{
  "chapter": {
    "id": "concentration-loi-grands-nombres",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Probabilités",
    "title": "Concentration et loi des grands nombres",
    "description": "Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration pour\nla moyenne d'un échantillon, loi des grands nombres :\ninterprétation, calculs de bornes, détermination d'une taille\nd'échantillon, limites de ces majorations.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "enonce"
      ],
      "title": "Énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev",
      "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\\mu$ et de\nvariance $V$. Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\ntout réel $\\delta > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la probabilité d'un écart à la moyenne d'au\nmoins $\\delta$ est **majorée** par $\\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\geq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : l'inégalité **majore** la probabilité des\ngrands écarts (c'est une garantie de rareté), elle ne la\nminore pas."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'exposant : le seuil $\\delta$ intervient **au\ncarré**, en cohérence avec la variance (qui est en unités\nau carré)."
        },
        {
          "text": "$P\\left(X \\geq \\delta\\right) \\leq \\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inégalité contrôle l'**écart à l'espérance**\n$|X - \\mu|$, pas la valeur brute de $X$."
        }
      ],
      "explanation": "Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - \\mu| \\geq \\delta) \\leq\n\\dfrac{V(X)}{\\delta^2}$. Plus la variance est petite ou le\nseuil grand, plus les grands écarts sont improbables."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "calcul"
      ],
      "title": "Appliquer l'inégalité",
      "statement": "Soit $X$ d'espérance $\\mu = 10$ et de variance $V = 4$. Que\ndonne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right) \\leq 0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V}{\\delta^2} = \\dfrac{4}{16} =\n0{,}25$."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right) \\leq 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{4}{4}$ oublie le carré du seuil.\n$\\delta^2 = 16$, la borne vaut $\\dfrac{4}{16} = 0{,}25$.\n(Une borne de $1$ ne dirait d'ailleurs rien.)"
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right) = 0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Attention au statut : l'inégalité fournit une\n**majoration**, pas la valeur exacte. La probabilité réelle\npeut être bien plus petite."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - 10| \\geq 4\\right) \\leq 0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5 = \\dfrac{2}{4}$ mélange l'écart-type\n($\\sigma = 2$) et la variance. La formule utilise la\n**variance** : $\\dfrac{4}{16}$."
        }
      ],
      "explanation": "$P(|X - \\mu| \\geq \\delta) \\leq \\dfrac{V}{\\delta^2} =\n\\dfrac{4}{4^2} = 0{,}25$ : au plus une chance sur quatre de\ns'écarter d'au moins $4$ (soit $2\\sigma$) de la moyenne."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "interpretation"
      ],
      "title": "Rôle de la variance",
      "statement": "Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que traduit le fait\nque la borne $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ est proportionnelle à la\nvariance $V$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Moins une variable est dispersée, plus ses grands écarts à\nla moyenne sont improbables",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la variance mesure la dispersion ; une\npetite variance rend les écarts importants d'autant plus\nrares. C'est le sens profond de l'inégalité."
        },
        {
          "text": "Plus la variance est grande, plus la variable est proche de\nsa moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : une **grande** variance signifie une grande\ndispersion, donc des écarts plus fréquents ; la borne\ngrossit avec $V$."
        },
        {
          "text": "La variance donne la probabilité exacte des écarts",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inégalité ne fournit qu'une **majoration**\nuniverselle, valable pour toute loi. La probabilité exacte\ndépend de la loi précise de $X$."
        },
        {
          "text": "La borne ne sert que si $V = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si $V = 0$ la variable est constante et tout est\ntrivial. C'est justement pour $V > 0$ que l'inégalité\nquantifie la rareté des écarts."
        }
      ],
      "explanation": "L'écart-type $\\sigma$ est l'unité naturelle de dispersion : la\nborne se réécrit $P(|X - \\mu| \\geq k\\sigma) \\leq\n\\dfrac{1}{k^2}$. Les écarts de plusieurs écarts-types\ndeviennent vite improbables."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "concentration",
        "enonce"
      ],
      "title": "Inégalité de concentration",
      "statement": "Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une\nvariable d'espérance $\\mu$ et de variance $V$. Que dit\nl'inégalité de concentration pour $\\delta > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{n\\,\\delta^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à\n$M_n$, dont la variance vaut $\\dfrac{V}{n}$. Le facteur $n$\nau dénominateur fait toute la force du résultat."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il manque le facteur $n$ : la moyenne d'échantillon est\n**moins dispersée** qu'une observation isolée\n($V(M_n) = V/n$), la borne doit en profiter."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{nV}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $nV$ est la variance de la **somme** $S_n$, pas de\nla moyenne. Pour $M_n$, on divise : $\\dfrac{V}{n}$."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq \\delta\\right) = \\dfrac{V}{n\\,\n\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Statut incorrect : c'est une **majoration** ($\\leq$), pas\nune égalité. La probabilité réelle est souvent bien plus\nfaible."
        }
      ],
      "explanation": "Inégalité de concentration :\n$P(|M_n - \\mu| \\geq \\delta) \\leq \\dfrac{V}{n\\delta^2}$. Quand\n$n$ grandit, la borne tend vers $0$ : la moyenne d'échantillon\nse concentre autour de $\\mu$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "concentration",
        "taille-echantillon"
      ],
      "title": "Déterminer une taille d'échantillon",
      "statement": "Soit une variable de variance $V = 1$. On veut garantir, via\nl'inégalité de concentration, que\n$P\\left(|M_n - \\mu| \\geq 0{,}5\\right) \\leq 0{,}05$. Quelle\ntaille $n$ suffit ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n \\geq 80$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la borne est $\\dfrac{V}{n\\delta^2} =\n\\dfrac{1}{0{,}25\\,n}$ ; exiger $\\dfrac{1}{0{,}25\\,n} \\leq\n0{,}05$ donne $n \\geq \\dfrac{1}{0{,}25 \\times 0{,}05} =\n80$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $n = 20$, la borne vaut\n$\\dfrac{1}{0{,}25 \\times 20} = 0{,}2$, quatre fois trop\ngrand. Le carré de $\\delta = 0{,}5$ au dénominateur\npénalise fortement."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 400$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $400 = \\dfrac{1}{0{,}05^2}$ mélange le risque et\nle seuil. Le calcul correct : $n \\geq\n\\dfrac{V}{\\delta^2 \\times 0{,}05} = 80$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'un facteur $10$ : $\\dfrac{1}{0{,}25 \\times 8} =\n0{,}5$, dix fois au-dessus du risque visé."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode (capacité attendue) : imposer\n$\\dfrac{V}{n\\delta^2} \\leq \\alpha$ et isoler $n$ :\n$n \\geq \\dfrac{V}{\\alpha\\,\\delta^2} =\n\\dfrac{1}{0{,}05 \\times 0{,}25} = 80$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi-grands-nombres",
        "enonce"
      ],
      "title": "Loi des grands nombres",
      "statement": "Que dit la loi des grands nombres pour la moyenne $M_n$ d'un\néchantillon d'une variable d'espérance $\\mu$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour tout $\\delta > 0$, $P\\left(|M_n - \\mu| \\geq\n\\delta\\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la probabilité qu'un écart donné persiste\ns'évanouit quand l'échantillon grandit : $M_n$ se concentre\nsur $\\mu$."
        },
        {
          "text": "$M_n$ devient exactement égale à $\\mu$ pour $n$ assez grand",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $M_n$ reste aléatoire pour tout $n$ ; c'est la\n**probabilité** des écarts qui s'éteint, pas l'aléa\nlui-même."
        },
        {
          "text": "$M_n$ devient constante pour $n$ assez grand",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : chaque nouvel échantillon donne une moyenne\nlégèrement différente. La dispersion diminue\n(en $1/\\sqrt{n}$) sans jamais s'annuler."
        },
        {
          "text": "La somme $S_n$ tend vers $n\\mu$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'objet : la somme s'écarte de $n\\mu$ de plus en\nplus en valeur absolue (écart-type $\\sigma\\sqrt{n}$).\nC'est la **moyenne** qui se stabilise."
        }
      ],
      "explanation": "Loi des grands nombres : pour tout $\\delta > 0$,\n$P(|M_n - \\mu| \\geq \\delta) \\to 0$ quand $n \\to +\\infty$\n(conséquence directe de l'inégalité de concentration). La\nmoyenne empirique converge vers l'espérance."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi-grands-nombres",
        "frequences"
      ],
      "title": "Fréquences et pile ou face",
      "statement": "On lance une pièce équilibrée un grand nombre de fois. Que dit\nla loi des grands nombres sur la fréquence de « pile » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle se rapproche de $0{,}5$ avec une probabilité d'écart\nqui tend vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fréquence est la moyenne d'un\néchantillon de Bernoulli d'espérance $0{,}5$ : elle se\nconcentre sur $0{,}5$."
        },
        {
          "text": "Après une série de « pile », un « face » devient plus\nprobable pour compenser",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'illusion du joueur : les lancers sont\n**indépendants**, la pièce n'a pas de mémoire. La\ncompensation se fait par dilution (les écarts pèsent de\nmoins en moins dans la fréquence), pas par correction."
        },
        {
          "text": "Le nombre de « pile » égale exactement le nombre de\n« face » dès que $n$ est pair",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité exacte est même de plus en plus rare.\nC'est la **proportion** qui se rapproche de $0{,}5$, pas\nles effectifs qui s'égalisent."
        },
        {
          "text": "La fréquence oscille sans se stabiliser",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est précisément ce que la loi des grands nombres\nexclut (en probabilité) : la fréquence se stabilise autour\nde $0{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "La loi des grands nombres relie fréquences et probabilités :\nla fréquence observée converge vers la probabilité théorique.\nAucune « mémoire » de la pièce n'est en jeu : l'écart absolu\npeut croître, mais il est dilué par $n$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "limites"
      ],
      "title": "Une borne universelle mais grossière",
      "statement": "Pour une variable $X$ d'espérance $\\mu$ et d'écart-type\n$\\sigma$, que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P\\left(|X - \\mu| \\geq 2\\sigma\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au plus $\\dfrac{1}{4}$, quelle que soit la loi de $X$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V}{(2\\sigma)^2} =\n\\dfrac{\\sigma^2}{4\\sigma^2} = \\dfrac{1}{4}$. C'est\nuniversel, valable pour **toute** loi admettant une\nvariance."
        },
        {
          "text": "Environ $0{,}05$, comme le montrent les simulations",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège du programme : $0{,}05$ est un ordre de grandeur\n**empirique** observé pour beaucoup de lois usuelles, pas\nla borne de Tchebychev. L'inégalité, universelle, ne\ngarantit que $\\dfrac{1}{4}$ : elle est loin d'être\noptimale."
        },
        {
          "text": "Exactement $\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Statut incorrect : $\\dfrac{1}{4}$ est une **majoration**.\nPour la plupart des lois, la probabilité réelle est très\ninférieure."
        },
        {
          "text": "Au plus $\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $\\dfrac{\\sigma^2}{(2\\sigma)^2} =\n\\dfrac{1}{4}$, pas $\\dfrac{1}{2}$ (le seuil entre au\ncarré)."
        }
      ],
      "explanation": "Avec $\\delta = k\\sigma$ : $P(|X - \\mu| \\geq k\\sigma) \\leq\n\\dfrac{1}{k^2}$. Pour $k = 2$ : au plus $25\\,\\%$. La force de\nl'inégalité est son universalité, sa faiblesse est d'être\nsouvent très pessimiste (simulations : autour de $5\\,\\%$)."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "concentration",
        "calcul"
      ],
      "title": "Quadrupler l'échantillon",
      "statement": "Dans l'inégalité de concentration, on multiplie la taille\nd'échantillon $n$ par $4$ (à $\\delta$ fixé). Que devient la\nborne $\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est divisée par $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la borne est inversement proportionnelle à\n$n$ : quatre fois plus de données, une garantie quatre fois\nplus forte."
        },
        {
          "text": "Elle est divisée par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division par $2$ concernerait l'écart-type de\n$M_n$ (en $1/\\sqrt{n}$). La borne de concentration, elle,\nest en $1/n$ : division par $4$."
        },
        {
          "text": "Elle est divisée par $16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la borne dépend de $n$ à la puissance $1$, pas au\ncarré. Facteur $4$, pas $16$."
        },
        {
          "text": "Elle est inchangée, seul $\\delta$ compte",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur contient le produit $n\\delta^2$ :\nla taille d'échantillon améliore directement la garantie."
        }
      ],
      "explanation": "La borne $\\dfrac{V}{n\\delta^2}$ est en $\\dfrac{1}{n}$ :\nmultiplier $n$ par $4$ la divise par $4$. (L'écart-type de\n$M_n$, lui, n'est divisé que par $2$ : deux échelles à ne pas\nconfondre.)"
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bienayme-tchebychev",
        "complementaire"
      ],
      "title": "Passer à l'événement contraire",
      "statement": "Soit $X$ d'espérance $\\mu$ et de variance $V$. Que peut-on\ndéduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\geq 1 -\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement $|X - \\mu| < \\delta$ est le\ncontraire de $|X - \\mu| \\geq \\delta$ : sa probabilité est\n**minorée** par $1 - \\dfrac{V}{\\delta^2}$."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\leq 1 -\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : en passant au complémentaire, la majoration\ndes grands écarts devient une **minoration** de la\nprobabilité de rester proche."
        },
        {
          "text": "$P\\left(|X - \\mu| < \\delta\\right) \\leq\n\\dfrac{V}{\\delta^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{V}{\\delta^2}$ majore la probabilité des\n**grands** écarts, pas celle de l'événement contraire."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien en déduire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le passage au complémentaire est immédiat :\n$P(A) = 1 - P(\\bar{A})$ transforme la majoration en\nminoration."
        }
      ],
      "explanation": "Version « rassurante » de l'inégalité :\n$P(|X - \\mu| < \\delta) \\geq 1 - \\dfrac{V}{\\delta^2}$. C'est\nsous cette forme qu'on garantit qu'une variable reste proche\nde sa moyenne avec un niveau de confiance donné."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "frequence",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Variance d'une fréquence",
      "statement": "Soit $S_n \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ et $F_n = \\dfrac{S_n}{n}$\nla fréquence de succès. Que vaut $V(F_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{p(1-p)}{n}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(F_n) = \\dfrac{V(S_n)}{n^2} =\n\\dfrac{np(1-p)}{n^2} = \\dfrac{p(1-p)}{n}$. La fréquence se\nconcentre sur $p$ quand $n$ grandit."
        },
        {
          "text": "$np(1-p)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $np(1-p)$ est la variance de la **somme** $S_n$.\nDiviser par $n$ élève $n$ au carré dans la variance :\n$V(S_n/n) = V(S_n)/n^2$."
        },
        {
          "text": "$p(1-p)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $p(1-p)$ est la variance d'**une** épreuve de\nBernoulli. En moyennant $n$ épreuves, la variance est\ndivisée par $n$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{p}{n}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il manque le facteur $(1-p)$. La variance d'une\nBernoulli est $p(1-p)$, d'où $\\dfrac{p(1-p)}{n}$ pour la\nfréquence."
        }
      ],
      "explanation": "$F_n = M_n$ pour un échantillon de Bernoulli : $E(F_n) = p$ et\n$V(F_n) = \\dfrac{p(1-p)}{n}$. Appliquer la concentration à\n$F_n$ fonde l'estimation d'une proportion par sondage."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "interpretation",
        "limites"
      ],
      "title": "Force et faiblesse de l'inégalité",
      "statement": "Quel est l'intérêt principal de l'inégalité de\nBienaymé-Tchebychev, malgré des bornes souvent grossières ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle vaut pour **toute** variable aléatoire admettant une\nvariance, sans rien connaître de sa loi",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : son universalité. Elle permet des garanties\na priori (tailles d'échantillon, loi des grands nombres)\nlà où la loi exacte est inconnue."
        },
        {
          "text": "Elle donne la valeur exacte des probabilités d'écart",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est une majoration, souvent très pessimiste\n(pour $2\\sigma$ : borne $0{,}25$ contre environ $0{,}05$\nobservé sur les lois usuelles)."
        },
        {
          "text": "Elle ne s'applique qu'aux lois binomiales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : elle s'applique à toute variable ayant une\nvariance, binomiale ou non. C'est précisément sa force."
        },
        {
          "text": "Elle remplace le calcul de l'espérance",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : elle **utilise** l'espérance et la variance ; elle\nne les fournit pas."
        }
      ],
      "explanation": "À retenir en deux phrases : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev\nest universelle (aucune hypothèse sur la loi) mais loin d'être\noptimale. Elle suffit pourtant à démontrer la loi des grands\nnombres et à dimensionner des échantillons par condition\nsuffisante."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "effet-seuil"
      ],
      "title": "Doubler le seuil d'écart",
      "statement": "Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que devient la\nborne $\\dfrac{V(X)}{a^2}$ quand on double le seuil $a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est divisée par $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le seuil intervient **au carré** :\ndoubler $a$ quadruple $a^2$ : les grands écarts sont\nquadratiquement plus rares."
        },
        {
          "text": "Elle est divisée par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré oublié : la borne dépend de $a^2$, pas de $a$ :\nfacteur $4$, pas $2$."
        },
        {
          "text": "Elle double",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : un seuil plus **exigeant** (plus grand)\nrend l'événement plus rare : la borne descend."
        },
        {
          "text": "Elle ne change pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le seuil est au dénominateur : la borne dépend\ndirectement de lui."
        }
      ],
      "explanation": "$P(|X - \\mu| \\geq a) \\leq \\frac{V(X)}{a^2}$ : la décroissance\nen $\\frac{1}{a^2}$ est le message quantitatif de\nl'inégalité : s'éloigner deux fois plus est au moins quatre\nfois plus rare."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "lgn-simulation"
      ],
      "title": "Fréquence sur un grand échantillon",
      "statement": "On simule $10\\,000$ lancers d'un dé équilibré. Autour de\nquelle valeur la fréquence d'apparition du six\ndoit-elle se stabiliser ?",
      "options": [
        {
          "text": "Autour de $\\dfrac{1}{6} \\approx 0{,}167$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : loi des grands nombres : la fréquence\nobservée converge vers la **probabilité théorique**\n$\\frac{1}{6}$ quand le nombre de lancers grandit."
        },
        {
          "text": "Autour de $\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{2}$ vaudrait pour pile ou face ; le\nsix est une face sur six : fréquence limite\n$\\frac{1}{6}$."
        },
        {
          "text": "Autour de $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : une fréquence est une **proportion** entre\n$0$ et $1$, pas la valeur de la face."
        },
        {
          "text": "Nulle part : une fréquence ne se stabilise jamais",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est précisément le contenu de la loi des\ngrands nombres : les fluctuations s'amortissent et la\nfréquence se cale sur $\\frac{1}{6}$."
        }
      ],
      "explanation": "Loi des grands nombres : la moyenne (ou fréquence)\nd'échantillon converge vers l'espérance (ou probabilité)\nthéorique. La simulation la rend visible : courbe des\nfréquences qui s'aplatit sur $\\frac{1}{6}$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "application-numerique"
      ],
      "title": "Appliquer l'inégalité avec des valeurs",
      "statement": "$X$ a pour espérance $\\mu = 100$ et pour variance $V(X) =\n25$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour\n$P(|X - 100| \\geq 10)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) \\leq \\dfrac{25}{100} = 0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{V(X)}{a^2} = \\dfrac{25}{10^2}$ :\nau plus une chance sur quatre de s'écarter d'au moins\n$10$ de la moyenne."
        },
        {
          "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) \\leq \\dfrac{25}{10} = 2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Carré oublié : le dénominateur est $a^2 = 100$ (et une\nborne de $2{,}5$ pour une probabilité ne dirait de toute\nfaçon rien)."
        },
        {
          "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) = 0{,}25$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Nature du résultat : Tchebychev fournit une\n**majoration**, jamais la valeur exacte : la vraie\nprobabilité peut être bien plus petite."
        },
        {
          "text": "$P(|X - 100| \\geq 10) \\leq \\dfrac{10}{25} = 0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction renversée : la variance est au numérateur, le\ncarré du seuil au dénominateur."
        }
      ],
      "explanation": "Application mécanique : identifier $\\mu$, $V$, $a$, puis\n$\\frac{V}{a^2}$. Bien dire « au plus » : l'inégalité borne,\nelle n'évalue pas."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "borne-inutile"
      ],
      "title": "Une borne qui ne dit rien",
      "statement": "Avec $V(X) = 25$, l'inégalité donne $P(|X - \\mu| \\geq 4)\n\\leq \\dfrac{25}{16} \\approx 1{,}56$. Que faut-il en\nconclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Rien : une probabilité est toujours $\\leq 1$, la borne\nest ici sans contenu",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : majorer par $1{,}56$ une quantité qui ne\ndépasse jamais $1$ n'apprend rien : Tchebychev n'est\nutile que pour $a > \\sigma$ (ici $a = 4 < 5 = \\sigma$)."
        },
        {
          "text": "Que l'événement est certain",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une majoration ne rend rien certain : elle\nplafonne. Et un plafond au-dessus de $1$ ne plafonne\nrien du tout."
        },
        {
          "text": "Que l'inégalité est fausse dans ce cas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inégalité reste **vraie** ($P \\leq 1 \\leq\n1{,}56$) : elle est simplement inutile, nuance\nimportante."
        },
        {
          "text": "Qu'il faut recalculer la variance",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le calcul est correct : c'est le seuil $a$,\ntrop petit devant l'écart-type, qui vide la borne de\nson intérêt."
        }
      ],
      "explanation": "Tchebychev n'informe que pour $a > \\sigma$ (borne $< 1$).\nEn deçà de l'écart-type, les écarts sont fréquents : aucune\ninégalité universelle ne peut les rendre rares."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "taille-echantillon"
      ],
      "title": "Dimensionner un échantillon",
      "statement": "$F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages ($V(F) \\leq\n\\dfrac{1}{4n}$). Quelle taille $n$ garantit, par\nBienaymé-Tchebychev, $P(|F - p| \\geq 0{,}05) \\leq\n0{,}05$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n \\geq 2000$, car $\\dfrac{1}{4n \\times 0{,}05^2} \\leq\n0{,}05 \\iff n \\geq \\dfrac{1}{4 \\times 0{,}05^3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : borne $\\dfrac{1/(4n)}{0{,}0025} =\n\\dfrac{100}{n}$ ; exiger $\\dfrac{100}{n} \\leq\n0{,}05$ donne $n \\geq 2000$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 400$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n = 400$ donne une borne $\\frac{100}{400} =\n0{,}25$ : cinq fois trop lâche pour l'objectif\n$0{,}05$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'échelle : avec $n = 20$, la borne vaut $5$ :\ntotalement vide. La double exigence (écart fin ET risque\nfaible) coûte cher en taille."
        },
        {
          "text": "Aucun $n$ ne suffit",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la borne $\\frac{100}{n}$ fond avec $n$ : tout\nobjectif est atteignable, ici dès $n = 2000$."
        }
      ],
      "explanation": "Schéma d'estimation : $V(F) \\leq \\frac{1}{4n}$, borne\n$\\frac{1}{4n\\delta^2}$, qu'on force sous le risque voulu.\nPrécision fine + risque faible = grand échantillon : le\ncoût, chiffré, des sondages sérieux."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "esperance-frequence"
      ],
      "title": "La fréquence vise juste",
      "statement": "$F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages indépendants\nde probabilité $p$. Que vaut $E(F)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$E(F) = p$ : la fréquence vise la bonne cible, quelle\nque soit la taille $n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $F = \\frac{X}{n}$ avec $X$ binomiale :\n$E(F) = \\frac{np}{n} = p$ : l'estimateur est **sans\nbiais** ; $n$ ne joue que sur la dispersion autour de\n$p$."
        },
        {
          "text": "$E(F) = np$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $np$ est l'espérance du **nombre** de\nsuccès $X$ ; la fréquence divise par $n$ : $E(F) = p$."
        },
        {
          "text": "$E(F)$ se rapproche de $p$ seulement quand $n$ grandit",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance mal placée : l'espérance vaut **exactement** $p$\ndès $n = 1$ : c'est la fréquence observée (pas son\nespérance) qui converge quand $n$ grandit."
        },
        {
          "text": "$E(F) = \\dfrac{p}{n}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{p}{n}$ tendrait vers $0$ : la fréquence\nmoyenne serait systématiquement trop basse. La division\npar $n$ s'applique à $X$, dont l'espérance est $np$."
        }
      ],
      "explanation": "$E(F) = p$ et $V(F) = \\frac{p(1-p)}{n}$ : viser juste\n(espérance) et trembler de moins en moins (variance en\n$\\frac{1}{n}$) : les deux moteurs de la loi des grands\nnombres."
    }
  ]
}