{
  "chapter": {
    "id": "derivation-convexite",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Dérivation et convexité",
    "description": "Dérivées usuelles et opérations (produit, quotient, composée\n$e^{u}$), tangente, lien signe de la dérivée / variations,\nconvexité : dérivée seconde, position par rapport aux tangentes,\npoints d'inflexion, inégalités de convexité.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "derivees-usuelles"
      ],
      "title": "Dérivée de $x^3$",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$\npar $f(x) = x^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 3x^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(x^n)' = n\\,x^{n-1}$, ici $n = 3$ donne\n$3x^2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du coefficient : l'exposant descend en facteur.\n$(x^3)' = 3x^2$, pas $x^2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 3x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant doit **diminuer** de $1$. On multiplie\npar $3$ puis on passe à $x^2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{x^4}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $\\dfrac{x^4}{4}$ est une **primitive** de\n$x^3$, c'est l'opération inverse de la dérivation."
        }
      ],
      "explanation": "Formule $(x^n)' = n\\,x^{n-1}$ : l'exposant descend en facteur et\ndiminue de $1$. Donc $(x^3)' = 3x^2$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "tangente"
      ],
      "title": "Équation de la tangente",
      "statement": "Soit $f$ dérivable en $a$. Quelle est l'équation de la tangente à\nla courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = f'(a)(x - a) + f(a)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : droite de pente $f'(a)$ passant par le point\n$(a\\,;\\,f(a))$."
        },
        {
          "text": "$y = f(a)(x - a) + f'(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'échange : la **pente** est le nombre dérivé\n$f'(a)$, et le point de passage a pour ordonnée $f(a)$, pas\nl'inverse."
        },
        {
          "text": "$y = f'(a)\\,x + f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il manque le décalage $-a$. Cette droite passe par\n$(0\\,;\\,f(a))$ et non par le point de tangence\n$(a\\,;\\,f(a))$ (sauf si $a = 0$)."
        },
        {
          "text": "$y = f'(x)(x - a) + f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la pente d'une tangente est un **nombre**, $f'(a)$,\névalué au point de tangence. Avec $f'(x)$, l'équation ne\ndécrit plus une droite."
        }
      ],
      "explanation": "Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Elle passe par\n$(a\\,;\\,f(a))$ et a pour coefficient directeur le nombre dérivé\n$f'(a)$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "produit"
      ],
      "title": "Dérivée d'un produit",
      "statement": "Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables. Quelle est la\ndérivée du produit $uv$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(uv)' = u'v + uv'$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque facteur est dérivé à tour de rôle,\nl'autre restant intact, puis on additionne."
        },
        {
          "text": "$(uv)' = u'v'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur très fréquente : la dérivée d'un produit n'est\n**pas** le produit des dérivées. Contre-exemple :\n$(x \\cdot x)' = 2x$ alors que $x' \\cdot x' = 1$."
        },
        {
          "text": "$(uv)' = u'v - uv'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le **moins** apparaît dans la dérivée d'un\nquotient (au numérateur), pas dans celle d'un produit."
        },
        {
          "text": "$(uv)' = u' + v'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $u' + v'$ est la dérivée de la **somme** $u + v$.\nLe produit suit la règle $u'v + uv'$."
        }
      ],
      "explanation": "Règle du produit : $(uv)' = u'v + uv'$. À distinguer de la somme\n($(u+v)' = u' + v'$) et du quotient\n($\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$)."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "composee",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Dérivée de $e^{2x}$",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$\npar $f(x) = e^{2x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 2\\,e^{2x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ avec $u(x) = 2x$ et\n$u'(x) = 2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = e^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $u'$ : seule $e^x$ est sa propre dérivée.\nPour $e^{2x}$, la dérivation fait sortir le facteur $2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2\\,e^{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde\n$e^{2x}$ et on multiplie par $u' = 2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2x\\,e^{2x - 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as appliqué la règle des puissances\n$(x^n)' = nx^{n-1}$ à une exponentielle. Ici la variable est\nen **exposant** : la règle est $(e^u)' = u'e^u$."
        }
      ],
      "explanation": "$(e^{u})' = u'\\,e^{u}$. Avec $u(x) = 2x$ :\n$f'(x) = 2\\,e^{2x}$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variations",
        "signe-derivee"
      ],
      "title": "Du signe de $f'$ aux variations",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec\n$f'(x) = (x - 2)(x + 1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle\ndécroissante ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sur $[-1\\,;\\,2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'$ est un trinôme de racines $-1$ et $2$\navec coefficient dominant positif : $f' < 0$ entre ses\nracines, donc $f$ décroît sur $[-1\\,;\\,2]$."
        },
        {
          "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x < -1$, les deux facteurs sont négatifs et\nleur produit est **positif** : $f$ y est croissante."
        },
        {
          "text": "Sur $[2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x > 2$, les deux facteurs sont positifs,\ndonc $f' > 0$ et $f$ croît."
        },
        {
          "text": "Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un produit est négatif quand ses deux facteurs sont\nde **signes contraires**, ce qui arrive ici pour\n$-1 < x < 2$."
        }
      ],
      "explanation": "$f'(x) = (x-2)(x+1)$ est négatif exactement entre ses racines\n$-1$ et $2$ (trinôme à coefficient dominant positif). Donc $f$\nest décroissante sur $[-1\\,;\\,2]$ et croissante ailleurs."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "convexite",
        "definition"
      ],
      "title": "Convexité et dérivée seconde",
      "statement": "Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$. À quelle\ncondition $f$ est-elle convexe sur $I$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f''(x) \\geq 0$ pour tout $x$ de $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ convexe sur $I$ équivaut à $f''$ positive\nsur $I$ (c'est-à-dire $f'$ croissante)."
        },
        {
          "text": "$f''(x) \\leq 0$ pour tout $x$ de $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f'' \\leq 0$ caractérise la **concavité**. Moyen\nmémo : la parabole $x^2$ est convexe et $(x^2)'' = 2 > 0$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) \\geq 0$ pour tout $x$ de $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f' \\geq 0$ donne la **croissance**, pas la\nconvexité. Une fonction peut être décroissante et convexe\n(comme $e^{-x}$)."
        },
        {
          "text": "$f(x) \\geq 0$ pour tout $x$ de $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe de $f$ elle-même n'a aucun lien avec sa\nforme. La convexité parle de la **courbure**, lue sur $f''$."
        }
      ],
      "explanation": "Hiérarchie à retenir : le signe de $f$ dit où est la courbe, le\nsigne de $f'$ dit si elle monte, le signe de $f''$ dit comment\nelle tourne : $f'' \\geq 0$ sur $I$ $\\Leftrightarrow$ $f$ convexe\nsur $I$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inflexion",
        "piege"
      ],
      "title": "Point d'inflexion",
      "statement": "Soit $f$ deux fois dérivable. Que faut-il pour que la courbe de\n$f$ admette un point d'inflexion en $x = a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Que $f''$ s'annule en $a$ **en changeant de signe**",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'inflexion est un changement de courbure\n(convexe/concave), donc un changement de signe de $f''$."
        },
        {
          "text": "Que $f''(a) = 0$, cela suffit",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège classique : pour $f(x) = x^4$, $f''(0) = 0$ mais\n$f'' = 12x^2 \\geq 0$ ne change pas de signe : pas\nd'inflexion en $0$, la courbe reste convexe."
        },
        {
          "text": "Que $f'(a) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f'(a) = 0$ signale une tangente horizontale\n(extremum possible), pas un changement de courbure."
        },
        {
          "text": "Que la tangente en $a$ soit horizontale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inflexion n'impose rien à la pente. En un point\nd'inflexion, la tangente **traverse** la courbe, qu'elle\nsoit horizontale ou non."
        }
      ],
      "explanation": "Point d'inflexion $\\Leftrightarrow$ changement de convexité\n$\\Leftrightarrow$ $f''$ change de signe. L'annulation seule de\n$f''$ ne suffit pas ($x^4$ en $0$)."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "convexite"
      ],
      "title": "Lire la convexité sur une courbe",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente la fonction $f$\ndéfinie par $f(x) = x^3 - 3x$. Sur quel intervalle $f$\nest-elle convexe ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-4,-2,2,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.25:2.25,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x*\\x-3*\\x});\n  \\node[blue,font=\\small] at (2.45,3.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte\njusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum\nlocal (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée\nvers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite\nde 0.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"131.804pt\" height=\"211.707pt\" viewBox=\"0 0 131.804 211.707\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.328125 -3 C 3.390625 -3.265625 3.609375 -4.1875 4.3125 -4.1875 C 4.359375 -4.1875 4.59375 -4.1875 4.8125 -4.046875 C 4.53125 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.359375 4.4375 -3.171875 4.703125 -3.171875 C 4.921875 -3.171875 5.25 -3.34375 5.25 -3.75 C 5.25 -4.265625 4.65625 -4.40625 4.3125 -4.40625 C 3.75 -4.40625 3.390625 -3.875 3.28125 -3.640625 C 3.03125 -4.296875 2.484375 -4.40625 2.203125 -4.40625 C 1.171875 -4.40625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.9375 1.84375 -4.1875 2.1875 -4.1875 C 2.375 -4.1875 2.71875 -4.09375 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.1875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.953125 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.84375 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.375 0.109375 4.9375 -1.171875 4.9375 -1.421875 C 4.9375 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.734375 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.6875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.328125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.84375 -3.796875 C 4.875 -3.9375 4.875 -3.953125 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.203125 4.734375 -4.296875 4.59375 -4.296875 C 4.484375 -4.296875 4.328125 -4.234375 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 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-3.921875 C 3.015625 -3.984375 3.078125 -4 3.15625 -4 C 3.265625 -4 3.359375 -4 3.4375 -3.953125 C 3.3125 -3.90625 3.21875 -3.765625 3.21875 -3.625 C 3.21875 -3.5 3.3125 -3.40625 3.453125 -3.40625 C 3.609375 -3.40625 3.796875 -3.53125 3.796875 -3.765625 C 3.796875 -4.09375 3.421875 -4.203125 3.15625 -4.203125 C 2.890625 -4.203125 2.484375 -4.078125 2.3125 -3.484375 C 2.265625 -3.328125 2.25 -3.21875 2.203125 -3 C 2.171875 -2.828125 2.15625 -2.75 2.125 -2.578125 L 1.640625 -2.578125 C 1.515625 -2.578125 1.4375 -2.578125 1.4375 -2.421875 C 1.4375 -2.328125 1.515625 -2.328125 1.625 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.75 -0.4375 C 1.5625 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.765625 C 1.390625 0.90625 1.296875 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.109375 1.015625 0.96875 1.015625 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.109375 0.78125 1.109375 0.640625 C 1.109375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.140625 1.21875 C 1.46875 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.578125 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 3 8 L 116 8 L 116 211.402344 L 3 211.402344 Z M 3 8 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -53.573507 -79.369499 L 53.573872 -79.369499 M -53.573507 -59.527537 L 53.573872 -59.527537 M -53.573507 -39.685575 L 53.573872 -39.685575 M -53.573507 -19.843613 L 53.573872 -19.843613 M -53.573507 -0.00165019 L 53.573872 -0.00165019 M -53.573507 19.844224 L 53.573872 19.844224 M -53.573507 39.686186 L 53.573872 39.686186 M -53.573507 59.528149 L 53.573872 59.528149 M -53.573507 79.370111 L 53.573872 79.370111 M -39.685699 -93.26122 L -39.685699 93.261832 M -19.843736 -93.26122 L -19.843736 93.261832 M -0.00177396 -93.26122 L -0.00177396 93.261832 M 19.8441 -93.26122 L 19.8441 93.261832 M 39.686063 -93.26122 L 39.686063 93.261832 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -57.544247 -0.00165019 L 57.145581 -0.00165019 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072675 2.39253 C -1.693205 0.956804 -0.848201 0.280018 0.000716203 -0.00165019 C -0.848201 -0.279406 -1.693205 -0.956193 -2.072675 -2.391918 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 116.905535, 112.131165)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"120.617635\" y=\"119.929568\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00177396 -97.228048 L -0.00177396 96.82963 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073987 2.392042 C -1.694517 0.956316 -0.849512 0.27953 -0.000595414 0.00177396 C -0.849512 -0.279894 -1.694517 -0.95668 -2.073987 -2.392406 \" transform=\"matrix(0, -0.998515, -0.998515, 0, 59.646303, 15.245499)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"50.897313\" y=\"9.599635\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"14.140972\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"21.298328\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"33.954508\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"41.110866\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"77.158261\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"96.971797\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"75.3908\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"35.764726\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -44.646189 -92.083691 C -44.646189 -92.083691 -41.958605 -61.43271 -40.925821 -51.316126 C -39.893038 -41.203454 -38.238237 -27.010504 -37.205453 -19.182475 C -36.17267 -11.354445 -34.517869 -0.658876 -33.485085 5.099675 C -32.452302 10.858225 -30.797501 18.416323 -29.764717 22.324469 C -28.731934 26.232616 -27.077133 30.993592 -26.044349 33.266498 C -25.011566 35.539404 -23.356765 37.859255 -22.323982 38.715996 C -21.291198 39.576649 -19.636397 39.795724 -18.603614 39.459287 C -17.57083 39.118938 -15.916029 37.593235 -14.883246 36.274871 C -13.850462 34.956507 -12.195661 32.034199 -11.162878 29.952984 C -10.130094 27.871769 -8.475293 23.901029 -7.44251 21.276038 C -6.409726 18.651046 -4.751013 13.98396 -3.722142 11.030356 C -2.689358 8.076751 -1.030645 3.061492 -0.00177396 -0.00165019 C 1.03101 -3.06088 2.689723 -8.080052 3.718594 -11.029744 C 4.751377 -13.983348 6.41009 -18.650435 7.442874 -21.275426 C 8.471745 -23.900417 10.130458 -27.871157 11.163242 -29.952372 C 12.192113 -32.033588 13.850826 -34.955896 14.88361 -36.27426 C 15.912481 -37.592623 17.571194 -39.118326 18.603978 -39.458675 C 19.636761 -39.795112 21.291562 -39.576037 22.324346 -38.715384 C 23.357129 -37.858643 25.01193 -35.542705 26.044714 -33.265886 C 27.077497 -30.99298 28.732298 -26.232005 29.765082 -22.323858 C 30.797865 -18.415711 32.452666 -10.861525 33.485449 -5.102975 C 34.518233 0.659488 36.173034 11.355057 37.205817 19.183086 C 38.238601 27.011116 39.893402 41.204065 40.926185 51.316737 C 41.958969 61.429409 44.646553 92.084302 44.646553 92.084302 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"103.375275\" y=\"42.753334\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"108.233051\" y=\"43.813757\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "Sur $[0\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : à droite de $0$, la courbe « tient l'eau »\n(tournée vers le haut) et se situe au-dessus de ses\ntangentes. Par le calcul : $f''(x) = 6x \\geq 0$ pour\n$x \\geq 0$."
        },
        {
          "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,0]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : à gauche de $0$ la courbe est bombée vers le haut,\nsous ses tangentes : c'est la partie **concave**\n($f''(x) = 6x \\leq 0$)."
        },
        {
          "text": "Sur $[-1\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ et $1$ sont les abscisses des extremums\nlocaux (lus sur $f'$), pas des changements de courbure. La\ncourbure change en $0$."
        },
        {
          "text": "Nulle part : la fonction n'est pas convexe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la convexité se juge **par intervalle**. Cette\ncourbe est concave sur $]-\\infty\\,;\\,0]$ puis convexe sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$."
        }
      ],
      "explanation": "Graphiquement, $f$ est convexe là où sa courbe est tournée vers\nle haut, au-dessus de ses tangentes : ici à partir de l'origine.\nPar le calcul : $f''(x) = 6x \\geq 0 \\Leftrightarrow x \\geq 0$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "inflexion"
      ],
      "title": "Lire un point d'inflexion",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente\n$f(x) = x^3 - 3x$. En quel(s) point(s) admet-elle un point\nd'inflexion ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-4,-2,2,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.25:2.25,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x*\\x-3*\\x});\n  \\node[blue,font=\\small] at (2.45,3.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte\njusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum\nlocal (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée\nvers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite\nde 0.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"131.804pt\" height=\"211.707pt\" viewBox=\"0 0 131.804 211.707\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.328125 -3 C 3.390625 -3.265625 3.609375 -4.1875 4.3125 -4.1875 C 4.359375 -4.1875 4.59375 -4.1875 4.8125 -4.046875 C 4.53125 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.359375 4.4375 -3.171875 4.703125 -3.171875 C 4.921875 -3.171875 5.25 -3.34375 5.25 -3.75 C 5.25 -4.265625 4.65625 -4.40625 4.3125 -4.40625 C 3.75 -4.40625 3.390625 -3.875 3.28125 -3.640625 C 3.03125 -4.296875 2.484375 -4.40625 2.203125 -4.40625 C 1.171875 -4.40625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.9375 1.84375 -4.1875 2.1875 -4.1875 C 2.375 -4.1875 2.71875 -4.09375 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.1875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.953125 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.84375 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.375 0.109375 4.9375 -1.171875 4.9375 -1.421875 C 4.9375 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.734375 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.6875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.328125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.84375 -3.796875 C 4.875 -3.9375 4.875 -3.953125 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.203125 4.734375 -4.296875 4.59375 -4.296875 C 4.484375 -4.296875 4.328125 -4.234375 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 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-3.921875 C 3.015625 -3.984375 3.078125 -4 3.15625 -4 C 3.265625 -4 3.359375 -4 3.4375 -3.953125 C 3.3125 -3.90625 3.21875 -3.765625 3.21875 -3.625 C 3.21875 -3.5 3.3125 -3.40625 3.453125 -3.40625 C 3.609375 -3.40625 3.796875 -3.53125 3.796875 -3.765625 C 3.796875 -4.09375 3.421875 -4.203125 3.15625 -4.203125 C 2.890625 -4.203125 2.484375 -4.078125 2.3125 -3.484375 C 2.265625 -3.328125 2.25 -3.21875 2.203125 -3 C 2.171875 -2.828125 2.15625 -2.75 2.125 -2.578125 L 1.640625 -2.578125 C 1.515625 -2.578125 1.4375 -2.578125 1.4375 -2.421875 C 1.4375 -2.328125 1.515625 -2.328125 1.625 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.75 -0.4375 C 1.5625 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.765625 C 1.390625 0.90625 1.296875 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.109375 1.015625 0.96875 1.015625 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.109375 0.78125 1.109375 0.640625 C 1.109375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.140625 1.21875 C 1.46875 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.578125 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 3 8 L 116 8 L 116 211.402344 L 3 211.402344 Z M 3 8 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -53.573507 -79.369499 L 53.573872 -79.369499 M -53.573507 -59.527537 L 53.573872 -59.527537 M -53.573507 -39.685575 L 53.573872 -39.685575 M -53.573507 -19.843613 L 53.573872 -19.843613 M -53.573507 -0.00165019 L 53.573872 -0.00165019 M -53.573507 19.844224 L 53.573872 19.844224 M -53.573507 39.686186 L 53.573872 39.686186 M -53.573507 59.528149 L 53.573872 59.528149 M -53.573507 79.370111 L 53.573872 79.370111 M -39.685699 -93.26122 L -39.685699 93.261832 M -19.843736 -93.26122 L -19.843736 93.261832 M -0.00177396 -93.26122 L -0.00177396 93.261832 M 19.8441 -93.26122 L 19.8441 93.261832 M 39.686063 -93.26122 L 39.686063 93.261832 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -57.544247 -0.00165019 L 57.145581 -0.00165019 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072675 2.39253 C -1.693205 0.956804 -0.848201 0.280018 0.000716203 -0.00165019 C -0.848201 -0.279406 -1.693205 -0.956193 -2.072675 -2.391918 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 116.905535, 112.131165)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"120.617635\" y=\"119.929568\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00177396 -97.228048 L -0.00177396 96.82963 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073987 2.392042 C -1.694517 0.956316 -0.849512 0.27953 -0.000595414 0.00177396 C -0.849512 -0.279894 -1.694517 -0.95668 -2.073987 -2.392406 \" transform=\"matrix(0, -0.998515, -0.998515, 0, 59.646303, 15.245499)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"50.897313\" y=\"9.599635\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"14.140972\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"21.298328\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"33.954508\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"41.110866\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"77.158261\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"96.971797\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"75.3908\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"35.764726\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -44.646189 -92.083691 C -44.646189 -92.083691 -41.958605 -61.43271 -40.925821 -51.316126 C -39.893038 -41.203454 -38.238237 -27.010504 -37.205453 -19.182475 C -36.17267 -11.354445 -34.517869 -0.658876 -33.485085 5.099675 C -32.452302 10.858225 -30.797501 18.416323 -29.764717 22.324469 C -28.731934 26.232616 -27.077133 30.993592 -26.044349 33.266498 C -25.011566 35.539404 -23.356765 37.859255 -22.323982 38.715996 C -21.291198 39.576649 -19.636397 39.795724 -18.603614 39.459287 C -17.57083 39.118938 -15.916029 37.593235 -14.883246 36.274871 C -13.850462 34.956507 -12.195661 32.034199 -11.162878 29.952984 C -10.130094 27.871769 -8.475293 23.901029 -7.44251 21.276038 C -6.409726 18.651046 -4.751013 13.98396 -3.722142 11.030356 C -2.689358 8.076751 -1.030645 3.061492 -0.00177396 -0.00165019 C 1.03101 -3.06088 2.689723 -8.080052 3.718594 -11.029744 C 4.751377 -13.983348 6.41009 -18.650435 7.442874 -21.275426 C 8.471745 -23.900417 10.130458 -27.871157 11.163242 -29.952372 C 12.192113 -32.033588 13.850826 -34.955896 14.88361 -36.27426 C 15.912481 -37.592623 17.571194 -39.118326 18.603978 -39.458675 C 19.636761 -39.795112 21.291562 -39.576037 22.324346 -38.715384 C 23.357129 -37.858643 25.01193 -35.542705 26.044714 -33.265886 C 27.077497 -30.99298 28.732298 -26.232005 29.765082 -22.323858 C 30.797865 -18.415711 32.452666 -10.861525 33.485449 -5.102975 C 34.518233 0.659488 36.173034 11.355057 37.205817 19.183086 C 38.238601 27.011116 39.893402 41.204065 40.926185 51.316737 C 41.958969 61.429409 44.646553 92.084302 44.646553 92.084302 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"103.375275\" y=\"42.753334\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"108.233051\" y=\"43.813757\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "Au point d'abscisse $0$ uniquement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbure passe de concave à convexe en\n$x = 0$ ($f''(x) = 6x$ s'y annule en changeant de signe)."
        },
        {
          "text": "Aux points d'abscisses $-1$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion classique : $-1$ et $1$ sont les **extremums\nlocaux** (annulation de $f'$). L'inflexion concerne $f''$,\nqui change de signe en $0$."
        },
        {
          "text": "Au point d'abscisse $1$ uniquement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $x = 1$ la fonction atteint un minimum local ;\nla courbe y reste convexe, sans changement de courbure."
        },
        {
          "text": "Elle n'en admet aucun",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la courbe change bien de courbure à l'origine :\nbombée vers le haut avant, creusée vers le haut après. La\ntangente en $0$ traverse la courbe."
        }
      ],
      "explanation": "$f''(x) = 6x$ s'annule en $0$ **en changeant de signe** :\nl'origine est l'unique point d'inflexion. Les abscisses $-1$ et\n$1$ correspondent aux extremums (signe de $f'$), un autre étage\nde lecture."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "convexite",
        "tangentes"
      ],
      "title": "Position par rapport aux tangentes",
      "statement": "Soit $f$ une fonction convexe et dérivable sur un intervalle\n$I$. Comment sa courbe se place-t-elle par rapport à ses\ntangentes sur $I$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au-dessus de chacune de ses tangentes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation géométrique de la\nconvexité pour une fonction dérivable."
        },
        {
          "text": "En dessous de chacune de ses tangentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la propriété des fonctions **concaves**.\nPense à $x^2$ : sa parabole domine toutes ses tangentes."
        },
        {
          "text": "Elle traverse chacune de ses tangentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la traversée de la tangente est le marqueur d'un\n**point d'inflexion**, impossible au sein d'un intervalle de\nstricte convexité."
        },
        {
          "text": "Au-dessus de ses sécantes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'objet : une fonction convexe est au-dessus de ses\n**tangentes** mais **en dessous** de ses cordes (sécantes) :\nles deux se répondent."
        }
      ],
      "explanation": "Fonction convexe dérivable : la courbe est au-dessus de toutes\nses tangentes (et sous ses cordes). Pour une fonction concave,\nc'est l'inverse."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inegalite",
        "convexite",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "L'inégalité $e^x \\geq 1 + x$",
      "statement": "Que peut-on dire de l'inégalité $e^x \\geq 1 + x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est vraie pour tout réel $x$ : la courbe de $\\exp$,\nconvexe, est au-dessus de sa tangente en $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $y = 1 + x$ est la tangente à la courbe de\nl'exponentielle au point $(0\\,;\\,1)$, et $\\exp$ est convexe\nsur $\\mathbb{R}$ : sa courbe domine toutes ses tangentes."
        },
        {
          "text": "Elle est vraie uniquement pour $x \\geq 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : teste $x = -2$ : $e^{-2} \\approx 0{,}14$ et\n$1 + (-2) = -1$. L'inégalité tient aussi pour les négatifs,\net en fait partout par convexité."
        },
        {
          "text": "Elle est fausse : c'est $e^x \\leq 1 + x$ qui est vraie",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : en $x = 1$, $e \\approx 2{,}72 > 2 = 1 + 1$.\nLa courbe convexe est **au-dessus** de sa tangente."
        },
        {
          "text": "Elle est vraie seulement au voisinage de $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la tangence a lieu en $0$ (égalité), mais la\nconvexité de $\\exp$ rend l'inégalité **globale**, valable\nsur tout $\\mathbb{R}$."
        }
      ],
      "explanation": "$y = 1 + x$ est la tangente en $0$ à la courbe de $\\exp$\n(pente $e^0 = 1$, point $(0\\,;\\,1)$). Comme $\\exp$ est convexe\n($(e^x)'' = e^x > 0$), sa courbe est au-dessus de cette tangente\npartout : $e^x \\geq 1 + x$ pour tout $x$, avec égalité en $0$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege",
        "extremum"
      ],
      "title": "Le piège de $f'(a) = 0$",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec $f'(a) = 0$.\nLa fonction $f$ admet-elle nécessairement un extremum local en\n$a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : pour $f(x) = x^3$ en $a = 0$, $f'(0) = 0$ sans\nextremum",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x^3$ est strictement croissante sur\n$\\mathbb{R}$, sa tangente horizontale en $0$ n'y crée aucun\nextremum. Il faut que $f'$ **change de signe** en $a$."
        },
        {
          "text": "Oui : tangente horizontale signifie sommet ou creux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la tangente horizontale peut aussi être traversée\npar la courbe (point d'inflexion à tangente horizontale,\ncomme $x^3$ en $0$)."
        },
        {
          "text": "Oui, dès que $f$ est deux fois dérivable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x^3$ est indéfiniment dérivable et fournit quand\nmême le contre-exemple : $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$, aucun\nextremum."
        },
        {
          "text": "Non : $f'(a) = 0$ signifie que $a$ est un point d'inflexion",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la conclusion « non » est juste, mais la raison est\nfausse. $f'(a) = 0$ ne dit rien de la courbure : pour $x^2$\nen $0$, c'est un vrai minimum, pas une inflexion."
        }
      ],
      "explanation": "$f'(a) = 0$ est **nécessaire** mais pas suffisant pour un\nextremum local en un point intérieur. Le critère opérationnel :\n$f'$ change de signe en $a$. Contre-exemple canonique :\n$f(x) = x^3$ en $0$."
    }
  ]
}