{
  "chapter": {
    "id": "calcul-integral",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Calcul intégral",
    "description": "Intégrale d'une fonction continue : définition par l'aire sous la\ncourbe, lien avec les primitives ($F(b) - F(a)$), linéarité,\npositivité, relation de Chasles, valeur moyenne, intégration par\nparties, aire entre deux courbes, méthode des rectangles.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "aire"
      ],
      "title": "Sens géométrique de l'intégrale",
      "statement": "Soit $f$ continue et **positive** sur $[a\\,;\\,b]$. Que\nreprésente $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'aire, en unités d'aire, du domaine entre la courbe de\n$f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la définition de l'intégrale d'une\nfonction continue positive : l'aire sous la courbe."
        },
        {
          "text": "La longueur de la courbe de $f$ entre $a$ et $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'intégrale mesure une **aire**, pas une longueur\nd'arc (notion hors programme)."
        },
        {
          "text": "L'accroissement $f(b) - f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $f(b) - f(a)$ est la variation de $f$. La\nformule $F(b) - F(a)$ fait intervenir une **primitive**\n$F$, pas $f$ elle-même."
        },
        {
          "text": "La pente moyenne de la courbe entre $a$ et $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la pente moyenne est $\\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$\n(taux de variation). L'intégrale, elle, cumule les valeurs\nde $f$ : c'est une aire."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $f$ continue positive sur $[a\\,;\\,b]$,\n$\\int_a^b f(x)\\,dx$ est l'aire du domaine sous la courbe,\nexprimée en unités d'aire du repère."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "primitives"
      ],
      "title": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 x^2\\,dx$",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 x^2\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $x^2$ est\n$\\dfrac{x^3}{3}$, donc l'intégrale vaut\n$\\dfrac{1^3}{3} - \\dfrac{0^3}{3} = \\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de primitive : $\\dfrac{x^2}{2}$ est une primitive de\n$x$, pas de $x^2$. Pour $x^2$, on monte à\n$\\dfrac{x^3}{3}$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as peut-être évalué $x^2$ en $1$ sans\nprimitiver. L'intégrale exige de passer par\n$F(b) - F(a)$ avec $F(x) = \\dfrac{x^3}{3}$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2x$ est la **dérivée** de $x^2$ ; l'intégrale\ndemande au contraire une primitive."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_0^1 x^2\\,dx = \\left[\\dfrac{x^3}{3}\\right]_0^1 =\n\\dfrac{1}{3}$. Le tiers de l'unité d'aire : c'est l'aire sous\nla parabole entre $0$ et $1$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "logarithme"
      ],
      "title": "Une intégrale avec $\\dfrac{1}{x}$",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_1^e \\dfrac{1}{x}\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $\\dfrac{1}{x}$ est\n$\\ln(x)$, donc l'intégrale vaut\n$\\ln(e) - \\ln(1) = 1 - 0 = 1$."
        },
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e - 1$ correspondrait à la primitive $x$\n(c'est-à-dire à l'intégrale de la constante $1$). Ici la\nprimitive est $\\ln x$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faut la **différence** $F(e) - F(1)$. Avec\n$F = \\ln$ : $1 - 0 = 1$, pas $e$."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{1}{e^2} + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de primitive : tu as utilisé $-\\dfrac{1}{x}$, qui\nprimitive $\\dfrac{1}{x^2}$. Pour $\\dfrac{1}{x}$, la\nprimitive de référence est $\\ln x$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, $\\int \\dfrac{1}{x}$ se calcule avec\n$\\ln$ : $\\int_1^e \\dfrac{dx}{x} = [\\ln x]_1^e = 1$. C'est même\nla définition historique de $e$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "linearite"
      ],
      "title": "Utiliser la linéarité",
      "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^2 f = 4$ et\n$\\displaystyle\\int_0^2 g = -1$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^2 \\left(2f + 3g\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par linéarité,\n$2\\int f + 3\\int g = 2 \\times 4 + 3 \\times (-1) = 8 - 3 =\n5$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $\\int g = -1$ est **négative** (c'est\npossible pour une intégrale). $8 + 3 = 11$ oublie ce\nsigne : le bon calcul est $8 - 3 = 5$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 - 1 = 3$ ignore les coefficients $2$ et $3$.\nLa linéarité les conserve : $2 \\times 4 + 3 \\times (-1)$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $8 = 2\\int f$ seul. Il faut ajouter la\ncontribution $3\\int g = -3$."
        }
      ],
      "explanation": "Linéarité de l'intégrale :\n$\\int (\\alpha f + \\beta g) = \\alpha \\int f + \\beta \\int g$.\nIci : $2 \\times 4 + 3 \\times (-1) = 5$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe",
        "aire"
      ],
      "title": "Intégrale d'une fonction négative",
      "statement": "Soit $f$ continue et **négative** sur $[0\\,;\\,2]$, avec\n$\\displaystyle\\int_0^2 f(x)\\,dx = -3$. Quelle est l'aire du\ndomaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et\nles droites $x = 0$ et $x = 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour une fonction négative, l'aire est\nl'**opposé** de l'intégrale :\n$\\mathcal{A} = -\\int_0^2 f = 3$. Une aire est toujours\npositive."
        },
        {
          "text": "$-3$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une aire est une grandeur **positive**. C'est\nl'intégrale qui peut être négative ; l'aire correspondante\nen est l'opposé."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le domaine entre la courbe et l'axe est bien réel\net étendu ; son aire vaut $|-3| = 3$."
        },
        {
          "text": "$6$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun doublement n'intervient. Aire $=$ opposé de\nl'intégrale $= 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Sous l'axe, l'intégrale compte l'aire **négativement** : pour\n$f \\leq 0$ sur $[a\\,;\\,b]$, l'aire du domaine vaut\n$-\\int_a^b f$. Ici : $3$ unités d'aire."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "chasles"
      ],
      "title": "Relation de Chasles",
      "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_0^2 f = 3$ et\n$\\displaystyle\\int_0^5 f = 10$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_2^5 f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par la relation de Chasles,\n$\\int_0^5 = \\int_0^2 + \\int_2^5$, donc\n$\\int_2^5 f = 10 - 3 = 7$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as **ajouté** au lieu de soustraire. Le morceau\n$[2\\,;\\,5]$ est ce qui reste quand on retire $[0\\,;\\,2]$ de\n$[0\\,;\\,5]$ : $10 - 3$."
        },
        {
          "text": "$-7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $\\int_2^5 f = 10 - 3 = +7$. (Le signe\nmoins apparaîtrait pour $\\int_5^2 f$, bornes échangées.)"
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les intégrales s'**ajoutent** quand on met les\nintervalles bout à bout, elles ne se multiplient pas."
        }
      ],
      "explanation": "Relation de Chasles :\n$\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$. On en tire\n$\\int_2^5 f = \\int_0^5 f - \\int_0^2 f = 7$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeur-moyenne"
      ],
      "title": "Valeur moyenne d'une fonction",
      "statement": "Soit $f$ continue sur $[1\\,;\\,4]$ avec\n$\\displaystyle\\int_1^4 f(x)\\,dx = 9$. Quelle est la valeur\nmoyenne de $f$ sur $[1\\,;\\,4]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f =\n\\dfrac{9}{4-1} = 3$. C'est la hauteur du rectangle de base\n$[1\\,;\\,4]$ ayant la même aire que le domaine sous la\ncourbe."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9$ est l'intégrale elle-même. La moyenne s'obtient\nen divisant par la **longueur** de l'intervalle,\n$b - a = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on divise par $b - a = 4 - 1 = 3$, pas par la\nborne $4$."
        },
        {
          "text": "$27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as multiplié par la longueur au lieu de\ndiviser. Moyenne $= \\dfrac{\\text{intégrale}}{\\text{longueur}}\n= 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Valeur moyenne : $\\mu = \\dfrac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)\\,dx$.\nInterprétation : le rectangle de base $b - a$ et de hauteur\n$\\mu$ a exactement l'aire de l'intégrale."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integration-par-parties"
      ],
      "title": "Intégration par parties",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 x\\,e^x\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par parties avec $u = x$, $v' = e^x$ :\n$\\left[x\\,e^x\\right]_0^1 - \\int_0^1 e^x\\,dx = e - (e - 1)\n= 1$."
        },
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e - 1 = \\int_0^1 e^x\\,dx$, l'intégrale **sans**\nle facteur $x$. Le facteur $x$ exige une intégration par\nparties."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $e = [x\\,e^x]_0^1$ n'est que le terme tout\nintégré ; il faut lui retrancher $\\int_0^1 e^x\\,dx = e - 1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{e^2}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as primitivé chaque facteur séparément\n($\\frac{x^2}{2}$ et $e^x$ mélangés). Un produit ne se\nprimitive pas facteur par facteur : c'est précisément le\nrôle de l'intégration par parties."
        }
      ],
      "explanation": "Intégration par parties :\n$\\int_a^b u\\,v' = [u\\,v]_a^b - \\int_a^b u'\\,v$. Avec $u = x$\n(qui se simplifie en dérivant) et $v' = e^x$ :\n$e - (e - 1) = 1$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "aire",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Aire sous une parabole",
      "statement": "Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de\n$f(x) = 4 - x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = -2$\net $x = 2$. Quelle est son aire ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n  \\fill[blue!20,domain=-2:2,samples=60] plot (\\x,{4-\\x*\\x}) -- (2,0) -- (-2,0) -- cycle;\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-0.7) grid (3.7,4.7);\n  \\draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.55:2.55,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{4-\\x*\\x});\n  \\node[blue,font=\\small] at (3,2.4) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = 4 - x², tournée\nvers le bas, de sommet (0 ; 4), coupant l'axe des abscisses\nen -2 et 2. Le domaine entre la parabole et l'axe des\nabscisses, de x = -2 à x = 2, est colorié en bleu clair.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"182.545pt\" height=\"174.826pt\" viewBox=\"0 0 182.545 174.826\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.265625 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.359375 -4.171875 4.59375 -4.171875 4.796875 -4.046875 C 4.515625 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.34375 4.4375 -3.15625 4.703125 -3.15625 C 4.921875 -3.15625 5.234375 -3.34375 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.65625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.640625 C 3.015625 -4.296875 2.484375 -4.390625 2.203125 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.84375 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.71875 -4.078125 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.875 -3.921875 4.875 -3.9375 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.1875 4.734375 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.484375 -4.28125 4.328125 -4.21875 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.53125 C 4.03125 -3.28125 3.953125 -3.015625 3.890625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.921875 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.421875 -3.375 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.65625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.859375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.65625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.578125 2.03125 3.59375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.03125 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.25 C 6.359375 -2.4375 6.1875 -2.4375 6.03125 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.03125 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.5 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.28125 -5.515625 2.8125 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.640625 4.109375 -5.328125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.328125 3.6875 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.078125 C 3.625 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.234375 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.71875 C 4.890625 -6.125 4.640625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.078125 -6.296875 2 -5.71875 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.359375 0.21875 4.578125 -1.203125 4.578125 -1.40625 Z M 4.578125 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.5625 -3.453125 3.953125 -4.109375 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.1875 -5.953125 2.265625 -5.953125 C 1.328125 -5.953125 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.46875 1.53125 -4.734375 C 1.53125 -5.046875 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.71875 C 3.125 -4.453125 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.6875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.59375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.28125 -2.375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.6875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.578125 -2.828125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.953125 2.1875 -5.953125 C 1.15625 -5.953125 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.125 -3.828125 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.390625 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 3 -5.671875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.203125 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.703125 -1.46875 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.46875 L 4.328125 -1.46875 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -5.984375 3.421875 -6.046875 3.25 -6.046875 C 3.140625 -6.046875 3.125 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.578125 -2.328125 L 3.1875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.390625 -2.328125 3.390625 -2.484375 C 3.390625 -2.578125 3.3125 -2.578125 3.203125 -2.578125 L 2.609375 -2.578125 C 2.796875 -3.546875 2.796875 -3.5625 2.8125 -3.671875 C 2.84375 -3.796875 2.859375 -3.859375 2.953125 -3.921875 C 3.015625 -3.984375 3.078125 -4 3.15625 -4 C 3.265625 -4 3.359375 -4 3.4375 -3.953125 C 3.3125 -3.90625 3.21875 -3.765625 3.21875 -3.625 C 3.21875 -3.5 3.3125 -3.40625 3.453125 -3.40625 C 3.609375 -3.40625 3.796875 -3.53125 3.796875 -3.765625 C 3.796875 -4.09375 3.421875 -4.203125 3.15625 -4.203125 C 2.890625 -4.203125 2.484375 -4.078125 2.3125 -3.484375 C 2.265625 -3.328125 2.25 -3.21875 2.203125 -3 C 2.171875 -2.828125 2.15625 -2.75 2.125 -2.578125 L 1.640625 -2.578125 C 1.515625 -2.578125 1.4375 -2.578125 1.4375 -2.421875 C 1.4375 -2.328125 1.515625 -2.328125 1.625 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.75 -0.4375 C 1.5625 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.765625 C 1.390625 0.90625 1.296875 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.109375 1.015625 0.96875 1.015625 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.109375 0.78125 1.109375 0.640625 C 1.109375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.140625 1.21875 C 1.46875 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.578125 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 19 23 L 151 23 L 151 174.523438 L 19 174.523438 Z M 19 23 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 100%)\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 42.480469 119.066406 L 43.917969 113.414062 L 45.355469 107.953125 L 46.792969 102.691406 L 48.230469 97.621094 L 49.667969 92.746094 L 51.105469 88.070312 L 52.542969 83.585938 L 53.980469 79.296875 L 55.417969 75.203125 L 56.855469 71.304688 L 58.292969 67.597656 L 59.730469 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y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"57.813897\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"64.963077\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"103.802269\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"125.00941\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"146.21655\" y=\"131.522057\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"73.605536\" y=\"100.741778\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"73.605536\" y=\"79.534637\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"73.605536\" y=\"58.327497\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"73.605536\" y=\"37.120356\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -54.211783 -53.202896 C -54.211783 -53.202896 -52.884263 -46.502643 -52.375185 -43.992496 C -51.866107 -41.478432 -51.047666 -37.51937 -50.538587 -35.095374 C -50.029509 -32.671379 -49.211068 -28.857208 -48.70199 -26.519364 C -48.192912 -24.185436 -47.37447 -20.508325 -46.865392 -18.260548 C -46.352398 -16.012772 -45.537873 -12.480552 -45.024878 -10.318928 C -44.5158 -8.161219 -43.697359 -4.766059 -43.188281 -2.694502 C -42.679203 -0.622945 -41.860761 2.627323 -41.351683 4.612729 C -40.842605 6.594218 -40.024164 9.703511 -39.515086 11.598848 C -39.006007 13.494186 -38.187566 16.462504 -37.678488 18.271689 C -37.165494 20.076959 -36.347052 22.904301 -35.837974 24.623419 C -35.328896 26.342537 -34.510455 29.028904 -34.001377 30.661871 C -33.492298 32.290921 -32.673857 34.836312 -32.164779 36.379211 C -31.655701 37.922109 -30.83726 40.326525 -30.328181 41.779356 C -29.815187 43.236103 -29.000662 45.495627 -28.487668 46.862307 C -27.978589 48.228986 -27.160148 50.351451 -26.65107 51.628062 C -26.141992 52.90859 -25.323551 54.886163 -24.814472 56.076623 C -24.305394 57.267083 -23.486953 59.10368 -22.977875 60.207988 C -22.468796 61.308381 -21.650355 63.007919 -21.141277 64.022159 C -20.628283 65.032484 -19.813758 66.591046 -19.300763 67.515219 C -18.791685 68.443308 -17.973244 69.856979 -17.464166 70.695 C -16.955087 71.529105 -16.136646 72.801801 -15.627568 73.55367 C -15.11849 74.301624 -14.300049 75.433344 -13.79097 76.095146 C -13.281892 76.756947 -12.463451 77.747692 -11.954373 78.319426 C -11.441379 78.895076 -10.626853 79.740929 -10.113859 80.226511 C -9.604781 80.712094 -8.78634 81.420887 -8.277261 81.816402 C -7.768183 82.215832 -6.949742 82.779734 -6.440664 83.089097 C -5.931586 83.39846 -5.113144 83.821387 -4.604066 84.044598 C -4.094988 84.263893 -3.276547 84.54976 -2.767469 84.682904 C -2.254474 84.812131 -1.436033 84.957023 -0.926955 85.000099 C -0.417877 85.043175 0.400565 85.047091 0.909643 85.000099 C 1.418721 84.957023 2.237162 84.816047 2.74624 84.68682 C 3.255319 84.553676 4.07376 84.271725 4.582838 84.05243 C 5.095832 83.833135 5.910358 83.410208 6.423352 83.100845 C 6.93243 82.791482 7.750871 82.22758 8.259949 81.832066 C 8.769028 81.436551 9.587469 80.731674 10.096547 80.246091 C 10.605625 79.760509 11.424066 78.914656 11.933145 78.342922 C 12.442223 77.771188 13.260664 76.780443 13.769742 76.118641 C 14.282737 75.460756 15.097262 74.329036 15.610256 73.581082 C 16.119334 72.833129 16.937775 71.560433 17.446854 70.722412 C 17.955932 69.888307 18.774373 68.474636 19.283451 67.550463 C 19.79253 66.62629 20.610971 65.071644 21.120049 64.057403 C 21.629127 63.043163 22.447568 61.347541 22.956647 60.247148 C 23.469641 59.146756 24.284166 57.310158 24.79716 56.119699 C 25.306238 54.933155 26.12468 52.955582 26.633758 51.675054 C 27.142836 50.398442 27.961277 48.279894 28.470356 46.913214 C 28.979434 45.546535 29.797875 43.287011 30.306953 41.83418 C 30.816031 40.381349 31.634473 37.976933 32.143551 36.437951 C 32.656545 34.895052 33.47107 32.349661 33.984065 30.72061 C 34.493143 29.09156 35.311584 26.405193 35.820662 24.689991 C 36.32974 22.970873 37.148182 20.143531 37.65726 18.338261 C 38.166338 16.532991 38.984779 13.564674 39.493857 11.669336 C 40.006852 9.773999 40.821377 6.668621 41.334371 4.683216 C 41.843449 2.701727 42.661891 -0.548542 43.170969 -2.620098 C 43.680047 -4.687739 44.498488 -8.078984 45.007566 -10.240608 C 45.516645 -12.398317 46.335086 -15.930536 46.844164 -18.178313 C 47.353242 -20.426089 48.171683 -24.099284 48.680762 -26.433212 C 49.193756 -28.76714 50.008281 -32.585227 50.521275 -35.009223 C 51.030354 -37.429302 51.848795 -41.388364 52.357873 -43.898512 C 52.866951 -46.408659 54.194471 -53.108912 54.194471 -53.108912 \" transform=\"matrix(0.997514, 0, 0, -0.997514, 84.8934, 119.066103)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"143.706806\" y=\"70.116113\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"148.55971\" y=\"71.175473\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{32}{3}$ unités d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ est positive sur $[-2\\,;\\,2]$, donc\nl'aire vaut $\\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\\,dx =\n\\left[4x - \\dfrac{x^3}{3}\\right]_{-2}^{2} =\n\\dfrac{16}{3} + \\dfrac{16}{3} = \\dfrac{32}{3} \\approx\n10{,}7$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{16}{3}$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de bornes : $\\dfrac{16}{3} =\n\\int_0^2 (4 - x^2)\\,dx$, la **moitié droite** seulement. Le\ndomaine s'étend de $-2$ à $2$."
        },
        {
          "text": "$16$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16 = 4 \\times 4$ est l'aire du rectangle\nenglobant (base $4$, hauteur $4$). La parabole en occupe\nles deux tiers : $\\dfrac{32}{3}$."
        },
        {
          "text": "$8$ unités d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8$ serait l'aire du triangle de sommets\n$(-2\\,;\\,0)$, $(2\\,;\\,0)$, $(0\\,;\\,4)$. La parabole est\nplus « bombée » qu'un triangle : $\\dfrac{32}{3} > 8$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_{-2}^{2}(4-x^2)\\,dx = \\left[4x -\n\\frac{x^3}{3}\\right]_{-2}^{2} = \\left(8 - \\frac{8}{3}\\right) -\n\\left(-8 + \\frac{8}{3}\\right) = \\frac{32}{3}$. (Au passage :\nexactement les deux tiers du rectangle $4 \\times 4$, résultat\nd'Archimède.)"
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "theoreme-fondamental"
      ],
      "title": "La fonction $x \\mapsto \\int_a^x f(t)\\,dt$",
      "statement": "Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \\in I$. On pose\n$F(x) = \\displaystyle\\int_a^x f(t)\\,dt$. Que vaut $F'(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est le théorème fondamental : $F$ est la\nprimitive de $f$ qui s'annule en $a$, donc $F' = f$."
        },
        {
          "text": "$f'(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'étage : dériver l'intégrale rend $f$ elle-même,\npas sa dérivée. Intégrer puis dériver ramène au point de\ndépart."
        },
        {
          "text": "$F(x) - F(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est un mélange avec la formule\n$\\int_a^b f = F(b) - F(a)$. La **dérivée** de\n$x \\mapsto \\int_a^x f$ est $f(x)$."
        },
        {
          "text": "$f(x) - f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la borne fixe $a$ ne réapparaît pas dans la\ndérivée (elle ne pilote qu'une constante d'intégration).\n$F'(x) = f(x)$ tout court."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème fondamental de l'analyse : pour $f$ continue,\n$x \\mapsto \\int_a^x f(t)\\,dt$ est dérivable, de dérivée $f$.\nC'est le pont entre aire et primitive, et la preuve que toute\nfonction continue admet des primitives."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "methode-rectangles",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Rectangles et fonction décroissante",
      "statement": "Pour approcher $\\displaystyle\\int_0^1 f(x)\\,dx$ avec $f$\ncontinue et **décroissante**, on découpe $[0\\,;\\,1]$ en $n$\nmorceaux égaux et on somme les aires des rectangles dont la\nhauteur est prise au bord **gauche** de chaque morceau. Cette\nsomme est :",
      "options": [
        {
          "text": "Supérieure ou égale à l'intégrale",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ décroissant, sa valeur au bord gauche\nest la plus grande du morceau : chaque rectangle **dépasse**\nla courbe. La somme majore l'intégrale."
        },
        {
          "text": "Inférieure ou égale à l'intégrale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : ce serait le cas des rectangles à bord\n**droit** (ou d'une fonction croissante avec bord gauche).\nIci chaque rectangle englobe la courbe."
        },
        {
          "text": "Exactement égale à l'intégrale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les rectangles laissent un écart avec la courbe\n(sauf fonction constante). L'égalité n'apparaît qu'à la\nlimite $n \\to +\\infty$."
        },
        {
          "text": "Tantôt au-dessus, tantôt en dessous, selon $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la monotonie fixe le sens **pour tout** $n$ :\nbord gauche + décroissance = majoration systématique."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode des rectangles avec fonction monotone : bords gauches\net droits fournissent un **encadrement** de l'intégrale. Pour\n$f$ décroissante : somme à gauche $\\geq \\int \\geq$ somme à\ndroite, et l'écart fond quand $n$ grandit."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "aire-entre-courbes"
      ],
      "title": "Aire entre deux courbes",
      "statement": "Sur $[0\\,;\\,1]$, on a $x \\geq x^2$. Quelle est l'aire du\ndomaine compris entre les courbes de $f(x) = x$ et de\n$g(x) = x^2$ sur cet intervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$ unité d'aire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire entre deux courbes est\n$\\int_0^1 \\left(x - x^2\\right) dx =\n\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{1}{6}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$ unité d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $\\dfrac{1}{2} = \\int_0^1 x\\,dx$ est l'aire sous\nla droite seule. Il faut lui **retrancher** l'aire sous la\nparabole."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$ unité d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3} = \\int_0^1 x^2\\,dx$ est l'aire sous\nla parabole. L'aire entre les deux courbes est la\ndifférence $\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{6}$ unité d'aire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as **ajouté** les deux aires\n($\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3}$). Le domaine entre les courbes\ncorrespond à leur **différence**."
        }
      ],
      "explanation": "Si $f \\geq g$ sur $[a\\,;\\,b]$, l'aire entre les deux courbes\nvaut $\\int_a^b \\left(f(x) - g(x)\\right) dx$. Ici :\n$\\int_0^1 (x - x^2)\\,dx = \\frac{1}{2} - \\frac{1}{3} =\n\\frac{1}{6}$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "integrale-constante"
      ],
      "title": "Intégrale d'une constante",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_2^5 3\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire d'un rectangle de largeur $5 - 2\n= 3$ et de hauteur $3$ : $3 \\times 3 = 9$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur oubliée : la hauteur $3$ doit être multipliée\npar la longueur de l'intervalle ($3$) : l'intégrale\nd'une constante n'est pas la constante."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $15 = 3 \\times 5$ prend la borne au lieu de la\n**largeur** $5 - 2 = 3$ de l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division par $2$ vaudrait pour un triangle ;\nune constante dessine un rectangle plein."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : le rectangle de base. Point de\ncontrôle des calculs plus élaborés : toute primitive de $3$\n($3t + C$) redonne $15 - 6 = 9$."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bornes-echangees"
      ],
      "title": "Échanger les bornes",
      "statement": "Sachant que $\\displaystyle\\int_0^1 x^2\\,dx = \\dfrac{1}{3}$,\nque vaut $\\displaystyle\\int_1^0 x^2\\,dx$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : échanger les bornes change le signe :\n$\\int_b^a = -\\int_a^b$ (avec $F$ primitive : $F(0) -\nF(1) = -(F(1) - F(0))$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'intégrale est **orientée** : parcourir\nl'intervalle à rebours renverse le signe."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\int_a^a = 0$ exige des bornes **égales** ;\nici elles sont échangées : signe opposé."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun doublement : seule l'orientation change,\ndonc seulement le signe."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_b^a f = -\\int_a^b f$ : conséquence directe de\n$[F]_a^b = F(b) - F(a)$. Utile pour remettre les bornes dans\nle bon ordre avant tout calcul ou toute relation de Chasles."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Une intégrale d'exponentielle",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^t\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^t$ est sa propre primitive :\n$[e^t]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \\approx 1{,}72$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne basse oubliée : le crochet soustrait la valeur en\n$0$, et $e^0 = 1$ ne vaut pas zéro !"
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ est la valeur de $e^0$, pas la différence\n$e - 1 \\approx 1{,}72$."
        },
        {
          "text": "$e + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : le crochet est $F(1) \\textbf{−} F(0)$ : on\nsoustrait, on n'additionne pas."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^b e^t dt = e^b - e^a$. L'oubli du $-F(a)$, surtout\nquand $F(a) \\neq 0$ comme ici, est l'étourderie la plus\nfréquente du chapitre : toujours écrire le crochet complet."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "positivite"
      ],
      "title": "Positivité de l'intégrale",
      "statement": "$f$ est continue et positive sur $[a\\ ;\\ b]$ (avec $a <\nb$). Que peut-on dire de $\\displaystyle\\int_a^b f(t)\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est positive ou nulle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une aire sous une courbe au-dessus de\nl'axe ne peut pas être négative : la positivité passe de\nla fonction à l'intégrale."
        },
        {
          "text": "Elle est strictement positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la fonction nulle est positive et son\nintégrale vaut $0$ : l'inégalité large est la bonne\nconclusion."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans calculer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est un théorème général (la positivité), qui\ndonne le signe sans aucun calcul : l'argument le plus\néconomique des sujets."
        },
        {
          "text": "Elle vaut $f(b) - f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $F(b) - F(a)$ fait intervenir une\n**primitive** $F$, pas la fonction elle-même."
        }
      ],
      "explanation": "Positivité : $f \\geq 0$ sur $[a\\ ;\\ b]$ (et $a \\leq b$)\n$\\Rightarrow \\int_a^b f \\geq 0$. Combinée à la linéarité,\nelle fournit la comparaison des intégrales : le duo\nthéorique du chapitre."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison"
      ],
      "title": "Comparer deux intégrales",
      "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 1]$, on sait que $f(t) \\leq g(t)$ pour tout\n$t$. Que peut-on en déduire ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^1 f(t)\\,dt \\leq \\int_0^1 g(t)\\,dt$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'intégration **conserve l'ordre** (dans\nle sens croissant des bornes) : l'aire sous la courbe la\nplus basse est la plus petite."
        },
        {
          "text": "$\\displaystyle\\int_0^1 f(t)\\,dt \\geq \\int_0^1 g(t)\\,dt$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens renversé : intégrer ne retourne pas les\ninégalités : plus la fonction est haute, plus l'aire est\ngrande."
        },
        {
          "text": "Rien : l'intégrale ne respecte pas les inégalités",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la croissance de l'intégrale est un théorème\n(conséquence de la positivité appliquée à $g - f$)."
        },
        {
          "text": "$f(t) = g(t)$ quelque part",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : l'hypothèse n'exige aucun contact entre les\ncourbes ; la conclusion porte sur les **aires**."
        }
      ],
      "explanation": "Croissance : $f \\leq g$ sur $[a\\ ;\\ b] \\Rightarrow \\int_a^b\nf \\leq \\int_a^b g$ (pour $a \\leq b$). C'est l'outil des\nencadrements d'intégrales qu'on ne sait pas calculer : on\nencadre la fonction, on intègre l'encadrement."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Une intégrale de cosinus",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^{\\pi/2} \\cos t\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $[\\sin t]_0^{\\pi/2} = \\sin\\frac{\\pi}{2}\n- \\sin 0 = 1 - 0 = 1$ : l'arche montante du cosinus\nenferme une aire exactement égale à $1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ serait $\\int_0^{\\pi}$ (l'arche complète\nsymétrique)… non : $\\int_0^{\\pi}\\cos = 0$ par\ncompensation ; sur $[0\\ ;\\ \\frac{\\pi}{2}]$, le cosinus\nreste positif : aire $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{\\pi}{2}$ est la **largeur** de\nl'intervalle : l'aire sous le cosinus se calcule avec la\nprimitive $\\sin$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : la primitive de $\\cos$ est $+\\sin$ (le moins\nappartient à la primitive de $\\sin$, qui est $-\\cos$)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int \\cos = \\sin$, $\\int \\sin = -\\cos$ : les deux crochets\ntrigonométriques à connaître. $\\int_0^{\\pi/2}\\cos t\\,dt = 1$\nest le résultat de référence."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "imparite",
        "symetrie"
      ],
      "title": "Intégrale d'une fonction impaire",
      "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_{-2}^{2} t^3\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$ : la fonction est impaire sur un intervalle centré\nen $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les aires de part et d'autre de\nl'origine sont opposées et se compensent exactement.\nCalcul de contrôle : $\\left[\\frac{t^4}{4}\\right]_{-2}^2\n= 4 - 4 = 0$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8 = \\frac{2^4}{4} + \\frac{2^4}{4}$ additionne\nce qui doit se soustraire : $(-2)^4 = +16$ aussi : le\ncrochet donne $4 - 4 = 0$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'intégrale n'est pas l'aire **absolue** (qui\nvaut $8$) : les parties sous l'axe comptent\nnégativement, et ici tout s'annule."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 = \\frac{2^4}{4}$ n'est qu'une moitié du\ncrochet : l'autre borne apporte $-4$… c'est-à-dire\n$-\\frac{(-2)^4}{4}$ : total nul."
        }
      ],
      "explanation": "Fonction impaire sur $[-a\\ ;\\ a]$ : intégrale nulle, par\nsymétrie. Réflexe d'économie ($t^3$, $t^5$, $\\sin$…), et\nleçon en creux : intégrale nulle ne signifie pas aire nulle."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "integrale-nulle"
      ],
      "title": "Intégrale nulle, fonction nulle ?",
      "statement": "On sait que $\\displaystyle\\int_{-1}^{1} f(t)\\,dt = 0$ avec\n$f$ continue. Peut-on en déduire que $f$ est nulle sur\n$[-1\\ ;\\ 1]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $f(t) = t$ a une intégrale nulle sans être nulle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les zones positives et négatives peuvent\nse **compenser** : une intégrale nulle dit que le bilan\nest équilibré, pas que la fonction est plate."
        },
        {
          "text": "Oui : seule la fonction nulle a une intégrale nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $\\int_{-1}^1 t\\,dt = 0$ par imparité, et $f(t) =\nt$ n'est pas la fonction nulle : la compensation des\nsignes fait le travail."
        },
        {
          "text": "Oui, si $f$ est continue",
          "correct": false,
          "feedback": "La continuité ne sauve pas l'énoncé : $f(t) = t$ est\ncontinue. (Le résultat devient vrai en ajoutant $f\n\\geq 0$ : là, aucune compensation possible.)"
        },
        {
          "text": "Non, mais $f$ doit s'annuler en $0$ précisément",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $f$ doit s'annuler **quelque part** (elle\nchange de signe), mais pas nécessairement en $0$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int f = 0$ : bilan équilibré, pas fonction nulle. Le\ncomplément vrai : si $f \\geq 0$, continue, d'intégrale\nnulle, alors $f = 0$ : c'est la positivité **stricte** qui\ninterdit la compensation."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "integration-par-parties",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 t\\,e^t\\,dt$",
      "statement": "Par intégration par parties, que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^1 t\\,e^t\\,dt$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u = t$, $v' = e^t$ : $[t\\,e^t]_0^1 -\n\\int_0^1 e^t dt = e - (e - 1) = 1$."
        },
        {
          "text": "$e - 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $e - 1$ est le terme $\\int e^t$ seul ; il\nfaut le **soustraire** du crochet $[te^t]_0^1 = e$ :\n$e - (e - 1) = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{e^2}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : primitiver chaque facteur ($\\frac{t^2}{2}$,\n$e^t$) puis multiplier n'est pas une règle : le produit\nexige l'intégration par parties."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arrêt au crochet : $[te^t]_0^1 = e$, mais l'intégration\npar parties retranche encore $\\int_0^1 e^t = e - 1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \\int_a^b u'v$ : choisir $u = t$\n(qui se simplifie en dérivant) et $v' = e^t$. Résultat à\ncontrôler : $\\int_0^1 te^t = 1$."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "encadrement",
        "valeur-moyenne"
      ],
      "title": "Encadrer une intégrale",
      "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 2]$, on sait que $1 \\leq f(t) \\leq 3$. Quel\nencadrement de $\\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt$ en\ndécoule ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 \\leq \\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt \\leq 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : intégrer l'encadrement : $\\int_0^2 1 =\n2$ en bas, $\\int_0^2 3 = 6$ en haut : les bornes sont\nmultipliées par la largeur $2$."
        },
        {
          "text": "$1 \\leq \\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt \\leq 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Largeur oubliée : l'encadrement de $f$ se multiplie par\nla longueur de l'intervalle ($2$) : c'est la **valeur\nmoyenne** qui reste entre $1$ et $3$."
        },
        {
          "text": "$0 \\leq \\displaystyle\\int_0^2 f(t)\\,dt \\leq 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction vaut au moins $1$ sur une largeur\n$2$ : l'aire ne peut pas être inférieure à $2$."
        },
        {
          "text": "Aucun : il faut connaître $f$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt de la comparaison :\nencadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale, sans\nla calculer."
        }
      ],
      "explanation": "$m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\ ;\\ b]$ $\\Rightarrow$ $m(b-a) \\leq\n\\int_a^b f \\leq M(b-a)$ : l'inégalité de la moyenne.\nAutrement dit, la valeur moyenne de $f$ reste entre $m$ et\n$M$."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "theoreme-fondamental"
      ],
      "title": "Dériver $x \\mapsto \\int_0^x f(t)\\,dt$",
      "statement": "Soit $F(x) = \\displaystyle\\int_0^x e^{-t^2}\\,dt$. Que vaut\n$F'(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F'(x) = e^{-x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : théorème fondamental : $x \\mapsto\n\\int_0^x f(t)\\,dt$ est LA primitive de $f$ qui s'annule\nen $0$ : sa dérivée est $f(x)$, ici $e^{-x^2}$."
        },
        {
          "text": "$F'(x) = -2x\\,e^{-x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-2xe^{-x^2}$ est la dérivée de $e^{-x^2}$ :\nmais $F$ n'est pas $e^{-x^2}$, c'est son intégrale : la\ndérivation la ramène à $e^{-x^2}$ exactement."
        },
        {
          "text": "$F'(x) = e^{-t^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Variable fantôme : $t$ est la variable **muette**\nd'intégration : la dérivée s'exprime en $x$ :\n$e^{-x^2}$."
        },
        {
          "text": "Impossible : $e^{-t^2}$ n'a pas de primitive explicite",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : pas de primitive **par formule**, certes,\nmais la primitive existe (fonction continue) et c'est\nprécisément $F$ : sa dérivée se lit sans calcul."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème fondamental : pour $f$ continue, $F(x) = \\int_a^x\nf(t)\\,dt$ est dérivable et $F' = f$. Il fabrique des\nprimitives même quand aucune formule n'existe : c'est le cas\nde $e^{-t^2}$ (la gaussienne)."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "aire",
        "signe"
      ],
      "title": "Aire quand la fonction change de signe",
      "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 2\\pi]$, $\\displaystyle\\int_0^{2\\pi} \\sin\nt\\,dt = 0$. Quelle est l'aire du domaine entre la courbe de\nsinus et l'axe des abscisses sur cet intervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$ unités d'aire : $\\displaystyle\\int_0^{\\pi}\\sin\nt\\,dt = 2$ au-dessus, autant en dessous, comptées\npositivement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'aire découpe aux changements de\nsigne : $[-\\cos t]_0^{\\pi} = 2$ pour l'arche positive,\net l'arche négative contribue $|-2| = 2$ : total $4$."
        },
        {
          "text": "$0$, comme l'intégrale",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion aire/intégrale : l'intégrale compte les zones\nsous l'axe **négativement** ; l'aire, toujours positive,\nles compte en valeur absolue."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une arche oubliée : chaque arche vaut $2$ unités d'aire,\net il y en a deux sur $[0\\ ;\\ 2\\pi]$."
        },
        {
          "text": "$2\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2\\pi$ est la largeur de l'intervalle ; l'aire\nse calcule avec la primitive de $\\sin$, arche par arche."
        }
      ],
      "explanation": "Aire entre courbe et axe = $\\int |f|$ : découper l'intervalle\naux zéros de $f$, intégrer morceau par morceau, sommer les\nvaleurs absolues. L'intégrale brute, elle, fait le **bilan**\nalgébrique : $0$ ici."
    }
  ]
}