{
  "chapter": {
    "id": "orthogonalite-distances-espace",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Algèbre et géométrie",
    "title": "Orthogonalité et distances dans l'espace",
    "description": "Produit scalaire dans l'espace, expression en base orthonormée,\northogonalité de vecteurs et de droites, norme et distance entre\ndeux points, développement de $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$, vecteur\nnormal à un plan, projeté orthogonal, plans perpendiculaires,\ndistance d'un point à un plan.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire en coordonnées",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$\net $\\vec{v}(3\\,;\\,0\\,;\\,2)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' + zz'\n= 3 + 0 - 2 = 1$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le dernier terme vaut\n$(-1) \\times 2 = -2$, pas $+2$. Total : $3 + 0 - 2 = 1$."
        },
        {
          "text": "$(3\\,;\\,0\\,;\\,-2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un **nombre**,\npas un vecteur. On additionne les produits des\ncoordonnées."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ signifierait des vecteurs orthogonaux. Le\ncalcul donne $3 + 0 - 2 = 1 \\neq 0$."
        }
      ],
      "explanation": "En base orthonormée :\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' + zz'$. Ici\n$1 \\times 3 + 2 \\times 0 + (-1) \\times 2 = 1$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "orthogonalite",
        "calcul"
      ],
      "title": "Tester l'orthogonalité",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, $\\vec{u}(2\\,;\\,1\\,;\\,-1)$ et\n$\\vec{v}(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$ sont-ils orthogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 1 + 1 \\times 0 + (-1) \\times 2 =\n2 - 2 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux."
        },
        {
          "text": "Non, car aucune coordonnée commune n'est nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'orthogonalité ne se lit pas sur les coordonnées\nindividuellement, mais sur la **somme** des produits :\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$."
        },
        {
          "text": "Non, car ils ne sont pas colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la colinéarité et l'orthogonalité sont deux\nnotions différentes (et presque opposées). Le test\nd'orthogonalité est la nullité du produit scalaire."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans connaître l'angle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit scalaire remplace justement le calcul\nd'angle : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0 \\Leftrightarrow$\nvecteurs orthogonaux."
        }
      ],
      "explanation": "Caractérisation fondamentale :\n$\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\Leftrightarrow \\vec{u} \\cdot \\vec{v} =\n0$. Ici $2 + 0 - 2 = 0$ : orthogonaux."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "norme",
        "calcul"
      ],
      "title": "Norme d'un vecteur",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, que vaut la norme de\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}\n= \\sqrt{9} = 3$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la racine : $9 = \\|\\vec{u}\\|^2$ est le **carré**\nde la norme. La norme vaut $\\sqrt{9} = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as compté $2 + (-1) + 2 = 3$ sous la racine.\nCe sont les **carrés** des coordonnées qu'on additionne :\n$4 + 1 + 4 = 9$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 = 2 + 1 + 2$ additionne les valeurs absolues.\nLa norme passe par les carrés : $\\sqrt{4 + 1 + 4} = 3$."
        }
      ],
      "explanation": "En base orthonormée : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$\n(Pythagore en trois dimensions). Ici $\\sqrt{9} = 3$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "distance",
        "calcul"
      ],
      "title": "Distance entre deux points",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$ et\n$B(3\\,;\\,2\\,;\\,1)$. Que vaut la distance $AB$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $AB = \\|\\overrightarrow{AB}\\| =\n\\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \\sqrt{9} = 3$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la racine : $9$ est $AB^2$. La distance vaut\n$\\sqrt{9} = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{2 + 2 - 1}$ additionne les coordonnées de\n$\\overrightarrow{AB}$ au lieu de leurs **carrés** :\n$\\sqrt{4 + 4 + 1} = 3$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 = 2 + 2 + 1$ additionne les valeurs absolues\ndes coordonnées. La formule exige leurs carrés sous une\nracine."
        }
      ],
      "explanation": "$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.\nIci $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,2\\,;\\,-1)$ et $AB = \\sqrt{9} = 3$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "vecteur-normal",
        "definition"
      ],
      "title": "Vecteur normal à un plan",
      "statement": "Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur porté par\n$\\mathcal{P}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n}$ est orthogonal à toutes les\ndirections du plan (il suffit de le vérifier sur deux\nvecteurs non colinéaires du plan)."
        },
        {
          "text": "Un vecteur contenu dans $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : un vecteur du plan est une **direction** du\nplan. Le vecteur normal lui est au contraire\nperpendiculaire, il pointe hors du plan."
        },
        {
          "text": "Un vecteur orthogonal à **un** vecteur du plan",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : être orthogonal à une seule direction du\nplan ne suffit pas (on peut l'être en restant dans le\nplan). Il faut l'orthogonalité à **deux** directions non\ncolinéaires."
        },
        {
          "text": "Un vecteur de norme $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la norme n'a rien à voir avec la définition\n(« normal » signifie perpendiculaire, pas « normé »)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{n}$ normal à $\\mathcal{P}$ : non nul et orthogonal à\ntout vecteur du plan. Critère pratique : orthogonal à deux\nvecteurs non colinéaires de $\\mathcal{P}$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polarisation",
        "calcul"
      ],
      "title": "Développer $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$",
      "statement": "Que vaut $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$ pour deux vecteurs\nquelconques de l'espace ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : identité remarquable vectorielle, obtenue\npar bilinéarité du produit scalaire. Elle fonde les\nformules de polarisation."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège : cette égalité (Pythagore) n'est vraie que si\n$\\vec{u} \\perp \\vec{v}$ (le double produit scalaire\ns'annule alors). En général, le terme\n$2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$ subsiste."
        },
        {
          "text": "$\\left(\\|\\vec{u}\\| + \\|\\vec{v}\\|\\right)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce serait le cas d'égalité extrême (vecteurs\ncolinéaires de même sens). Le terme croisé est\n$2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$, en général plus petit que\n$2\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|$."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 - 2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le moins correspond au développement de\n$\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = (\\vec{u}+\\vec{v}) \\cdot\n(\\vec{u}+\\vec{v}) = \\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} +\n\\|\\vec{v}\\|^2$. On en tire $\\vec{u}\\cdot\\vec{v} =\n\\frac{1}{2}\\left(\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 - \\|\\vec{u}\\|^2 -\n\\|\\vec{v}\\|^2\\right)$ (polarisation)."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "angle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire et angle",
      "statement": "Soient $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ tels que $\\|\\vec{u}\\| = 2$,\n$\\|\\vec{v}\\| = 3$ et $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$. Que vaut\nl'angle $\\theta$ entre $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u}\\cdot\\vec{v}}\n{\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|} = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$,\ndonc $\\theta = \\dfrac{\\pi}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de valeur remarquable : $\\cos\\theta = \\dfrac{1}{2}$\ncorrespond à $\\dfrac{\\pi}{3}$ ; c'est\n$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ qui correspondrait à\n$\\dfrac{\\pi}{6}$."
        },
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{2}$ exigerait un produit scalaire\n**nul**. Ici il vaut $3 \\neq 0$."
        },
        {
          "text": "$\\cos\\theta = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : un cosinus reste entre $-1$ et $1$. Il faut\ndiviser le produit scalaire par le produit des normes :\n$\\dfrac{3}{2 \\times 3} = \\dfrac{1}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$,\nd'où $\\cos\\theta = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$ et $\\theta =\n\\dfrac{\\pi}{3}$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "plans-perpendiculaires"
      ],
      "title": "Plans perpendiculaires",
      "statement": "Soient deux plans de vecteurs normaux respectifs $\\vec{n_1}$\net $\\vec{n_2}$. À quelle condition ces plans sont-ils\nperpendiculaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux plans sont perpendiculaires si et\nseulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux."
        },
        {
          "text": "$\\vec{n_1}$ et $\\vec{n_2}$ colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : des normaux colinéaires caractérisent des\nplans **parallèles** (ou confondus), pas perpendiculaires."
        },
        {
          "text": "Les plans n'ont aucun point commun",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : deux plans perpendiculaires se coupent toujours\n(le long d'une droite). L'absence de point commun signifie\nle parallélisme strict."
        },
        {
          "text": "$\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur $1$ n'a aucun statut particulier ici.\nLa perpendicularité se lit sur la **nullité** du produit\nscalaire des normaux."
        }
      ],
      "explanation": "Dictionnaire des positions par les normaux : normaux\ncolinéaires $\\Leftrightarrow$ plans parallèles ; normaux\northogonaux $\\Leftrightarrow$ plans perpendiculaires."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "projete-orthogonal",
        "definition"
      ],
      "title": "Propriété du projeté orthogonal",
      "statement": "Soit $H$ le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan\n$\\mathcal{P}$. Quelle propriété caractérise $H$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$H$ est le point de $\\mathcal{P}$ le plus proche de $M$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour tout autre point $P$ du plan,\n$MP^2 = MH^2 + HP^2 > MH^2$ (Pythagore). C'est la\ndémonstration au programme, et la définition de la\ndistance de $M$ au plan."
        },
        {
          "text": "$H$ est le point de $\\mathcal{P}$ le plus éloigné de $M$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : il n'existe d'ailleurs pas de point le plus\néloigné dans un plan (illimité). Le projeté minimise la\ndistance."
        },
        {
          "text": "$H$ est le symétrique de $M$ par rapport à $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le symétrique est de l'**autre côté** du plan, à\ndouble distance. Le projeté est le pied de la\nperpendiculaire, dans le plan."
        },
        {
          "text": "$H$ est un point quelconque où $(MH)$ coupe $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : toute droite issue de $M$ non parallèle au\nplan le coupe. Le projeté exige que $(MH)$ soit\n**orthogonale** au plan."
        }
      ],
      "explanation": "Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\\mathcal{P}$ minimise la\ndistance : $MH = d(M\\,;\\,\\mathcal{P})$. Preuve par Pythagore\ndans le triangle $MHP$, rectangle en $H$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "droite-plan",
        "orthogonalite"
      ],
      "title": "Droite orthogonale à un plan",
      "statement": "Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\\vec{u}$ et\n$\\mathcal{P}$ un plan. À quelle condition $d$ est-elle\northogonale à $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de\n$\\mathcal{P}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'orthogonalité à deux directions\nindépendantes du plan suffit à garantir l'orthogonalité à\n**toutes** (autrement dit, $\\vec{u}$ est normal au plan)."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}$ est orthogonal à un vecteur de $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : une droite **contenue** dans le plan peut\nêtre orthogonale à une direction du plan sans lui être\northogonale. Il faut deux directions non colinéaires."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}$ est un vecteur du plan $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : ce serait une droite **parallèle** au plan\n(ou incluse dedans), le contraire de la situation\ncherchée."
        },
        {
          "text": "$d$ et $\\mathcal{P}$ n'ont aucun point commun",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une droite orthogonale à un plan le **perce** en\nun point. L'absence d'intersection signifie le\nparallélisme."
        }
      ],
      "explanation": "Critère au programme : $d \\perp \\mathcal{P}$ dès que son\nvecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non\ncolinéaires du plan. Le directeur de $d$ est alors un vecteur\nnormal de $\\mathcal{P}$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "distance-point-plan",
        "calcul"
      ],
      "title": "Distance d'un point à un plan",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, soit $M(0\\,;\\,0\\,;\\,5)$ et\n$\\mathcal{P}$ le plan d'équation $z = 1$. Quelle est la\ndistance de $M$ à $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{P}$ est horizontal, le projeté\northogonal de $M$ est $H(0\\,;\\,0\\,;\\,1)$, et\n$MH = 5 - 1 = 4$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ est la distance de $M$ au plan $z = 0$ (ou à\nl'origine). Le plan est à l'altitude $1$ : il reste\n$5 - 1 = 4$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ est l'altitude du **plan**, pas l'écart entre\n$M$ et le plan."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 + 1$ additionne au lieu de soustraire. $M$ et\nle plan sont du même côté : la distance est la différence\ndes altitudes."
        }
      ],
      "explanation": "La distance d'un point à un plan est la longueur $MH$, où $H$\nest le projeté orthogonal. Pour un plan $z = c$ et\n$M(x\\,;\\,y\\,;\\,z_M)$ : $H(x\\,;\\,y\\,;\\,c)$ et\n$d = |z_M - c| = 4$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "orthogonalite",
        "piege"
      ],
      "title": "Droites orthogonales et perpendiculaires",
      "statement": "Dans l'espace, deux droites sont dites **orthogonales**\nlorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Que\npeut-on dire de plus ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles ne sont pas forcément sécantes : orthogonales et non\ncoplanaires est possible",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'orthogonalité est une affaire de\n**directions**. Deux droites orthogonales et sécantes sont\ndites perpendiculaires ; mais des droites non coplanaires\npeuvent très bien être orthogonales (dans un cube :\n$(AB)$ et $(DH)$)."
        },
        {
          "text": "Deux droites orthogonales se coupent toujours à angle droit",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège : dans l'espace, deux droites orthogonales peuvent\nne **jamais se rencontrer** (non coplanaires). L'angle\ndroit ne se réalise qu'entre leurs directions."
        },
        {
          "text": "Orthogonales signifie parallèles à des plans\nperpendiculaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette reformulation ne caractérise pas\nl'orthogonalité de deux droites (elle est à la fois trop\nlarge et imprécise). Le critère est\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$."
        },
        {
          "text": "Deux droites orthogonales à une même troisième sont\nparallèles entre elles",
          "correct": false,
          "feedback": "Vrai dans le plan, **faux dans l'espace** : les arêtes\n$(AB)$ et $(AD)$ d'un cube sont toutes deux orthogonales à\n$(AE)$ sans être parallèles."
        }
      ],
      "explanation": "Vocabulaire précis : orthogonales = directions orthogonales\n(sans exigence de rencontre) ; perpendiculaires = orthogonales\n**et** sécantes. Les réflexes de géométrie plane\n(perpendiculaire commune, transitivité) ne se transposent pas\ntels quels à l'espace."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "carre-scalaire"
      ],
      "title": "Le carré scalaire",
      "statement": "Pour tout vecteur $\\vec{u}$, que vaut $\\vec{u} \\cdot\n\\vec{u}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en coordonnées, $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} =\nx^2 + y^2 + z^2 = \\|\\vec{u}\\|^2$ : le produit scalaire\nd'un vecteur avec lui-même est le carré de sa longueur."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance : le produit scalaire donne le **carré** de la\nnorme ; la norme elle-même exige une racine carrée."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 0$ seulement pour le\nvecteur nul : un vecteur n'est jamais orthogonal à\nlui-même (sauf $\\vec{0}$)."
        },
        {
          "text": "$2\\vec{u}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : un produit scalaire est un **nombre**,\npas un vecteur."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$ : le pont entre\nproduit scalaire et longueurs. Toutes les formules de\nnormes développées ($\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$…) en\ndécoulent."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "produit-scalaire-nul"
      ],
      "title": "Produit scalaire nul",
      "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont deux vecteurs **non nuls** avec\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$. Que peut-on conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour des vecteurs non nuls, produit\nscalaire nul $\\iff$ orthogonalité : c'est LE critère\ncalculatoire des angles droits."
        },
        {
          "text": "L'un des deux vecteurs est nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\vec{i} \\cdot \\vec{j} = 0$ avec deux vecteurs\nparfaitement non nuls : le produit scalaire s'annule par\n**perpendicularité**, pas seulement par nullité."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens complet : colinéaires non nuls donne\n$|\\vec{u} \\cdot \\vec{v}| = \\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| \\neq\n0$ : le produit scalaire nul est l'exact opposé."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = \\|\\vec{v}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : l'orthogonalité ne contraint pas les\nlongueurs."
        }
      ],
      "explanation": "Critère fondamental : $\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\iff \\vec{u}\n\\cdot \\vec{v} = 0$ (vecteurs non nuls). Toute la géométrie\nde l'espace (droites orthogonales, vecteur normal…) repose\nsur ce test."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bilinearite"
      ],
      "title": "Développer avec la bilinéarité",
      "statement": "On sait que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$ et $\\vec{u} \\cdot\n\\vec{w} = -1$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot (2\\vec{v} +\n\\vec{w})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le produit scalaire se développe comme\nun produit ordinaire : $2(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) +\n\\vec{u} \\cdot \\vec{w} = 6 - 1 = 5$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient perdu : le facteur $2$ multiplie $\\vec{u}\n\\cdot \\vec{v} = 3$ : la linéarité conserve les\ncoefficients."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme oublié : il manque la contribution $\\vec{u} \\cdot\n\\vec{w} = -1$."
        },
        {
          "text": "Impossible sans connaître les coordonnées",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la bilinéarité suffit : les deux produits\nscalaires donnés déterminent le résultat, coordonnées ou\npas."
        }
      ],
      "explanation": "Bilinéarité : $\\vec{u} \\cdot (a\\vec{v} + b\\vec{w}) =\na(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) + b(\\vec{u} \\cdot \\vec{w})$ : le\nproduit scalaire se manie comme une multiplication : c'est\nce qui permet les développements de type\n$(\\vec{u}+\\vec{v})^2$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "triangle-rectangle"
      ],
      "title": "Prouver un angle droit",
      "statement": "Soient $A(1\\ ;\\ 1\\ ;\\ 1)$, $B(2\\ ;\\ 3\\ ;\\ 1)$ et\n$C(3\\ ;\\ 0\\ ;\\ 1)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en\n$A$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui : $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} =\n1 \\times 2 + 2 \\times (-1) + 0 \\times 0 = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(1\\ ;\\ 2\\ ;\\ 0)$,\n$\\overrightarrow{AC}(2\\ ;\\ -1\\ ;\\ 0)$ : produit scalaire\nnul, angle droit **en $A$** (sommet des deux vecteurs)."
        },
        {
          "text": "Non : aucun côté n'est parallèle à un axe",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux critère : un angle droit n'a pas besoin d'être\n« aligné » sur le repère : le produit scalaire le\ndétecte dans toutes les directions."
        },
        {
          "text": "Oui, car $AB = AC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais argument : l'égalité des longueurs prouverait\nl'**isocèle** (et ici $AB = \\sqrt{5} = AC$, certes),\nmais l'angle droit se prouve par le produit scalaire\nnul."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans mesurer l'angle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit scalaire EST l'instrument de mesure :\nnul $\\iff$ angle droit, sans rapporteur."
        }
      ],
      "explanation": "Rectangle en $A$ : tester $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC} = 0$ (les deux vecteurs **partent du\nsommet** suspecté : erreur classique de prendre\n$\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{BC}$)."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "angle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer un angle",
      "statement": "On donne $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6$, $\\|\\vec{u}\\| = 2$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 6$. Que vaut l'angle entre $\\vec{u}$ et\n$\\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60°$, car $\\cos\\theta = \\dfrac{6}{2 \\times 6} =\n\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u} \\cdot\n\\vec{v}}{\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|} = \\dfrac{6}{12}$, et\n$\\arccos\\frac{1}{2} = 60°$ ($\\frac{\\pi}{3}$)."
        },
        {
          "text": "$30°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur croisée : $\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx\n0{,}87$, pas $0{,}5$ : c'est $\\cos 60° = \\frac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$90°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $90°$ correspond à un produit scalaire **nul** ;\nici $6 \\neq 0$ : l'angle est aigu (produit positif)."
        },
        {
          "text": "$6°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit scalaire $6$ n'est pas l'angle : il\nfaut le normaliser par les longueurs puis prendre\nl'arccosinus."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} =\n\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$, d'où $\\cos\\theta =\n\\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|}$. Signe\ndu produit scalaire = nature de l'angle : positif aigu,\nnégatif obtus, nul droit."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "pythagore-vectoriel"
      ],
      "title": "Pythagore version vectorielle",
      "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux. Que vaut\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le développement donne $\\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$, et\nl'orthogonalité tue le double produit : Pythagore en\nhabits vectoriels."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double produit fantôme : $2\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$\npar orthogonalité : le terme croisé disparaît (il ne\nvaut $2\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|$ que pour des vecteurs\ncolinéaires de même sens)."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| + \\|\\vec{v}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Homogénéité : un carré de norme ne peut pas égaler une\nsomme de normes : les degrés ne collent pas."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme de deux vecteurs orthogonaux non nuls\nn'est pas nulle : elle est la diagonale du rectangle\nqu'ils dessinent."
        }
      ],
      "explanation": "$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\,\\vec{u}\\cdot\n\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$ dans tous les cas ; orthogonalité\n$\\iff$ le double produit s'annule $\\iff$ Pythagore. La\nréciproque est vraie aussi : l'égalité prouve\nl'orthogonalité."
    }
  ]
}