{ "chapter": { "id": "limites-de-fonctions", "level": "terminale-specialite", "theme": "Analyse", "title": "Limites des fonctions", "description": "Limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini ou en un point,\nasymptotes parallèles aux axes, opérations sur les limites, formes\nindéterminées, limites par comparaison, croissances comparées avec\nl'exponentielle, factorisation du terme prépondérant.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "limites-usuelles", "exponentielle" ], "title": "Limite de $e^x$ en $-\\infty$", "statement": "Quelle est la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\\infty$ ?", "options": [ { "text": "$0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quand $x \\to -\\infty$, $e^x$ devient\narbitrairement proche de $0$ (tout en restant strictement\npositif). L'axe des abscisses est asymptote à la courbe." }, { "text": "$-\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^x$ est strictement **positif** pour tout réel\n$x$, il ne peut pas tendre vers $-\\infty$. Il s'écrase vers\n$0$." }, { "text": "$-1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^x$ ne prend jamais de valeur négative, et aucune\nvaleur particulière n'est atteinte à l'infini : la limite est\n$0$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1 = e^0$ est la valeur **en** $0$, pas la limite en\n$-\\infty$." } ], "explanation": "Limites de référence de l'exponentielle :\n$\\lim_{x \\to -\\infty} e^x = 0$ et\n$\\lim_{x \\to +\\infty} e^x = +\\infty$. En $-\\infty$, la droite\n$y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "asymptote", "limite-en-un-point" ], "title": "Asymptote verticale", "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{1}{x - 3}$. Quelle droite est asymptote\n**verticale** à la courbe de $f$ ?", "options": [ { "text": "La droite d'équation $x = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quand $x \\to 3$, le dénominateur tend vers\n$0$ et $f(x)$ tend vers $\\pm\\infty$ : la courbe se plaque\ncontre la droite verticale $x = 3$." }, { "text": "La droite d'équation $y = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $y = 3$ est une droite **horizontale**. Une\nasymptote verticale a une équation de la forme $x = a$." }, { "text": "La droite d'équation $x = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est l'asymptote de la fonction inverse\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$. Ici le dénominateur s'annule en\n$x = 3$, pas en $0$." }, { "text": "La droite d'équation $y = 0$", "correct": false, "feedback": "Attention : $y = 0$ est bien asymptote à cette courbe, mais\nc'est l'asymptote **horizontale** (limites en $\\pm\\infty$).\nLa question porte sur l'asymptote verticale." } ], "explanation": "Une limite infinie en un point $a$ se traduit par une asymptote\nverticale d'équation $x = a$. Ici le dénominateur s'annule en\n$3$ : asymptote $x = 3$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "formes-indeterminees", "factorisation" ], "title": "Lever la forme $\\infty - \\infty$", "statement": "Quelle est la limite de $x^2 - x$ quand $x$ tend vers\n$+\\infty$ ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise par le terme prépondérant :\n$x^2 - x = x^2\\left(1 - \\dfrac{1}{x}\\right)$, produit de\n$x^2 \\to +\\infty$ par un facteur qui tend vers $1$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : « $\\infty - \\infty$ » ne se simplifie pas en $0$.\nIci $x^2$ écrase $x$ : dès $x = 100$, $x^2 - x = 9\\,900$." }, { "text": "$-\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le terme de plus haut degré $x^2$ qui impose\nson comportement, et il tend vers $+\\infty$." }, { "text": "Elle n'existe pas, car c'est une forme indéterminée", "correct": false, "feedback": "Confusion importante : « forme indéterminée » signifie qu'on\nne peut pas conclure **directement**, pas que la limite\nn'existe pas. Après factorisation, la limite existe et vaut\n$+\\infty$." } ], "explanation": "Face à « $\\infty - \\infty$ », on factorise par le terme\nprépondérant : $x^2 - x = x^2(1 - 1/x) \\to +\\infty$. Une forme\nindéterminée est un signal de transformation, pas une absence de\nlimite." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "croissances-comparees", "exponentielle" ], "title": "Croissance comparée $e^x$ contre $x^3$", "statement": "Quelle est la limite de $\\dfrac{e^x}{x^3}$ quand $x$ tend vers\n$+\\infty$ ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par croissance comparée, l'exponentielle\nl'emporte sur toute puissance de $x$ en $+\\infty$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : $0$ serait la limite de l'inverse\n$\\dfrac{x^3}{e^x}$. Au numérateur, l'exponentielle domine." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ne croissent pas « à la\nmême vitesse » : $e^x$ croît beaucoup plus vite que $x^3$.\nLe quotient explose." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun quotient de coefficients n'intervient ici\n(ce réflexe vaut pour deux polynômes de même degré). Avec\nune exponentielle, c'est la croissance comparée qui décide." } ], "explanation": "Croissance comparée (au programme) : pour tout entier $n$,\n$\\lim_{x \\to +\\infty} \\dfrac{e^x}{x^n} = +\\infty$.\nL'exponentielle l'emporte sur toute puissance." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "limite-en-un-point", "signe" ], "title": "Limite à droite en un point interdit", "statement": "Quelle est la limite de $\\dfrac{x + 1}{x - 2}$ quand $x$ tend\nvers $2$ par valeurs supérieures ($x \\to 2^+$) ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le numérateur tend vers $3 > 0$ et le\ndénominateur vers $0$ **par valeurs positives** (car\n$x > 2$) : le quotient tend vers $+\\infty$." }, { "text": "$-\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : pour $x > 2$, on a $x - 2 > 0$. Un\nnumérateur proche de $3$ divisé par un petit nombre\n**positif** donne un grand nombre positif." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ n'est que la limite du numérateur. Diviser par\nun dénominateur qui s'écrase vers $0$ fait exploser le\nquotient." }, { "text": "Elle n'existe pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : la limite **à droite** existe bien et vaut\n$+\\infty$. (C'est en combinant droite et gauche, $+\\infty$\net $-\\infty$, qu'on ne peut pas parler de limite en $2$ tout\ncourt.)" } ], "explanation": "Réflexe indispensable : quand le dénominateur tend vers $0$,\nétudier son **signe**. Ici $x \\to 2^+$ donne $x - 2 \\to 0^+$,\net $\\dfrac{3}{0^+}$ se lit $+\\infty$." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique", "asymptote" ], "title": "Lire les asymptotes sur une courbe", "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction\n$f$ ; les droites en pointillés sont ses asymptotes. Quelles\nsont les équations de ces asymptotes ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-6.7,-2.7) grid (5.7,7.7);\n \\draw[->] (-6.9,0) -- (5.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,7.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-6,-4,-2,2,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.25) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,2,4,6} \\node[left,font=\\small] at (-0.25,\\y) {$\\y$};\n \\draw[dashed,red,thick] (-2,-2.7) -- (-2,7.7);\n \\draw[dashed,red,thick] (-6.7,3) -- (5.7,3);\n \\node[red,font=\\small,below left] at (-2,-1.5) {$x=-2$};\n \\node[red,font=\\small,above] at (4.6,3.05) {$y=3$};\n \\draw[domain=-6.7:-3.05,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{3-5/(\\x+2)});\n \\draw[domain=-1.06:5.7,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{3-5/(\\x+2)});\n \\node[blue,font=\\small] at (3.3,1.1) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches. La\nbranche de gauche descend vers la droite horizontale y = 3\nquand x tend vers moins l'infini et monte le long de la droite\nverticale x = -2 ; la branche de droite descend le long de\nx = -2 et remonte vers y = 3 quand x tend vers plus l'infini.\nLes deux asymptotes x = -2 et y = 3 sont tracées en pointillés\nrouges.", "svg": "\n" }, "options": [ { "text": "$x = -2$ et $y = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la courbe se plaque contre la droite\nverticale $x = -2$ (limites infinies en $-2$) et contre la\ndroite horizontale $y = 3$ (limites finies en $\\pm\\infty$)." }, { "text": "$x = 3$ et $y = -2$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'inversion : la droite verticale coupe l'axe des\n**abscisses** en $-2$ (équation $x = -2$) et l'horizontale\ncoupe l'axe des **ordonnées** en $3$ (équation $y = 3$)." }, { "text": "$x = -2$ seulement", "correct": false, "feedback": "Incomplet : à droite comme à gauche, la courbe s'aplatit\nsur la droite horizontale $y = 3$ : c'est aussi une\nasymptote." }, { "text": "$y = 3$ seulement", "correct": false, "feedback": "Incomplet : près de $x = -2$, la courbe part vers\n$\\pm\\infty$ le long de la droite verticale $x = -2$ : c'est\nl'asymptote verticale." } ], "explanation": "Deux lectures : une asymptote **verticale** $x = a$ traduit une\nlimite infinie au point interdit $a$ ; une asymptote\n**horizontale** $y = L$ traduit une limite finie $L$ en\n$+\\infty$ ou $-\\infty$. Ici : $x = -2$ et $y = 3$." }, { "id": "q07", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "asymptote" ], "title": "Définition d'une asymptote horizontale", "statement": "Que signifie « la droite d'équation $y = 2$ est asymptote\nhorizontale à la courbe de $f$ en $+\\infty$ » ?", "options": [ { "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : asymptote horizontale $y = L$ en $+\\infty$\néquivaut à $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$." }, { "text": "$f(2) = +\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette écriture n'a pas de sens ($f(2)$ est un\nnombre ou n'existe pas) et elle confond le rôle de $2$ :\nc'est une **ordonnée** limite, pas une abscisse." }, { "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 2} f(x) = +\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ceci décrirait une asymptote **verticale**\nd'équation $x = 2$. Pour l'horizontale, c'est $x$ qui part à\nl'infini et $f(x)$ qui se stabilise vers $2$." }, { "text": "$f(x) = 2$ pour tout $x$ assez grand", "correct": false, "feedback": "Erreur : la courbe se **rapproche** de la droite sans avoir\nbesoin de la toucher ni de s'y confondre. Seule la limite\ncompte." } ], "explanation": "$y = L$ asymptote horizontale en $+\\infty$ $\\Leftrightarrow$\n$\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$ : la courbe se rapproche\nindéfiniment de la droite, sans obligation de la toucher." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "comparaison" ], "title": "Limite par comparaison", "statement": "Soit $f$ une fonction telle que $f(x) \\geq x$ pour tout réel\n$x$. Que peut-on conclure sur la limite de $f$ en $+\\infty$ ?", "options": [ { "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = +\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : théorème de comparaison. $f$ est minorée par\n$x$, qui tend vers $+\\infty$, donc $f$ est entraînée vers\n$+\\infty$." }, { "text": "Rien, il faudrait aussi un majorant", "correct": false, "feedback": "Erreur : pour conclure à une limite $+\\infty$, une\n**minoration** par une fonction qui tend vers $+\\infty$\nsuffit. Le majorant sert pour le théorème des gendarmes\n(limite finie)." }, { "text": "$f$ est croissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : être au-dessus de la droite $y = x$ n'impose aucune\nmonotonie ; $f$ peut osciller tout en restant au-dessus." }, { "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f(x) \\geq x$ dépasse tout seuil fixé (par exemple\n$f(10^6) \\geq 10^6$), la limite ne peut pas être finie." } ], "explanation": "Théorème de comparaison : si $f \\geq g$ au voisinage de\n$+\\infty$ et $\\lim g = +\\infty$, alors $\\lim f = +\\infty$.\nIci $g(x) = x$." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "formes-indeterminees", "calcul" ], "title": "La forme $\\sqrt{x^2+1} - x$", "statement": "Quelle est la limite de $\\sqrt{x^2 + 1} - x$ quand $x$ tend\nvers $+\\infty$ ?", "options": [ { "text": "$0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en multipliant par la quantité conjuguée,\n$\\sqrt{x^2+1} - x = \\dfrac{1}{\\sqrt{x^2+1} + x}$, dont le\ndénominateur tend vers $+\\infty$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux termes partent vers $+\\infty$ mais leur\n**écart** fond : $\\sqrt{x^2+1}$ dépasse à peine $x$\n(pour $x = 100$, l'écart vaut environ $0{,}005$)." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $+1$ sous la racine ne survit pas tel quel.\nAprès passage à la quantité conjuguée, il se retrouve divisé\npar $\\sqrt{x^2+1} + x \\to +\\infty$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le grand classique\n$\\sqrt{x^2 + x} - x \\to \\dfrac{1}{2}$. Ici le terme ajouté\nsous la racine est $1$ (constant), pas $x$ : la limite est\n$0$." } ], "explanation": "Forme « $\\infty - \\infty$ » avec racine : on multiplie par la\nquantité conjuguée.\n$\\sqrt{x^2+1} - x = \\dfrac{(x^2+1) - x^2}{\\sqrt{x^2+1} + x}\n= \\dfrac{1}{\\sqrt{x^2+1} + x} \\to 0$." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "limites-usuelles", "racine" ], "title": "Limite de $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ en $0^+$", "statement": "Quelle est la limite de $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ quand $x$ tend\nvers $0$ par valeurs supérieures ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{x} \\to 0^+$, et l'inverse d'une\nquantité positive qui s'écrase vers $0$ explose vers\n$+\\infty$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}} \\to 0$ correspond à\n$x \\to +\\infty$. Près de $0$, on divise $1$ par un nombre\nminuscule : le résultat est énorme." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ est la valeur **en** $x = 1$, pas une limite en\n$0$. Essaie $x = 0{,}0001$ : $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}} = 100$." }, { "text": "$-\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ est strictement positif sur\ntout son domaine, la limite ne peut pas être négative." } ], "explanation": "Quand $x \\to 0^+$, $\\sqrt{x} \\to 0^+$ donc\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x}} \\to +\\infty$. La courbe admet l'axe des\nordonnées pour asymptote verticale." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "raisonnement", "formes-indeterminees" ], "title": "Que signifie « forme indéterminée » ?", "statement": "Le calcul d'une limite aboutit à la forme\n« $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ ». Que peut-on en conclure ?", "options": [ { "text": "Rien pour l'instant : il faut transformer l'expression\n(factoriser, quantité conjuguée, croissances comparées…)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une forme indéterminée signale que le\nthéorème d'opérations ne s'applique pas tel quel. Selon les\nfonctions, le résultat peut être $0$, fini non nul, infini,\nou inexistant." }, { "text": "La limite n'existe pas", "correct": false, "feedback": "Erreur répandue : « indéterminée » ne veut pas dire\n« inexistante ». Exemple : $\\dfrac{2x}{x} \\to 2$, forme\n$\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ pourtant limite parfaitement\ndéfinie." }, { "text": "La limite vaut $1$, car les infinis se compensent", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{x^2}{x} \\to +\\infty$ et\n$\\dfrac{x}{x^2} \\to 0$ : les « infinis » ne se valent pas.\nAucune valeur n'est attribuable d'office." }, { "text": "La limite vaut $0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : contre-exemple immédiat, $\\dfrac{3x}{x} \\to 3$.\nLa forme $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ ne préjuge d'aucun\nrésultat." } ], "explanation": "Les quatre formes indéterminées ($\\infty - \\infty$,\n$0 \\times \\infty$, $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$, $\\dfrac{0}{0}$)\nsont des **signaux de travail** : on transforme l'écriture\njusqu'à pouvoir conclure. Elles n'annoncent jamais le résultat." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "factorisation", "limites-usuelles" ], "title": "Limite d'un polynôme en $-\\infty$", "statement": "Quelle est la limite de $2x^3 - x + 5$ quand $x$ tend vers\n$-\\infty$ ?", "options": [ { "text": "$-\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le terme prépondérant est $2x^3$, et un cube\nconserve le signe : quand $x \\to -\\infty$,\n$2x^3 \\to -\\infty$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : contrairement à $x^2$, le cube d'un nombre\ntrès négatif est très **négatif**. En $-\\infty$, $2x^3$\nplonge vers $-\\infty$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante $5$ devient négligeable devant $2x^3$.\nÀ l'infini, seul le terme de plus haut degré compte." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient dominant $2$ donne le **signe** du\ncomportement, pas la valeur de la limite. Celle-ci est\ninfinie." } ], "explanation": "À l'infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut\ndegré : $2x^3 - x + 5 = x^3\\left(2 - \\frac{1}{x^2} +\n\\frac{5}{x^3}\\right)$, et $2x^3 \\to -\\infty$ quand\n$x \\to -\\infty$ (le cube garde le signe de $x$)." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "quotient-polynomes", "terme-dominant" ], "title": "Quotient de polynômes en $+\\infty$", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}\n\\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3}$ ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en factorisant les termes dominants,\n$\\dfrac{2x^2(1 + \\frac{1}{2x^2})}{x^2(1 + \\frac{3}{x^2})}\n\\to \\dfrac{2}{1} = 2$ : seuls les plus hauts degrés\ncomptent à l'infini." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur explose, mais le dénominateur\naussi, à la même vitesse ($x^2$) : le rapport se\nstabilise sur celui des coefficients." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la limite $0$ correspond à un dénominateur de\ndegré **supérieur**. Ici les degrés sont égaux : limite\n$= \\frac{2}{1}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{3}$ est le rapport des **constantes**,\nqui deviennent négligeables : ce sont les termes en\n$x^2$ qui décident." } ], "explanation": "Quotient de polynômes à l'infini : le rapport des termes de\nplus haut degré. Degrés égaux : rapport des coefficients ;\nhaut plus fort : $\\pm\\infty$ ; bas plus fort : $0$." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "limite-point", "substitution" ], "title": "Limite en un point sans obstacle", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 1} \\dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : aucun interdit en $1$ (dénominateur non\nnul), aucune forme indéterminée : on remplace :\n$\\frac{1 + 1}{1 + 2} = \\frac{2}{3}$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Réflexe erroné : une limite en un point ne donne\nl'infini que si le dénominateur s'annule. Ici $1 + 2 =\n3 \\neq 0$." }, { "text": "Forme indéterminée", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\frac{2}{3}$ n'a rien d'indéterminé : les\nformes à problème sont $\\frac{0}{0}$,\n$\\frac{\\infty}{\\infty}$… pas un quotient ordinaire." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur en $1$ vaut $2$, pas $0$ : la\nlimite est le quotient des deux valeurs." } ], "explanation": "Premier réflexe devant une limite en un point : essayer la\nsubstitution. Si rien ne coince (pas de division par zéro,\npas d'indétermination), la limite est la valeur : les\nfonctions usuelles sont continues sur leur domaine." }, { "id": "q15", "difficulty": 1, "skills": [ "exponentielle", "limite-infini" ], "title": "Limite de $e^{-x}$ en $+\\infty$", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} e^{-x}$ ?", "options": [ { "text": "$0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $e^{-x} = \\dfrac{1}{e^x}$, et $e^x \\to\n+\\infty$ : l'inverse fond vers $0$. L'axe des abscisses\nest asymptote." }, { "text": "$-\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $e^{-x}$ est **positive** (une\nexponentielle ne prend que des valeurs strictement\npositives) : elle ne peut pas plonger sous zéro." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Sens inverse : c'est en $-\\infty$ que $e^{-x}$ explose.\nEn $+\\infty$, l'exposant $-x$ plonge et l'exponentielle\ns'éteint." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^{-x} = 1$ seulement en $x = 0$ ; à l'infini,\nl'exponentielle d'un exposant qui tend vers $-\\infty$\ntend vers $0$." } ], "explanation": "$e^{-x} = \\frac{1}{e^x} \\to 0$ en $+\\infty$, en restant\nstrictement positive. Modèle des décroissances\nexponentielles (désintégration, refroidissement) : chute\nrapide, jamais nulle." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "zero-sur-zero", "factorisation" ], "title": "Lever un $\\dfrac{0}{0}$ par factorisation", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 2} \\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ?", "options": [ { "text": "$4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = x + 2$ pour\n$x \\neq 2$, qui tend vers $4$ : la factorisation efface\nl'obstacle." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le\ndénominateur aussi : $\\frac{0}{0}$ ne vaut pas $0$, il\nfaut simplifier d'abord." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : « dénominateur nul donc infini » ne vaut que si\nle numérateur, lui, ne s'annule pas. Ici les deux\ns'annulent : simplification obligatoire." }, { "text": "La limite n'existe pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : après simplification, la fonction coïncide avec\n$x + 2$ autour de $2$ : la limite existe et vaut $4$." } ], "explanation": "Devant $\\frac{0}{0}$ avec des polynômes : le numérateur et\nle dénominateur partagent la racine : factoriser par\n$(x - a)$ et simplifier. (C'est d'ailleurs un taux\nd'accroissement déguisé : celui de $x^2$ en $2$.)" }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "gendarmes", "fonctions-bornees" ], "title": "Gendarmes avec un cosinus", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\dfrac{\\cos x}{x}$ ?", "options": [ { "text": "$0$, par encadrement : $-\\dfrac{1}{x} \\leq\n\\dfrac{\\cos x}{x} \\leq \\dfrac{1}{x}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus reste coincé entre $-1$ et\n$1$ pendant que le dénominateur explose : les deux\ngendarmes $\\pm\\frac{1}{x}$ écrasent le quotient sur $0$." }, { "text": "La limite n'existe pas, car $\\cos x$ oscille sans limite", "correct": false, "feedback": "Erreur : le cosinus oscille, mais **borné** : divisées\npar $x$, ses oscillations s'aplatissent. L'encadrement\nconclut là où les opérations échouent." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Confusion probable avec $\\frac{\\sin x}{x}$ en $0$. En\n$+\\infty$, le numérateur borné ne suit pas le\ndénominateur : quotient vers $0$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur ne dépasse jamais $1$ : le\nquotient est majoré par $\\frac{1}{x}$, qui fond." } ], "explanation": "Borné divisé par infini : $0$, via le théorème des\ngendarmes. Réflexe : dès qu'un facteur oscillant ($\\cos$,\n$\\sin$, $(-1)^n$) bloque les opérations, encadrer." }, { "id": "q18", "difficulty": 2, "skills": [ "composition-limites" ], "title": "Limite d'une composée", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} e^{-x^2}$ ?", "options": [ { "text": "$0$ : on pose $X = -x^2 \\to -\\infty$, et $e^X \\to 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : composition en deux temps : l'exposant\n$-x^2$ plonge vers $-\\infty$, et l'exponentielle d'un\nexposant qui plonge s'éteint." }, { "text": "$+\\infty$, car l'exponentielle explose toujours", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^X$ n'explose que si $X \\to +\\infty$. Ici\nl'exposant tend vers $-\\infty$ : il faut suivre\nl'exposant avant de conclure." }, { "text": "$1$, car $e^0 = 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exposant $-x^2$ ne tend pas vers $0$ mais\nvers $-\\infty$ (on évalue la limite **interne**\nd'abord)." }, { "text": "$-\\infty$, à cause du signe moins", "correct": false, "feedback": "Erreur : une exponentielle reste strictement positive :\nle moins est dans l'exposant, pas devant la fonction." } ], "explanation": "Limite de composée : d'abord la limite interne ($u(x) \\to\nb$), puis la limite de la fonction externe en $b$. Poser\nexplicitement $X = u(x)$ évite tous les faux réflexes." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "limite-gauche", "signe" ], "title": "Limite à gauche d'un pôle", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 3^-} \\dfrac{1}{x - 3}$ ?", "options": [ { "text": "$-\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $3$ (par exemple $x =\n2{,}99$), $x - 3$ est un petit nombre **négatif** :\nl'inverse plonge vers $-\\infty$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Signe non contrôlé : c'est la limite à **droite**\n($x - 3 > 0$). À gauche, le dénominateur est négatif :\ntest rapide avec $x = 2{,}9$ : $\\frac{1}{-0{,}1} = -10$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un dénominateur qui fond fait **exploser** le\nquotient ($\\frac{1}{0{,}001} = 1000$), il ne l'éteint\npas." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la valeur interdite $3$ n'est pas la limite :\nprès d'un pôle, la fonction part vers l'infini (avec un\nsigne à déterminer)." } ], "explanation": "Près d'un pôle, toujours tester le **signe** du dénominateur\nde chaque côté (une valeur numérique suffit). Ici :\n$-\\infty$ à gauche, $+\\infty$ à droite : l'asymptote\nverticale $x = 3$ est traversée en deux branches opposées." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "croissance-comparee", "produit" ], "title": "La forme $x\\,e^x$ en $-\\infty$", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} x\\,e^{x}$ ?", "options": [ { "text": "$0$ : l'exponentielle l'emporte sur $x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : forme $-\\infty \\times 0$, tranchée par\nla croissance comparée : $e^x$ s'éteint plus vite que\n$x$ ne grossit : le produit fond vers $0$ (par valeurs\nnégatives)." }, { "text": "$-\\infty$, car $x \\to -\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $e^x$ tend vers $0$ et freine tout :\nc'est un conflit $\\infty \\times 0$, gagné par\nl'exponentielle." }, { "text": "$+\\infty$, car l'exponentielle gagne toujours", "correct": false, "feedback": "Mal citée : l'exponentielle gagne, oui, mais ici elle\ntend vers $0$ : elle tire le produit vers $0$, pas vers\nl'infini." }, { "text": "$-1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune compensation exacte n'a lieu : la\ncroissance comparée donne $0$, résultat de cours à\nconnaître." } ], "explanation": "Croissances comparées, version $-\\infty$ : $x^n e^x \\to 0$\nquand $x \\to -\\infty$ (l'exponentielle écrase toute\npuissance). Pendant qu'en $+\\infty$ : $\\frac{e^x}{x^n} \\to\n+\\infty$. Deux faces du même théorème." }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "taux-accroissement", "limite-remarquable" ], "title": "La limite $\\dfrac{e^x - 1}{x}$ en $0$", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{e^x - 1}{x}$ ?", "options": [ { "text": "$1$ : c'est le nombre dérivé de $e^x$ en $0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{e^x - e^0}{x - 0}$ est le taux\nd'accroissement de l'exponentielle en $0$ ; sa limite\nest $\\exp'(0) = e^0 = 1$." }, { "text": "$0$, car le numérateur tend vers $0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur tend vers $0$ **aussi** :\n$\\frac{0}{0}$ à lever, et ici c'est une dérivée\ndéguisée." }, { "text": "$+\\infty$, car on divise par $0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur s'annule en même temps : le\nquotient reste équilibré et tend vers la pente de la\ntangente en $0$, soit $1$." }, { "text": "$e$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e = e^1$ serait le nombre dérivé **en $1$**.\nEn $0$ : $e^0 = 1$." } ], "explanation": "Réflexe précieux : $\\lim\\limits_{x \\to a}\n\\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$. Beaucoup de\n$\\frac{0}{0}$ sont des taux d'accroissement déguisés :\nreconnaître la forme évite tout calcul." }, { "id": "q22", "difficulty": 3, "skills": [ "asymptotes", "synthese" ], "title": "Les deux asymptotes d'une homographique", "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{2x + 1}{x - 1}$. Quelles sont les\nasymptotes de sa courbe ?", "options": [ { "text": "Verticale $x = 1$ et horizontale $y = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en $1$, dénominateur nul et numérateur\nnon nul : asymptote verticale ; à l'infini, rapport des\ntermes dominants $\\frac{2x}{x} = 2$ : horizontale\n$y = 2$." }, { "text": "Verticale $x = 2$ et horizontale $y = 1$", "correct": false, "feedback": "Valeurs croisées : la verticale vient du **dénominateur\nnul** ($x = 1$), l'horizontale du rapport des\ncoefficients dominants ($y = 2$)." }, { "text": "Verticale $x = 1$ seulement", "correct": false, "feedback": "Incomplet : à l'infini, $f(x) \\to 2$ : la droite $y = 2$\nest asymptote horizontale des deux côtés." }, { "text": "Horizontale $y = -1$, car $f(0) = -1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f(0)$ est une **valeur** de la fonction, pas\nune asymptote : les asymptotes se lisent dans les\nlimites, pas dans les images." } ], "explanation": "Bilan asymptotique d'un quotient : les zéros du dénominateur\n(numérateur non nul) donnent les verticales ; les limites à\nl'infini donnent les horizontales. Ici : $x = 1$ et $y = 2$,\nl'hyperbole complète." }, { "id": "q23", "difficulty": 3, "skills": [ "infini-moins-infini", "factorisation" ], "title": "La forme $x - \\sqrt{x}$ en $+\\infty$", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\left(x -\n\\sqrt{x}\\right)$ ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$, car $x - \\sqrt{x} = \\sqrt{x}(\\sqrt{x} - 1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : factoriser le terme dominant transforme\n$\\infty - \\infty$ en produit $\\infty \\times \\infty$ :\nles deux facteurs tendent vers $+\\infty$." }, { "text": "$0$, car les deux termes se compensent", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x$ croît beaucoup plus vite que $\\sqrt{x}$\n(en $100$ : $100 - 10 = 90$) : aucune compensation." }, { "text": "$-\\infty$, car on soustrait un infini", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme **dominant** est $x$, positif : la\nsoustraction de $\\sqrt{x}$, négligeable, ne renverse pas\nla tendance." }, { "text": "Forme indéterminée : on ne peut pas conclure", "correct": false, "feedback": "Mi-vrai : la forme brute est indéterminée, mais\nl'indétermination se **lève** (factorisation) : la\nlimite existe et vaut $+\\infty$." } ], "explanation": "$\\infty - \\infty$ avec des puissances : factoriser la plus\nforte. $x - \\sqrt{x} = \\sqrt{x}(\\sqrt{x} - 1) \\to +\\infty$.\nUne indétermination n'est jamais une réponse finale." }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "fonctions-sans-limite" ], "title": "Ne pas avoir de limite en $+\\infty$", "statement": "Une fonction $f$ n'a pas de limite finie en $+\\infty$.\nPeut-on en déduire qu'elle tend vers $+\\infty$ ou\n$-\\infty$ ?", "options": [ { "text": "Non : elle peut osciller sans limite, comme $\\cos x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\cos x$ n'a ni limite finie ni limite\ninfinie : elle repasse éternellement par $1$ et $-1$.\nTrois issues possibles en $+\\infty$ : limite finie,\nlimite infinie, ou rien." }, { "text": "Oui : sans limite finie, il ne reste que l'infini", "correct": false, "feedback": "Faux dilemme : l'oscillation est la troisième voie :\n$\\cos x$, $\\sin x$, $x\\sin x$… aucune limite d'aucune\nsorte." }, { "text": "Oui, sauf si la fonction est périodique", "correct": false, "feedback": "La périodicité n'est qu'un exemple : $x \\mapsto\n\\cos(x^2)$ n'est pas périodique et n'a pas non plus de\nlimite. Le critère n'est pas la périodicité." }, { "text": "Non : toute fonction a forcément une limite, quitte à\nêtre infinie", "correct": false, "feedback": "Contredit l'exemple $\\cos x$ : l'existence d'une limite\nn'a rien d'automatique, c'est une propriété à démontrer." } ], "explanation": "Comme pour les suites : limite finie, limite infinie, ou pas\nde limite du tout. Les fonctions trigonométriques fournissent\nles contre-exemples de la troisième catégorie : à citer dès\nqu'un énoncé « oublie » ce cas." } ] }