{
  "chapter": {
    "id": "continuite",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Continuité",
    "description": "Continuité en un point et sur un intervalle, lien avec la\ndérivabilité, image d'une suite convergente par une fonction\ncontinue (suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$), théorème des\nvaleurs intermédiaires, cas des fonctions strictement monotones,\nméthode de dichotomie.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition"
      ],
      "title": "Continuité en un point",
      "statement": "Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$.\nQue signifie « $f$ est continue en $a$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to a} f(x) = f(a)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la limite en $a$ existe **et** coïncide avec\nla valeur $f(a)$. Graphiquement, la courbe se trace sans\nlever le crayon au voisinage de $a$."
        },
        {
          "text": "$f$ est définie en $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : une fonction peut être définie en $a$ avec un\nsaut (par exemple $f(x) = -1$ si $x < 0$, $f(x) = 1$ si\n$x \\geq 0$, définie en $0$ mais discontinue)."
        },
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to a} f(x)$ existe",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : il faut de plus que cette limite soit **égale**\nà $f(a)$. Une limite existante mais différente de $f(a)$\nlaisse un point décroché."
        },
        {
          "text": "$f$ est dérivable en $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : la dérivabilité **entraîne** la continuité,\nmais ce n'est pas la définition, et la réciproque est fausse\n(valeur absolue en $0$)."
        }
      ],
      "explanation": "Définition : $f$ est continue en $a$ si\n$\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$. Trois exigences en une : la\nfonction est définie en $a$, la limite existe, et les deux\ncoïncident."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivabilite",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Continuité et dérivabilité",
      "statement": "Quelle affirmation est vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur\ncet intervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La dérivabilité\nest une exigence plus forte que la continuité."
        },
        {
          "text": "Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur\ncet intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $x \\mapsto |x|$ est continue sur $\\mathbb{R}$ mais\npas dérivable en $0$ (la courbe a un point anguleux)."
        },
        {
          "text": "Continuité et dérivabilité sont équivalentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : l'implication ne marche que dans un sens. La valeur\nabsolue est continue partout sans être dérivable en $0$."
        },
        {
          "text": "Une fonction continue n'est jamais dérivable",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : toutes les fonctions dérivables (polynômes,\nexponentielle…) sont continues. Les deux propriétés\ncoexistent très souvent."
        }
      ],
      "explanation": "Hiérarchie à retenir : dérivable $\\Rightarrow$ continue, mais\ncontinue $\\not\\Rightarrow$ dérivable. Contre-exemple canonique :\n$x \\mapsto |x|$ en $0$ (continue, point anguleux)."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "existence"
      ],
      "title": "Théorème des valeurs intermédiaires",
      "statement": "Soit $f$ continue sur $[1\\,;\\,4]$ avec $f(1) = -2$ et\n$f(4) = 5$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle admet **au moins** une solution dans $[1\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(1) = -2$ et\n$f(4) = 5$, et $f$ est continue : le théorème des valeurs\nintermédiaires garantit au moins un antécédent de $0$."
        },
        {
          "text": "Elle admet **exactement** une solution dans $[1\\,;\\,4]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser\nl'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse\nsupplémentaire."
        },
        {
          "text": "Elle n'admet aucune solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une\nvaleur positive en restant continue ; elle ne peut pas\n« sauter » par-dessus $0$."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs\nintermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des\nvaleurs aux bornes, sans formule."
        }
      ],
      "explanation": "TVI : si $f$ est continue sur $[a\\,;\\,b]$, alors $f$ prend\ntoute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ au moins une fois.\nIci $0 \\in [-2\\,;\\,5]$, donc $f(x) = 0$ a au moins une solution."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "unicite",
        "monotonie"
      ],
      "title": "Unicité de la solution",
      "statement": "Soit $f$ continue et **strictement croissante** sur\n$[1\\,;\\,4]$, avec $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$. Que peut-on dire\nde l'équation $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle admet une unique solution dans $[1\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs\nintermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la\nfonction ne peut pas repasser deux fois par la même\nvaleur)."
        },
        {
          "text": "Elle admet au moins deux solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une fonction strictement croissante prend\nchaque valeur **au plus une fois** ; deux antécédents de $0$\ncontrediraient la croissance stricte."
        },
        {
          "text": "Elle peut ne pas avoir de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ est entre $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$ et $f$ est\ncontinue : l'existence est garantie."
        },
        {
          "text": "La solution est $x = 2{,}5$, milieu de l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le\nthéorème donne existence et unicité, pas la valeur (on\nl'approche ensuite, par exemple par dichotomie)."
        }
      ],
      "explanation": "Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : $f$\ncontinue et strictement monotone sur $[a\\,;\\,b]$, avec $k$\ncompris entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x) = k$ admet\nune **unique** solution dans $[a\\,;\\,b]$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "piege"
      ],
      "title": "L'hypothèse de continuité est essentielle",
      "statement": "Soit $f$ définie sur $[0\\,;\\,2]$ (mais **pas nécessairement\ncontinue**) avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 1$. L'équation\n$f(x) = 0$ a-t-elle forcément une solution ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : sans continuité, la fonction peut sauter par-dessus\n$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par exemple $f(x) = -1$ sur $[0\\,;\\,1[$ et\n$f(x) = 1$ sur $[1\\,;\\,2]$ change de signe sans jamais\ns'annuler. La continuité est une hypothèse indispensable du\nthéorème."
        },
        {
          "text": "Oui, par le théorème des valeurs intermédiaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le théorème exige la **continuité**. Sans elle, sa\nconclusion s'effondre : une fonction en escalier change de\nsigne sans s'annuler."
        },
        {
          "text": "Oui, car $f$ change de signe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le changement de signe ne suffit que pour une\nfonction **continue**. Une fonction discontinue peut passer\nde $-1$ à $1$ d'un coup."
        },
        {
          "text": "Oui, si de plus $f$ est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : même croissante, une fonction discontinue peut\nsauter par-dessus $0$ (escalier croissant de $-1$ à $1$).\nC'est bien la continuité qui interdit le saut."
        }
      ],
      "explanation": "Réflexe de vérification des hypothèses : le TVI demande la\ncontinuité. Contre-exemple sans elle : la fonction en escalier\nqui vaut $-1$ puis $1$ change de signe sans s'annuler."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suite-recurrente",
        "point-fixe"
      ],
      "title": "Limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur $\\mathbb{R}$ et $(u_n)$ la\nsuite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. On suppose que $(u_n)$\nconverge vers un réel $\\ell$. Que vérifie $\\ell$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(\\ell) = \\ell$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par continuité de $f$, en passant à la\nlimite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient\n$\\ell = f(\\ell)$ : la limite est un **point fixe** de $f$."
        },
        {
          "text": "$f(\\ell) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien ne relie la limite aux zéros de $f$. Le\npassage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ donne\n$\\ell = f(\\ell)$, pas $f(\\ell) = 0$."
        },
        {
          "text": "$\\ell = u_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la suite évolue à partir de $u_0$, elle n'a aucune\nraison d'y rester. Sa limite est déterminée par l'équation\nde point fixe."
        },
        {
          "text": "$f'(\\ell) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dérivée n'intervient pas dans ce passage à la\nlimite (et $f$ n'est même pas supposée dérivable). La\npropriété utilisée est la continuité."
        }
      ],
      "explanation": "Si $u_n \\to \\ell$ et $f$ est continue en $\\ell$, alors\n$f(u_n) \\to f(\\ell)$. Or $f(u_n) = u_{n+1} \\to \\ell$. Par\nunicité de la limite : $f(\\ell) = \\ell$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "dichotomie",
        "algorithme"
      ],
      "title": "Une étape de dichotomie",
      "statement": "Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[1\\,;\\,2]$,\navec $f(1) < 0 < f(2)$. On calcule $f(1{,}5) < 0$. Dans quel\nintervalle la méthode de dichotomie localise-t-elle la solution\nde $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[1{,}5\\,;\\,2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le changement de signe se produit entre\n$f(1{,}5) < 0$ et $f(2) > 0$ : la racine est dans la moitié\ndroite."
        },
        {
          "text": "$[1\\,;\\,1{,}5]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture des signes : sur $[1\\,;\\,1{,}5]$, la\nfonction reste négative aux deux bornes ($f(1) < 0$ et\n$f(1{,}5) < 0$) : pas de traversée de zéro garantie là."
        },
        {
          "text": "$[1{,}25\\,;\\,1{,}75]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dichotomie ne recentre pas l'intervalle autour\ndu milieu, elle **choisit la moitié** où le signe change."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est tout le principe de la méthode. Le signe de\n$f$ au milieu désigne sans ambiguïté la moitié qui contient\nla racine."
        }
      ],
      "explanation": "Dichotomie : on évalue $f$ au milieu $m$ de l'intervalle. Si\n$f(m)$ a le même signe que la borne gauche, la racine est dans\n$[m\\,;\\,b]$ ; sinon dans $[a\\,;\\,m]$. Ici $f(1{,}5) < 0$ comme\n$f(1)$ : on garde $[1{,}5\\,;\\,2]$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "fonctions-usuelles"
      ],
      "title": "Continuité des fonctions usuelles",
      "statement": "Laquelle de ces fonctions est continue sur $\\mathbb{R}$ tout\nentier ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto x^3 - 2x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les fonctions polynômes sont continues sur\n$\\mathbb{R}$, comme les fonctions exponentielle, sinus et\ncosinus."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction inverse n'est pas définie en $0$, elle\nn'est donc pas continue **sur $\\mathbb{R}$** (elle l'est sur\nchacun des intervalles $]-\\infty\\,;\\,0[$ et\n$]0\\,;\\,+\\infty[$)."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sqrt{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la racine carrée n'est définie que sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$, elle ne peut pas être continue sur\n$\\mathbb{R}$ entier."
        },
        {
          "text": "La fonction qui vaut $-1$ si $x < 0$ et $1$ si $x \\geq 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette fonction saute de $-1$ à $1$ en $0$ : elle\nest définie sur $\\mathbb{R}$ mais **discontinue** en $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Sont continues sur leur ensemble de définition toutes les\nfonctions construites usuellement (polynômes, exponentielle,\nracine, inverse…). Pour être continue **sur $\\mathbb{R}$**, il\nfaut d'abord être définie sur $\\mathbb{R}$ : seul le polynôme\nconvient ici."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Localiser la solution après un calcul",
      "statement": "Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\\,;\\,1]$,\navec $f(0) = -1$ et $f(1) = 3$. On note $\\alpha$ l'unique\nsolution de $f(x) = 0$. Sachant que $f(0{,}5) = 0{,}8$, que\npeut-on dire de $\\alpha$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\alpha \\in \\,]0\\,;\\,0{,}5[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(0) = -1 < 0$ et $f(0{,}5) = 0{,}8 > 0$ :\nle changement de signe (donc $\\alpha$) se situe entre $0$ et\n$0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$\\alpha \\in \\,]0{,}5\\,;\\,1[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture : $f(0{,}5) = 0{,}8 > 0$ signifie qu'en\n$0{,}5$ la fonction a **déjà dépassé** $0$. Comme elle\ncroît, elle s'est annulée avant."
        },
        {
          "text": "$\\alpha = 0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $0{,}8$ est la **valeur** $f(0{,}5)$, une\nordonnée. $\\alpha$ est une abscisse, l'endroit où $f$\ns'annule."
        },
        {
          "text": "$\\alpha \\in \\,]0{,}4\\,;\\,0{,}5[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop précis : le seul calcul disponible localise $\\alpha$\nentre $0$ et $0{,}5$. Resserrer davantage exigerait\nd'évaluer $f$ en d'autres points."
        }
      ],
      "explanation": "On encadre $\\alpha$ par les points où $f$ change de signe :\n$f(0) < 0 < f(0{,}5)$ et $f$ strictement croissante donnent\n$\\alpha \\in \\,]0\\,;\\,0{,}5[$. Chaque nouvelle évaluation de $f$\nresserre l'encadrement (principe de la dichotomie)."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suite-convergente",
        "image"
      ],
      "title": "Image d'une suite convergente",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue en $2$ avec $f(2) = 7$, et\n$(u_n)$ une suite qui converge vers $2$. Que peut-on dire de la\nsuite $\\left(f(u_n)\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle converge vers $7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la\ncontinuité : $u_n \\to 2$ et $f$ continue en $2$ entraînent\n$f(u_n) \\to f(2) = 7$."
        },
        {
          "text": "Elle converge vers $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est la limite des **antécédents** $u_n$. La\nsuite des images $f(u_n)$ se rapproche de l'image de $2$,\nc'est-à-dire $7$."
        },
        {
          "text": "Elle converge vers $f(7)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $7$ est déjà une image ($f(2) = 7$) ; il n'y a\naucune raison de réappliquer $f$."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans monotonie de $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en\n$2$ suffit à transporter la convergence des $u_n$ vers\ncelle des $f(u_n)$."
        }
      ],
      "explanation": "Propriété clé (au programme) : si $u_n \\to a$ et $f$ est\ncontinue en $a$, alors $f(u_n) \\to f(a)$. C'est elle qui\njustifie le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "tableau-de-variations"
      ],
      "title": "Nombre de solutions d'après un tableau de variations",
      "statement": "Une fonction $f$, continue sur $[0\\,;\\,4]$, croît strictement\nde $f(0) = -3$ à $f(2) = 5$, puis décroît strictement de\n$f(2) = 5$ à $f(4) = 1$. Combien l'équation $f(x) = 0$\nadmet-elle de solutions sur $[0\\,;\\,4]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement une",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,2]$, $f$ passe de $-3$ à $5$ en\ncroissant strictement : une unique solution. Sur\n$[2\\,;\\,4]$, $f$ reste entre $5$ et $1$, toujours\nstrictement positive : aucune solution."
        },
        {
          "text": "Exactement deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe trompeur « une par branche » : sur la branche\ndécroissante, $f$ va de $5$ à $1$ **sans traverser** $0$.\nIl faut comparer $0$ aux valeurs extrêmes de chaque branche."
        },
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur $[0\\,;\\,2]$, $f$ passe de $-3$ (négatif) à $5$\n(positif) en étant continue : elle s'annule forcément."
        },
        {
          "text": "Une infinité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la stricte monotonie sur chaque branche interdit de\nrepasser plusieurs fois par la même valeur ; les solutions\nse comptent branche par branche."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : appliquer le corollaire du TVI **sur chaque intervalle\nde monotonie**, en vérifiant si $0$ est compris entre les\nvaleurs aux bornes. Branche montante $[-3\\,;\\,5]$ : une\nsolution. Branche descendante $[1\\,;\\,5]$ : $0$ n'y figure pas,\naucune solution."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tvi",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Ce que dit exactement le théorème",
      "statement": "Soit $f$ continue sur $[a\\,;\\,b]$. Que garantit exactement le\nthéorème des valeurs intermédiaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte\n**au moins une fois** sur $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : existence d'un antécédent pour chaque valeur\nintermédiaire, sans précision sur leur nombre ni sur leur\nposition."
        },
        {
          "text": "Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte\n**exactement une fois**",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : sans stricte monotonie, une valeur peut être\natteinte plusieurs fois (courbe qui oscille)."
        },
        {
          "text": "$f$ ne prend aucune valeur en dehors de\n$[f(a)\\,;\\,f(b)]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction peut dépasser ses valeurs aux bornes à\nl'intérieur de l'intervalle (un sommet au milieu). Le\nthéorème parle des valeurs **intermédiaires**, pas d'un\nencadrement de $f$."
        },
        {
          "text": "$f$ est strictement monotone sur $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la monotonie est une **hypothèse supplémentaire**\nqu'on ajoute pour obtenir l'unicité ; le théorème lui-même\nn'en dit rien."
        }
      ],
      "explanation": "Le TVI est un théorème d'**existence** : chaque valeur\nintermédiaire admet au moins un antécédent. Il ne donne ni\nunicité (il faut la stricte monotonie) ni localisation (il faut\ndes calculs, par exemple une dichotomie)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "partie-entiere",
        "discontinuite"
      ],
      "title": "Une fonction en escalier",
      "statement": "La fonction partie entière (qui à $x$ associe le plus grand\nentier inférieur ou égal à $x$) est-elle continue en $2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : elle saute de $1$ à $2$ en $x = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : juste avant $2$ ($x = 1{,}99$), elle\nvaut $1$ ; en $2$, elle vaut $2$ : le saut interdit de\ntracer la courbe sans lever le crayon."
        },
        {
          "text": "Oui : elle est définie en $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : être définie ne suffit pas : la continuité\nexige que les valeurs voisines **rejoignent** la valeur\nau point, or à gauche elles restent à $1$."
        },
        {
          "text": "Oui : les fonctions usuelles sont toutes continues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la partie entière est justement LE\ncontre-exemple usuel : continue nulle part sur les\nentiers."
        },
        {
          "text": "Non, car elle n'est pas définie en $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diagnostic faux : elle est parfaitement définie\n($\\lfloor 2 \\rfloor = 2$) : c'est le **saut à gauche**\nqui casse la continuité."
        }
      ],
      "explanation": "La partie entière est en escalier : discontinue en chaque\nentier (saut de hauteur $1$), continue partout ailleurs.\nL'exemple à citer pour montrer que « définie » n'implique\npas « continue »."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "continuite-usuelles",
        "composition"
      ],
      "title": "Continuité d'une composée usuelle",
      "statement": "Pourquoi la fonction $f(x) = e^{x^2 + 1}$ est-elle continue\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "C'est la composée de fonctions continues (un polynôme,\npuis l'exponentielle)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : polynômes et exponentielle sont continus\nsur $\\mathbb{R}$, et la composition préserve la\ncontinuité : aucun calcul de limite nécessaire."
        },
        {
          "text": "Parce qu'elle est strictement positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : le signe d'une fonction ne dit rien de sa\ncontinuité (la partie entière décalée peut être positive\net discontinue)."
        },
        {
          "text": "Parce qu'elle est définie partout",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : la partie entière aussi est définie\npartout : c'est la stabilité par composition des\nfonctions **continues** qui conclut."
        },
        {
          "text": "Il faudrait vérifier la limite en chaque point",
          "correct": false,
          "feedback": "Économie manquée : les théorèmes d'opérations (somme,\nproduit, composée de continues) évitent exactement ce\ntravail point par point."
        }
      ],
      "explanation": "Boîte à outils : polynômes, $e^x$, $\\ln$, $\\sqrt{\\ }$,\n$\\sin$, $\\cos$ sont continues sur leur domaine, et sommes,\nproduits, quotients (dénominateur non nul), composées de\ncontinues restent continues : la justification standard\ntient en une ligne."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "application"
      ],
      "title": "Appliquer le TVI à $x^3 + x - 1$",
      "statement": "Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Pourquoi l'équation $f(x) = 0$\nadmet-elle une solution dans $[0\\ ;\\ 1]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ est continue, $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ : le\nTVI conclut",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le trio complet : continuité + valeurs\nde signes opposés aux bornes : la courbe doit traverser\nl'axe entre $0$ et $1$."
        },
        {
          "text": "$f(0{,}5) = 0$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375$ : le\nTVI garantit l'existence **sans** exhiber la valeur."
        },
        {
          "text": "Tout polynôme s'annule quelque part",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux en général : $x^2 + 1$ ne s'annule jamais. C'est le\nchangement de signe **observé** qui fait fonctionner le\nthéorème."
        },
        {
          "text": "Parce que $f$ est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : la croissance seule ne donne pas de zéro\n(exponentielle !) : il faut le changement de signe ; la\ncroissance ajoutera l'**unicité**."
        }
      ],
      "explanation": "Schéma de rédaction TVI : 1) $f$ continue ; 2) $f(a)$ et\n$f(b)$ calculées, de signes opposés ; 3) conclusion\nd'existence. (Ici $f' = 3x^2 + 1 > 0$ offre en prime\nl'unicité : corollaire du TVI.)"
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "balayage",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer la solution par balayage",
      "statement": "$f$ est continue et strictement croissante, et la\ncalculatrice donne $f(1{,}32) \\approx -0{,}004 < 0$ et\n$f(1{,}33) \\approx 0{,}011 > 0$. Que peut-on conclure sur la\nsolution $\\alpha$ de $f(x) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}32 < \\alpha < 1{,}33$ : un encadrement d'amplitude\n$10^{-2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : changement de signe entre deux valeurs\nconsécutives du balayage : $\\alpha$ est coincé dans cet\nintervalle : encadrement au centième."
        },
        {
          "text": "$\\alpha = 1{,}325$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop précis : le milieu de l'intervalle est une\n**approximation** raisonnable, pas la valeur exacte : le\nbalayage ne donne que des encadrements."
        },
        {
          "text": "$\\alpha = 1{,}33$, la valeur où $f$ devient positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f(1{,}33) > 0$ strictement : le zéro est\nfranchi **avant** $1{,}33$, quelque part dans\nl'intervalle."
        },
        {
          "text": "Rien : la calculatrice ne prouve rien",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop sévère : combinés au TVI (continuité + signes), les\ncalculs de la machine fournissent un encadrement\nparfaitement rigoureux."
        }
      ],
      "explanation": "Balayage : tableau de valeurs au pas $10^{-n}$, repérer le\nchangement de signe : encadrement d'amplitude $10^{-n}$.\n(La dichotomie fait mieux : elle divise l'intervalle par $2$\nà chaque étape.)"
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "corollaire-tvi"
      ],
      "title": "Le corollaire du TVI",
      "statement": "$f$ est continue et **strictement croissante** sur\n$[2\\ ;\\ 5]$, avec $f(2) = -3$ et $f(5) = 4$. Combien de\nsolutions l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle dans $[2\\ ;\\ 5]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement une, car $1$ est compris entre $-3$ et $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : existence par le TVI ($1 \\in [-3\\ ;\\\n4]$), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne\npeut pas repasser deux fois par la même valeur)."
        },
        {
          "text": "Au moins une, peut-être plusieurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Version faible : c'est le TVI **sans** monotonie ; la\nstricte croissance interdit tout second passage :\nexactement une."
        },
        {
          "text": "Aucune : $1$ n'est ni $f(2)$ ni $f(5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens du théorème : le TVI affirme justement que\nles valeurs **intermédiaires** entre $f(2)$ et $f(5)$\nsont toutes atteintes."
        },
        {
          "text": "Deux : une en montant, une en descendant",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement\ncroissante) : un seul franchissement du niveau $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Corollaire du TVI (théorème de la bijection) : continue +\nstrictement monotone sur $[a\\ ;\\ b]$ : pour tout $k$ entre\n$f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement UNE\nsolution. Le mot « exactement » vaut des points."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "contre-exemple",
        "discontinuite"
      ],
      "title": "Sans continuité, le TVI s'effondre",
      "statement": "Une fonction $f$ définie sur $[0\\ ;\\ 2]$ vérifie $f(0) = -1$\net $f(2) = 1$, mais l'équation $f(x) = 0$ n'a aucune\nsolution. Comment est-ce possible ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ n'est pas continue : elle saute par-dessus la valeur\n$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sans continuité, rien n'oblige à passer\npar les valeurs intermédiaires : une fonction en\nescalier (par exemple $-1$ puis $1$) enjambe le zéro."
        },
        {
          "text": "C'est impossible : le TVI l'interdit",
          "correct": false,
          "feedback": "Le TVI ne s'applique qu'aux fonctions **continues** :\nl'énoncé décrit précisément une fonction qui ne l'est\npas."
        },
        {
          "text": "$f$ n'est pas définie en $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contradiction avec l'énoncé : $f(0) = -1$ : elle est\ndéfinie ; c'est la continuité, pas la définition, qui\nmanque."
        },
        {
          "text": "$f$ prend des valeurs complexes entre les deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors cadre : les fonctions du programme sont à valeurs\nréelles : l'explication est le saut d'une fonction\ndiscontinue."
        }
      ],
      "explanation": "L'hypothèse de continuité n'est pas décorative : c'est elle\nqui force le passage par toutes les valeurs intermédiaires.\nToute rédaction du TVI doit la mentionner explicitement,\nsous peine d'appliquer un théorème faux."
    }
  ]
}