{
  "chapter": {
    "id": "fonctions-sinus-cosinus",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Fonctions sinus et cosinus",
    "description": "Fonctions trigonométriques : parité, périodicité, courbes\nreprésentatives, dérivées et variations, valeurs remarquables,\néquations du type $\\cos(x) = a$ et inéquations sur\n$[-\\pi\\,;\\,\\pi]$.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée de sinus",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction sinus ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\cos(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin x)' = \\cos x$. Cohérent en $0$ : la\ncourbe de sinus y a une pente de $\\cos(0) = 1$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le moins apparaît en dérivant\n**cosinus**, pas sinus. Retiens le cycle :\n$\\sin \\to \\cos \\to -\\sin \\to -\\cos \\to \\sin$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sinus n'est pas sa propre dérivée (ce privilège\nappartient à l'exponentielle). Sa dérivée est cosinus."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\sin$ est la dérivée **seconde** de sinus (la\ndérivée de $\\cos$). Au premier ordre : $(\\sin x)' = \\cos x$."
        }
      ],
      "explanation": "Dérivées à connaître : $(\\sin x)' = \\cos x$ et\n$(\\cos x)' = -\\sin x$. Le cycle des dérivations successives\nrevient au point de départ en quatre étapes."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée de cosinus",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\sin(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\cos x)' = -\\sin x$. Le signe moins\ntraduit le fait que cosinus **décroît** juste après $0$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du signe : sur $]0\\,;\\,\\pi[$, cosinus décroît, sa\ndérivée doit y être négative ; or $\\sin x > 0$ sur cet\nintervalle. La bonne dérivée est $-\\sin x$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\cos$ est la dérivée seconde de cosinus. Au\npremier ordre : $(\\cos x)' = -\\sin x$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{\\sin(x)}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun quotient n'apparaît en dérivant cosinus.\n(Tu penses peut-être à la dérivée de $\\ln$ ?)"
        }
      ],
      "explanation": "$(\\cos x)' = -\\sin x$. Vérification rapide du signe : cosinus\npasse de $1$ à $-1$ sur $[0\\,;\\,\\pi]$, il décroît, et\n$-\\sin x \\leq 0$ sur cet intervalle."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parite"
      ],
      "title": "Parité de sinus et cosinus",
      "statement": "Pour tout réel $x$, quelles égalités sont correctes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\cos(-x) = \\cos(x)$ et $\\sin(-x) = -\\sin(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : cosinus est **paire** (courbe symétrique\npar rapport à l'axe des ordonnées) et sinus est **impaire**\n(courbe symétrique par rapport à l'origine)."
        },
        {
          "text": "$\\cos(-x) = -\\cos(x)$ et $\\sin(-x) = \\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Parités inversées : sur le cercle trigonométrique, changer\n$x$ en $-x$ conserve l'abscisse (cosinus) et change le\nsigne de l'ordonnée (sinus)."
        },
        {
          "text": "$\\cos(-x) = \\cos(x)$ et $\\sin(-x) = \\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur sinus : $\\sin\\!\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right) = -1\n\\neq 1 = \\sin\\!\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)$. Sinus est\nimpaire."
        },
        {
          "text": "$\\cos(-x) = -\\cos(x)$ et $\\sin(-x) = -\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur cosinus : $\\cos(-0) = \\cos(0) = 1$, pas $-1$.\nCosinus est paire."
        }
      ],
      "explanation": "Sur le cercle trigonométrique, $x$ et $-x$ donnent deux points\nsymétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse\n($\\cos$ paire), ordonnées opposées ($\\sin$ impaire)."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "periodicite"
      ],
      "title": "Période des fonctions sinus et cosinus",
      "statement": "Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2\\pi$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(x + 2\\pi) = \\cos(x)$ et\n$\\sin(x + 2\\pi) = \\sin(x)$ pour tout $x$ : un tour complet\ndu cercle trigonométrique."
        },
        {
          "text": "$\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\cos(0) = 1$ mais $\\cos(\\pi) = -1$ : ajouter\n$\\pi$ ne redonne pas la même valeur (cela donne l'opposé).\nLa vraie période est $2\\pi$."
        },
        {
          "text": "$360$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion degrés/radians : $360$ degrés correspondent bien à\nun tour, mais en analyse les fonctions sinus et cosinus sont\ndéfinies en **radians** : période $2\\pi$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\cos(1) \\approx 0{,}54 \\neq \\cos(0) = 1$. La\npériode est la longueur d'un tour du cercle : $2\\pi$."
        }
      ],
      "explanation": "Un tour complet du cercle trigonométrique mesure $2\\pi$\nradians : $\\cos$ et $\\sin$ sont $2\\pi$-périodiques. Leur courbe\nse répète à l'identique de $2\\pi$ en $2\\pi$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs"
      ],
      "title": "Une valeur sur le cercle",
      "statement": "Que vaut $\\cos\\!\\left(\\dfrac{\\pi}{2}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : au quart de tour, le point du cercle\ntrigonométrique est $(0\\,;\\,1)$ : abscisse $0$, donc\n$\\cos(\\pi/2) = 0$ (et $\\sin(\\pi/2) = 1$)."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ est l'ordonnée de ce point, c'est-à-dire\n$\\sin(\\pi/2)$. Le cosinus lit l'**abscisse**, qui vaut $0$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ est $\\cos(\\pi)$, au demi-tour. Au quart de\ntour, l'abscisse est $0$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\pi/2$ est l'**angle**, pas la valeur du cosinus.\nUn cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur le cercle trigonométrique, l'angle $\\pi/2$ correspond au\npoint $(0\\,;\\,1)$ : $\\cos(\\pi/2) = 0$, $\\sin(\\pi/2) = 1$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeurs"
      ],
      "title": "Valeur remarquable",
      "statement": "Que vaut $\\cos\\!\\left(\\dfrac{\\pi}{3}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(\\pi/3) = \\dfrac{1}{2}$ et\n$\\sin(\\pi/3) = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion classique : $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ est\n$\\sin(\\pi/3)$, ou encore $\\cos(\\pi/6)$. Moyen mémo : plus\nl'angle est proche de $0$, plus le cosinus est proche de\n$1$, donc $\\cos(\\pi/3) < \\cos(\\pi/6)$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ est la valeur commune de\n$\\cos(\\pi/4)$ et $\\sin(\\pi/4)$, à mi-chemin."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le cosinus ne se lit pas « un sur le\ndénominateur ». Les valeurs remarquables se retrouvent sur\nle cercle : $\\cos(\\pi/3) = \\dfrac{1}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "Tableau des valeurs remarquables : pour $\\dfrac{\\pi}{6}$,\n$\\dfrac{\\pi}{4}$, $\\dfrac{\\pi}{3}$, le cosinus vaut\n$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\dfrac{1}{2}$\n(et le sinus les mêmes valeurs en ordre inverse)."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation"
      ],
      "title": "Résoudre $\\cos(x) = \\dfrac{1}{2}$",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$\\cos(x) = \\dfrac{1}{2}$ sur l'intervalle $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = -\\dfrac{\\pi}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite verticale d'abscisse $\\frac{1}{2}$\ncoupe le cercle en deux points symétriques par rapport à\nl'axe des abscisses : angles $\\pi/3$ et $-\\pi/3$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : le cosinus étant pair, $-\\pi/3$ convient aussi\n($\\cos(-\\pi/3) = \\cos(\\pi/3) = 1/2$). Une équation en\ncosinus a généralement **deux** solutions par tour."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{2\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec le **sinus** : $\\pi/3$ et $\\pi - \\pi/3 =\n2\\pi/3$ sont liés par la symétrie du sinus. Pour le cosinus,\nles deux solutions sont opposées : $\\pm\\pi/3$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ et $x = -\\dfrac{\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de valeur : $\\cos(\\pi/6) = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$,\npas $\\dfrac{1}{2}$. L'angle dont le cosinus vaut\n$\\dfrac{1}{2}$ est $\\pi/3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\cos(x) = a$ se résout sur le cercle : les solutions sont\n$x = \\alpha$ et $x = -\\alpha$ (modulo $2\\pi$), où $\\alpha$ est\nun angle de cosinus $a$. Ici $\\alpha = \\pi/3$ : solutions\n$\\pm\\dfrac{\\pi}{3}$ sur $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Reconnaître une courbe trigonométrique",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}$ ci-dessous est tracée sur\n$[-\\pi\\,;\\,\\pi]$. De quelle fonction est-ce la courbe\nreprésentative ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.95,yscale=1.15]\n  \\draw[->] (-3.6,0) -- (3.6,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.7) node[above left] {$y$};\n  \\draw (0.06,1) -- (-0.06,1);\n  \\node[left,font=\\small] at (-0.06,1) {$1$};\n  \\draw (0.06,-1) -- (-0.06,-1);\n  \\node[left,font=\\small] at (-0.06,-1) {$-1$};\n  \\foreach \\x/\\l in {-3.1416/{-\\pi}, -1.5708/{-\\frac{\\pi}{2}}, 1.5708/{\\frac{\\pi}{2}}, 3.1416/{\\pi}} {\n    \\draw (\\x,0.05) -- (\\x,-0.05);\n    \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.07) {$\\l$};\n  }\n  \\draw[dashed,gray] (-3.4,1) -- (3.4,1);\n  \\draw[dashed,gray] (-3.4,-1) -- (3.4,-1);\n  \\draw[domain=-3.1416:3.1416,smooth,samples=90,thick,blue] plot (\\x,{sin(\\x r)});\n  \\node[blue,font=\\small] at (2.7,1.25) {$\\mathcal{C}$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère avec une courbe oscillante sur [-pi ; pi] : elle passe\npar l'origine en montant, atteint son maximum 1 en pi/2,\nredescend et s'annule en pi ; à gauche, elle atteint son\nminimum -1 en -pi/2 et s'annule en -pi. Courbe symétrique par\nrapport à l'origine.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"210.608pt\" height=\"121.565pt\" viewBox=\"0 0 210.608 121.565\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 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6.359375 -2.25 C 6.359375 -2.4375 6.1875 -2.4375 6.03125 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.03125 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.5 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.28125 -5.515625 2.8125 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.640625 4.109375 -5.328125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.328125 3.6875 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.078125 C 3.625 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.234375 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.71875 C 4.890625 -6.125 4.640625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.078125 -6.296875 2 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transform=\"matrix(0.996434, 0, 0, -0.996434, 195.364394, 70.224713)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"199.069476\" y=\"78.005869\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00176009 -48.898859 L -0.00176009 55.018542 \" transform=\"matrix(0.996434, 0, 0, -0.996434, 98.962691, 70.224713)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073667 2.389179 C -1.693405 0.958296 -0.850556 0.280096 0.000133163 0.00176009 C -0.850556 -0.280496 -1.693405 -0.954776 -2.073667 -2.389579 \" transform=\"matrix(0, -0.996434, -0.996434, 0, 98.962691, 15.203258)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"90.232929\" y=\"9.567763\"/>\n</g>\n<path 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-32.58679 -40.881896 -32.551508 C -40.352665 -32.520147 -39.509816 -32.429981 -38.980586 -32.351577 C -38.451355 -32.273172 -37.608506 -32.108523 -37.079275 -31.986996 C -36.553965 -31.865469 -35.707195 -31.630255 -35.177965 -31.465605 C -34.652654 -31.297036 -33.805885 -30.995178 -33.276654 -30.783486 C -32.751344 -30.575714 -31.904574 -30.203292 -31.375344 -29.952397 C -30.850033 -29.701503 -30.003264 -29.262437 -29.477953 -28.96842 C -28.948723 -28.678323 -28.101953 -28.176534 -27.576643 -27.843315 C -27.047412 -27.514016 -26.200643 -26.949503 -25.675332 -26.581001 C -25.146102 -26.20858 -24.299332 -25.585264 -23.774022 -25.18148 C -23.244791 -24.777697 -22.401942 -24.099497 -21.872711 -23.660432 C -21.343481 -23.221366 -20.500632 -22.488284 -19.971401 -22.017856 C -19.44609 -21.547429 -18.599321 -20.767303 -18.07009 -20.269435 C -17.54478 -19.767645 -16.698011 -18.944398 -16.16878 -18.419087 C -15.643469 -17.889856 -14.7967 -17.027406 -14.267469 -16.474654 C -13.742159 -15.925822 -12.89539 -15.02417 -12.370079 -14.451816 C -11.840848 -13.879463 -10.994079 -12.942529 -10.468768 -12.354494 C -9.939538 -11.76254 -9.092768 -10.802084 -8.567458 -10.194449 C -8.038227 -9.590734 -7.191458 -8.602836 -6.666147 -7.987361 C -6.136917 -7.367965 -5.294068 -6.364386 -4.764837 -5.73715 C -4.235606 -5.109913 -3.392757 -4.094574 -2.863526 -3.459497 C -2.338216 -2.824421 -1.491447 -1.801241 -0.962216 -1.166164 C -0.436905 -0.527167 0.409864 0.496012 0.939095 1.13501 C 1.464405 1.770086 2.311174 2.793266 2.840405 3.428343 C 3.365716 4.06342 4.212485 5.078759 4.737795 5.705995 C 5.267026 6.333232 6.113795 7.33681 6.639106 7.956206 C 7.168337 8.575602 8.015106 9.559579 8.540416 10.167215 C 9.069647 10.77093 9.916416 11.735306 10.441727 12.32334 C 10.970958 12.915294 11.813807 13.852229 12.343037 14.420662 C 12.872268 14.993015 13.715117 15.898588 14.244348 16.44742 C 14.769658 17.000172 15.616428 17.866542 16.145658 18.391853 C 16.670969 18.917163 17.517738 19.744331 18.046969 20.24612 C 18.57228 20.743989 19.419049 21.524115 19.94828 21.994542 C 20.47359 22.46889 21.320359 23.198052 21.84567 23.637118 C 22.374901 24.076183 23.22167 24.754382 23.74698 25.162086 C 24.276211 25.56587 25.12298 26.189186 25.648291 26.561607 C 26.177522 26.930109 27.024291 27.494622 27.549601 27.827841 C 28.078832 28.16106 28.921681 28.66285 29.450912 28.956867 C 29.976222 29.246964 30.822992 29.686029 31.352222 29.940844 C 31.877533 30.191738 32.724302 30.56416 33.253533 30.775852 C 33.778843 30.983625 34.625613 31.289402 35.154843 31.457972 C 35.680154 31.622622 36.526923 31.857835 37.052234 31.979362 C 37.581464 32.10481 38.428234 32.265539 38.953544 32.347864 C 39.482775 32.426268 40.329544 32.516434 40.854855 32.551716 C 41.384085 32.586998 42.230855 32.602679 42.756165 32.594838 C 43.285396 32.583077 44.128245 32.528194 44.657476 32.473311 C 45.186706 32.418428 46.029555 32.292981 46.558786 32.191055 C 47.084097 32.089129 47.930866 31.893117 48.460097 31.748069 C 48.985407 31.603021 49.832176 31.336445 50.361407 31.148274 C 50.886718 30.960103 51.733487 30.622964 52.262718 30.39167 C 52.788028 30.160377 53.634798 29.756593 54.160108 29.486097 C 54.689339 29.215602 55.536108 28.745174 56.061419 28.431556 C 56.590649 28.117938 57.437419 27.588707 57.962729 27.235887 C 58.49196 26.886986 59.338729 26.291112 59.86404 25.906929 C 60.39327 25.518827 61.236119 24.868069 61.76535 24.444684 C 62.294581 24.02522 63.13743 23.319579 63.666661 22.864833 C 64.191971 22.410086 65.03874 21.653482 65.567971 21.167374 C 66.093282 20.685186 66.940051 19.881539 67.469282 19.367989 C 67.994592 18.85444 68.841361 18.00767 69.370592 17.470599 C 69.895903 16.933528 70.742672 16.047556 71.267982 15.486964 C 71.797213 14.922451 72.643982 14.005118 73.169293 13.424924 C 73.698524 12.84473 74.545293 11.896035 75.070603 11.29624 C 75.599834 10.696445 76.446603 9.724229 76.971914 9.108753 C 77.501145 8.497198 78.343994 7.50538 78.873224 6.882064 C 79.402455 6.258747 80.245304 5.247329 80.774535 4.616172 C 81.299846 3.985015 82.146615 2.965756 82.675846 2.330679 C 83.201156 1.691682 84.577156 0.0295053 84.577156 0.0295053 \" transform=\"matrix(0.996434, 0, 0, -0.996434, 98.962691, 70.224713)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"168.737016\" y=\"32.675078\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sin(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe passe par l'origine, est\nsymétrique par rapport à elle (fonction impaire) et culmine\nà $1$ en $\\pi/2$ : c'est la sinusoïde."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la courbe de cosinus vaut $1$ en $0$ (elle démarre\nau sommet) et est symétrique par rapport à l'axe des\nordonnées. Ici la courbe s'annule en $0$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $-\\sin$ **descendrait** en quittant\nl'origine vers la droite, avec un minimum en $\\pi/2$. Ici\nla courbe monte."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sin(2x)$ oscille deux fois plus vite (période\n$\\pi$) et s'annulerait déjà en $\\pi/2$. Ici le maximum est\nen $\\pi/2$ : une seule arche par demi-tour."
        }
      ],
      "explanation": "Signature graphique de sinus : passage par l'origine en\ncroissant, maximum $1$ en $\\pi/2$, imparité (symétrie par\nrapport à l'origine), période $2\\pi$. Cosinus, lui, démarre à\nson maximum en $x = 0$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee",
        "composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\cos(3x)$",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\cos(3x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = -3\\sin(3x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dérivée de composée,\n$(\\cos u)' = -u'\\sin(u)$ avec $u = 3x$ et $u' = 3$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = -\\sin(3x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $u' = 3$ : la composée exige de multiplier\npar la dérivée de l'intérieur."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 3\\sin(3x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe\nmoins, qui ne disparaît pas : $-3\\sin(3x)$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = -3\\cos(3x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver cosinus donne du **sinus** (au signe\nprès), pas du cosinus."
        }
      ],
      "explanation": "Règle de la composée : $\\left(\\cos(u)\\right)' = -u'\\sin(u)$.\nAvec $u(x) = 3x$ : $f'(x) = -3\\sin(3x)$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inequation"
      ],
      "title": "Résoudre $\\cos(x) \\leq \\dfrac{1}{2}$",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\cos(x) \\leq \\dfrac{1}{2}$ sur $[-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\left[-\\pi\\,;\\,-\\dfrac{\\pi}{3}\\right] \\cup\n\\left[\\dfrac{\\pi}{3}\\,;\\,\\pi\\right]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur le cercle, le cosinus est inférieur à\n$\\frac{1}{2}$ pour les points situés à **gauche** de la\nverticale d'abscisse $\\frac{1}{2}$, c'est-à-dire pour les\nangles au-delà de $\\pm\\pi/3$."
        },
        {
          "text": "$\\left[-\\dfrac{\\pi}{3}\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{3}\\right]$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'ensemble complémentaire : entre $-\\pi/3$ et\n$\\pi/3$, le cosinus est **supérieur** ou égal à\n$\\frac{1}{2}$ (il culmine à $1$ en $0$)."
        },
        {
          "text": "$\\left[\\dfrac{\\pi}{3}\\,;\\,\\pi\\right]$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : par parité du cosinus, la partie symétrique\n$\\left[-\\pi\\,;\\,-\\pi/3\\right]$ convient aussi."
        },
        {
          "text": "$\\left[-\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur cet intervalle le cosinus est **positif** et\nvaut jusqu'à $1$ ; par exemple $\\cos(0) = 1 >\n\\frac{1}{2}$. Le seuil $\\frac{1}{2}$ se franchit en\n$\\pm\\pi/3$."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode du cercle : on repère les angles où\n$\\cos(x) = \\frac{1}{2}$, soit $\\pm\\pi/3$, puis on identifie\nl'arc où l'abscisse est sous le seuil : les angles de grande\namplitude. Solutions :\n$[-\\pi\\,;\\,-\\pi/3] \\cup [\\pi/3\\,;\\,\\pi]$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "encadrement",
        "limites"
      ],
      "title": "Limite de $\\dfrac{\\sin(x)}{x}$ en $+\\infty$",
      "statement": "Quelle est la limite de $\\dfrac{\\sin(x)}{x}$ quand $x$ tend\nvers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-1 \\leq \\sin(x) \\leq 1$, donc\n$-\\dfrac{1}{x} \\leq \\dfrac{\\sin x}{x} \\leq \\dfrac{1}{x}$ ;\nles gendarmes concluent : limite $0$."
        },
        {
          "text": "Elle n'existe pas, car $\\sin(x)$ oscille sans limite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur oscille mais reste **borné**, et il\nest divisé par $x$ qui explose. Les oscillations sont\nécrasées : la limite existe et vaut $0$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la limite célèbre en **zéro** :\n$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1$. En $+\\infty$, le\ndénominateur l'emporte : limite $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le quotient est majoré par $\\dfrac{1}{x}$ en\nvaleur absolue, il ne peut pas exploser."
        }
      ],
      "explanation": "Fonction bornée divisée par une quantité qui tend vers\nl'infini : encadrement\n$-\\frac{1}{x} \\leq \\frac{\\sin x}{x} \\leq \\frac{1}{x}$ et\nthéorème des gendarmes donnent une limite nulle."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "variations"
      ],
      "title": "Monotonie de sinus",
      "statement": "Sur quel intervalle la fonction sinus est-elle croissante ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\left[-\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin x)' = \\cos x \\geq 0$ exactement sur\ncet intervalle (le cosinus y reste positif). Sinus y monte\nde $-1$ à $1$."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,\\pi]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur $[0\\,;\\,\\pi]$, sinus monte jusqu'à $\\pi/2$\n**puis redescend** (le cosinus devient négatif après\n$\\pi/2$). Ce n'est pas un intervalle de monotonie."
        },
        {
          "text": "$[-\\pi\\,;\\,0]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : entre $-\\pi$ et $-\\pi/2$, le cosinus est négatif\net sinus **décroît** ; la croissance ne commence qu'en\n$-\\pi/2$."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une fonction périodique non constante ne peut\npas être monotone sur $\\mathbb{R}$, elle remonte et\nredescend sans fin."
        }
      ],
      "explanation": "On lit la monotonie de $\\sin$ sur le signe de sa dérivée\n$\\cos$ : positif sur $[-\\pi/2\\,;\\,\\pi/2]$, donc sinus\ncroissante sur cet intervalle (de $-1$ à $1$), puis\ndécroissante sur $[\\pi/2\\,;\\,3\\pi/2]$, etc."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identite-fondamentale"
      ],
      "title": "Utiliser $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$",
      "statement": "On sait que $\\cos x = \\dfrac{3}{5}$ avec $x \\in\n\\left[0\\ ;\\ \\dfrac{\\pi}{2}\\right]$. Que vaut $\\sin x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sin x = \\dfrac{4}{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sin^2 x = 1 - \\dfrac{9}{25} =\n\\dfrac{16}{25}$, et sur $\\left[0\\ ;\\\n\\frac{\\pi}{2}\\right]$ le sinus est positif : $+\\frac{4}{5}$\n(le triangle $3$-$4$-$5$)."
        },
        {
          "text": "$\\sin x = \\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 - \\frac{3}{5} = \\frac{2}{5}$ soustrait les\nvaleurs au lieu des **carrés** : l'identité porte sur\n$\\cos^2$ et $\\sin^2$."
        },
        {
          "text": "$\\sin x = \\pm\\dfrac{4}{5}$, impossible de trancher",
          "correct": false,
          "feedback": "Intervalle négligé : sur $\\left[0\\ ;\\\n\\frac{\\pi}{2}\\right]$ (premier quadrant), le sinus est\npositif : l'information donnée tranche."
        },
        {
          "text": "$\\sin x = \\dfrac{3}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sinus et cosinus ne sont égaux qu'en $x =\n\\frac{\\pi}{4}$ (valeur $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$) : ici le\ncalcul donne $\\frac{4}{5}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ (Pythagore sur le cercle unité) :\npasser de l'un à l'autre au signe près, le **quadrant**\nfournissant le signe. Le réflexe en deux temps : calcul du\ncarré, choix du signe."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs-remarquables"
      ],
      "title": "La valeur $\\sin\\dfrac{\\pi}{6}$",
      "statement": "Que vaut $\\sin\\dfrac{\\pi}{6}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\frac{\\pi}{6} = 30°$ : le sinus vaut\n$\\frac{1}{2}$ (et le cosinus $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Échange classique : $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ est $\\cos\n\\frac{\\pi}{6}$ (ou $\\sin\\frac{\\pi}{3}$) : à $30°$, le\nsinus est le petit ($\\frac{1}{2}$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ appartient à $\\frac{\\pi}{4}$\n($45°$), l'angle où sinus et cosinus se rejoignent."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le sinus d'un angle n'est pas l'angle ($\\sin x\n\\approx x$ seulement pour $x$ **très petit**, et\n$\\frac{\\pi}{6} \\approx 0{,}52 \\neq 0{,}5$… de peu, mais\nla valeur exacte est $\\frac{1}{2}$)."
        }
      ],
      "explanation": "Tableau des valeurs : $\\frac{\\pi}{6} \\to \\frac{1}{2}$,\n$\\frac{\\pi}{4} \\to \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\frac{\\pi}{3} \\to\n\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ pour le sinus (le cosinus lit le même\ntableau à l'envers). Mémoire : $\\frac{\\sqrt{1}}{2},\n\\frac{\\sqrt{2}}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\sin(2x)$",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(2x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 2\\cos(2x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin u)' = u'\\cos u$ avec $u = 2x$ :\nle facteur $2$ sort, l'argument $2x$ reste."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\cos(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur\n($u' = 2$) multiplie : règle de la chaîne."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2\\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :\nle $2x$ reste intact dans le cosinus."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = -2\\cos(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : le moins appartient à la dérivée du\n**cosinus** ($(\\cos u)' = -u'\\sin u$) : le sinus se\ndérive sans signe."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\sin(ax))' = a\\cos(ax)$, $(\\cos(ax))' = -a\\sin(ax)$ : le\ncoefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.\nPhysiquement : osciller deux fois plus vite double la\nvitesse de variation."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-trigonometrique"
      ],
      "title": "Résoudre $\\sin x = 0$",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = 0$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = k\\pi$, pour $k \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le sinus s'annule aux deux extrémités\nhorizontales du cercle ($0$ et $\\pi$), puis tous les\ntours : l'ensemble $\\{k\\pi\\}$ les capture tous d'un\ncoup."
        },
        {
          "text": "$x = 2k\\pi$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié perdue : $\\sin \\pi = 0$ aussi : les multiples\n**impairs** de $\\pi$ manquent : le pas est $\\pi$, pas\n$2\\pi$."
        },
        {
          "text": "$x = 0$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Périodicité oubliée : le sinus repasse par $0$ à chaque\ndemi-tour : une infinité de solutions."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{2} + k\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\frac{\\pi}{2} + k\\pi$ sont les zéros du\n**cosinus** (les pôles nord et sud du cercle) : le sinus\ns'annule sur l'axe horizontal."
        }
      ],
      "explanation": "Sur le cercle : $\\sin x = 0$ aux points $(\\pm 1\\ ;\\ 0)$,\nsoit $x = k\\pi$ ; $\\cos x = 0$ aux points $(0\\ ;\\ \\pm 1)$,\nsoit $x = \\frac{\\pi}{2} + k\\pi$. Visualiser le cercle évite\ntoute confusion."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limite-remarquable",
        "taux"
      ],
      "title": "La limite $\\dfrac{\\sin x}{x}$ en $0$",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{\\sin x}{x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$ : c'est le nombre dérivé de sinus en $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{\\sin x - \\sin 0}{x - 0}$ est le\ntaux d'accroissement de $\\sin$ en $0$ : sa limite est\n$\\sin'(0) = \\cos 0 = 1$."
        },
        {
          "text": "$0$, car $\\sin 0 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur seul : le dénominateur s'annule aussi :\n$\\frac{0}{0}$ à lever, et la reconnaissance du taux\nd'accroissement donne $1$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$, car on divise par $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur fond à la même vitesse ($\\sin x\n\\approx x$ près de $0$) : le quotient s'équilibre sur\n$1$."
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas, le sinus oscille",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec $+\\infty$ : **en $0$**, le sinus\nn'oscille pas : il colle à sa tangente $y = x$, d'où le\nquotient proche de $1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1$ : le taux\nd'accroissement de sinus en $0$, et la traduction de la\ntangente $y = x$ à l'origine. À rapprocher de\n$\\frac{e^x - 1}{x} \\to 1$ : même mécanisme."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "variations"
      ],
      "title": "Variations de cosinus sur $[0\\ ;\\ \\pi]$",
      "statement": "Comment varie la fonction cosinus sur l'intervalle\n$[0\\ ;\\ \\pi]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle décroît de $1$ à $-1$, car $(\\cos x)' = -\\sin x\n\\leq 0$ sur cet intervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\ ;\\ \\pi]$, $\\sin x \\geq 0$, donc\n$-\\sin x \\leq 0$ : décroissance stricte de $\\cos 0 = 1$\nà $\\cos \\pi = -1$."
        },
        {
          "text": "Elle croît de $-1$ à $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : c'est le comportement sur $[\\pi\\ ;\\\n2\\pi]$ (ou $[-\\pi\\ ;\\ 0]$) : sur $[0\\ ;\\ \\pi]$, le point\ndu cercle descend de droite à gauche : cosinus décroît."
        },
        {
          "text": "Elle est constante, car périodique",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : périodique = se **répète**, pas = constante :\nà l'intérieur d'une période, la fonction varie\n(pleinement, de $1$ à $-1$)."
        },
        {
          "text": "Elle croît puis décroît, avec un maximum en\n$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $\\frac{\\pi}{2}$, le cosinus vaut $0$ et\n**traverse** en descendant ($-\\sin\\frac{\\pi}{2} = -1 <\n0$) : c'est le sinus qui culmine là, pas le cosinus."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\cos)' = -\\sin$ : le signe du sinus pilote les variations\ndu cosinus. Sur $[0\\ ;\\ \\pi]$ : décroissance de $1$ à $-1$ ;\npuis remontée sur $[\\pi\\ ;\\ 2\\pi]$ : l'ondulation perpétuelle\nse lit tableau par tableau."
    }
  ]
}