{ "chapter": { "id": "vecteurs-du-plan", "level": "seconde", "theme": "Géométrie", "title": "Vecteurs du plan", "description": "Égalité de deux vecteurs, coordonnées d'un vecteur et de\n$\\overrightarrow{AB}$, somme et produit par un réel, relation de\nChasles, colinéarité et déterminant, norme, milieu d'un segment,\nalignement et parallélisme.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "egalite", "parallelogramme" ], "title": "Égalité de vecteurs et parallélogramme", "statement": "Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points du plan (non alignés).\nQue signifie l'égalité $\\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{DC}$ ?", "options": [ { "text": "$ABCD$ est un parallélogramme", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$\nsignifie que $[AB]$ et $[DC]$ ont même direction, même sens\net même longueur : c'est la caractérisation vectorielle du\nparallélogramme $ABCD$." }, { "text": "$ABCD$ est un rectangle", "correct": false, "feedback": "Trop fort : l'égalité vectorielle ne dit rien des angles.\nElle garantit un parallélogramme, rectangle seulement si un\nangle droit s'y ajoute." }, { "text": "Les segments $[AB]$ et $[DC]$ ont la même longueur", "correct": false, "feedback": "Incomplet : l'égalité de vecteurs exige aussi même\n**direction** et même **sens**. Deux segments de même\nlongueur peuvent pointer n'importe où." }, { "text": "$A = D$ et $B = C$", "correct": false, "feedback": "Erreur : deux vecteurs égaux peuvent avoir des\nreprésentants d'origines différentes ; c'est tout l'intérêt\nde la notion." } ], "explanation": "$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$ $\\Leftrightarrow$\n$ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). La\ntranslation qui envoie $A$ sur $B$ envoie alors $D$ sur $C$." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "lecture-graphique", "coordonnees" ], "title": "Lire les coordonnées d'un vecteur", "statement": "Sur la figure ci-dessous, quelles sont les coordonnées du\nvecteur $\\vec{u} = \\overrightarrow{AB}$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-0.7,-0.7) grid (5.7,4.7);\n \\draw[->] (-0.9,0) -- (5.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {1,2,3,4,5} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\fill (1,1) circle (0.07) node[below left,font=\\small] {$A$};\n \\fill (4,3) circle (0.07) node[above right,font=\\small] {$B$};\n \\draw[->,very thick,blue] (1,1) -- (4,3);\n \\node[blue,above left,font=\\small] at (2.7,2) {$\\vec{u}$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec quadrillage. Le point A est en (1 ; 1)\net le point B en (4 ; 3). Le vecteur u, tracé en bleu de A\nvers B, avance de 3 carreaux vers la droite et de 2 carreaux\nvers le haut.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,2)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour aller de $A$ à $B$, on se déplace de\n$3$ carreaux vers la droite et de $2$ vers le haut :\n$\\vec{u}(3\\,;\\,2)$." }, { "text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(4\\,;\\,3)$ sont les coordonnées du **point**\n$B$. Celles du vecteur mesurent le **déplacement** de $A$\nvers $B$." }, { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées inversées : le déplacement horizontal ($3$)\ns'écrit en premier, le vertical ($2$) en second." }, { "text": "$\\vec{u}(5\\,;\\,4)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as **additionné** les coordonnées de $A$ et\n$B$. Un vecteur se lit par différence (arrivée moins\ndépart)." } ], "explanation": "Les coordonnées d'un vecteur se lisent comme un déplacement :\n$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A) =\n(4-1\\,;\\,3-1) = (3\\,;\\,2)$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "coordonnees", "calcul" ], "title": "Coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$", "statement": "Soient $A(2\\,;\\,-1)$ et $B(5\\,;\\,3)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?", "options": [ { "text": "$(3\\,;\\,4)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,\ny_B - y_A) = (5 - 2\\,;\\,3 - (-1)) = (3\\,;\\,4)$." }, { "text": "$(7\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as additionné les coordonnées des points. La\nformule est une **différence** : arrivée moins départ." }, { "text": "$(3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $y_B - y_A = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.\nSoustraire un négatif revient à additionner." }, { "text": "$(-3\\,;\\,-4)$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : $(-3\\,;\\,-4)$ est le vecteur\n$\\overrightarrow{BA}$, du point d'arrivée vers le point de\ndépart." } ], "explanation": "$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A)$ : toujours\n« arrivée moins départ ». Attention aux doubles signes :\n$3 - (-1) = 4$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "somme", "coordonnees" ], "title": "Somme de deux vecteurs", "statement": "Soient $\\vec{u}(2\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(-1\\,;\\,4)$. Quelles sont\nles coordonnées de $\\vec{u} + \\vec{v}$ ?", "options": [ { "text": "$(1\\,;\\,7)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on additionne coordonnée par coordonnée :\n$(2 + (-1)\\,;\\,3 + 4) = (1\\,;\\,7)$." }, { "text": "$(3\\,;\\,7)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $2 + (-1) = 1$, pas $3$ (tu as soustrait\n$-1$ au lieu de l'ajouter)." }, { "text": "$(1\\,;\\,-1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la deuxième coordonnée vaut $3 + 4 = 7$. Chaque\ncoordonnée s'additionne indépendamment." }, { "text": "$(-2\\,;\\,12)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as **multiplié** les coordonnées. La somme de\nvecteurs est une addition coordonnée par coordonnée." } ], "explanation": "$\\vec{u}(x\\,;\\,y) + \\vec{v}(x'\\,;\\,y') =\n(x + x'\\,;\\,y + y')$ : les déplacements s'enchaînent, les\ncoordonnées s'ajoutent." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "produit-reel", "coordonnees" ], "title": "Produit d'un vecteur par un réel", "statement": "Soit $\\vec{u}(2\\,;\\,-1)$. Quelles sont les coordonnées de\n$-3\\vec{u}$ ?", "options": [ { "text": "$(-6\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par\n$-3$ : $(-3 \\times 2\\,;\\,-3 \\times (-1)) = (-6\\,;\\,3)$." }, { "text": "$(-6\\,;\\,-3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $-3 \\times (-1) = +3$. Le produit de\ndeux négatifs est positif." }, { "text": "$(6\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la première coordonnée vaut $-3 \\times 2 = -6$.\nLe facteur $-3$ s'applique avec son signe." }, { "text": "$(-1\\,;\\,-4)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as **soustrait** $3$ aux coordonnées.\nMultiplier un vecteur par un réel multiplie chaque\ncoordonnée." } ], "explanation": "$k\\,\\vec{u}(x\\,;\\,y) = (kx\\,;\\,ky)$. Pour $k = -3$ :\n$(-6\\,;\\,3)$, vecteur de sens opposé et trois fois plus long." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "chasles" ], "title": "Relation de Chasles", "statement": "Pour trois points $A$, $B$, $C$ quelconques, que vaut la somme\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC}$ ?", "options": [ { "text": "$\\overrightarrow{AC}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : aller de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$\nrevient à aller directement de $A$ à $C$ : c'est la\nrelation de Chasles." }, { "text": "$\\overrightarrow{CA}$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : l'enchaînement part de $A$ et aboutit à\n$C$, donc $\\overrightarrow{AC}$ (et non le retour\n$\\overrightarrow{CA}$)." }, { "text": "$\\overrightarrow{BB}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{BB} = \\vec{0}$. La somme ne\ns'annule que pour un aller-retour, comme\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BA}$." }, { "text": "$\\overrightarrow{AB} \\times \\overrightarrow{BC}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de nature : on ne « multiplie » pas deux vecteurs\nen seconde. La relation de Chasles concerne la **somme**." } ], "explanation": "Relation de Chasles : $\\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{BC} = \\overrightarrow{AC}$ : la lettre\nintermédiaire ($B$) s'efface quand elle termine le premier\nvecteur et commence le second." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "colinearite", "determinant" ], "title": "Tester la colinéarité par le déterminant", "statement": "Soient $\\vec{u}(2\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(4\\,;\\,6)$. Ces vecteurs\nsont-ils colinéaires ?", "options": [ { "text": "Oui, car $\\det(\\vec{u}\\,;\\,\\vec{v}) = 2 \\times 6 - 3\n\\times 4 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le déterminant $xy' - yx'$ est nul, c'est\nle critère de colinéarité (on voit d'ailleurs que\n$\\vec{v} = 2\\vec{u}$)." }, { "text": "Non, car leurs coordonnées sont différentes", "correct": false, "feedback": "Erreur : la colinéarité demande la **proportionnalité**,\npas l'égalité. Ici $\\vec{v} = 2\\vec{u}$ : colinéaires." }, { "text": "Non, car $2 \\times 6 + 3 \\times 4 = 24 \\neq 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de formule : le déterminant est une **différence**\nen croix, $xy' - yx'$, pas une somme." }, { "text": "Oui, car toutes leurs coordonnées sont positives", "correct": false, "feedback": "La conclusion est bonne mais l'argument est faux : les\nsignes ne disent rien de la colinéarité. Seul le\ndéterminant nul (ou la proportionnalité) conclut." } ], "explanation": "$\\vec{u}(x\\,;\\,y)$ et $\\vec{v}(x'\\,;\\,y')$ sont colinéaires\n$\\Leftrightarrow$ $\\det(\\vec{u}\\,;\\,\\vec{v}) = xy' - yx' = 0$\n(produit en croix). Ici $12 - 12 = 0$." }, { "id": "q08", "difficulty": 3, "skills": [ "determinant", "calcul" ], "title": "Calculer un déterminant", "statement": "Que vaut le déterminant de $\\vec{u}(2\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{v}(1\\,;\\,5)$, et que peut-on en déduire ?", "options": [ { "text": "$\\det = 7$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 5 - 3 \\times 1 = 10 - 3 = 7 \\neq\n0$ : les directions sont distinctes." }, { "text": "$\\det = 13$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires", "correct": false, "feedback": "Erreur de formule : $13 = 2 \\times 5 + 3 \\times 1$\nadditionne au lieu de soustraire. Le déterminant est\n$xy' - yx' = 7$ (la conclusion reste bonne, pas le\ncalcul)." }, { "text": "$\\det = 0$ : les vecteurs sont colinéaires", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : $2 \\times 5 = 10$ et $3 \\times 1 = 3$\nne se compensent pas : $\\det = 7 \\neq 0$." }, { "text": "$\\det = 7$ : les vecteurs sont colinéaires", "correct": false, "feedback": "Calcul juste, conclusion inversée : la colinéarité\ncorrespond à un déterminant **nul**. Ici $7 \\neq 0$ :\nnon colinéaires." } ], "explanation": "$\\det(\\vec{u}\\,;\\,\\vec{v}) = xy' - yx' = 10 - 3 = 7$.\nDéterminant non nul $\\Leftrightarrow$ vecteurs non\ncolinéaires : ils forment deux directions distinctes du plan." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "milieu", "calcul" ], "title": "Coordonnées du milieu", "statement": "Soient $A(1\\,;\\,2)$ et $B(5\\,;\\,8)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?", "options": [ { "text": "$I(3\\,;\\,5)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le milieu moyenne les coordonnées :\n$I\\!\\left(\\dfrac{1+5}{2}\\,;\\,\\dfrac{2+8}{2}\\right) =\n(3\\,;\\,5)$." }, { "text": "$I(6\\,;\\,10)$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division par $2$ : $(6\\,;\\,10)$ est la\n**somme** des coordonnées. Le milieu en est la moitié." }, { "text": "$I(2\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,3)$ est la **demi-différence**\n(la moitié de $\\overrightarrow{AB}$), pas le milieu. On\nmoyenne : $\\left(\\frac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\n\\frac{y_A + y_B}{2}\\right)$." }, { "text": "$I(4\\,;\\,6)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{1+5}{2} = 3$ et\n$\\dfrac{2+8}{2} = 5$. Vérifie tes moyennes." } ], "explanation": "Milieu de $[AB]$ :\n$I\\!\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2}\\,;\\,\\dfrac{y_A + y_B}{2}\\right)$\n: la moyenne des coordonnées. Ici $(3\\,;\\,5)$." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "norme", "calcul" ], "title": "Norme d'un vecteur", "statement": "Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur\n$\\vec{u}(3\\,;\\,4)$ ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{3^2 + 4^2} =\n\\sqrt{25} = 5$ (le triangle $3$-$4$-$5$ de Pythagore)." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 + 4$ additionne les coordonnées. La norme\npasse par les **carrés** : $\\sqrt{9 + 16}$." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la racine : $25$ est le carré de la norme.\n$\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{25} = 5$." }, { "text": "$\\sqrt{7}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\sqrt{3 + 4}$ oublie d'élever les coordonnées\nau carré : $\\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25}$." } ], "explanation": "En repère orthonormé : $\\|\\vec{u}(x\\,;\\,y)\\| =\n\\sqrt{x^2 + y^2}$ (théorème de Pythagore). Ici\n$\\sqrt{9 + 16} = 5$." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "alignement", "determinant" ], "title": "Alignement de trois points", "statement": "Soient $A(0\\,;\\,1)$, $B(2\\,;\\,4)$ et $C(6\\,;\\,10)$. Ces trois\npoints sont-ils alignés ?", "options": [ { "text": "Oui, car $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,3)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(6\\,;\\,9)$ ont un déterminant nul", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 9 - 3 \\times 6 = 18 - 18 = 0$ :\nles vecteurs sont colinéaires\n($\\overrightarrow{AC} = 3\\overrightarrow{AB}$), donc les\npoints alignés." }, { "text": "Non, car $AB \\neq AC$", "correct": false, "feedback": "Erreur : des points alignés n'ont aucune raison d'être\néquidistants. L'alignement se teste par la\n**colinéarité** des vecteurs, pas par les longueurs." }, { "text": "Non, car les trois points ont des ordonnées différentes", "correct": false, "feedback": "Erreur : seuls les points d'une droite **horizontale**\npartagent la même ordonnée. Une droite oblique traverse\ntoutes les ordonnées." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans tracer la figure", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul du déterminant tranche sans figure :\n$\\det(\\overrightarrow{AB}\\,;\\,\\overrightarrow{AC}) = 0$,\npoints alignés. C'est la force du calcul vectoriel." } ], "explanation": "$A$, $B$, $C$ alignés $\\Leftrightarrow$ $\\overrightarrow{AB}$\net $\\overrightarrow{AC}$ colinéaires $\\Leftrightarrow$\n$\\det = 0$. Ici $\\det = 2 \\times 9 - 3 \\times 6 = 0$ :\nalignés." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "milieu", "caracterisation" ], "title": "Caractérisation vectorielle du milieu", "statement": "Soit $I$ un point du segment... plus précisément : quelle\négalité vectorielle caractérise « $I$ est le milieu de\n$[AB]$ » ?", "options": [ { "text": "$\\overrightarrow{IA} + \\overrightarrow{IB} = \\vec{0}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : depuis le milieu, les vecteurs vers $A$ et\nvers $B$ sont opposés, leur somme est nulle. Formulation\néquivalente : $\\overrightarrow{AI} =\n\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AB}$." }, { "text": "$\\overrightarrow{IA} = \\overrightarrow{IB}$", "correct": false, "feedback": "Piège : deux vecteurs **égaux** ont le même sens ; ici\n$\\overrightarrow{IA}$ et $\\overrightarrow{IB}$ pointent\ndans des sens opposés. L'égalité forcerait $A = B$." }, { "text": "$IA = IB$", "correct": false, "feedback": "Insuffisant : l'égalité des **longueurs** caractérise\ntoute la médiatrice de $[AB]$, pas seulement son milieu.\nIl faut l'information vectorielle (direction comprise)." }, { "text": "$\\overrightarrow{AI} = 2\\,\\overrightarrow{AB}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de coefficient : ce point serait **au-delà** de\n$B$, deux fois trop loin. Le milieu correspond à\n$\\overrightarrow{AI} = \\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AB}$." } ], "explanation": "Caractérisation vectorielle du milieu (au programme) : $I$\nmilieu de $[AB]$ $\\Leftrightarrow$ $\\overrightarrow{IA} +\n\\overrightarrow{IB} = \\vec{0}$ $\\Leftrightarrow$\n$\\overrightarrow{AI} = \\frac{1}{2}\\overrightarrow{AB}$. La\nversion « longueurs » $IA = IB$ décrit la médiatrice entière." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "translation" ], "title": "Image par une translation", "statement": "Quelle est l'image du point $A(2\\ ;\\ 1)$ par la translation\nde vecteur $\\vec{u}(3\\ ;\\ -2)$ ?", "options": [ { "text": "$A'(5\\ ;\\ -1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : translater = ajouter les coordonnées du\nvecteur : $(2 + 3\\ ;\\ 1 - 2)$." }, { "text": "$A'(-1\\ ;\\ 3)$", "correct": false, "feedback": "Soustraction : $(2 - 3\\ ;\\ 1 + 2)$ applique le vecteur\n**opposé** : la translation ajoute $\\vec{u}$, elle ne le\nretire pas." }, { "text": "$A'(6\\ ;\\ -2)$", "correct": false, "feedback": "Multiplication : les coordonnées du vecteur\ns'**ajoutent** à celles du point, elles ne les\nmultiplient pas." }, { "text": "$A'(3\\ ;\\ -2)$", "correct": false, "feedback": "Point de départ oublié : $(3\\ ;\\ -2)$ sont les\ncoordonnées du **vecteur** : l'image part de $A$ et se\ndécale de $\\vec{u}$." } ], "explanation": "Translation de vecteur $\\vec{u}(a\\ ;\\ b)$ : chaque point\nglisse de $a$ horizontalement et $b$ verticalement : $A'(x_A\n+ a\\ ;\\ y_A + b)$. Le vecteur EST le déplacement." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "oppose" ], "title": "Vecteur opposé", "statement": "Quel est l'opposé du vecteur $\\vec{u}(4\\ ;\\ -3)$ ?", "options": [ { "text": "$-\\vec{u}(-4\\ ;\\ 3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'opposé change le signe des **deux**\ncoordonnées : même direction, même longueur, sens\ncontraire." }, { "text": "$(-4\\ ;\\ -3)$", "correct": false, "feedback": "Une seule coordonnée basculée : l'opposé retourne le\nvecteur entier : les deux signes changent." }, { "text": "$(4\\ ;\\ 3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : seul le signe du $-3$ a changé : ce vecteur\nn'est ni $\\vec{u}$ ni son opposé." }, { "text": "$\\left(\\dfrac{1}{4}\\ ;\\ -\\dfrac{1}{3}\\right)$", "correct": false, "feedback": "Confusion : les inverses concernent les nombres ;\nl'**opposé** d'un vecteur change les signes, pas les\nvaleurs." } ], "explanation": "$-\\vec{u}$ : mêmes coordonnées avec signes opposés.\nPropriété clé : $\\vec{u} + (-\\vec{u}) = \\vec{0}$, et\n$\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$." }, { "id": "q15", "difficulty": 1, "skills": [ "produit-reel" ], "title": "Calculer $3\\vec{u}$", "statement": "Soit $\\vec{u}(2\\ ;\\ -1)$. Quelles sont les coordonnées de\n$3\\vec{u}$ ?", "options": [ { "text": "$(6\\ ;\\ -3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par\n$3$ : même direction et même sens, longueur triplée." }, { "text": "$(5\\ ;\\ 2)$", "correct": false, "feedback": "Addition : $(2 + 3\\ ;\\ -1 + 3)$ ajoute $3$ au lieu de\nmultiplier **par** $3$." }, { "text": "$(6\\ ;\\ -1)$", "correct": false, "feedback": "Multiplication partielle : le facteur $3$ s'applique aux\n**deux** coordonnées." }, { "text": "$(6\\ ;\\ 3)$", "correct": false, "feedback": "Signe : $3 \\times (-1) = -3$ : multiplier par un\npositif conserve les signes." } ], "explanation": "$k\\vec{u}$ : les deux coordonnées multipliées par $k$.\nGéométriquement : longueur multipliée par $|k|$, sens\nconservé si $k > 0$, retourné si $k < 0$." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "difference" ], "title": "Coordonnées de $\\vec{u} - \\vec{v}$", "statement": "Soient $\\vec{u}(5\\ ;\\ 2)$ et $\\vec{v}(1\\ ;\\ 4)$. Quelles\nsont les coordonnées de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ?", "options": [ { "text": "$(4\\ ;\\ -2)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : coordonnée par coordonnée : $(5 - 1\\ ;\\\n2 - 4) = (4\\ ;\\ -2)$." }, { "text": "$(6\\ ;\\ 6)$", "correct": false, "feedback": "Addition : $(5 + 1\\ ;\\ 2 + 4)$ calcule $\\vec{u} +\n\\vec{v}$ : la différence soustrait." }, { "text": "$(-4\\ ;\\ 2)$", "correct": false, "feedback": "Ordre inversé : $(1 - 5\\ ;\\ 4 - 2)$ calcule $\\vec{v} -\n\\vec{u}$, l'opposé du résultat cherché." }, { "text": "$(4\\ ;\\ 2)$", "correct": false, "feedback": "Signe : $2 - 4 = -2$ : la deuxième coordonnée est\nnégative." } ], "explanation": "$\\vec{u} - \\vec{v}$ : soustraction coordonnée par\ncoordonnée, dans l'ordre. (C'est aussi $\\vec{u} +\n(-\\vec{v})$ : ajouter l'opposé.)" }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "parallelogramme-construction" ], "title": "Construire le quatrième sommet", "statement": "Soient $A(0\\ ;\\ 0)$, $B(3\\ ;\\ 1)$ et $C(4\\ ;\\ 3)$. Où\nplacer $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme ?", "options": [ { "text": "$D(1\\ ;\\ 2)$, pour que $\\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{DC}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $ABCD$ parallélogramme $\\iff\n\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}$ : avec\n$\\overrightarrow{AB}(3\\ ;\\ 1)$ : $D = C - (3\\ ;\\ 1) =\n(1\\ ;\\ 2)$." }, { "text": "$D(7\\ ;\\ 4)$", "correct": false, "feedback": "Mauvais côté : $(7\\ ;\\ 4) = C + \\overrightarrow{AB}$\nconstruit $ABDC$ (ordre des lettres différent) : pour\n$ABCD$, le côté $[DC]$ est parallèle à $[AB]$ : $D = C -\n\\overrightarrow{AB}$." }, { "text": "$D(4\\ ;\\ 3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le point $C$ : un parallélogramme a\nquatre sommets **distincts**." }, { "text": "$D(-3\\ ;\\ -1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $A - \\overrightarrow{AB}$ prolonge $[BA]$ :\nle quatrième sommet se construit à partir de $C$." } ], "explanation": "$ABCD$ parallélogramme $\\iff \\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{DC}$ (attention à l'**ordre des lettres** :\nles sommets se suivent le long du bord). Le calcul : une\négalité vectorielle et une soustraction de coordonnées." }, { "id": "q18", "difficulty": 2, "skills": [ "chasles-enchainee" ], "title": "Chasles en chaîne", "statement": "Que vaut la somme $\\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{CD}$ ?", "options": [ { "text": "$\\overrightarrow{AD}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les points intermédiaires s'effacent en\ncascade : $A \\to B \\to C \\to D$ revient à $A \\to D$." }, { "text": "$\\vec{0}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la somme ne s'annule que si le chemin\n**revient** à son départ ($+\\overrightarrow{DA}$\nmanquerait pour boucler)." }, { "text": "$\\overrightarrow{DA}$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : le trajet part de $A$ et finit en $D$ :\n$\\overrightarrow{AD}$." }, { "text": "$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{CD}$ : on ne\npeut pas simplifier", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} =\n\\overrightarrow{AC}$ d'abord, puis $\\overrightarrow{AC}\n+ \\overrightarrow{CD} = \\overrightarrow{AD}$ : tout\ns'enchaîne." } ], "explanation": "Chasles se cascade : dans une somme de vecteurs « bout à\nbout », seuls comptent le départ et l'arrivée. Boucle\nfermée ($\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} +\n\\overrightarrow{CA}$) : vecteur nul." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "colinearite-parametre" ], "title": "Paramètre de colinéarité", "statement": "Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\\vec{u}(3\\ ;\\ m)$\net $\\vec{v}(6\\ ;\\ 10)$ sont-ils colinéaires ?", "options": [ { "text": "$m = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : déterminant nul : $3 \\times 10 - 6\n\\times m = 30 - 6m = 0 \\iff m = 5$. (Cohérent :\n$\\vec{v} = 2\\vec{u}$.)" }, { "text": "$m = 20$", "correct": false, "feedback": "Équation mal posée : le déterminant est $xy' - x'y = 30\n- 6m$, qui s'annule en $5$ (pas $\\frac{60}{3}$)." }, { "text": "$m = 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $30 - 42 = -12 \\neq 0$ : la proportionnalité\nexige $\\frac{m}{10} = \\frac{3}{6}$, soit $m = 5$." }, { "text": "Aucune : les premières coordonnées sont différentes", "correct": false, "feedback": "Erreur : la colinéarité demande la **proportionnalité**\n($6 = 2 \\times 3$ passe très bien), pas l'égalité." } ], "explanation": "Colinéarité : $xy' - x'y = 0$. Avec un paramètre, le\ndéterminant devient une équation du premier degré. Contrôle\nfinal par la proportionnalité des colonnes." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "vecteur-nul" ], "title": "Le vecteur nul", "statement": "Que vaut $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BA}$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{0}$, le vecteur nul", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : aller de $A$ à $B$ puis revenir :\ndéplacement total nul ($\\overrightarrow{BA} =\n-\\overrightarrow{AB}$)." }, { "text": "$2\\overrightarrow{AB}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AB}$ (deux fois le MÊME sens) : ici le\nretour annule l'aller." }, { "text": "Le nombre $0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de nature : la somme de deux vecteurs est un\n**vecteur** : le vecteur nul $\\vec{0}$, pas le réel $0$." }, { "text": "$\\overrightarrow{AB}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ajouter $\\overrightarrow{BA}$ n'est pas neutre :\nc'est l'opposé exact de $\\overrightarrow{AB}$ : tout\ns'annule." } ], "explanation": "$\\overrightarrow{BA} = -\\overrightarrow{AB}$, donc leur\nsomme est $\\vec{0}$ (coordonnées $(0\\ ;\\ 0)$, aucune\ndirection). Distinguer soigneusement $\\vec{0}$ (vecteur) de\n$0$ (nombre)." }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "distance-points" ], "title": "Distance entre deux points", "statement": "Soient $A(1\\ ;\\ 2)$ et $B(4\\ ;\\ 6)$. Que vaut la distance\n$AB$ ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\ ;\\ 4)$, et $AB\n= \\|\\overrightarrow{AB}\\| = \\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ : le\ntriangle $3$-$4$-$5$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 + 4$ additionne les écarts : la distance\n« à vol d'oiseau » passe par Pythagore : $\\sqrt{9 +\n16}$." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Racine oubliée : $25$ est $AB^2$ : la distance vaut\n$5$." }, { "text": "$\\sqrt{7}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\sqrt{3 + 4}$ oublie les **carrés** : la\nformule est $\\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$." } ], "explanation": "$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ : la norme du\nvecteur $\\overrightarrow{AB}$ : écarts, carrés, somme,\nracine : quatre gestes dans cet ordre." }, { "id": "q22", "difficulty": 3, "skills": [ "egalite-ordre-lettres" ], "title": "Quel parallélogramme pour $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$ ?", "statement": "On sait que $\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}$\n(points non alignés). Quel quadrilatère est un\nparallélogramme ?", "options": [ { "text": "$ABDC$ (dans cet ordre)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{CD}$ envoie $A$ sur $B$ et $C$ sur $D$\npar la même translation : les côtés $[AB]$ et $[CD]$\nsont parallèles de même sens : le tour du quadrilatère\nse lit $A, B, D, C$." }, { "text": "$ABCD$ (dans cet ordre)", "correct": false, "feedback": "Le piège de l'ordre des lettres : $ABCD$ parallélogramme\ncorrespond à $\\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{DC}$ (le $D$ et le $C$ inversés) : ici\nles sommets se suivent en $A, B, D, C$." }, { "text": "$ACBD$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cet ordre croise les côtés (papillon) :\nl'égalité donnée apparie $[AB]$ avec $[CD]$ dans le même\nsens : contour $A, B, D, C$." }, { "text": "Aucun : une égalité vectorielle ne fait pas un\nparallélogramme", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est LA caractérisation vectorielle du\nparallélogramme : deux côtés opposés portés par des\nvecteurs égaux." } ], "explanation": "$\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD} \\iff ABDC$\nparallélogramme ; $\\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{DC} \\iff ABCD$ parallélogramme. L'ordre des\nlettres du contour suit les flèches : dessiner deux flèches\négales rend l'ordre évident." }, { "id": "q23", "difficulty": 3, "skills": [ "somme-geometrique" ], "title": "La règle du parallélogramme", "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont tracés depuis la même origine\n$O$. Comment se construit géométriquement $\\vec{u} +\n\\vec{v}$ ?", "options": [ { "text": "C'est la diagonale issue de $O$ du parallélogramme\nconstruit sur $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : compléter le parallélogramme : la somme\npart de $O$ et rejoint le sommet opposé : équivalent du\n« bout à bout » de Chasles." }, { "text": "C'est l'autre diagonale du parallélogramme", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'autre diagonale représente la **différence**\n$\\vec{u} - \\vec{v}$ (elle joint les extrémités des deux\nvecteurs)." }, { "text": "C'est le vecteur qui joint l'extrémité de $\\vec{u}$ à\ncelle de $\\vec{v}$", "correct": false, "feedback": "C'est la différence $\\vec{v} - \\vec{u}$ : la somme, elle,\npart de l'origine commune vers le sommet opposé." }, { "text": "On ne peut pas additionner deux vecteurs de même origine", "correct": false, "feedback": "Erreur : deux constructions existent : bout à bout\n(Chasles) ou parallélogramme (même origine) : le\nrésultat est le même vecteur." } ], "explanation": "Deux visualisations de $\\vec{u} + \\vec{v}$ : mettre\n$\\vec{v}$ au bout de $\\vec{u}$ (Chasles), ou compléter le\nparallélogramme depuis l'origine commune : sa diagonale\nissue de $O$ est la somme (l'autre diagonale : la\ndifférence)." }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "produit-reel-negatif" ], "title": "Multiplier par un réel négatif", "statement": "Comment $-2\\vec{u}$ se compare-t-il à $\\vec{u}$ (non nul) ?", "options": [ { "text": "Même direction, sens contraire, longueur doublée", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le signe retourne le sens, le $|{-2}| =\n2$ double la longueur, la direction (la droite) ne\nchange jamais." }, { "text": "Direction différente", "correct": false, "feedback": "Erreur : $k\\vec{u}$ reste toujours sur la même droite\nque $\\vec{u}$ : c'est la définition de la colinéarité." }, { "text": "Même sens, longueur doublée", "correct": false, "feedback": "Signe ignoré : le facteur négatif **retourne** le\nvecteur : sens contraire." }, { "text": "Sens contraire, longueur divisée par $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la longueur est multipliée par $|k| = 2$, pas\npar $\\frac{1}{2}$." } ], "explanation": "$k\\vec{u}$ : direction inchangée, longueur $\\times |k|$,\nsens conservé si $k > 0$, inversé si $k < 0$. Les trois\nattributs d'un vecteur (direction, sens, norme) réagissent\nchacun à sa façon." } ] }