{
  "chapter": {
    "id": "primitives-equations-differentielles",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Primitives et équations différentielles",
    "description": "Notion de primitive (équation $y' = f$), primitives des fonctions\nde référence et des formes $(v' \\circ u) \\times u'$, primitives\nd'une même fonction à constante près, équations différentielles\n$y' = ay$ et $y' = ay + b$ : forme des solutions, solution\nvérifiant une condition initiale, comportement en l'infini.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition"
      ],
      "title": "Définition d'une primitive",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Que\nsignifie « $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chercher une primitive, c'est remonter la\ndérivation : $F' = f$ sur tout l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$f$ est dérivable sur $I$ et $f' = F$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : c'est $F$ qu'on dérive pour retrouver $f$,\npas le contraire. $F$ primitive de $f$ $\\Leftrightarrow$\n$F' = f$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = f(x) + C$ pour une constante $C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la constante relie deux **primitives** entre\nelles, pas une primitive à la fonction. $F$ et $f$ sont\nliées par la dérivation."
        },
        {
          "text": "$F(0) = 0$ et $F$ est continue",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune condition en $0$ n'intervient dans la\ndéfinition. Ce qui compte : $F' = f$ sur $I$."
        }
      ],
      "explanation": "Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est\ndérivable sur $I$ avec $F' = f$. La primitivation est\nl'opération inverse de la dérivation (résoudre $y' = f$)."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitives-usuelles"
      ],
      "title": "Primitive de $x^2$",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto x^2$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{x^3}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en dérivant $\\dfrac{x^3}{3}$, on obtient\n$\\dfrac{3x^2}{3} = x^2$. Règle : primitive de $x^n$ =\n$\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto 2x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $2x$ est la **dérivée** de $x^2$. Une\nprimitive s'obtient en montant l'exposant, pas en le\ndescendant."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $(x^3)' = 3x^2$, trois fois trop grand. Il faut\ndiviser par le nouvel exposant : $\\dfrac{x^3}{3}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto 3x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(3x^3)' = 9x^2$. Le facteur correct est\n$\\dfrac{1}{3}$, pas $3$ : on **divise** par le nouvel\nexposant."
        }
      ],
      "explanation": "Primitives des puissances : pour $n \\neq -1$, une primitive de\n$x^n$ est $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Toujours vérifier en\nredérivant : $\\left(\\dfrac{x^3}{3}\\right)' = x^2$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "constante",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Deux primitives d'une même fonction",
      "statement": "Soient $F$ et $G$ deux primitives d'une même fonction continue\n$f$ sur un intervalle $I$. Que peut-on affirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il existe une constante $C$ telle que $G(x) = F(x) + C$\npour tout $x$ de $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(G - F)' = f - f = 0$ sur l'intervalle\n$I$, donc $G - F$ est constante. Deux primitives diffèrent\nd'une constante."
        },
        {
          "text": "$F = G$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : $x^2$ et $x^2 + 7$ sont deux primitives\ndistinctes de $2x$. L'égalité n'a lieu qu'à constante près."
        },
        {
          "text": "$G(x) = F(x) + ax + b$ avec $a \\neq 0$ possible",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si $G - F$ contenait un terme $ax$ avec\n$a \\neq 0$, sa dérivée vaudrait $a \\neq 0$, contredisant\n$G' = F' = f$. La différence est une **constante**."
        },
        {
          "text": "$G = kF$ pour une constante $k$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la liberté est **additive**, pas multiplicative.\nVérifie : $(kF)' = kf \\neq f$ dès que $k \\neq 1$."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (démonstration au programme) : sur un intervalle, deux\nprimitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. C'est\npourquoi la condition $F(x_0) = y_0$ suffit à isoler une\nprimitive unique."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Primitive de $e^{3x}$",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto e^{3x}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{3x}}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{e^{3x}}{3}\\right)' =\n\\dfrac{3e^{3x}}{3} = e^{3x}$. Le facteur $\\dfrac{1}{3}$\ncompense le $3$ que la dérivation ferait sortir."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto 3e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $3e^{3x}$ est la **dérivée** de $e^{3x}$.\nPour une primitive, on divise par $3$ au lieu de\nmultiplier."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(e^{3x})' = 3e^{3x} \\neq e^{3x}$. Seule $e^x$ est\nsa propre primitive ; ici il faut le facteur $\\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{4x}}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant ne monte pas comme pour les puissances\nde $x$ ; la primitivation d'une exponentielle conserve\nl'exposant $3x$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $a \\neq 0$, une primitive de $e^{ax}$ est\n$\\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est conservé et on divise par\nson coefficient. Vérification immédiate en dérivant."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "forme-u-prime-un"
      ],
      "title": "Primitive d'une forme $u' u^n$",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de\n$f(x) = x\\,(x^2 + 1)^3$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(x^2 + 1)^4}{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$ : on écrit\n$f = \\dfrac{1}{2}\\,u'u^3$, dont une primitive est\n$\\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{u^4}{4} = \\dfrac{u^4}{8}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(x^2 + 1)^4}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $\\dfrac{1}{2}$ : $u' = 2x$ alors que\nl'énoncé n'a que $x$ en facteur. Il faut compenser :\n$x = \\dfrac{1}{2}u'$, d'où le dénominateur $8$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = (x^2 + 1)^4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left((x^2+1)^4\\right)' = 8x(x^2+1)^3$, huit fois\ntrop grand. La forme $u'u^n$ se primitive en\n$\\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$, avec ajustement du coefficient."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}\\,(x^2+1)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne primitive pas facteur par facteur (pas plus\nqu'on ne dérive un produit terme à terme). Il faut\nreconnaître la structure composée $u'u^3$."
        }
      ],
      "explanation": "Reconnaître la forme $u'u^n$ : ici $u = x^2+1$, $u' = 2x$, donc\n$x(x^2+1)^3 = \\frac{1}{2}u'u^3$, de primitive\n$\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{u^4}{4} = \\frac{(x^2+1)^4}{8}$.\nVérifier en dérivant est le meilleur garde-fou."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "verification",
        "derivee"
      ],
      "title": "Vérifier une primitive par dérivation",
      "statement": "Soit $F(x) = (x - 1)\\,e^x$. Que vaut $F'(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x\\,e^x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dérivée d'un produit,\n$F'(x) = 1 \\cdot e^x + (x-1)e^x = x\\,e^x$. Donc $F$ est une\nprimitive de $x \\mapsto x\\,e^x$."
        },
        {
          "text": "$(x - 1)\\,e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as dérivé seulement $e^x$ en oubliant la règle\ndu produit. Le terme $1 \\cdot e^x$ venu de $(x-1)'$\ntransforme $x - 1$ en $x$."
        },
        {
          "text": "$e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as dérivé chaque facteur puis multiplié\n($1 \\times e^x$). La règle du produit est\n$u'v + uv'$, pas $u'v'$."
        },
        {
          "text": "$(x + 1)\\,e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $1 \\cdot e^x + (x-1)e^x =\n(1 + x - 1)e^x = x\\,e^x$. Les constantes s'annulent."
        }
      ],
      "explanation": "$F'(x) = (x-1)'e^x + (x-1)(e^x)' = e^x + (x-1)e^x = x\\,e^x$.\nC'est le réflexe central du chapitre : toute primitive proposée\nse contrôle en la dérivant."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-differentielle"
      ],
      "title": "Solutions de $y' = 3y$",
      "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = 3y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{3x}$, où $C$ est une\nconstante réelle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les solutions de $y' = ay$ sont exactement\nles $x \\mapsto C\\,e^{ax}$. Vérification :\n$(Ce^{3x})' = 3Ce^{3x} = 3y$."
        },
        {
          "text": "La seule fonction $x \\mapsto e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : tout multiple $Ce^{3x}$ convient aussi (y\ncompris $C = 0$, la fonction nulle). Une équation\ndifférentielle a une **famille** de solutions."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{-3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $(Ce^{-3x})' = -3Ce^{-3x} = -3y$. Ces\nfonctions résolvent $y' = -3y$."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto 3x + C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $y = 3x + C$ donne $y' = 3$, constant, alors que\n$3y = 9x + 3C$ varie. Tu as résolu $y' = 3$ (une\nprimitive), pas $y' = 3y$."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (démonstration au programme) : les solutions de\n$y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$, $C$ réel\nquelconque. La constante se fixe ensuite par une condition\ninitiale."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "solution-particuliere"
      ],
      "title": "Solutions de $y' = 2y + 6$",
      "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = 2y + 6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = C\\,e^{2x} - 3$, où $C$ est une constante réelle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la solution particulière constante vérifie\n$0 = 2y + 6$, soit $y = -3$ ; on lui ajoute les solutions\n$Ce^{2x}$ de l'équation homogène $y' = 2y$."
        },
        {
          "text": "$y = C\\,e^{2x} + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur la constante particulière : elle\nrésout $2y + 6 = 0$, donc $y = -3$, pas $+3$. Contrôle :\nsi $y = Ce^{2x}+3$, alors $y' = 2Ce^{2x}$ mais\n$2y + 6 = 2Ce^{2x} + 12$ : ça ne colle pas."
        },
        {
          "text": "$y = C\\,e^{2x} + 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as pris le terme $b = 6$ comme solution\nparticulière. La constante correcte est\n$-\\dfrac{b}{a} = -\\dfrac{6}{2} = -3$."
        },
        {
          "text": "$y = C\\,e^{-2x} - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe dans l'exponentielle : l'équation homogène\nassociée est $y' = 2y$, de solutions $Ce^{2x}$ (exposant\n$+2x$)."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode pour $y' = ay + b$ : (1) solution particulière\nconstante $y_p = -\\dfrac{b}{a}$ ; (2) solutions de l'équation :\n$y = C\\,e^{ax} + y_p$. Ici : $y = Ce^{2x} - 3$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "condition-initiale"
      ],
      "title": "Imposer une condition initiale",
      "statement": "Quelle est l'unique solution de $y' = 2y + 6$ vérifiant\n$y(0) = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 4\\,e^{2x} - 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dans $y = Ce^{2x} - 3$, la condition\n$y(0) = 1$ donne $C - 3 = 1$, donc $C = 4$."
        },
        {
          "text": "$y = e^{2x} - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette fonction vaut $1 - 3 = -2$ en $0$, pas $1$.\nLa constante $C$ se calcule avec la condition initiale :\n$C - 3 = 1$ donne $C = 4$."
        },
        {
          "text": "$y = 1 \\cdot e^{2x} - 3$... c'est-à-dire $C = y(0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège : $C$ n'est pas directement $y(0)$, car la solution\nparticulière $-3$ décale la valeur en $0$ :\n$y(0) = C - 3$, d'où $C = y(0) + 3 = 4$."
        },
        {
          "text": "$y = 4\\,e^{2x} + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $-3$ vient de la solution particulière de\nl'équation, il ne change pas de signe. Avec $+3$, on\nn'aurait pas $y' = 2y + 6$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux temps : forme générale $y = Ce^{2x} - 3$, puis condition\ninitiale : $y(0) = C - 3 = 1 \\Rightarrow C = 4$. Une condition\ninitiale isole **une** solution dans la famille."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Primitive de sinus",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto \\sin(x)$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\cos(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-\\cos x)' = -(-\\sin x) = \\sin x$. Les\ndeux signes moins se compensent."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $(\\cos x)' = -\\sin x$. Pour retomber sur\n$+\\sin x$, il faut partir de $-\\cos x$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-\\sin x)' = -\\cos x \\neq \\sin x$. Primitiver\néchange sinus et cosinus (avec un signe à surveiller)."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{\\sin^2(x)}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(\\dfrac{\\sin^2 x}{2}\\right)' =\n\\sin x \\cos x$, à cause de la composition. La règle des\npuissances ne s'applique pas telle quelle aux fonctions."
        }
      ],
      "explanation": "Primitives trigonométriques : $\\sin$ se primitive en $-\\cos$,\net $\\cos$ en $\\sin$. Contrôle systématique en dérivant :\n$(-\\cos x)' = \\sin x$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "comportement"
      ],
      "title": "Comportement des solutions de $y' = ay$ pour $a < 0$",
      "statement": "Soit $a < 0$. Comment se comportent les solutions non nulles de\n$y' = ay$ quand $x$ tend vers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles tendent vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $y = Ce^{ax}$ avec $a < 0$ : l'exponentielle\ns'éteint en $+\\infty$. C'est le modèle des décroissances\nexponentielles (décharge, désintégration,\nrefroidissement)."
        },
        {
          "text": "Elles tendent vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le comportement pour $a > 0$ (croissance\nexponentielle). Ici l'exposant $ax$ tend vers $-\\infty$ et\n$e^{ax} \\to 0$."
        },
        {
          "text": "Elles oscillent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les solutions $Ce^{ax}$ sont monotones (aucun\nsinus en vue). Les oscillations relèvent d'autres équations,\ncomme $y'' + \\omega^2 y = 0$."
        },
        {
          "text": "Elles deviennent constantes égales à $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $a$ est le coefficient de l'équation, pas une\nvaleur limite des solutions. La limite commune est $0$."
        }
      ],
      "explanation": "$y = Ce^{ax}$ : le signe de $a$ commande tout. $a > 0$ :\nexplosion exponentielle ; $a < 0$ : extinction vers $0$ ;\n$a = 0$ : solutions constantes."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "racine"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto 2\\sqrt{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(2\\sqrt{x})' = 2 \\times\n\\dfrac{1}{2\\sqrt{x}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sqrt{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur manquant : $(\\sqrt{x})' = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$,\nmoitié trop petit. D'où le facteur $2$ dans la primitive."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $\\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$ est la **dérivée**\nde $\\sqrt{x}$. On cherche l'opération inverse."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\ln(\\sqrt{x})$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(\\ln(\\sqrt x)\\right)' =\n\\dfrac{1}{2x}$, ce n'est pas $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$. Le\nlogarithme est la primitive de $\\dfrac{1}{x}$, pas de\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$."
        }
      ],
      "explanation": "Primitive de référence (au programme) : sur $]0\\,;\\,+\\infty[$,\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ se primitive en $2\\sqrt{x}$. À ranger\navec : $\\dfrac{1}{x} \\to \\ln x$ et $x^n \\to\n\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "inverse"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{1}{x}$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ : le logarithme\ncomble exactement le trou de la formule des puissances."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $-\\frac{1}{x^2}$ est la **dérivée** de\n$\\frac{1}{x}$ ; on cherche l'antécédent de dérivation,\npas l'image."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^0}{0}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par zéro : la formule $\\frac{x^{n+1}}{n+1}$\néchoue précisément pour $n = -1$ : c'est $\\ln$ qui prend\nle relais."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln\\left(\\dfrac{1}{x}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $\\ln\\frac{1}{x} = -\\ln x$, dont la dérivée est\n$-\\frac{1}{x}$ : l'opposé de ce qu'on veut."
        }
      ],
      "explanation": "Sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$, les primitives de $\\frac{1}{x}$ sont\n$\\ln x + C$. L'exception de la règle des puissances\n($n = -1$) : à mémoriser comme telle."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Primitive de $\\cos(2x)$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\cos(2x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\sin(2x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin(2x))' = 2\\cos(2x)$ : il faut\ncompenser le facteur $2$ par $\\frac{1}{2}$. Contrôle en\ndérivant : $\\frac{1}{2} \\times 2\\cos(2x) = \\cos(2x)$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Compensation oubliée : $(\\sin(2x))' = 2\\cos(2x)$, le\ndouble de la cible : diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{2}\\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : le moins appartient au couple inverse (primitive\nde $\\sin$ = $-\\cos$). Pour $\\cos$, la primitive est en\n$+\\sin$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Compensation à l'envers : dériver $2\\sin(2x)$ donne\n$4\\cos(2x)$ : on divise par le coefficient interne, on\nne multiplie pas."
        }
      ],
      "explanation": "Primitives de $\\cos(ax + b)$ : $\\frac{1}{a}\\sin(ax + b)$ ;\nde $\\sin(ax+b)$ : $-\\frac{1}{a}\\cos(ax + b)$. Toujours\nvérifier en dérivant : la compensation en $\\frac{1}{a}$ ne\npardonne pas l'improvisation."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "existence-primitives"
      ],
      "title": "Existence de primitives",
      "statement": "Quelles fonctions admettent des primitives sur un\nintervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Toute fonction continue sur cet intervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : théorème du cours : continuité suffit\n(la primitive s'obtient d'ailleurs comme aire variable,\nau chapitre intégration)."
        },
        {
          "text": "Seulement les polynômes",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop restrictif : $e^x$, $\\cos$, $\\frac{1}{x}$… toutes\nles fonctions continues usuelles ont des primitives."
        },
        {
          "text": "Seulement les fonctions dérivables",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la dérivabilité concerne la fonction\nelle-même ; pour primitiver, la **continuité** suffit\n($|x|$, non dérivable en $0$, a des primitives)."
        },
        {
          "text": "Seulement les fonctions positives",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : $f(x) = -e^x$, toujours négative, a pour\nprimitive $-e^x$. Le signe ne joue aucun rôle."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème : toute fonction continue sur un intervalle y admet\ndes primitives (une infinité, à constante près). En\npratique, toutes les fonctions du programme sont continues\nsur leurs intervalles de définition."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-u-prime-sur-u"
      ],
      "title": "Primitive de la forme $\\dfrac{u'}{u}$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 1}$\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : forme $\\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1\n> 0$ et $u' = 2x$ : primitive $\\ln(u)$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{\\frac{x^3}{3} + x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : primitiver haut et bas séparément n'a aucun\nsens pour un quotient : il faut **reconnaître la\nforme** $\\frac{u'}{u}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2x\\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver ce produit ferait apparaître un terme\nen $\\ln$ parasite : la primitive de $\\frac{u'}{u}$ est\n$\\ln u$, sans facteur."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{(x^2+1)^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est une piste pour $\\frac{u'}{u^3}$… en\ndérivant : $\\frac{-4x}{(x^2+1)^3}$, rien à voir.\nReconnaître $\\frac{u'}{u}$ → $\\ln u$."
        }
      ],
      "explanation": "Formes composées à repérer : $\\frac{u'}{u} \\to \\ln u$\n($u > 0$), $u'e^u \\to e^u$, $u'u^n \\to \\frac{u^{n+1}}{n+1}$.\nLe réflexe : chercher si le numérateur est la dérivée du\ndénominateur."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-u-prime-exp-u"
      ],
      "title": "Primitive de la forme $u'e^u$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\,e^{x^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = e^{x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u = x^2$, $u' = 2x$ : la fonction est\nexactement $u'e^u$, de primitive $e^u$. Contrôle :\n$(e^{x^2})' = 2x\\,e^{x^2}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^2\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver ce produit donne $2x\\,e^{x^2}(1 + x^2)$,\ntrop. La primitive de $u'e^u$ est $e^u$ tout court."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{x^2}}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune règle ne divise par $u$. La forme\n$u'e^u$ se primitive directement en $e^u$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur en trop : le $2x$ est **déjà** absorbé par $u' =\n2x$ : la primitive est $e^{x^2}$, sans coefficient."
        }
      ],
      "explanation": "$u'e^u \\to e^u$ : la plus rentable des formes composées.\nSans le facteur $u'$ exact, ajuster par une constante\n($x e^{x^2} \\to \\frac{1}{2}e^{x^2}$) ; s'il manque plus\nqu'une constante, la forme n'est pas applicable."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "solution-equilibre"
      ],
      "title": "Solution d'équilibre",
      "statement": "L'équation différentielle $y' = -3y + 6$ admet une solution\nconstante. Laquelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 2$ : la valeur qui annule le second membre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une constante a une dérivée nulle : $0 =\n-3y + 6 \\iff y = 2$. C'est l'état d'équilibre vers\nlequel toutes les solutions convergent (coefficient\n$-3 < 0$)."
        },
        {
          "text": "$y = 6$ : le terme constant de l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tester $y = 6$ : $y' = 0$ mais $-18 + 6 = -12\n\\neq 0$. L'équilibre est $-\\frac{b}{a} = \\frac{6}{3} =\n2$."
        },
        {
          "text": "$y = -3$ : le coefficient de $y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient $-3$ règle la **vitesse** de\nconvergence, pas la valeur d'équilibre ($y = 2$)."
        },
        {
          "text": "$y = 0$ : une constante est toujours solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $y = 0$ donne $y' = 0$ mais $-0 + 6 = 6 \\neq 0$ :\n$0$ n'est solution que des équations **homogènes**\n($y' = ay$)."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $y' = ay + b$ : la solution constante est $y =\n-\\frac{b}{a}$ (dérivée nulle = second membre nul). Toutes\nles solutions s'écrivent $Ce^{ax} - \\frac{b}{a}$ : équilibre\n+ partie exponentielle."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-u-prime-u-n",
        "ajustement"
      ],
      "title": "Primitive de $(2x + 1)^3$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 1)^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(2x + 1)^4}{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : forme $u^n$ avec $u' = 2$ manquant : on\nécrit $f = \\frac{1}{2}\\,u'u^3$, de primitive\n$\\frac{1}{2} \\times \\frac{u^4}{4} = \\frac{u^4}{8}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(2x + 1)^4}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajustement oublié : dériver donne $2 \\times (2x+1)^3$ :\nle $u' = 2$ interne exige un facteur $\\frac{1}{2}$\nsupplémentaire."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 3(2x + 1)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $3(2x+1)^2 \\times 2 = 6(2x+1)^2$ est (à\nun facteur près) la **dérivée** de $f$, pas sa\nprimitive : l'exposant doit monter."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(2x+1)^4}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double compensation ratée : il faut diviser par $4$\n(exposant) ET par $2$ ($u'$) : dénominateur $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $(ax + b)^n$ : primitive $\\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$\n: la double division (exposant + coefficient interne) se\nvérifie en une dérivation de contrôle."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "condition-primitive"
      ],
      "title": "Primitive imposée en un point",
      "statement": "Quelle est LA primitive $F$ de $f(x) = 2x$ vérifiant\n$F(1) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = x^2 - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^2 + C$ ; la\ncondition $F(1) = 0$ donne $1 + C = 0$, donc $C = -1$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition ignorée : $F(1) = 1 \\neq 0$. La constante se\n**calcule** avec la condition, elle ne reste pas nulle\npar défaut."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^2 + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la constante : $1 + C = 0 \\Rightarrow C = -1$,\npas $+1$. Contrôle : $F(1) = 2 \\neq 0$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une constante a une dérivée **nulle**, pas\n$2x$ : ce n'est pas une primitive de $f$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux temps : primitive générale ($x^2 + C$), puis condition\n($F(1) = 0 \\Rightarrow C = -1$). Une condition fixe LA\nprimitive parmi l'infinité : même logique que la condition\ninitiale d'une équation différentielle."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "verification-solution"
      ],
      "title": "Vérifier une solution d'équation différentielle",
      "statement": "La fonction $f(x) = (x + 1)e^x$ est-elle solution de\nl'équation $y' = y + e^x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui : $f'(x) = (x + 2)e^x$ et $f(x) + e^x = (x + 2)e^x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dérivée d'un produit : $f' = e^x + (x +\n1)e^x = (x + 2)e^x$ ; le second membre donne la même\nchose : égalité pour tout $x$."
        },
        {
          "text": "Non : $f'(x) = e^x$, qui ne vaut pas $f(x) + e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivée fausse : $(x + 1)e^x$ est un **produit** : sa\ndérivée est $u'v + uv' = e^x + (x+1)e^x$, pas seulement\n$e^x$."
        },
        {
          "text": "Non : les solutions de $y' = y + e^x$ sont les $Ce^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les $Ce^x$ résolvent l'équation **homogène**\n$y' = y$ ; le second membre $e^x$ exige un terme\nsupplémentaire (le $xe^x$)."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas le savoir sans résoudre l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de méthode : vérifier une solution proposée ne\ndemande jamais de résoudre : on dérive, on remplace, on\ncompare."
        }
      ],
      "explanation": "« Vérifier que $f$ est solution » = calculer $f'$, injecter\n$f$ dans le second membre, constater l'égalité pour tout\n$x$. Aucune résolution : c'est la question la plus rentable\ndes sujets de baccalauréat."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "decroissance"
      ],
      "title": "Décroissance radioactive",
      "statement": "Une quantité $N(t)$ vérifie $N' = -0{,}1\\,N$ avec $N(0) =\n100$. Quelle est l'expression de $N(t)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$N(t) = 100\\,e^{-0{,}1t}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : solutions de $y' = ay$ : $Ce^{at}$ avec\n$a = -0{,}1$ ; la condition $N(0) = C = 100$ fixe la\nconstante."
        },
        {
          "text": "$N(t) = 100 - 0{,}1t$",
          "correct": false,
          "feedback": "Modèle linéaire : ce serait $N' = -0{,}1$ (perte\nconstante). Ici la perte est proportionnelle au\n**stock** : décroissance exponentielle."
        },
        {
          "text": "$N(t) = e^{-0{,}1t}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition initiale perdue : $N(0)$ vaudrait $1$, pas\n$100$ : le facteur $C = 100$ est indispensable."
        },
        {
          "text": "$N(t) = 100\\,e^{0{,}1t}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : avec $+0{,}1$, la quantité **exploserait**. La\ndésintégration impose l'exposant négatif du modèle $N' =\n-0{,}1N$."
        }
      ],
      "explanation": "$y' = ay$, $y(0) = y_0 \\Rightarrow y(t) = y_0e^{at}$. Le\nsigne de $a$ raconte l'histoire : $a < 0$ = désintégration,\nrefroidissement ; $a > 0$ = croissance. Toujours confronter\nla solution au sens physique."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "unicite-solution"
      ],
      "title": "Unicité avec condition initiale",
      "statement": "Combien l'équation $y' = 2y + 6$ admet-elle de solutions\nvérifiant $y(0) = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement une : $y(x) = 4e^{2x} - 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : solutions générales $Ce^{2x} - 3$ ; la\ncondition $y(0) = C - 3 = 1$ force $C = 4$ : une et une\nseule fonction."
        },
        {
          "text": "Une infinité, comme toute équation différentielle",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance capitale : l'infinité vaut pour l'équation\n**seule** ; chaque condition initiale sélectionne\nexactement une solution (c'est le théorème du cours)."
        },
        {
          "text": "Aucune : $y(0) = 1$ est incompatible avec l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : toute valeur initiale est atteignable : il\nsuffit d'ajuster $C$ ($C = 4$ ici)."
        },
        {
          "text": "Deux : une croissante et une décroissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la constante $C$ est déterminée de façon\nunique par une équation du premier degré : pas de\ndeuxième candidat."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (au programme) : $y' = ay + b$ avec $y(x_0) = y_0$\nadmet une **unique** solution. Géométriquement : par chaque\npoint du plan passe une seule courbe solution."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege-produit"
      ],
      "title": "Primitive d'un produit",
      "statement": "$F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$. Le produit\n$FG$ est-il une primitive de $fg$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $(FG)' = fG + Fg$, pas $fg$ (exemple : $f = g =\n1$, $FG = x^2$ dont la dérivée est $2x \\neq 1$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivation d'un produit suit $u'v +\nuv'$ : symétriquement, il n'existe **aucune** formule\ngénérale de primitive d'un produit."
        },
        {
          "text": "Oui : les opérations passent aux primitives",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : seules la somme et la multiplication par une\nconstante passent. Contre-exemple : $f = g = 1$ :\n$FG = x^2$, or une primitive de $fg = 1$ est $x$."
        },
        {
          "text": "Oui, à une constante près",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x^2$ et $x$ ne diffèrent pas d'une constante.\nL'écart est structurel, pas constant."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si $f$ et $g$ sont des polynômes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le contre-exemple $f = g = 1$ **est**\npolynomial : même chez les polynômes, la formule est\nfausse."
        }
      ],
      "explanation": "Les primitives se comportent bien pour $f + g$ et $\\lambda\nf$, et c'est tout. Pour un produit : reconnaître une forme\ncomposée ($u'u^n$, $u'e^u$, $\\frac{u'}{u}$…) ou transformer\nl'expression. Le réflexe « primitive de chaque facteur » est\ntoujours faux."
    }
  ]
}