[1\\,;\\,5]$. Où $f$\natteint-elle son maximum sur cet intervalle ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 5$, et ce maximum vaut $f(5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : une fonction croissante culmine à la borne\n**droite** de l'intervalle : les images grandissent avec\nles antécédents."
},
{
"text": "En $x = 1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la borne gauche porte le **minimum** d'une\nfonction croissante (elle part d'en bas)."
},
{
"text": "Le maximum vaut $5$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion antécédent/image : $5$ est l'abscisse où le\nmaximum est atteint ; le maximum lui-même est la valeur\n$f(5)$, inconnue sans plus d'information."
},
{
"text": "Elle n'a pas de maximum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : sur un intervalle **fermé** $[1\\,;\\,5]$, une\nfonction croissante atteint ses deux extrêmes aux bornes."
}
],
"explanation": "Fonction croissante sur $[a\\,;\\,b]$ : minimum $f(a)$ à\ngauche, maximum $f(b)$ à droite. (L'inverse pour une\ndécroissante.) Distinguer toujours l'extremum (une image) de\nl'endroit où il est atteint (un antécédent)."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"optimisation",
"modelisation"
],
"title": "Un problème d'optimisation",
"statement": "Avec $20$ mètres de grillage, on veut délimiter un enclos\nrectangulaire (les quatre côtés grillagés). Quelle est l'aire\nmaximale possible ?",
"options": [
{
"text": "$25$ m$^2$, avec un carré de côté $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : périmètre $20$ donne largeur $x$ et\nlongueur $10 - x$ ; l'aire $x(10 - x)$ culmine en $x = 5$\n(sommet de la parabole) : un carré $5 \\times 5$."
},
{
"text": "$24$ m$^2$, avec un rectangle $6 \\times 4$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : $6 \\times 4 = 24$ respecte bien le périmètre,\nmais le carré $5 \\times 5 = 25$ fait mieux. Le sommet de\nla parabole $x(10-x)$ est en $x = 5$."
},
{
"text": "$100$ m$^2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $100 = 10 \\times 10$ exigerait $40$ m de\ngrillage. Avec un périmètre de $20$, largeur $+$ longueur\n$= 10$."
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum : plus l'enclos est long, plus il\nest grand",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : allonger oblige à **amincir** (le périmètre est\nfixe) : un enclos $9 \\times 1$ ne fait que $9$ m$^2$.\nL'aire monte puis redescend : maximum au carré."
}
],
"explanation": "Modélisation : $x + \\ell = 10$, aire $A(x) = x(10 - x)$,\nparabole tournée vers le bas de sommet $x = 5$ : maximum\n$A(5) = 25$ m$^2$. À périmètre fixé, le carré maximise l'aire."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"tableau-variations",
"lecture"
],
"title": "Exploiter un tableau de variations",
"statement": "Une fonction $f$ définie sur $[0\\,;\\,7]$ décroît de $f(0) = 5$\nà $f(3) = -2$, puis croît de $f(3) = -2$ à $f(7) = 4$. Quel\nest le minimum de $f$ sur $[0\\,;\\,7]$ ?",
"options": [
{
"text": "$-2$, atteint en $x = 3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le creux du tableau de variations est la\nplus petite valeur : $-2$, prise en $x = 3$."
},
{
"text": "$3$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion : $3$ est l'**abscisse** où le minimum est\natteint. Le minimum lui-même est l'image $-2$."
},
{
"text": "$0$, car c'est le début de l'intervalle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ni la borne $0$ ni son image $f(0) = 5$ ne sont\nminimales : la fonction descend en dessous, jusqu'à $-2$."
},
{
"text": "$4$, la dernière valeur du tableau",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4 = f(7)$ n'est même pas la plus grande valeur\n(c'est $5 = f(0)$). Le minimum se lit au **creux** du\ntableau : $-2$."
}
],
"explanation": "Dans un tableau de variations, le minimum global se lit au\npoint le plus bas des flèches (ici $-2$ en $x = 3$) et le\nmaximum au point le plus haut (ici $5$ en $x = 0$) : penser à\ncomparer **toutes** les valeurs charnières."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"minimum-carre-plus-constante"
],
"title": "Minimum de $x^2 + 3$",
"statement": "Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 3$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$3$, atteint en $x = 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x^2 \\geq 0$ avec égalité en $0$ : donc\n$f(x) \\geq 3$, et la valeur $3$ est atteinte : minimum\n$3$ en $x = 0$."
},
{
"text": "$0$, atteint en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Constante oubliée : $f(0) = 0 + 3 = 3$ : le $+3$\nsoulève toute la parabole."
},
{
"text": "$3$, atteint en $x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Position fausse : $f(3) = 12$ : le creux de la parabole\nreste en $x = 0$ (le $+3$ soulève sans décaler)."
},
{
"text": "Il n'y a pas de minimum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la parabole tournée vers le haut a un point le\nplus bas : son sommet $(0\\ ;\\ 3)$."
}
],
"explanation": "$x^2 + k$ : la parabole de référence décalée verticalement :\nminimum $k$ en $x = 0$. L'argument complet en deux temps :\nminorer ($f(x) \\geq 3$) ET montrer que la borne est atteinte\n($f(0) = 3$)."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 2,
"skills": [
"definition-decroissante"
],
"title": "Définition d'une fonction décroissante",
"statement": "Que signifie « $f$ est décroissante sur l'intervalle $I$ » ?",
"options": [
{
"text": "Pour tous $a, b$ de $I$ : si $a < b$, alors $f(a) \\geq\nf(b)$ : l'ordre des images est renversé",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quand $x$ avance, $f(x)$ recule : la\ndéfinition compare deux points quelconques, pas un\ndessin."
},
{
"text": "$f(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion variations/signe : décroissante = qui\n**descend**, pas qui est négative : $e^{-x}$ décroît en\nrestant positive."
},
{
"text": "Si $a < b$, alors $f(a) \\leq f(b)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : conserver l'ordre est la définition d'une\nfonction **croissante** : décroître le renverse."
},
{
"text": "La courbe finit plus bas qu'elle ne commence",
"correct": false,
"feedback": "Trop faible : une courbe peut finir plus bas en ayant\nfait des vagues : la définition exige la descente entre\nTOUTE paire de points."
}
],
"explanation": "Croissante : conserve l'ordre ($a < b \\Rightarrow f(a) \\leq\nf(b)$) ; décroissante : le renverse. Retenir le duo\n« conserve/renverse » : il pilote toutes les comparaisons\nd'images."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-comparaison"
],
"title": "Comparer via un tableau de variations",
"statement": "Le tableau indique que $f$ est croissante sur $[0\\ ;\\ 5]$.\nComment se comparent $f(1)$ et $f(4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$f(1) \\leq f(4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1 < 4$, tous deux dans l'intervalle de\ncroissance : l'ordre des images suit celui des\nantécédents."
},
{
"text": "$f(1) \\geq f(4)$",
"correct": false,
"feedback": "Renversement injustifié : ce serait la conclusion sur un\nintervalle de **décroissance** : ici la flèche monte."
},
{
"text": "$f(1) = f(4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'égalité systématique caractérise les\nfonctions constantes : une flèche croissante sépare les\nimages."
},
{
"text": "Impossible sans les valeurs de $f$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est exactement le service rendu par le\ntableau : comparer sans calculer, par le seul sens de\nvariation."
}
],
"explanation": "Un tableau de variations est une machine à comparer : deux\nantécédents dans un même intervalle monotone se classent\nimmédiatement. (Deux antécédents à cheval sur un extremum :\nle tableau ne suffit plus.)"
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"variations-affine"
],
"title": "Variations de $f(x) = -2x + 7$",
"statement": "Quel est le sens de variation de la fonction $f(x) = -2x +\n7$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "Strictement décroissante, car son coefficient directeur\n$-2$ est négatif",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour une affine, tout est dans le signe\nde $m$ : $m = -2 < 0$ : la droite descend."
},
{
"text": "Croissante, car $7$ est positif",
"correct": false,
"feedback": "Mauvais paramètre : $7$ est l'ordonnée à l'origine : la\nhauteur de départ ne dit rien de la pente : seul $m$\ndécide."
},
{
"text": "Décroissante puis croissante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite ne change jamais de direction : les\nvariations en deux temps appartiennent aux paraboles."
},
{
"text": "Constante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : constante exigerait $m = 0$ : ici $m = -2$ :\nla fonction descend de $2$ par unité."
}
],
"explanation": "Affine $y = mx + p$ : croissante si $m > 0$, décroissante si\n$m < 0$, constante si $m = 0$. Le signe de la pente EST le\nsens de variation : la lecture la plus rapide du chapitre."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"tableau-nombre-solutions"
],
"title": "Nombre de solutions d'après un tableau",
"statement": "$f$ décroît de $8$ à $-2$ sur $[0\\ ;\\ 3]$, puis croît de\n$-2$ à $6$ sur $[3\\ ;\\ 7]$. Combien de solutions a\nl'équation $f(x) = 0$ ?",
"options": [
{
"text": "Deux : une dans chaque phase (descente et remontée)",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : en descendant de $8$ à $-2$, la fonction\ntraverse $0$ une fois ; en remontant de $-2$ à $6$, une\nseconde fois : deux passages par zéro."
},
{
"text": "Une seule",
"correct": false,
"feedback": "Remontée oubliée : après le creux à $-2$, la fonction\nretraverse le niveau $0$ en remontant vers $6$."
},
{
"text": "Aucune : $0$ n'apparaît pas dans le tableau",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : le tableau affiche les valeurs\nextrêmes ; $0$, compris entre $-2$ et $8$, est atteint\nen chemin (les fonctions du tableau sont continues)."
},
{
"text": "Trois",
"correct": false,
"feedback": "Trop : chaque flèche monotone traverse un niveau donné\nau plus une fois : deux flèches encadrant le creux :\ndeux solutions."
}
],
"explanation": "Compter les solutions de $f(x) = k$ sur un tableau : une par\nflèche dont les valeurs encadrent $k$ strictement. Esquisser\nmentalement la courbe (descente, creux, remontée) sécurise\nle décompte."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"forme-canonique-maximum"
],
"title": "Maximum d'une expression $-(x - 1)^2 + 4$",
"statement": "Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$, atteint en $x = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(x - 1)^2 \\geq 0$, donc $-(x-1)^2 \\leq\n0$ et $f(x) \\leq 4$, avec égalité quand le carré\ns'annule : en $x = 1$."
},
{
"text": "$4$, atteint en $x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du sommet : le carré $(x - 1)^2$ s'annule en $x =\n+1$ (la valeur qui annule la parenthèse)."
},
{
"text": "$1$, atteint en $x = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : $1$ est l'abscisse du sommet, $4$ sa\nvaleur : le maximum est la **valeur** $4$."
},
{
"text": "Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le signe moins retourne la parabole : branches\nvers le bas, sommet au plus haut : maximum $4$ (c'est\nvers $-\\infty$ qu'elle n'est pas bornée)."
}
],
"explanation": "Forme $-(x - \\alpha)^2 + \\beta$ : maximum $\\beta$ atteint en\n$x = \\alpha$ (le carré, toujours positif, est retranché : au\nmieux nul). Lire un extremum sans aucun calcul : la\nrécompense de la forme canonique."
}
]
}