{
  "chapter": {
    "id": "denombrement",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Algèbre et géométrie",
    "title": "Combinatoire et dénombrement",
    "description": "Principes additif et multiplicatif, $k$-uplets d'un ensemble\n($n^k$), $k$-uplets d'éléments distincts, permutations et\nfactorielle, nombre de parties d'un ensemble ($2^n$),\ncombinaisons $\\binom{n}{k}$, symétrie et triangle de Pascal,\nmodélisation (mots, chemins, tirages).",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "principe-multiplicatif"
      ],
      "title": "Principe multiplicatif",
      "statement": "Un menu se compose d'une entrée choisie parmi $3$ et d'un plat\nchoisi parmi $4$. Combien de menus différents peut-on\ncomposer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les choix sont successifs et indépendants :\n$3 \\times 4 = 12$ menus (principe multiplicatif)."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 + 4$ compterait un choix **ou** l'autre\n(principe additif, pour des cas disjoints). Ici on choisit\nune entrée **et** un plat : on multiplie."
        },
        {
          "text": "$3^4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3^4 = 81$ compterait $4$ choix successifs parmi\n$3$ options. Ici il n'y a que deux choix : un parmi $3$,\npuis un parmi $4$."
        },
        {
          "text": "$4^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4^3 = 64$ compterait $3$ choix successifs parmi\n$4$ options. La situation n'a que deux étapes :\n$3 \\times 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Principe multiplicatif : une situation en étapes successives à\n$n_1$, puis $n_2$ choix, offre $n_1 \\times n_2$ possibilités.\nLe principe additif ($+$) sert pour des cas **disjoints** (l'un\nou l'autre)."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "permutations",
        "factorielle"
      ],
      "title": "Permutations",
      "statement": "De combien de façons peut-on aligner $5$ livres distincts sur\nune étagère ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5! = 120$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5$ choix pour la première place, $4$ pour\nla deuxième, etc. : $5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1\n= 120$ permutations."
        },
        {
          "text": "$5^5 = 3125$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5^5$ autoriserait de replacer le même livre à\nplusieurs endroits. Les livres étant tous placés une seule\nfois, les choix diminuent à chaque étape : c'est $5!$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 \\times 5$ ne modélise que deux étapes avec\nremise. Un alignement complet en compte cinq, sans remise :\n$5!$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ est le nombre de choix pour la **première**\nplace seulement. Chaque place suivante multiplie encore les\npossibilités."
        }
      ],
      "explanation": "Le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments est\n$n! = n \\times (n-1) \\times \\cdots \\times 1$. Ici $5! = 120$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "k-uplets"
      ],
      "title": "$k$-uplets avec répétition",
      "statement": "Combien existe-t-il de codes à $4$ chiffres (chaque chiffre\nallant de $0$ à $9$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^4 = 10\\,000$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10$ choix pour chacune des $4$ positions,\nrépétitions permises : $10 \\times 10 \\times 10 \\times 10 =\n10^4$ ($4$-uplets d'un ensemble à $10$ éléments)."
        },
        {
          "text": "$4^{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant inversé : la base est le nombre d'options par\nposition ($10$), l'exposant le nombre de positions ($4$).\n$4^{10}$ compterait des mots de $10$ lettres sur $4$\nsymboles."
        },
        {
          "text": "$10 \\times 9 \\times 8 \\times 7 = 5\\,040$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce calcul interdit les répétitions (chiffres tous\ndistincts). Or un code comme $7\\,7\\,2\\,2$ est permis :\n$10^4$."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 \\times 4$ ne correspond à aucun principe de\ndénombrement ici. Les choix se **multiplient** position par\nposition : $10^4$."
        }
      ],
      "explanation": "Nombre de $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments (répétitions\nautorisées) : $n^k$. Ici $10^4 = 10\\,000$ codes."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arrangements"
      ],
      "title": "$k$-uplets d'éléments distincts",
      "statement": "Huit coureurs disputent une finale. Combien y a-t-il de podiums\npossibles (premier, deuxième, troisième) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8 \\times 7 \\times 6 = 336$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les places sont **ordonnées** et un coureur\nn'occupe qu'une place : $8$ choix pour l'or, $7$ pour\nl'argent, $6$ pour le bronze."
        },
        {
          "text": "$8^3 = 512$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8^3$ autoriserait un même coureur sur plusieurs\nmarches. Les éléments doivent être **distincts** : les\nchoix décroissent, $8 \\times 7 \\times 6$."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{8}{3} = 56$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la combinaison ignore l'**ordre**, elle compterait\nles trios de médaillés sans distinguer or, argent, bronze.\nUn podium est ordonné : $56 \\times 3! = 336$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $24 = 3!$ est le nombre de façons d'ordonner un\ntrio **déjà choisi**. Il faut aussi choisir le trio parmi\nles huit coureurs."
        }
      ],
      "explanation": "Nombre de $k$-uplets d'éléments **distincts** d'un ensemble à\n$n$ éléments : $n \\times (n-1) \\times \\cdots \\times (n-k+1)$.\nIci $8 \\times 7 \\times 6 = 336$ : l'ordre compte, pas de\nrépétition."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "combinaisons"
      ],
      "title": "Choisir sans ordre",
      "statement": "Combien de façons y a-t-il de choisir $3$ délégués parmi $8$\nélèves (les trois rôles étant identiques) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{8}{3} = 56$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les rôles étant interchangeables, seul le\n**groupe** compte : c'est une combinaison,\n$\\binom{8}{3} = \\dfrac{8 \\times 7 \\times 6}{3!} = 56$."
        },
        {
          "text": "$336$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8 \\times 7 \\times 6$ compte les choix\n**ordonnés**. Chaque groupe de $3$ y apparaît $3! = 6$\nfois : il faut diviser, $336 / 6 = 56$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $24 = 8 \\times 3$ ne correspond à aucun\ndénombrement de la situation. La formule est\n$\\binom{8}{3} = 56$."
        },
        {
          "text": "$512$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8^3$ compte des triplets avec répétition (un\nélève cumulant plusieurs postes). On choisit ici une\n**partie** à 3 éléments : $\\binom{8}{3}$."
        }
      ],
      "explanation": "Une combinaison compte les **parties** à $k$ éléments d'un\nensemble à $n$ éléments : $\\binom{n}{k} =\n\\dfrac{n(n-1)\\cdots(n-k+1)}{k!}$. L'ordre du choix ne compte\npas. Ici $\\binom{8}{3} = 56$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parties"
      ],
      "title": "Nombre de parties d'un ensemble",
      "statement": "Combien un ensemble à $5$ éléments possède-t-il de parties\n(sous-ensembles, y compris $\\varnothing$ et lui-même) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^5 = 32$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour chaque élément, deux possibilités\n(dedans ou dehors), d'où $2 \\times 2 \\times 2 \\times 2\n\\times 2 = 32$ parties."
        },
        {
          "text": "$5^2 = 25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant et base inversés : c'est $2$ choix (présent ou\nabsent) répété $5$ fois, donc $2^5$, pas $5^2$."
        },
        {
          "text": "$5! = 120$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la factorielle compte les **ordres** (les\npermutations). Une partie n'est pas ordonnée : $2^5 = 32$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 = \\binom{5}{2}$ ne compte que les parties à\n**deux** éléments. Il faut toutes les tailles, de $0$ à\n$5$ : $32$ en tout."
        }
      ],
      "explanation": "Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties : chaque élément est\nindépendamment retenu ou écarté. C'est aussi\n$\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k} = 2^n$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "combinaisons",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer $\\dbinom{6}{2}$",
      "statement": "Que vaut $\\dbinom{6}{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\binom{6}{2} = \\dfrac{6 \\times 5}{2!} =\n\\dfrac{30}{2} = 15$."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la division par $2!$ : $6 \\times 5 = 30$ compte\nles couples **ordonnés**. Chaque paire y figure deux fois :\n$30/2 = 15$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 \\times 2 = 12$ n'est pas la formule. On\ncalcule $\\dfrac{6 \\times 5}{2} = 15$."
        },
        {
          "text": "$720$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $720 = 6!$ compte toutes les permutations de $6$\néléments, pas les paires. $\\binom{6}{2} =\n\\dfrac{6!}{2!\\,4!} = 15$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\binom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}$. Ici\n$\\dfrac{6 \\times 5}{2} = 15$ : quinze paires possibles parmi\nsix éléments."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "symetrie"
      ],
      "title": "Utiliser la symétrie des combinaisons",
      "statement": "Que vaut $\\dbinom{10}{8}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{10}{2} = 45$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par symétrie $\\binom{n}{k} =\n\\binom{n}{n-k}$ : choisir les $8$ retenus revient à choisir\nles $2$ écartés. $\\binom{10}{2} = \\dfrac{10 \\times 9}{2} =\n45$."
        },
        {
          "text": "$90$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la division par $2!$ : $10 \\times 9 = 90$ compte\nles couples ordonnés d'écartés ; il faut diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$80$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 \\times 8$ n'est pas une formule de\ncombinaison. Le raccourci est la symétrie :\n$\\binom{10}{8} = \\binom{10}{2} = 45$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 - 8 + 3$ ? Aucun calcul simple ne donne $5$.\nSymétrie puis formule : $\\binom{10}{2} = 45$."
        }
      ],
      "explanation": "Symétrie : $\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}$, car choisir les\nélus équivaut à choisir les exclus. Toujours basculer vers le\npetit indice : $\\binom{10}{8} = \\binom{10}{2} = 45$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "triangle-pascal"
      ],
      "title": "Relation de Pascal",
      "statement": "Quelle égalité constitue la relation de Pascal (pour\n$0 \\leq k \\leq n - 1$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} = \\dbinom{n+1}{k+1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque coefficient du triangle de Pascal\nest la somme des deux coefficients situés juste au-dessus\nde lui."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} \\times \\dbinom{n}{k+1} = \\dbinom{n+1}{k+1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la relation est **additive** (une somme), pas\nmultiplicative. Teste : $\\binom{2}{0} + \\binom{2}{1} = 3 =\n\\binom{3}{1}$."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} + \\dbinom{n}{k+1} = \\dbinom{n}{k+2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme fait passer à la ligne **suivante** du\ntriangle ($n+1$), pas deux cases plus loin sur la même\nligne."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} = \\dbinom{n-1}{k} \\times n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce n'est pas la relation de Pascal (et l'égalité\nest fausse en général : $\\binom{4}{2} = 6 \\neq\n\\binom{3}{2} \\times 4 = 12$)."
        }
      ],
      "explanation": "Relation de Pascal : $\\binom{n}{k} + \\binom{n}{k+1} =\n\\binom{n+1}{k+1}$. Interprétation combinatoire : pour choisir\n$k+1$ objets parmi $n+1$, on sépare les choix contenant ou non\nun objet fixé."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "somme-combinaisons"
      ],
      "title": "Somme d'une ligne du triangle de Pascal",
      "statement": "Que vaut la somme\n$\\dbinom{5}{0} + \\dbinom{5}{1} + \\dbinom{5}{2} + \\dbinom{5}{3}\n+ \\dbinom{5}{4} + \\dbinom{5}{5}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^5 = 32$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k} = 2^n$\n(démonstration au programme : on compte les parties d'un\nensemble à $n$ éléments de deux façons)."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5^2$ inverse base et exposant. La somme d'une\nligne du triangle de Pascal double à chaque ligne : c'est\n$2^n$."
        },
        {
          "text": "$31$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $31 = 2^5 - 1$ oublie un terme (souvent\n$\\binom{5}{0} = 1$, la partie vide). La somme complète vaut\n$32$."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $64 = 2^6$ est la somme de la ligne **suivante**\n($n = 6$). Pour $n = 5$ : $2^5 = 32$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k} = 2^n$ : regrouper les parties d'un\nensemble à $n$ éléments par taille $k$ redonne le nombre total\nde parties. Pour $n = 5$ : $1+5+10+10+5+1 = 32$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "mots"
      ],
      "title": "Mots binaires à nombre de « 1 » fixé",
      "statement": "Combien existe-t-il de mots de longueur $6$ formés de $0$ et de\n$1$ contenant **exactement deux** « 1 » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{6}{2} = 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un tel mot est entièrement déterminé par le\nchoix des $2$ positions des « 1 » parmi les $6$ :\n$\\binom{6}{2} = 15$."
        },
        {
          "text": "$2^6 = 64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^6$ compte **tous** les mots de longueur $6$,\nsans contrainte sur le nombre de « 1 ». La contrainte\nréduit à $\\binom{6}{2}$."
        },
        {
          "text": "$6 \\times 5 = 30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce produit ordonne les deux positions (première\npuis deuxième), comptant chaque mot deux fois. Il faut\ndiviser par $2$ : $15$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 \\times 2$ ne modélise pas le choix des\npositions. Le bon objet est une combinaison :\n$\\binom{6}{2} = 15$."
        }
      ],
      "explanation": "Lien fondamental du programme : les mots de longueur $n$ sur\n$\\{0\\,;\\,1\\}$ ayant exactement $k$ « 1 » sont au nombre de\n$\\binom{n}{k}$ (choix des positions). C'est le même comptage\nque les chemins d'un arbre et les issues d'un schéma de\nBernoulli."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "piege"
      ],
      "title": "Tirage simultané",
      "statement": "On tire **simultanément** $2$ cartes dans un jeu de $32$\ncartes. Combien y a-t-il de tirages possibles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{32}{2} = 496$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « simultanément » signifie sans ordre :\non compte les paires, $\\binom{32}{2} =\n\\dfrac{32 \\times 31}{2} = 496$."
        },
        {
          "text": "$32 \\times 31 = 992$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce produit compte les tirages **successifs sans\nremise** (ordre retenu). En tirage simultané, la paire\n{as, roi} et {roi, as} sont le même tirage : on divise par\n$2$."
        },
        {
          "text": "$32^2 = 1024$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $32^2$ compte les tirages successifs **avec\nremise** (la même carte pouvant sortir deux fois), ce qui\nest impossible simultanément."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $32 \\times 2$ ne correspond à aucun principe de\ncomptage. Paires parmi $32$ : $\\binom{32}{2} = 496$."
        }
      ],
      "explanation": "Traduire l'énoncé en modèle : « simultanément » = sans ordre =\ncombinaisons ; « successivement sans remise » = $k$-uplets\ndistincts ; « avec remise » = $k$-uplets quelconques ($n^k$).\nIci : $\\binom{32}{2} = 496$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "factorielle",
        "convention"
      ],
      "title": "La convention $0! = 1$",
      "statement": "Que vaut $0!$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : convention cohérente : il y a exactement\nune façon d'ordonner zéro objet (ne rien faire), et elle\nfait marcher toutes les formules ($\\binom{n}{0} =\n\\frac{n!}{0!\\,n!} = 1$)."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $0! = 0$, toutes les formules en\nfactorielle diviseraient par zéro : la convention\n$0! = 1$ est justement choisie pour les sauver."
        },
        {
          "text": "Non défini",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0!$ est parfaitement défini, par convention\négale à $1$ : le produit vide vaut $1$ (comme une somme\nvide vaut $0$)."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une factorielle compte des façons d'ordonner :\njamais négative."
        }
      ],
      "explanation": "$0! = 1$ : le produit de zéro facteur vaut $1$ (élément\nneutre de la multiplication). Indispensable pour\n$\\binom{n}{0} = \\binom{n}{n} = 1$ : les cas extrêmes des\nformules."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "combinaisons",
        "application"
      ],
      "title": "Les poignées de main",
      "statement": "Huit personnes se serrent toutes la main une fois. Combien\nde poignées de main sont échangées ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{8}{2} = 28$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une poignée de main = une **paire** de\npersonnes, sans ordre : $\\binom{8}{2} = \\frac{8 \\times\n7}{2} = 28$."
        },
        {
          "text": "$8 \\times 7 = 56$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double comptage : $56$ compte les paires **ordonnées**\n(Alice-Bob et Bob-Alice) : une poignée de main n'a pas\nde sens : diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$8^2 = 64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $64$ inclut les couples ordonnés ET les\n« poignées avec soi-même » : la bonne structure est la\npaire non ordonnée d'éléments distincts."
        },
        {
          "text": "$8! = 40320$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8!$ ordonne les huit personnes en file : rien\nà voir avec le choix de $2$ personnes parmi $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Choisir $2$ objets parmi $n$ sans ordre : $\\binom{n}{2} =\n\\frac{n(n-1)}{2}$. Modèle des poignées de main, des matchs\nd'un tournoi, des segments joignant $n$ points…"
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arrangements"
      ],
      "title": "Le podium",
      "statement": "Dix coureurs disputent une course. Combien de podiums\n(premier, deuxième, troisième) sont possibles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10 \\times 9 \\times 8 = 720$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : trois choix successifs sans répétition,\net l'**ordre compte** (or, argent, bronze) : un\n$3$-uplet d'éléments distincts."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{10}{3} = 120$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre perdu : $120$ compte les **groupes** de trois\nmédaillés sans distinguer or, argent, bronze : chaque\ngroupe donne $3! = 6$ podiums : $120 \\times 6 = 720$."
        },
        {
          "text": "$10^3 = 1000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétition indue : $1000$ autorise le même coureur aux\ntrois places : impossible dans une course."
        },
        {
          "text": "$10 + 9 + 8 = 27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les choix successifs se **multiplient**\n(principe multiplicatif), ils ne s'additionnent pas."
        }
      ],
      "explanation": "Ordre + sans répétition = $k$-uplet d'éléments distincts :\n$n(n-1)\\cdots(n-k+1)$. La question à se poser d'abord :\nl'ordre compte-t-il ? Oui → produit décroissant ; non →\ncombinaison."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complementaire"
      ],
      "title": "Compter par le complémentaire",
      "statement": "Combien de mots binaires de longueur $5$ contiennent **au\nmoins un** $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^5 - 1 = 31$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le total ($2^5 = 32$) moins le seul mot\nsans aucun $1$ ($00000$) : « au moins un » se compte\npresque toujours par le complémentaire."
        },
        {
          "text": "$2^5 = 32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un mot de trop : $00000$ ne contient aucun $1$ : il faut\nle retirer du total."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ compte les mots avec **exactement un** $1$\n($\\binom{5}{1}$) : « au moins un » englobe un, deux…\njusqu'à cinq $1$."
        },
        {
          "text": "$2^4 = 16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : fixer un $1$ quelque part ne modélise pas « au\nmoins un » (surcomptage et sous-comptage mêlés). La voie\nsûre : total moins le cas interdit."
        }
      ],
      "explanation": "« Au moins un » = total moins « aucun » : un seul calcul au\nlieu d'une somme de cinq termes ($\\binom{5}{1} + \\dots +\n\\binom{5}{5} = 31$, le contrôle). Réflexe valable tel quel\nen probabilités."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "permutations",
        "anagrammes"
      ],
      "title": "Anagrammes de MATHS",
      "statement": "Combien d'anagrammes (mots avec ou sans sens) peut-on former\navec les lettres du mot MATHS ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5! = 120$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : cinq lettres **toutes distinctes** à\nordonner : une permutation de $5$ objets, soit $5! =\n120$."
        },
        {
          "text": "$5^5 = 3125$",
          "correct": false,
          "feedback": "Répétition indue : $5^5$ autorise MMMMM : chaque lettre\nne peut servir qu'une fois : factorielle, pas puissance."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{5}{5} = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la combinaison choisit **sans ordonner** :\nchoisir les $5$ lettres parmi $5$, certes une façon,\nmais l'anagramme est un **ordre** : $5!$."
        },
        {
          "text": "$5 \\times 4 = 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arrêt prématuré : le produit continue jusqu'au bout :\n$5 \\times 4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 120$."
        }
      ],
      "explanation": "Permutation de $n$ objets distincts : $n!$. (Avec des\nlettres répétées, on diviserait par les factorielles des\nrépétitions : hors programme, mais la question tombe avec\ndes lettres distinctes.)"
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "combinaisons",
        "principe-multiplicatif"
      ],
      "title": "Comité avec contrainte",
      "statement": "Un groupe compte $5$ filles et $4$ garçons. Combien de\ncomités de $3$ personnes contiennent exactement $2$ filles ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{5}{2} \\times \\dbinom{4}{1} = 10 \\times 4 = 40$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux choix indépendants : les $2$ filles\nparmi $5$, puis le garçon parmi $4$ : le principe\nmultiplicatif assemble les deux."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{9}{3} = 84$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrainte ignorée : $84$ compte **tous** les comités de\n$3$, y compris ceux à $0$, $1$ ou $3$ filles."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{5}{2} + \\dbinom{4}{1} = 14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu de multiplication : on choisit les\nfilles **et** le garçon : étapes successives = produit\n(la somme servirait pour des cas exclusifs)."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{5}{2} = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : le comité a $3$ membres : après les $2$\nfilles, il reste à choisir le garçon ($4$ façons)."
        }
      ],
      "explanation": "Schéma « exactement $k$ de type A » : $\\binom{|A|}{k} \\times\n\\binom{|B|}{r-k}$ : combinaison dans chaque catégorie,\nproduit entre catégories. La structure exacte des questions\nde loi hypergéométrique déguisée… et des sujets de bac."
    }
  ]
}