{
  "chapter": {
    "id": "fonction-logarithme",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Fonction logarithme népérien",
    "description": "Logarithme népérien comme réciproque de l'exponentielle,\npropriétés algébriques, dérivée et variations, limites en $0$ et\nen $+\\infty$, croissances comparées, équations et inéquations,\nlien entre les courbes de $\\ln$ et de $\\exp$.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "valeurs"
      ],
      "title": "Valeurs de référence",
      "statement": "Que vaut $\\ln(1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$. La courbe de\n$\\ln$ coupe l'axe des abscisses en $x = 1$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est $\\ln(e)$ qui vaut $1$ (car $e^1 = e$).\nRetiens le couple : $\\ln(1) = 0$ et $\\ln(e) = 1$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e \\approx 2{,}718$ est la base de\nl'exponentielle. Le logarithme répond à la question « à\nquelle puissance élever $e$ ? » ; pour obtenir $1$, la\nréponse est $0$."
        },
        {
          "text": "Ce nombre n'est pas défini",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln$ est définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, et\n$1 > 0$. C'est $\\ln(0)$ ou $\\ln$ d'un nombre négatif qui\nn'existe pas."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln$ est la réciproque de $\\exp$ : $\\ln(x) = y$ signifie\n$e^y = x$. Comme $e^0 = 1$, on a $\\ln(1) = 0$ ; comme\n$e^1 = e$, on a $\\ln(e) = 1$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques"
      ],
      "title": "Logarithme d'un produit",
      "statement": "Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, que vaut $\\ln(ab)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln(a) + \\ln(b)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme les produits en\nsommes. C'est la propriété fondamentale, héritée de\n$e^{x+y} = e^x \\, e^y$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(a) \\times \\ln(b)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : le logarithme ne « distribue » pas sur le\nproduit en produit. Teste : $\\ln(e \\times e) = \\ln(e^2) = 2$\nalors que $\\ln(e) \\times \\ln(e) = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(a + b)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(a+b)$ ne se simplifie pas. La formule\ntransforme le **produit** $ab$ en somme des logarithmes,\npas l'inverse."
        },
        {
          "text": "$\\ln(a) - \\ln(b)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la différence correspond au **quotient** :\n$\\ln\\!\\left(\\dfrac{a}{b}\\right) = \\ln(a) - \\ln(b)$."
        }
      ],
      "explanation": "Équation fonctionnelle du logarithme :\n$\\ln(ab) = \\ln(a) + \\ln(b)$. On en déduit\n$\\ln(a/b) = \\ln a - \\ln b$ et $\\ln(a^n) = n\\ln(a)$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Simplifier $\\ln(e^3)$",
      "statement": "Que vaut $\\ln(e^3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, car\n$\\ln$ et $\\exp$ sont réciproques l'une de l'autre."
        },
        {
          "text": "$e^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : appliquer $\\ln$ à $e^3$ « défait » l'exponentielle\net rend l'exposant : le résultat est $3$, pas\n$e^3 \\approx 20$."
        },
        {
          "text": "$3e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun produit par $e$ n'apparaît.\n$\\ln(e^3) = 3\\ln(e) = 3 \\times 1 = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as remplacé $e^3$ par $3$ avant d'appliquer\n$\\ln$. La règle est $\\ln(e^x) = x$ : le logarithme extrait\nl'exposant."
        }
      ],
      "explanation": "Réciprocité : $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ réel, et\n$e^{\\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$. Donc $\\ln(e^3) = 3$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée du logarithme",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $\\ln$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$, strictement\npositive sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, ce qui prouve que $\\ln$ est\nstrictement croissante."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\dfrac{1}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de la fonction\n**inverse** $x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$, pas celle de $\\ln$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\ln(x) \\cdot \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune règle ne fait réapparaître $\\ln$ dans sa\npropre dérivée. Le résultat est simplement $\\dfrac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^x$ est la dérivée de l'**exponentielle**. Être\nréciproques ne donne pas la même dérivée."
        }
      ],
      "explanation": "Résultat du cours (démonstration au programme, la dérivabilité\nétant admise) : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$. Positif, donc $\\ln$ strictement croissante."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee",
        "composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\ln(u)$",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\ln(x^2 + 1)$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ avec\n$u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{x^2 + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $u'$ : la formule de la composée est\n$\\dfrac{u'}{u}$, pas $\\dfrac{1}{u}$. Il manque $2x$ au\nnumérateur."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2x \\, \\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme disparaît en dérivant ; il ne reste\njamais de $\\ln$ en facteur dans la dérivée de $\\ln(u)$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as dérivé comme si l'intérieur était la\nvariable, puis inversé $u'$. La règle exacte :\n$(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u} = \\dfrac{2x}{x^2+1}$."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ (avec $u > 0$). Ici\n$u(x) = x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$, donc $f$ est définie sur\n$\\mathbb{R}$ et $f'(x) = \\dfrac{2x}{x^2+1}$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation"
      ],
      "title": "Résoudre $e^x = 5$",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\ln(5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres :\n$\\ln(e^x) = x$ et l'équation devient $x = \\ln 5 \\approx\n1{,}61$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{5}{e}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exponentielle n'est pas une multiplication par\n$e$ ; on ne « divise » pas par $e$ pour isoler $x$. On\napplique la fonction réciproque $\\ln$."
        },
        {
          "text": "$x = e^5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $e^5 \\approx 148$ est l'image de $5$ par\nl'exponentielle. On cherche au contraire l'antécédent de\n$5$, c'est $\\ln 5$."
        },
        {
          "text": "$x = 5 - e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune soustraction ne défait une exponentielle.\nL'outil adapté est le logarithme : $x = \\ln 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout $k > 0$, l'équation $e^x = k$ a pour unique solution\n$x = \\ln(k)$. C'est l'utilisation type de la réciprocité\n$\\ln(e^x) = x$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation",
        "domaine"
      ],
      "title": "Résoudre $\\ln(x) \\leq 2$",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x) \\leq 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]0\\,;\\,e^2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut d'abord $x > 0$ (domaine de\n$\\ln$), puis $\\ln x \\leq 2 \\Leftrightarrow x \\leq e^2$ car\n$\\exp$ est croissante. D'où $0 < x \\leq e^2$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,e^2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du domaine : $\\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Les\nnombres négatifs ne peuvent pas être solutions d'une\ninéquation qui n'a pas de sens pour eux."
        },
        {
          "text": "$[e^2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est **croissante**, donc\n$\\ln x \\leq 2$ correspond aux **petites** valeurs de $x$\n(jusqu'à $e^2$), pas aux grandes."
        },
        {
          "text": "$]0\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le seuil se convertit par l'exponentielle,\n$\\ln x \\leq 2 \\Leftrightarrow x \\leq e^2 \\approx 7{,}39$,\npas $x \\leq 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux étapes : (1) domaine : $x > 0$ ; (2) croissance de\n$\\exp$ : $\\ln x \\leq 2 \\Leftrightarrow x \\leq e^2$.\nSolutions : $]0\\,;\\,e^2]$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limites"
      ],
      "title": "Limite en $0^+$",
      "statement": "Quelle est la limite de $\\ln(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par\nvaleurs supérieures ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : près de $0$, le logarithme plonge vers\n$-\\infty$ ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale à\nla courbe."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est en $x = 1$ que $\\ln$ s'annule. Près de $0$,\n$\\ln(0{,}001) \\approx -6{,}9$ : les valeurs dévissent vers\n$-\\infty$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $+\\infty$ est la limite en $+\\infty$. En\n$0^+$, le logarithme des tout petits nombres est très\n**négatif**."
        },
        {
          "text": "Elle n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la limite existe au sens des limites infinies :\n$\\lim_{x \\to 0^+} \\ln x = -\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "Limites de référence : $\\lim_{x \\to 0^+} \\ln x = -\\infty$ et\n$\\lim_{x \\to +\\infty} \\ln x = +\\infty$. La courbe longe l'axe\ndes ordonnées vers le bas."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "croissances-comparees"
      ],
      "title": "Croissance comparée $\\ln x$ contre $x$",
      "statement": "Quelle est la limite de $\\dfrac{\\ln(x)}{x}$ quand $x$ tend vers\n$+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par croissance comparée, toute puissance de\n$x$ l'emporte sur $\\ln x$ en $+\\infty$ : le quotient tend\nvers $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme croît vers $+\\infty$, mais\n**beaucoup plus lentement** que $x$ : pour $x = e^{10}\n\\approx 22\\,000$, le quotient vaut à peine $0{,}00045$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ne sont pas du même\nordre de grandeur. Le logarithme est écrasé par $x$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e$ ne joue aucun rôle particulier dans cette\nlimite. La croissance comparée donne $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Croissance comparée (au programme) : pour tout entier\n$n \\geq 1$, $\\lim_{x \\to +\\infty} \\dfrac{\\ln x}{x^n} = 0$.\nHiérarchie à mémoriser : $\\ln x \\ll x^n \\ll e^x$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Courbes de $\\ln$ et de $\\exp$",
      "statement": "La figure ci-dessous montre les courbes de $\\exp$ (en bleu) et\nde $\\ln$ (en rouge). Par quelle transformation la courbe de\n$\\ln$ se déduit-elle de celle de $\\exp$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[dashed] (-2.7,-2.7) -- (4.7,4.7);\n  \\node[font=\\small,rotate=45] at (3.35,3.75) {$y=x$};\n  \\draw[domain=-2.7:1.53,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{exp(\\x)});\n  \\draw[domain=0.07:4.7,smooth,samples=60,thick,red] plot (\\x,{ln(\\x)});\n  \\node[blue,font=\\small] at (0.45,3.3) {$y=e^x$};\n  \\node[red,font=\\small] at (3.7,0.8) {$y=\\ln x$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec trois courbes : l'exponentielle en\nbleu (croissante, passe par (0 ; 1)), le logarithme népérien\nen rouge (croissant, passe par (1 ; 0)) et la droite y = x en\npointillés. Les deux courbes sont symétriques l'une de\nl'autre par rapport à cette droite.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"149.381pt\" height=\"149.914pt\" viewBox=\"0 0 149.381 149.914\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 4.234375 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.09375 -3.53125 C 4.015625 -3.28125 3.953125 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.40625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.578125 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.640625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.53125 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.6875 -1.46875 L 2.6875 -0.703125 C 2.6875 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.796875 -0.28125 L 1.796875 0 C 2.359375 -0.03125 2.984375 -0.03125 3.046875 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.734375 -0.03125 4.296875 0 L 4.296875 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.40625 -0.375 3.40625 -0.703125 L 3.40625 -1.46875 L 4.3125 -1.46875 L 4.3125 -1.75 L 3.40625 -1.75 L 3.40625 -5.796875 C 3.40625 -5.984375 3.40625 -6.046875 3.234375 -6.046875 C 3.125 -6.046875 3.125 -6.03125 3.046875 -5.90625 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.046875 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-4\">\n<path d=\"M 6.3125 -2.953125 C 6.4375 -2.953125 6.609375 -2.953125 6.609375 -3.140625 C 6.609375 -3.34375 6.421875 -3.34375 6.28125 -3.34375 L 0.84375 -3.34375 C 0.703125 -3.34375 0.515625 -3.34375 0.515625 -3.140625 C 0.515625 -2.953125 0.6875 -2.953125 0.796875 -2.953125 Z M 6.28125 -1.140625 C 6.421875 -1.140625 6.609375 -1.140625 6.609375 -1.328125 C 6.609375 -1.515625 6.4375 -1.515625 6.3125 -1.515625 L 0.796875 -1.515625 C 0.6875 -1.515625 0.515625 -1.515625 0.515625 -1.328125 C 0.515625 -1.140625 0.703125 -1.140625 0.84375 -1.140625 Z M 6.28125 -1.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-5\">\n<path d=\"M 1.640625 -6.1875 L 0.328125 -6.09375 L 0.328125 -5.8125 C 0.921875 -5.8125 1.015625 -5.75 1.015625 -5.3125 L 1.015625 -0.6875 C 1.015625 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.328125 -0.28125 L 0.328125 0 C 0.734375 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.734375 -0.03125 1.890625 -0.015625 2.328125 0 L 2.328125 -0.28125 C 1.734375 -0.28125 1.640625 -0.28125 1.640625 -0.6875 Z M 1.640625 -6.1875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-6\">\n<path d=\"M 1.65625 -2.3125 C 1.65625 -3.25 2.328125 -3.71875 2.890625 -3.71875 C 3.421875 -3.71875 3.53125 -3.28125 3.53125 -2.75 L 3.53125 -0.6875 C 3.53125 -0.28125 3.4375 -0.28125 2.84375 -0.28125 L 2.84375 0 C 3.265625 -0.015625 3.4375 -0.03125 3.859375 -0.03125 C 4.296875 -0.03125 4.40625 -0.015625 4.875 0 L 4.875 -0.28125 C 4.421875 -0.28125 4.203125 -0.28125 4.1875 -0.546875 L 4.1875 -2.265625 C 4.1875 -3 4.1875 -3.265625 3.9375 -3.578125 C 3.734375 -3.828125 3.40625 -3.9375 2.953125 -3.9375 C 2.125 -3.9375 1.734375 -3.328125 1.609375 -3.078125 L 1.609375 -3.9375 L 0.3125 -3.84375 L 0.3125 -3.5625 C 0.921875 -3.5625 1 -3.5 1 -3.0625 L 1 -0.6875 C 1 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.3125 -0.28125 L 0.3125 0 C 0.734375 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.75 -0.03125 1.875 -0.015625 2.34375 0 L 2.34375 -0.28125 C 1.75 -0.28125 1.65625 -0.28125 1.65625 -0.6875 Z M 1.65625 -2.3125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 0.734375 -5.609375 C 0.703125 -5.640625 0.6875 -5.6875 0.640625 -5.734375 C 0.5625 -5.8125 0.40625 -5.84375 0.28125 -5.71875 C 0.1875 -5.625 0.125 -5.46875 0.1875 -5.28125 C 0.21875 -5.25 0.40625 -4.9375 0.515625 -4.765625 L 1.453125 -3.171875 C 1.59375 -2.96875 1.609375 -2.953125 1.640625 -2.859375 C 1.671875 -2.828125 1.890625 -2.078125 1.4375 -1.625 C 1.046875 -1.234375 0.65625 -1.625 0.53125 -1.75 C 0.25 -2.03125 0.03125 -2.40625 -0.421875 -3.390625 C -0.515625 -3.609375 -0.5625 -3.71875 -0.671875 -3.828125 C -0.984375 -4.140625 -1.4375 -4.125 -1.75 -3.8125 C -2.34375 -3.21875 -1.703125 -2.078125 -1.625 -2 C -1.5625 -1.9375 -1.515625 -1.984375 -1.46875 -2.03125 C -1.40625 -2.09375 -1.4375 -2.125 -1.484375 -2.234375 C -1.8125 -2.84375 -1.859375 -3.390625 -1.59375 -3.65625 C -1.453125 -3.796875 -1.34375 -3.6875 -1.25 -3.59375 C -1.140625 -3.484375 -1.046875 -3.359375 -0.96875 -3.15625 C -0.46875 -2.0625 -0.28125 -1.71875 0.015625 -1.421875 C 0.71875 -0.71875 1.34375 -1.21875 1.578125 -1.453125 C 1.890625 -1.765625 1.953125 -2.140625 1.953125 -2.359375 C 2.1875 -1.96875 2.40625 -1.625 2.46875 -1.03125 C 2.53125 -0.59375 2.453125 -0.171875 2.171875 0.109375 C 2 0.28125 1.734375 0.421875 1.453125 0.328125 C 1.796875 -0.015625 1.578125 -0.328125 1.5 -0.40625 C 1.375 -0.53125 1.171875 -0.515625 1.03125 -0.375 C 0.875 -0.21875 0.8125 0.09375 1.09375 0.375 C 1.421875 0.703125 1.9375 0.65625 2.328125 0.265625 C 2.96875 -0.375 3.109375 -1.640625 2.5625 -2.53125 Z M 0.734375 -5.609375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-1\">\n<path d=\"M 0.5625 -5.65625 C 0.359375 -5.390625 0.515625 -5.109375 0.609375 -5.015625 C 0.71875 -4.90625 0.90625 -4.875 1.0625 -5.03125 C 1.234375 -5.203125 1.265625 -5.515625 1.03125 -5.75 C 0.75 -6.03125 0.296875 -5.859375 0 -5.5625 C -0.375 -5.1875 -0.265625 -4.640625 -0.203125 -4.421875 C -0.640625 -4.609375 -1.0625 -4.5 -1.375 -4.1875 C -2.046875 -3.515625 -1.625 -2.34375 -1.453125 -2.171875 C -1.390625 -2.109375 -1.34375 -2.15625 -1.296875 -2.203125 C -1.234375 -2.265625 -1.234375 -2.296875 -1.265625 -2.359375 C -1.703125 -3.171875 -1.46875 -3.78125 -1.234375 -4.015625 C -1.046875 -4.203125 -0.765625 -4.265625 -0.453125 -3.953125 C -0.234375 -3.734375 0.484375 -2.453125 0.71875 -2.0625 C 0.875 -1.8125 1.0625 -1.25 0.71875 -0.90625 C 0.578125 -0.765625 0.421875 -0.671875 0.296875 -0.640625 C 0.453125 -0.859375 0.421875 -1.109375 0.25 -1.28125 C 0.09375 -1.4375 -0.078125 -1.390625 -0.1875 -1.28125 C -0.375 -1.09375 -0.390625 -0.765625 -0.171875 -0.546875 C 0.125 -0.25 0.59375 -0.46875 0.859375 -0.734375 C 1.21875 -1.09375 1.140625 -1.609375 1.0625 -1.875 C 1.640625 -1.609375 2.0625 -1.9375 2.234375 -2.109375 C 2.90625 -2.78125 2.46875 -3.96875 2.3125 -4.125 C 2.28125 -4.15625 2.203125 -4.171875 2.140625 -4.109375 C 2.078125 -4.046875 2.09375 -4 2.171875 -3.890625 C 2.484375 -3.296875 2.421875 -2.609375 2.09375 -2.28125 C 1.921875 -2.109375 1.625 -2.03125 1.3125 -2.34375 C 1.1875 -2.46875 0.921875 -2.921875 0.765625 -3.203125 C 0.671875 -3.359375 0.15625 -4.1875 0.125 -4.25 C -0.03125 -4.5625 -0.171875 -5.078125 0.140625 -5.390625 C 0.265625 -5.515625 0.390625 -5.609375 0.5625 -5.65625 Z M 0.5625 -5.65625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 2.375 -6.5625 C 2.453125 -6.640625 2.578125 -6.765625 2.453125 -6.890625 C 2.3125 -7.03125 2.1875 -6.90625 2.078125 -6.796875 L -1.765625 -2.953125 C -1.859375 -2.859375 -2 -2.71875 -1.859375 -2.578125 C -1.734375 -2.453125 -1.609375 -2.578125 -1.53125 -2.65625 Z M 3.625 -5.25 C 3.734375 -5.359375 3.859375 -5.484375 3.734375 -5.609375 C 3.59375 -5.75 3.46875 -5.625 3.390625 -5.546875 L -0.515625 -1.640625 C -0.59375 -1.5625 -0.71875 -1.4375 -0.578125 -1.296875 C -0.453125 -1.171875 -0.3125 -1.3125 -0.21875 -1.40625 Z M 3.625 -5.25 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-5-0\">\n<path d=\"M 4.484375 -3.4375 C 4.484375 -3.484375 4.5 -3.53125 4.5 -3.59375 C 4.5 -3.703125 4.421875 -3.84375 4.234375 -3.84375 C 4.109375 -3.84375 3.953125 -3.78125 3.875 -3.609375 C 3.875 -3.5625 3.78125 -3.203125 3.734375 -3 L 3.28125 -1.21875 C 3.21875 -0.96875 3.21875 -0.953125 3.1875 -0.859375 C 3.1875 -0.828125 2.8125 -0.125 2.171875 -0.125 C 1.609375 -0.125 1.609375 -0.6875 1.609375 -0.859375 C 1.609375 -1.265625 1.734375 -1.6875 2.109375 -2.6875 C 2.1875 -2.90625 2.234375 -3.03125 2.234375 -3.1875 C 2.234375 -3.625 1.90625 -3.9375 1.46875 -3.9375 C 0.609375 -3.9375 0.265625 -2.671875 0.265625 -2.5625 C 0.265625 -2.484375 0.328125 -2.46875 0.390625 -2.46875 C 0.484375 -2.46875 0.484375 -2.515625 0.53125 -2.625 C 0.71875 -3.296875 1.078125 -3.71875 1.453125 -3.71875 C 1.65625 -3.71875 1.65625 -3.546875 1.65625 -3.421875 C 1.65625 -3.28125 1.625 -3.109375 1.546875 -2.90625 C 1.125 -1.796875 1.015625 -1.421875 1.015625 -0.984375 C 1.015625 0 1.8125 0.09375 2.140625 0.09375 C 2.578125 0.09375 2.890625 -0.140625 3.046875 -0.296875 C 2.9375 0.15625 2.84375 0.5625 2.484375 1.015625 C 2.21875 1.359375 1.859375 1.609375 1.46875 1.609375 C 1.21875 1.609375 0.921875 1.515625 0.796875 1.265625 C 1.28125 1.265625 1.34375 0.875 1.34375 0.78125 C 1.34375 0.59375 1.203125 0.46875 1 0.46875 C 0.78125 0.46875 0.5 0.640625 0.5 1.046875 C 0.5 1.5 0.90625 1.828125 1.46875 1.828125 C 2.375 1.828125 3.359375 1.046875 3.609375 0.015625 Z M 4.484375 -3.4375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-5-1\">\n<path d=\"M 1.21875 -2.046875 C 1.765625 -2.046875 2.34375 -2.046875 2.8125 -2.15625 C 3.65625 -2.359375 3.8125 -2.859375 3.8125 -3.171875 C 3.8125 -3.671875 3.34375 -3.9375 2.8125 -3.9375 C 1.78125 -3.9375 0.421875 -3.0625 0.421875 -1.53125 C 0.421875 -0.6875 0.921875 0.09375 1.875 0.09375 C 3.21875 0.09375 3.96875 -0.828125 3.96875 -0.953125 C 3.96875 -1 3.90625 -1.078125 3.84375 -1.078125 C 3.796875 -1.078125 3.796875 -1.0625 3.71875 -0.96875 C 3.171875 -0.296875 2.359375 -0.125 1.90625 -0.125 C 1.265625 -0.125 1.09375 -0.71875 1.09375 -1.171875 C 1.09375 -1.1875 1.09375 -1.5 1.21875 -2.046875 Z M 1.28125 -2.265625 C 1.671875 -3.671875 2.671875 -3.71875 2.8125 -3.71875 C 3.109375 -3.71875 3.484375 -3.578125 3.484375 -3.171875 C 3.484375 -2.265625 2.125 -2.265625 1.28125 -2.265625 Z M 1.28125 -2.265625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-5-2\">\n<path d=\"M 4.390625 -3.609375 C 4.0625 -3.546875 3.96875 -3.25 3.96875 -3.125 C 3.96875 -2.953125 4.09375 -2.796875 4.3125 -2.796875 C 4.5625 -2.796875 4.796875 -3.015625 4.796875 -3.328125 C 4.796875 -3.734375 4.359375 -3.9375 3.9375 -3.9375 C 3.40625 -3.9375 3.09375 -3.46875 2.984375 -3.28125 C 2.8125 -3.71875 2.421875 -3.9375 1.984375 -3.9375 C 1.03125 -3.9375 0.515625 -2.796875 0.515625 -2.5625 C 0.515625 -2.484375 0.578125 -2.46875 0.640625 -2.46875 C 0.71875 -2.46875 0.75 -2.5 0.765625 -2.5625 C 1.046875 -3.4375 1.625 -3.71875 1.96875 -3.71875 C 2.234375 -3.71875 2.46875 -3.546875 2.46875 -3.125 C 2.46875 -2.8125 2.078125 -1.390625 1.96875 -0.953125 C 1.890625 -0.671875 1.625 -0.125 1.140625 -0.125 C 0.953125 -0.125 0.765625 -0.1875 0.671875 -0.234375 C 0.921875 -0.28125 1.09375 -0.484375 1.09375 -0.71875 C 1.09375 -0.953125 0.921875 -1.046875 0.765625 -1.046875 C 0.5 -1.046875 0.265625 -0.828125 0.265625 -0.515625 C 0.265625 -0.078125 0.75 0.09375 1.125 0.09375 C 1.640625 0.09375 1.9375 -0.328125 2.078125 -0.578125 C 2.296875 0.015625 2.828125 0.09375 3.0625 0.09375 C 4.03125 0.09375 4.546875 -1.0625 4.546875 -1.28125 C 4.546875 -1.328125 4.515625 -1.390625 4.421875 -1.390625 C 4.328125 -1.390625 4.3125 -1.34375 4.28125 -1.21875 C 4.078125 -0.578125 3.5625 -0.125 3.09375 -0.125 C 2.84375 -0.125 2.59375 -0.28125 2.59375 -0.71875 C 2.59375 -0.90625 2.71875 -1.40625 2.796875 -1.734375 C 2.84375 -1.90625 3.078125 -2.859375 3.09375 -2.921875 C 3.203125 -3.25 3.46875 -3.71875 3.921875 -3.71875 C 4.09375 -3.71875 4.25 -3.6875 4.390625 -3.609375 Z M 4.390625 -3.609375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-6-0\">\n<path d=\"M 3.359375 -2.34375 C 3.140625 -2.28125 3.09375 -2.109375 3.09375 -2.015625 C 3.09375 -1.828125 3.25 -1.78125 3.328125 -1.78125 C 3.5 -1.78125 3.671875 -1.921875 3.671875 -2.15625 C 3.671875 -2.484375 3.328125 -2.625 3.03125 -2.625 C 2.625 -2.625 2.390625 -2.328125 2.328125 -2.203125 C 2.25 -2.359375 2.03125 -2.625 1.578125 -2.625 C 0.890625 -2.625 0.484375 -1.921875 0.484375 -1.703125 C 0.484375 -1.671875 0.515625 -1.625 0.59375 -1.625 C 0.671875 -1.625 0.703125 -1.65625 0.71875 -1.71875 C 0.859375 -2.203125 1.265625 -2.421875 1.5625 -2.421875 C 1.84375 -2.421875 1.9375 -2.234375 1.9375 -2.046875 C 1.9375 -1.96875 1.9375 -1.921875 1.890625 -1.734375 C 1.75 -1.171875 1.625 -0.640625 1.59375 -0.5625 C 1.5 -0.34375 1.296875 -0.140625 1.046875 -0.140625 C 1 -0.140625 0.84375 -0.140625 0.703125 -0.21875 C 0.9375 -0.296875 0.953125 -0.5 0.953125 -0.546875 C 0.953125 -0.703125 0.84375 -0.78125 0.71875 -0.78125 C 0.546875 -0.78125 0.375 -0.65625 0.375 -0.40625 C 0.375 -0.0625 0.75 0.0625 1.03125 0.0625 C 1.375 0.0625 1.609375 -0.171875 1.71875 -0.359375 C 1.84375 -0.109375 2.125 0.0625 2.46875 0.0625 C 3.171875 0.0625 3.5625 -0.65625 3.5625 -0.859375 C 3.5625 -0.875 3.5625 -0.9375 3.453125 -0.9375 C 3.375 -0.9375 3.359375 -0.90625 3.34375 -0.84375 C 3.171875 -0.328125 2.75 -0.140625 2.5 -0.140625 C 2.265625 -0.140625 2.109375 -0.265625 2.109375 -0.515625 C 2.109375 -0.625 2.140625 -0.765625 2.1875 -0.96875 L 2.375 -1.75 C 2.4375 -1.96875 2.46875 -2.078125 2.59375 -2.21875 C 2.671875 -2.3125 2.828125 -2.421875 3.015625 -2.421875 C 3.046875 -2.421875 3.21875 -2.421875 3.359375 -2.34375 Z M 3.359375 -2.34375 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 13 L 137 13 L 137 149.5625 L 0 149.5625 Z M 0 13 \"/>\n</clipPath>\n<clipPath id=\"clip-1\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 41 60 L 143 60 L 143 149.5625 L 41 149.5625 Z M 41 60 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -45.921605 -34.017658 L 79.937617 -34.017658 M -45.921605 -17.009973 L 79.937617 -17.009973 M -45.921605 0.00163437 L 79.937617 0.00163437 M -45.921605 17.009319 L 79.937617 17.009319 M -45.921605 34.017004 L 79.937617 34.017004 M -45.921605 51.02469 L 79.937617 51.02469 M -45.921605 68.032375 L 79.937617 68.032375 M -34.01701 -45.922253 L -34.01701 79.93697 M -17.009325 -45.922253 L -17.009325 79.93697 M -0.00164029 -45.922253 L -0.00164029 79.93697 M 17.009967 -45.922253 L 17.009967 79.93697 M 34.017652 -45.922253 L 34.017652 79.93697 M 51.025337 -45.922253 L 51.025337 79.93697 M 68.033022 -45.922253 L 68.033022 79.93697 \" transform=\"matrix(0.995873, 0, 0, -0.995873, 51.302415, 98.25944)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -49.322358 0.00163437 L 82.942204 0.00163437 \" transform=\"matrix(0.995873, 0, 0, -0.995873, 51.302415, 98.25944)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073801 2.390398 C -1.693325 0.954786 -0.850001 0.280127 0.00116808 0.00163437 C -0.850001 -0.280781 -1.693325 -0.95544 -2.073801 -2.391052 \" transform=\"matrix(0.995873, 0, 0, -0.995873, 134.100399, 98.25944)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"137.802977\" y=\"106.036215\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00164029 -49.323006 L -0.00164029 82.941556 \" transform=\"matrix(0.995873, 0, 0, -0.995873, 51.302415, 98.25944)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.070526 2.390404 C -1.693972 0.954792 -0.850648 0.280133 0.000520297 0.00164029 C -0.850648 -0.280775 -1.693972 -0.955434 -2.070526 -2.391046 \" transform=\"matrix(0, -0.995873, -0.995873, 0, 51.302415, 15.461456)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"42.576573\" y=\"9.829872\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"11.563085\" y=\"110.059543\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"18.701505\" y=\"110.059543\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"28.500899\" y=\"110.059543\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"35.639319\" y=\"110.059543\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"65.945736\" y=\"110.059543\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"82.88355\" y=\"110.059543\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"99.821364\" y=\"110.059543\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"116.759177\" y=\"110.059543\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"33.530059\" y=\"134.598858\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"40.667483\" y=\"134.598858\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"33.530059\" y=\"117.661044\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"40.667483\" y=\"117.661044\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"40.667483\" y=\"84.198705\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"40.667483\" y=\"67.260891\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"40.667483\" y=\"50.323077\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"40.667483\" y=\"33.385264\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -45.921605 -45.922253 L 79.937617 79.93697 \" transform=\"matrix(0.995873, 0, 0, -0.995873, 51.302415, 98.25944)\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"100.912841\" y=\"43.36491\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"106.137871\" y=\"38.13988\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-1\" x=\"112.988154\" y=\"31.289597\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -45.921605 1.143063 C -45.921605 1.143063 -45.04298 1.2019 -44.701728 1.229357 C -44.364398 1.252892 -43.823102 1.292116 -43.48185 1.319573 C -43.14452 1.343108 -42.603224 1.390177 -42.265895 1.417634 C -41.924643 1.445091 -41.383346 1.49216 -41.046017 1.52354 C -40.708687 1.550997 -40.163469 1.601988 -39.826139 1.633368 C -39.488809 1.66867 -38.943591 1.723584 -38.606261 1.758886 C -38.268932 1.794188 -37.727635 1.849102 -37.386383 1.888326 C -37.049054 1.927551 -36.507758 1.986387 -36.166506 2.029534 C -35.829176 2.068758 -35.28788 2.13544 -34.95055 2.178587 C -34.609298 2.221733 -34.068002 2.292337 -33.730673 2.339407 C -33.393343 2.386476 -32.848124 2.464925 -32.510795 2.515916 C -32.173465 2.562985 -31.628246 2.649279 -31.290917 2.700271 C -30.953587 2.755185 -30.408369 2.845401 -30.071039 2.900315 C -29.73371 2.959152 -29.192413 3.057212 -28.851161 3.119971 C -28.513832 3.178808 -27.972536 3.284714 -27.635206 3.351395 C -27.293954 3.418077 -26.752658 3.527905 -26.415328 3.598509 C -26.074076 3.673035 -25.53278 3.790708 -25.19545 3.865234 C -24.858121 3.943683 -24.312902 4.073124 -23.975573 4.155495 C -23.638243 4.237866 -23.093024 4.375151 -22.755695 4.461445 C -22.418365 4.551661 -21.877069 4.696791 -21.535817 4.794852 C -21.198488 4.88899 -20.657191 5.04981 -20.319862 5.151794 C -19.97861 5.253777 -19.437314 5.422442 -19.099984 5.53227 C -18.758732 5.646021 -18.217436 5.826453 -17.880106 5.944126 C -17.542777 6.065721 -16.997558 6.261843 -16.660228 6.387361 C -16.322899 6.516802 -15.77768 6.724691 -15.440351 6.861976 C -15.103021 6.999261 -14.561725 7.22284 -14.220473 7.371893 C -13.883143 7.517023 -13.341847 7.760214 -13.000595 7.921034 C -12.663266 8.077931 -12.121969 8.340735 -11.78464 8.509399 C -11.443388 8.678064 -10.902092 8.96048 -10.564762 9.140912 C -10.227432 9.321344 -9.682214 9.627294 -9.344884 9.819493 C -9.007555 10.015615 -8.462336 10.341177 -8.125006 10.549066 C -7.787677 10.760878 -7.246381 11.109975 -6.905129 11.333554 C -6.567799 11.561055 -6.026503 11.933686 -5.685251 12.176878 C -5.347921 12.420069 -4.806625 12.820157 -4.469296 13.08296 C -4.128044 13.341841 -3.586747 13.773309 -3.249418 14.055725 C -2.912088 14.334218 -2.36687 14.797065 -2.02954 15.099093 C -1.69221 15.397198 -1.146992 15.895347 -0.809662 16.22091 C -0.472333 16.542549 0.0689636 17.076001 0.410216 17.421175 C 0.747545 17.770272 1.288841 18.342948 1.630093 18.715579 C 1.967423 19.088211 2.508719 19.707956 2.846049 20.108044 C 3.187301 20.508133 3.728597 21.171025 4.065926 21.602493 C 4.407178 22.033961 4.948475 22.743922 5.285804 23.206769 C 5.623134 23.669617 6.168352 24.434492 6.505682 24.932641 C 6.843012 25.426868 7.38823 26.25058 7.72556 26.784031 C 8.062889 27.317483 8.604186 28.203953 8.945438 28.776629 C 9.282767 29.349305 9.824063 30.298535 10.161393 30.914357 C 10.502645 31.53018 11.043941 32.550013 11.381271 33.212905 C 11.722523 33.871874 12.263819 34.970157 12.601148 35.680118 C 12.938478 36.390079 13.483697 37.56681 13.821026 38.331685 C 14.158356 39.09656 14.703574 40.359584 15.040904 41.179374 C 15.378234 41.999163 15.91953 43.360248 16.260782 44.238874 C 16.598111 45.121422 17.139408 46.580569 17.48066 47.529799 C 17.817989 48.475106 18.359285 50.04408 18.696615 51.059991 C 19.037867 52.075903 19.579163 53.76255 19.916493 54.852988 C 20.253822 55.947347 20.799041 57.759513 21.13637 58.932322 C 21.4737 60.10513 22.018919 62.050659 22.356248 63.309761 C 22.693578 64.572785 23.234874 66.659522 23.576126 68.016685 C 23.913456 69.369925 24.454752 71.617482 24.796004 73.072706 C 25.133333 74.52793 26.011959 78.501358 26.011959 78.501358 \" transform=\"matrix(0.995873, 0, 0, -0.995873, 51.302415, 98.25944)\"/>\n<g clip-path=\"url(#clip-1)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 1.19078 -44.957334 C 1.19078 -44.957334 2.1557 -34.982578 2.524409 -32.244717 C 2.89704 -29.502934 3.489328 -26.894513 3.858037 -25.219633 C 4.230669 -23.548675 4.822957 -21.414869 5.195588 -20.175379 C 5.564297 -18.935889 6.156585 -17.264931 6.529217 -16.288245 C 6.897926 -15.307636 7.494136 -13.93086 7.862845 -13.122838 C 8.231554 -12.314817 8.827764 -11.14593 9.196474 -10.455582 C 9.569105 -9.765233 10.161393 -8.753244 10.530102 -8.153111 C 10.902733 -7.549056 11.495021 -6.654741 11.867653 -6.121289 C 12.236362 -5.587838 12.832572 -4.787661 13.201281 -4.309123 C 13.56999 -3.830586 14.166201 -3.108858 14.53491 -2.673467 C 14.907541 -2.238077 15.499829 -1.579108 15.868538 -1.179019 C 16.24117 -0.782853 16.833458 -0.170953 17.206089 0.193834 C 17.574798 0.562543 18.167086 1.123451 18.539717 1.464703 C 18.908427 1.805955 19.504637 2.331562 19.873346 2.649279 C 20.242055 2.963074 20.838265 3.453379 21.206974 3.751484 C 21.579606 4.049589 22.171894 4.512436 22.540603 4.790929 C 22.913234 5.069422 23.505522 5.504813 23.878154 5.767616 C 24.246863 6.034342 24.839151 6.442275 25.211782 6.693311 C 25.580491 6.944347 26.176702 7.332668 26.545411 7.571937 C 26.918042 7.807283 27.51033 8.179915 27.879039 8.403494 C 28.25167 8.630995 28.843958 8.984014 29.21659 9.199748 C 29.585299 9.415482 30.177587 9.752812 30.550218 9.960701 C 30.918927 10.164668 31.515138 10.486307 31.883847 10.686352 C 32.252556 10.882473 32.848766 11.192346 33.217475 11.380623 C 33.590107 11.572822 34.182395 11.870927 34.551104 12.055282 C 34.923735 12.239637 35.516023 12.522052 35.888654 12.698562 C 36.257364 12.875071 36.849651 13.149642 37.222283 13.322229 C 37.590992 13.490894 38.187202 13.757619 38.555911 13.918439 C 38.92462 14.083182 39.520831 14.33814 39.88954 14.49896 C 40.262171 14.655857 40.854459 14.906893 41.223168 15.059868 C 41.5958 15.212843 42.188088 15.452112 42.560719 15.601165 C 42.929428 15.746295 43.525639 15.981641 43.894348 16.126771 C 44.263057 16.267979 44.859267 16.49548 45.227976 16.632766 C 45.600607 16.773973 46.192895 16.99363 46.561604 17.126993 C 46.934236 17.264278 47.526524 17.476089 47.899155 17.609452 C 48.267864 17.738893 48.860152 17.946782 49.232784 18.076222 C 49.601493 18.205663 50.197703 18.405707 50.566412 18.531225 C 50.935121 18.656743 51.531332 18.852865 51.900041 18.97446 C 52.272672 19.096056 52.86496 19.288255 53.233669 19.405928 C 53.606301 19.523601 54.198588 19.711878 54.57122 19.825629 C 54.939929 19.943302 55.532217 20.127657 55.904848 20.237485 C 56.273557 20.351235 56.869768 20.527745 57.238477 20.637573 C 57.607186 20.747401 58.203396 20.923911 58.572105 21.029817 C 58.944737 21.139645 59.537025 21.30831 59.909656 21.414216 C 60.278365 21.516199 60.870653 21.684864 61.243285 21.786847 C 61.611994 21.892753 62.208204 22.053573 62.576913 22.151634 C 62.945622 22.253617 63.541832 22.414437 63.910541 22.512498 C 64.283173 22.610559 64.875461 22.767456 65.24417 22.865517 C 65.616801 22.963578 66.209089 23.112631 66.581721 23.210692 C 66.95043 23.30483 67.542718 23.453883 67.915349 23.548021 C 68.284058 23.64216 68.880269 23.78729 69.248978 23.877506 C 69.617687 23.971644 70.213897 24.116775 70.582606 24.203068 C 70.955238 24.293284 71.547526 24.434492 71.916235 24.520785 C 72.288866 24.611002 72.881154 24.748287 73.253785 24.83458 C 73.622494 24.920874 74.218705 25.058159 74.587414 25.14053 C 74.956123 25.226824 75.552333 25.360187 75.921042 25.442558 C 76.293674 25.524929 76.885962 25.658292 77.254671 25.740663 C 77.627302 25.823034 78.21959 25.952475 78.592222 26.030924 C 78.960931 26.113295 79.92585 26.317261 79.92585 26.317261 \" transform=\"matrix(0.995873, 0, 0, -0.995873, 51.302415, 98.25944)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-0\" x=\"45.927686\" y=\"44.674484\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-4\" x=\"53.317067\" y=\"44.674484\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-1\" x=\"63.003926\" y=\"44.674484\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-6-0\" x=\"67.270248\" y=\"40.881202\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-0\" x=\"98.244896\" y=\"86.94134\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-4\" x=\"105.634276\" y=\"86.94134\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-5\" x=\"115.317295\" y=\"86.94134\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-2-6\" x=\"117.866632\" y=\"86.94134\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-2\" x=\"124.498109\" y=\"86.94134\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "La symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la propriété des courbes de deux\nfonctions réciproques. Le point $(a\\,;\\,b)$ est sur la\ncourbe de $\\exp$ si et seulement si $(b\\,;\\,a)$ est sur\ncelle de $\\ln$."
        },
        {
          "text": "La symétrie par rapport à l'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette symétrie transformerait $e^x$ en $-e^x$\n(courbe entièrement sous l'axe), pas en $\\ln x$."
        },
        {
          "text": "La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette symétrie donnerait $x \\mapsto e^{-x}$\n(décroissante), pas le logarithme."
        },
        {
          "text": "Une translation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune translation ne transforme l'une en l'autre\n(leurs domaines diffèrent : $\\mathbb{R}$ pour $\\exp$,\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ pour $\\ln$). L'échange des rôles de $x$\net $y$ est une symétrie par rapport à $y = x$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln$ étant la réciproque de $\\exp$, leurs courbes sont\nsymétriques par rapport à la droite $y = x$ : $(a\\,;\\,b)$ sur\nl'une équivaut à $(b\\,;\\,a)$ sur l'autre. Exemple :\n$(0\\,;\\,1)$ sur $\\exp$, $(1\\,;\\,0)$ sur $\\ln$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limites",
        "croissances-comparees"
      ],
      "title": "Limite de $x \\ln(x)$ en $0^+$",
      "statement": "Quelle est la limite de $x \\ln(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par\nvaleurs supérieures ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : forme « $0 \\times \\infty$ », mais le facteur\n$x$ écrase le logarithme : $x\\ln x \\to 0$ (limite au\nprogramme)."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln x \\to -\\infty$, certes, mais il est multiplié\npar $x \\to 0$, qui gagne ce bras de fer. Pour\n$x = 0{,}001$ : $x\\ln x \\approx -0{,}0069$, déjà minuscule."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit est **négatif** près de $0$ (car\n$\\ln x < 0$), il ne peut pas tendre vers $+\\infty$. Et son\nmodule s'écrase vers $0$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune compensation exacte n'a lieu ; le facteur\n$x$ l'emporte et le produit s'annule à la limite."
        }
      ],
      "explanation": "Limite de référence (démonstration au programme) :\n$\\lim_{x \\to 0^+} x\\ln(x) = 0$. Dans le duel\n« $0 \\times \\infty$ », la puissance de $x$ l'emporte sur le\nlogarithme."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques",
        "piege"
      ],
      "title": "Simplifier $\\ln(2) + \\ln(3)$",
      "statement": "Que vaut $\\ln(2) + \\ln(3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln(6)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, donc\n$\\ln 2 + \\ln 3 = \\ln(2 \\times 3) = \\ln 6$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : la somme des logarithmes correspond au\n**produit** des arguments, pas à leur somme.\n$\\ln 2 + \\ln 3 = \\ln 6$, et $\\ln(2+3) = \\ln 5$ est un autre\nnombre."
        },
        {
          "text": "$\\ln(9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln 9 = \\ln(3^2) = 2\\ln 3$. Ici on additionne\n$\\ln 2$ et $\\ln 3$, ce qui donne $\\ln(2 \\times 3)$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme ne disparaît pas. Le résultat est\n$\\ln 6 \\approx 1{,}79$, pas $6$."
        }
      ],
      "explanation": "La propriété $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$ se lit dans les deux\nsens : elle regroupe une somme de logarithmes en un seul, ou\néclate un logarithme de produit. Ici :\n$\\ln 2 + \\ln 3 = \\ln 6$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques",
        "inverse"
      ],
      "title": "Logarithme d'un inverse",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\ln 4$, soit $-2\\ln 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln\\frac{1}{a} = -\\ln a$ (l'inverse\ndevient un opposé), puis $\\ln 4 = \\ln 2^2 = 2\\ln 2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{\\ln 4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme ne « traverse » pas la fraction :\nil transforme l'inverse en **opposé**, pas en inverse du\nlogarithme."
        },
        {
          "text": "$\\ln 1 - 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'écriture : la règle du quotient donne $\\ln 1 -\n\\ln 4 = 0 - \\ln 4$ : le $4$ reste sous logarithme."
        },
        {
          "text": "$4^{-1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4^{-1} = \\frac{1}{4}$ est le nombre de départ,\npas son logarithme (qui vaut environ $-1{,}39$)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln\\frac{1}{a} = -\\ln a$ et $\\ln\\frac{a}{b} = \\ln a - \\ln\nb$ : le logarithme convertit la structure multiplicative en\nstructure additive. Les inverses deviennent des opposés."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques",
        "puissance"
      ],
      "title": "Logarithme d'une puissance",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln 8$ en fonction de $\\ln 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 8 = 3\\ln 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $8 = 2^3$, et $\\ln(a^n) = n\\ln a$ :\nl'exposant descend en facteur."
        },
        {
          "text": "$\\ln 8 = (\\ln 2)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant sort en **facteur**, pas en\npuissance du logarithme : $(\\ln 2)^3 \\approx 0{,}33$\nalors que $\\ln 8 \\approx 2{,}08$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 8 = \\ln 2 + 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8 = 2 \\times 4$ donnerait $\\ln 2 + \\ln 4$ : le\n$6$ additif ne correspond à aucune règle."
        },
        {
          "text": "$\\ln 8 = 4\\ln 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'exposant : $8 = 2^3$ (et non $2^4 = 16$) :\nfacteur $3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(a^n) = n\\ln a$ : la propriété la plus utilisée du\nchapitre (résolutions de $q^n < \\varepsilon$, sommes\ngéométriques…). Toujours décomposer : $8 = 2^3$, $81 = 3^4$…"
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "signe"
      ],
      "title": "Signe de $\\ln x$",
      "statement": "Pour quels réels $x$ a-t-on $\\ln x < 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour $0 < x < 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme s'annule en $1$ et croît :\nnégatif avant $1$, positif après. $\\ln(0{,}5) \\approx\n-0{,}69$."
        },
        {
          "text": "Pour $x < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de domaine : $\\ln x$ n'existe **pas** pour $x\n\\leq 0$ : la question du signe ne se pose que sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$."
        },
        {
          "text": "Pour $x < e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de repère : le point d'annulation est $1$ ($\\ln 1\n= 0$), pas $e$ ($\\ln e = 1$). Entre $1$ et $e$, $\\ln$\nest déjà positif."
        },
        {
          "text": "Jamais : un logarithme est toujours positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(0{,}1) \\approx -2{,}3$. Sur $]0\\ ;\\ 1[$,\nle logarithme est négatif (et plonge vers $-\\infty$ en\n$0^+$)."
        }
      ],
      "explanation": "Signe de $\\ln$ : négatif sur $]0\\ ;\\ 1[$, nul en $1$,\npositif sur $]1\\ ;\\ +\\infty[$. À superposer mentalement à la\ncourbe : la traversée de l'axe se fait en $x = 1$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "domaine"
      ],
      "title": "Domaine de $\\ln(u)$",
      "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(2x - 6)$\nest-elle définie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]3\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut $2x - 6 > 0$, soit $x > 3$ :\nl'intérieur du logarithme doit être **strictement**\npositif."
        },
        {
          "text": "$[3\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne fausse : en $x = 3$, l'intérieur vaut $0$ et $\\ln\n0$ n'existe pas : intervalle **ouvert** en $3$."
        },
        {
          "text": "$]0\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la condition porte sur $2x - 6$, pas sur $x$ :\nc'est l'**argument** du logarithme qui doit être\npositif."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f(0) = \\ln(-6)$ n'existe pas : le logarithme\nn'accepte que du strictement positif."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ : résoudre cette inéquation est\nle premier réflexe de tout exercice. Ici $2x - 6 > 0 \\iff\nx > 3$."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-produit"
      ],
      "title": "Dérivée de $x\\ln x$",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x\\ln x$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\ln x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : produit $u = x$, $v = \\ln x$ : $u'v +\nuv' = 1 \\times \\ln x + x \\times \\frac{1}{x} = \\ln x +\n1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{x}$ est la dérivée de $\\ln x$ seul :\nle facteur $x$ impose la règle du produit."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : il manque le terme $x \\times \\frac{1}{x} =\n1$ : la dérivée est $\\ln x + 1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 1 \\times \\dfrac{1}{x} = \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit des dérivées n'est pas la dérivée du\nproduit : la règle est $u'v + uv'$."
        }
      ],
      "explanation": "$(x\\ln x)' = \\ln x + 1$ : calcul fétiche du chapitre\n(minimum en $x = e^{-1}$, primitives…). La règle du produit\ns'applique dès qu'un facteur accompagne le logarithme."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation-puissance",
        "inversion"
      ],
      "title": "Résoudre $0{,}8^n < 0{,}01$",
      "statement": "Pour quels entiers $n$ a-t-on $0{,}8^n < 0{,}01$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n \\geq 21$, car $n > \\dfrac{\\ln 0{,}01}{\\ln 0{,}8}\n\\approx 20{,}6$ (l'inégalité change de sens : $\\ln\n0{,}8 < 0$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n\\ln 0{,}8 < \\ln 0{,}01$, et la\ndivision par $\\ln 0{,}8$, **négatif**, retourne\nl'inégalité."
        },
        {
          "text": "$n \\leq 20$, car $n < \\dfrac{\\ln 0{,}01}{\\ln 0{,}8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens non inversé : diviser par $\\ln 0{,}8 \\approx\n-0{,}22$, négatif, **retourne** le sens. (Contrôle :\n$0{,}8^1 = 0{,}8$, loin d'être $< 0{,}01$.)"
        },
        {
          "text": "Aucun : une puissance reste toujours au-dessus de\n$0{,}01$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}8^n \\to 0$ : la suite finit par passer\nsous n'importe quel seuil positif : ici au rang $21$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 5$, car $0{,}8 \\times 5 > 0{,}01$… non, essayons\n$n = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}8^5 \\approx 0{,}33$, très au-dessus de\n$0{,}01$. La bonne méthode passe par le logarithme,\ninversion de sens comprise."
        }
      ],
      "explanation": "Résolution type de $q^n < \\varepsilon$ pour $0 < q < 1$ :\nlogarithme des deux côtés, division par $\\ln q < 0$ **en\nretournant l'inégalité**. L'oubli de l'inversion est\nl'erreur numéro un du chapitre."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ln-exp",
        "simplification"
      ],
      "title": "Simplifier $\\ln(e^x \\times e)$",
      "statement": "Pour tout réel $x$, que vaut $\\ln\\left(e^x \\times e\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^x \\times e = e^{x+1}$, et $\\ln$\nannule $\\exp$ : reste $x + 1$. (Ou : $\\ln e^x + \\ln e =\nx + 1$.)"
        },
        {
          "text": "$x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur oublié : le $\\times\\, e$ ajoute $\\ln e = 1$ au\nrésultat."
        },
        {
          "text": "$e^{x+1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Logarithme non appliqué : $\\ln(e^{x+1}) = x + 1$ : les\ndeux fonctions réciproques s'annulent."
        },
        {
          "text": "$x\\,e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit dans le logarithme devient une\n**somme** de logarithmes ($x + 1$), jamais un produit."
        }
      ],
      "explanation": "Deux chemins équivalents : regrouper ($e^{x+1}$) puis\nsimplifier, ou éclater ($\\ln e^x + \\ln e$). Les allers\nretours $\\ln \\leftrightarrow \\exp$ doivent être des\nautomatismes : $\\ln(e^a) = a$, $e^{\\ln b} = b$ ($b > 0$)."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite-infini"
      ],
      "title": "Limite de $\\ln x$ en $+\\infty$",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\ln x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$ : le logarithme dépasse tout seuil, mais très\nlentement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln x$ finit par dépasser $100$, $1000$…\n(dès $x > e^{100}$, etc.) : limite $+\\infty$, malgré une\ncroissance d'escargot."
        },
        {
          "text": "Une valeur plafond finie, car la courbe s'aplatit",
          "correct": false,
          "feedback": "Illusion graphique classique : la courbe s'aplatit mais\nne plafonne pas : $\\ln x > 100$ dès que $x > e^{100}$.\nAucune asymptote horizontale."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e$ est la base ($\\ln e = 1$), pas une limite :\nen $+\\infty$ le logarithme croît sans borne."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln x \\to 0$ quand $x \\to 1$, pas à l'infini.\nEn $+\\infty$, la limite est $+\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\lim_{+\\infty} \\ln x = +\\infty$, mais plus lentement que\ntoute puissance ($\\frac{\\ln x}{x} \\to 0$) : croissance\nillimitée ET négligeable : les deux faits cohabitent."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "concavite",
        "inegalite-tangente"
      ],
      "title": "Concavité du logarithme",
      "statement": "La dérivée seconde de $\\ln$ est $-\\dfrac{1}{x^2} < 0$.\nQuelle inégalité en découle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln x \\leq x - 1$ pour tout $x > 0$ : la courbe est\nsous sa tangente en $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : concave = courbe **sous** chacune de ses\ntangentes ; celle en $x = 1$ a pour équation $y = x -\n1$. Égalité seulement en $x = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\ln x \\geq x - 1$ pour tout $x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : c'est la position d'une courbe\n**convexe** au-dessus de ses tangentes (comme $e^x \\geq\n1 + x$). Le logarithme, concave, est en dessous."
        },
        {
          "text": "$\\ln x \\leq 0$ pour tout $x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $\\ln 10 \\approx 2{,}3 > 0$. La concavité parle de\nla position par rapport aux **tangentes**, pas à l'axe."
        },
        {
          "text": "$\\ln x \\leq x^2$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Vrai mais sans lien : l'inégalité de concavité associée\nà la tangente en $1$ est la plus fine : $\\ln x \\leq x -\n1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln$ est concave ($f'' < 0$) : courbe sous ses tangentes,\nd'où $\\ln x \\leq x - 1$ : l'inégalité miroir de $e^x \\geq\n1 + x$ (les deux courbes sont symétriques par rapport à\n$y = x$)."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-ln",
        "domaine"
      ],
      "title": "Équation avec deux logarithmes",
      "statement": "Combien l'équation $\\ln x + \\ln(x - 3) = \\ln 4$ a-t-elle de\nsolutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une seule : $x = 4$ (la racine $x = -1$ est hors\ndomaine)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le domaine exige $x > 3$ ; l'équation\ndevient $x(x - 3) = 4$, soit $x^2 - 3x - 4 = 0$, racines\n$4$ et $-1$ : seule $4$ survit au domaine."
        },
        {
          "text": "Deux : $x = 4$ et $x = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Domaine oublié : en $x = -1$, ni $\\ln x$ ni $\\ln(x-3)$\nn'existent : toute résolution commence par « il faut\n$x > 3$ »."
        },
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = 4$ convient : $\\ln 4 + \\ln 1 = \\ln 4 + 0 =\n\\ln 4$."
        },
        {
          "text": "Une seule : $x = 7$, car $4 + 3 = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme des logarithmes donne le logarithme du\n**produit** $x(x-3)$, pas de la somme : l'équation est\n$x(x-3) = 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode complète : 1) domaine ($x > 3$) ; 2) fusion $\\ln a +\n\\ln b = \\ln(ab)$ ; 3) équation polynomiale ; 4) tri des\nracines par le domaine. L'étape 4 élimine presque toujours\nun candidat : c'est le piège voulu."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "changement-variable",
        "exp"
      ],
      "title": "Équation en $e^x$ par changement de variable",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 0$ et $x = \\ln 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $X = e^x$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$,\nracines $X = 1$ et $X = 2$, puis retour : $e^x = 1 \\iff\nx = 0$ et $e^x = 2 \\iff x = \\ln 2$."
        },
        {
          "text": "$x = 1$ et $x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Retour oublié : $1$ et $2$ sont les valeurs de $X =\ne^x$, pas de $x$ : il reste à appliquer $\\ln$."
        },
        {
          "text": "$x = \\ln 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient $3$ n'est pas une racine : on\nrésout le trinôme en $X$ ($X = 1$ ou $2$), puis on\nrevient à $x$."
        },
        {
          "text": "Aucune : une exponentielle ne s'annule jamais",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : on ne cherche pas $e^x = 0$ mais les zéros\ndu trinôme en $e^x$ : ils existent ($x = 0$ et $\\ln 2$,\nà vérifier en remplaçant)."
        }
      ],
      "explanation": "$e^{2x} = (e^x)^2$ : poser $X = e^x$ ($X > 0$) ramène à un\nsecond degré. Ne garder que les racines $X > 0$, puis\nconclure par $x = \\ln X$. Schéma incontournable au\nbaccalauréat."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques",
        "piege"
      ],
      "title": "Le faux réflexe $\\ln(a + b)$",
      "statement": "L'égalité $\\ln(a + b) = \\ln a + \\ln b$ est-elle vraie pour\ntous réels $a, b > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $\\ln$ transforme les produits en sommes, pas les\nsommes ($\\ln(1 + 1) = \\ln 2 \\neq \\ln 1 + \\ln 1 = 0$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la propriété fondamentale est $\\ln(ab) =\n\\ln a + \\ln b$ : aucune formule ne simplifie\n$\\ln(a + b)$ en général."
        },
        {
          "text": "Oui : c'est la propriété fondamentale du logarithme",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la propriété fondamentale porte sur le\n**produit** : $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$. Pour la somme,\ncontre-exemple : $a = b = 1$."
        },
        {
          "text": "Oui, mais seulement si $a = b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Toujours faux : $a = b = 1$ : $\\ln 2 \\approx 0{,}69$\nd'un côté, $0$ de l'autre."
        },
        {
          "text": "Non, sauf pour $a, b < 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun réglage de $a$ et $b$ ne sauve la formule\nen général : elle confond addition et multiplication."
        }
      ],
      "explanation": "À graver : $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$, mais $\\ln(a + b)$ ne\nse développe **pas**. Le logarithme traduit le monde\nmultiplicatif en monde additif : il n'a rien à dire sur les\nsommes."
    }
  ]
}