{
  "chapter": {
    "id": "representations-parametriques-equations",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Algèbre et géométrie",
    "title": "Représentations paramétriques et équations cartésiennes",
    "description": "Représentation paramétrique d'une droite de l'espace, équation\ncartésienne d'un plan ($ax + by + cz + d = 0$, vecteur normal),\nappartenance d'un point, intersection droite-plan, positions\nrelatives de deux plans, projeté orthogonal par le calcul.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parametrique",
        "droite"
      ],
      "title": "Écrire une représentation paramétrique",
      "statement": "Quelle est une représentation paramétrique de la droite\npassant par $A(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et de vecteur directeur\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 1 + 2t$, $\\; y = 2 - t$, $\\; z = 3$ ($t$ réel)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : point de départ $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ +\n$t$ fois la direction $(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$. La coordonnée\n$z$ reste constante car la direction n'a pas de composante\nverticale."
        },
        {
          "text": "$x = 2 + t$, $\\; y = -1 + 2t$, $\\; z = 3t$",
          "correct": false,
          "feedback": "Point et vecteur échangés : les constantes doivent être\nles coordonnées du **point** $A$, et les coefficients de\n$t$ celles du **vecteur** directeur."
        },
        {
          "text": "$x = 1 + 2t$, $\\; y = 2 + t$, $\\; z = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : la deuxième coordonnée du vecteur\ndirecteur est $-1$, donc $y = 2 - t$."
        },
        {
          "text": "$x = 1 + 2t$, $\\; y = 2 - t$, $\\; z = 3 + t$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la troisième coordonnée de $\\vec{u}$ est $0$ :\n$z$ ne dépend pas de $t$ et reste égale à $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Représentation paramétrique de la droite $(A\\,;\\,\\vec{u})$ :\n$\\begin{cases} x = x_A + t\\,a \\\\ y = y_A + t\\,b \\\\\nz = z_A + t\\,c \\end{cases}$ où $\\vec{u}(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ et\n$t$ parcourt $\\mathbb{R}$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "plan",
        "vecteur-normal"
      ],
      "title": "Lire un vecteur normal",
      "statement": "Soit le plan d'équation cartésienne $2x - 3y + z - 5 = 0$.\nQuel vecteur lui est normal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{n}(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dans $ax + by + cz + d = 0$, les\ncoefficients $(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ sont les coordonnées d'un\nvecteur normal."
        },
        {
          "text": "$\\vec{n}(2\\,;\\,-3\\,;\\,-5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-5$ est le terme constant $d$, qui règle la\nposition du plan mais ne fait pas partie du vecteur\nnormal $(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$."
        },
        {
          "text": "$\\vec{n}(2\\,;\\,3\\,;\\,1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le coefficient de $y$ est $-3$, il se\nrecopie tel quel dans le vecteur normal."
        },
        {
          "text": "$\\vec{n}(x\\,;\\,y\\,;\\,z)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x$, $y$, $z$ sont les inconnues de l'équation,\npas des coordonnées fixes. Le normal se lit sur les\n**coefficients** : $(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème clé : le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ admet\n$\\vec{n}(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ pour vecteur normal, et\nréciproquement."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parametrique",
        "point"
      ],
      "title": "Point d'une droite paramétrée",
      "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.\nQuel point obtient-on pour $t = 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(5\\,;\\,0\\,;\\,3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x = 1 + 4 = 5$, $y = 2 - 2 = 0$,\n$z = 3$."
        },
        {
          "text": "$(4\\,;\\,-2\\,;\\,0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as calculé $t\\,\\vec{u} = (4\\,;\\,-2\\,;\\,0)$ en\noubliant d'ajouter le point de départ $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$."
        },
        {
          "text": "$(3\\,;\\,1\\,;\\,3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le point obtenu pour $t = 1$. Pour $t = 2$,\non avance deux fois plus loin : $(5\\,;\\,0\\,;\\,3)$."
        },
        {
          "text": "$(5\\,;\\,4\\,;\\,3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur $y$ : $y = 2 - t = 2 - 2 = 0$, pas\n$2 + 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque valeur du paramètre $t$ produit un point de la droite :\npour $t = 2$, $(1 + 4\\,;\\,2 - 2\\,;\\,3) = (5\\,;\\,0\\,;\\,3)$.\nInversement, vérifier qu'un point est sur la droite revient à\nchercher un $t$ commun aux trois équations."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "plan",
        "appartenance"
      ],
      "title": "Appartenance à un plan",
      "statement": "Soit $\\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - 3y + z - 5 = 0$.\nLequel de ces points appartient à $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(1\\,;\\,-1\\,;\\,0)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2(1) - 3(-1) + 0 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$ :\nl'équation est vérifiée."
        },
        {
          "text": "$(1\\,;\\,1\\,;\\,0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 - 3 + 0 - 5 = -6 \\neq 0$. Attention au signe\ndu produit $-3y$."
        },
        {
          "text": "$(2\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 - 0 + 0 - 5 = -1 \\neq 0$ : le point est tout\nprès du plan, mais pas dessus."
        },
        {
          "text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège : $(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$ sont les coordonnées du vecteur\n**normal**, pas d'un point du plan. Vérification :\n$4 + 9 + 1 - 5 = 9 \\neq 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Un point appartient au plan si ses coordonnées **vérifient\nl'équation**. Seul $(1\\,;\\,-1\\,;\\,0)$ donne\n$2 + 3 + 0 - 5 = 0$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parametrique",
        "vecteur-directeur"
      ],
      "title": "Direction d'une droite paramétrée",
      "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.\nQuel vecteur dirige $d$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $t$ dans les trois\néquations donnent la direction : $(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ sont les termes constants,\nc'est-à-dire le **point** obtenu pour $t = 0$, pas la\ndirection."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $3$ de $z = 3$ est une constante ($z$ ne bouge\npas avec $t$) : la troisième coordonnée du vecteur\ndirecteur est $0$."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,1\\,;\\,0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $y = 2 - t$ donne un coefficient $-1$\npour $t$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une représentation paramétrique, les **constantes**\nforment un point de la droite et les **coefficients de $t$** un\nvecteur directeur. Ici : $A(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "plan",
        "equation"
      ],
      "title": "Équation d'un plan par point et normal",
      "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par\n$A(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$ et de vecteur normal\n$\\vec{n}(3\\,;\\,1\\,;\\,-2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3x + y - 2z + 1 = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $3x + y - 2z + d = 0$ ; en\nimposant le passage par $A$ : $3 + 0 - 4 + d = 0$, donc\n$d = 1$."
        },
        {
          "text": "$3x + y - 2z - 1 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur $d$ : en substituant $A$, on trouve\n$3 - 4 + d = 0$, soit $d = +1$. Vérifie toujours en\nréinjectant le point."
        },
        {
          "text": "$x + 2z - 3 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les coefficients de l'équation doivent être les\ncoordonnées du **normal** $(3\\,;\\,1\\,;\\,-2)$. Ici tu as\nutilisé les coordonnées du point $A$."
        },
        {
          "text": "$3x + y - 2z = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : ce plan a le bon vecteur normal mais passe par\nl'origine, pas par $A$ (vérifie : $3 + 0 - 4 = -1 \\neq\n0$). Le terme constant $d = 1$ manque."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : partir de $ax + by + cz + d = 0$ avec\n$(a\\,;\\,b\\,;\\,c) = \\vec{n}$, puis déterminer $d$ en écrivant\nque les coordonnées de $A$ vérifient l'équation :\n$3(1) + 1(0) - 2(2) + d = 0 \\Rightarrow d = 1$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "droite-plan",
        "parallelisme"
      ],
      "title": "Droite parallèle à un plan",
      "statement": "Soit une droite $d$ de vecteur directeur $\\vec{u}$ et un plan\n$\\mathcal{P}$ de vecteur normal $\\vec{n}$. À quelle condition\n$d$ est-elle parallèle à $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la direction de la droite doit être une\ndirection **du plan**, donc orthogonale au normal."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}$ et $\\vec{n}$ colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : directeur colinéaire au normal signifie\ndroite **perpendiculaire** au plan, la situation opposée."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{n} \\neq 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} \\neq 0$ signifie que la\ndroite **perce** le plan (sécante en un point)."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u} = \\vec{n}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité est un cas particulier de colinéarité :\ndroite perpendiculaire au plan, pas parallèle."
        }
      ],
      "explanation": "Trio à mémoriser : $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 0$ : droite\nparallèle au plan (ou incluse) ; $\\vec{u}$ colinéaire à\n$\\vec{n}$ : droite perpendiculaire ; sinon : droite sécante\noblique."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "intersection",
        "calcul"
      ],
      "title": "Intersection d'une droite et d'un plan",
      "statement": "Soit la droite $d$ : $x = t$, $y = 1 + t$, $z = 2 - t$, et le\nplan $\\mathcal{P}$ : $x + y + z - 6 = 0$. En quel point $d$\ncoupe-t-elle $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(3\\,;\\,4\\,;\\,-1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en substituant, $t + (1+t) + (2-t) - 6 =\nt - 3 = 0$, donc $t = 3$, ce qui donne le point\n$(3\\,;\\,4\\,;\\,-1)$."
        },
        {
          "text": "$(1\\,;\\,2\\,;\\,1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le point de $d$ pour $t = 1$ ; or\n$1 + 2 + 1 - 6 = -2 \\neq 0$, il n'est pas dans le plan.\nIl faut résoudre $t - 3 = 0$."
        },
        {
          "text": "$(2\\,;\\,3\\,;\\,0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $t = 2$, la somme vaut $2 + 3 + 0 - 6 = -1\n\\neq 0$. La substitution complète donne $t = 3$."
        },
        {
          "text": "Ils ne se coupent pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équation en $t$ obtenue par substitution\n($t - 3 = 0$) a une solution : intersection en un point\nunique. (Pas de solution signifierait droite strictement\nparallèle au plan.)"
        }
      ],
      "explanation": "Méthode systématique : substituer les expressions\nparamétriques dans l'équation du plan, résoudre en $t$, puis\nréinjecter. $t = 3$ donne $(3\\,;\\,4\\,;\\,-1)$. Vérification :\n$3 + 4 - 1 - 6 = 0$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "plans",
        "positions-relatives"
      ],
      "title": "Position relative de deux plans",
      "statement": "Soient les plans $\\mathcal{P}_1$ : $2x - y + z - 1 = 0$ et\n$\\mathcal{P}_2$ : $4x - 2y + 2z + 7 = 0$. Quelle est leur\nposition relative ?",
      "options": [
        {
          "text": "Strictement parallèles",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les normaux $(2\\,;\\,-1\\,;\\,1)$ et\n$(4\\,;\\,-2\\,;\\,2)$ sont colinéaires (facteur $2$), donc\nplans parallèles ; et $2 \\times (-1) = -2 \\neq 7$ : ils ne\nsont pas confondus."
        },
        {
          "text": "Sécants selon une droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des plans sécants ont des normaux **non\ncolinéaires**. Ici $(4\\,;\\,-2\\,;\\,2) = 2(2\\,;\\,-1\\,;\\,1)$ :\nmême direction normale, donc parallèles."
        },
        {
          "text": "Confondus",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : les normaux sont bien colinéaires, mais en\nmultipliant la première équation par $2$ on obtient\n$4x - 2y + 2z - 2 = 0$, dont le terme constant ($-2$)\ndiffère de $+7$ : deux plans distincts."
        },
        {
          "text": "Perpendiculaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : perpendiculaires exigerait des normaux\n**orthogonaux** ; or $\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 8 + 2 +\n2 = 12 \\neq 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux plans : normaux colinéaires $\\Rightarrow$ parallèles\n(confondus si une équation est multiple de l'autre, y compris\nle terme constant) ; normaux non colinéaires $\\Rightarrow$\nsécants selon une droite. Ici : parallèles stricts."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "interpretation",
        "piege"
      ],
      "title": "Que représente une équation dans l'espace ?",
      "statement": "Dans l'espace muni d'un repère, quel objet l'équation\n$x + y + z = 1$ représente-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un plan",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : toute équation du premier degré\n$ax + by + cz + d = 0$ (coefficients non tous nuls) décrit\nun **plan**, ici de vecteur normal $(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$."
        },
        {
          "text": "Une droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège hérité du plan : en dimension 2, $x + y = 1$ est une\ndroite, mais dans l'**espace** une équation unique laisse\ndeux degrés de liberté : c'est un plan. Une droite exige\nun **système** de deux équations (ou une représentation\nparamétrique)."
        },
        {
          "text": "Un point",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un point demanderait trois équations\nindépendantes. Une seule équation laisse une surface\nentière de solutions."
        },
        {
          "text": "Une sphère",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une sphère a une équation du **second** degré,\ndu type $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$. Ici tout est\nau premier degré : plan."
        }
      ],
      "explanation": "Dans l'espace, une équation cartésienne du premier degré = un\nplan. Les droites, elles, n'ont pas d'équation cartésienne\nunique : elles se décrivent par représentation paramétrique ou\ncomme intersection de deux plans."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "projete-orthogonal",
        "calcul"
      ],
      "title": "Projeté orthogonal par le calcul",
      "statement": "Soit $M(2\\,;\\,2\\,;\\,2)$ et le plan $\\mathcal{P}$ :\n$x + y + z - 3 = 0$. Quel est le projeté orthogonal $H$ de $M$\nsur $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$H(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite par $M$ dirigée par le normal\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$ s'écrit $(2+t\\,;\\,2+t\\,;\\,2+t)$ ;\nsubstitution : $6 + 3t - 3 = 0$, $t = -1$, d'où\n$H(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$."
        },
        {
          "text": "$H(2\\,;\\,2\\,;\\,2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce serait $M$ lui-même, qui n'est pas dans le\nplan ($2+2+2-3 = 3 \\neq 0$). Le projeté est le pied de la\nperpendiculaire issue de $M$."
        },
        {
          "text": "$H(3\\,;\\,3\\,;\\,3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur $t$ : la substitution donne\n$3t + 3 = 0$, donc $t = -1$ (on **redescend** vers le\nplan), pas $t = +1$."
        },
        {
          "text": "$H(0\\,;\\,0\\,;\\,3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce point appartient bien au plan, mais\n$\\overrightarrow{MH}(-2\\,;\\,-2\\,;\\,1)$ n'est pas colinéaire au normal\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$ : la projection ne serait pas\northogonale."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode (capacité attendue) : paramétrer la droite passant par\n$M$ dirigée par $\\vec{n}$, substituer dans l'équation du plan,\nrésoudre en $t$. Ici $t = -1$ donne $H(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$, et\n$MH = \\sqrt{3}$ est la distance de $M$ au plan."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parametrique",
        "lecture"
      ],
      "title": "Reconnaître une propriété sur la paramétrique",
      "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 1 + t$, $y = 2$, $z = 3 - t$.\nQuelle affirmation est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$d$ est incluse dans le plan d'équation $y = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la coordonnée $y$ vaut $2$ pour **tout**\n$t$ : chaque point de la droite vérifie l'équation du plan\n$y = 2$."
        },
        {
          "text": "$d$ est parallèle à l'axe des ordonnées",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : son vecteur directeur $(1\\,;\\,0\\,;\\,-1)$ n'est pas\ncolinéaire à $(0\\,;\\,1\\,;\\,0)$. C'est même l'inverse : la\ndroite est **orthogonale** à l'axe des ordonnées."
        },
        {
          "text": "$d$ passe par l'origine",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faudrait $y = 0$ pour un certain $t$, or $y$\nvaut constamment $2$."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ dirige $d$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ sont les constantes (le point\npour $t = 0$). La direction se lit sur les coefficients de\n$t$ : $(1\\,;\\,0\\,;\\,-1)$."
        }
      ],
      "explanation": "Une coordonnée constante dans la représentation paramétrique\nsignifie que la droite reste dans le plan correspondant : ici\n$y = 2$ pour tout $t$, donc $d \\subset$ plan $\\{y = 2\\}$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "plans-paralleles"
      ],
      "title": "Reconnaître deux plans parallèles",
      "statement": "Les plans $P : 2x - y + z = 1$ et $Q : 4x - 2y + 2z = 5$\nsont-ils parallèles ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, parallèles et distincts : les normales sont\ncolinéaires mais les équations ne sont pas\nproportionnelles",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n}_Q = 2\\vec{n}_P$ : mêmes\ndirections ; mais $1 \\times 2 = 2 \\neq 5$ : pas le même\nplan : parallèles stricts, aucune intersection."
        },
        {
          "text": "Non : leurs équations sont différentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Critère trop naïf : le parallélisme se lit sur les\n**vecteurs normaux** ($(2\\ ;\\ -1\\ ;\\ 1)$ et $(4\\ ;\\ -2\\\n;\\ 2)$, colinéaires), pas sur l'égalité des équations."
        },
        {
          "text": "Ils sont confondus",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : confondus exigerait la proportionnalité\n**complète** ($5 = 2 \\times 1$ ? non) : le point\n$(0\\ ;\\ 0\\ ;\\ 1)$ est dans $P$ mais pas dans $Q$."
        },
        {
          "text": "Ils sont perpendiculaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : perpendiculaires demanderait $\\vec{n}_P \\cdot\n\\vec{n}_Q = 0$ ; ici $8 + 2 + 2 = 12 \\neq 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux plans : normales colinéaires $\\Rightarrow$ parallèles ;\néquations entièrement proportionnelles $\\Rightarrow$\nconfondus ; sinon sécants (en une droite). Tout se lit sur\nles coefficients."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "droite-orthogonale-plan"
      ],
      "title": "Droite orthogonale à un plan",
      "statement": "Quel vecteur directeur choisir pour la droite passant par\n$A$ et orthogonale au plan $P : 3x - y + 2z = 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{n}(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ 2)$ : le vecteur normal du plan",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une droite orthogonale à un plan a pour\ndirection la normale du plan : les coefficients de\nl'équation servent directement."
        },
        {
          "text": "Un vecteur du plan $P$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : un vecteur **du** plan dirigerait une\ndroite parallèle au plan, pas orthogonale."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}(7\\ ;\\ 7\\ ;\\ 7)$, à cause du second membre $7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le second membre $7$ règle la **position** du\nplan, pas son orientation : la direction normale vient\ndes coefficients $(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ 2)$."
        },
        {
          "text": "N'importe quel vecteur passant par $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « passer par $A$ » ne contraint pas la\ndirection : l'orthogonalité impose la normale, à une\ncolinéarité près."
        }
      ],
      "explanation": "Le trio gagnant : équation $ax + by + cz = d$ $\\to$ normale\n$(a\\ ;\\ b\\ ;\\ c)$ $\\to$ direction de toute droite\northogonale au plan. Paramétrique immédiate : $A + t\\vec{n}$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "intersection-droites"
      ],
      "title": "Intersection de deux droites paramétrées",
      "statement": "Soient $d : (x\\ ;\\ y\\ ;\\ z) = (1 + t\\ ;\\ 2t\\ ;\\ 3)$ et\n$d' : (x\\ ;\\ y\\ ;\\ z) = (2\\ ;\\ 2 + s\\ ;\\ 3)$. Ces droites\nsont-elles sécantes ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, au point $(2\\ ;\\ 2\\ ;\\ 3)$ (pour $t = 1$ et $s =\n0$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : égaler : $1 + t = 2$ donne $t = 1$ ;\nalors $y = 2$ exige $2 + s = 2$, donc $s = 0$ ; les\ncotes $3 = 3$ concordent : point commun unique."
        },
        {
          "text": "Non : leurs paramètres $t$ et $s$ sont différents",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de principe : chaque droite a SON paramètre :\nl'intersection n'exige jamais $t = s$, seulement des\ncoordonnées égales (d'où deux inconnues distinctes)."
        },
        {
          "text": "Non : elles sont parallèles",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : directions $(1\\ ;\\ 2\\ ;\\ 0)$ et $(0\\ ;\\ 1\\ ;\\\n0)$ : non colinéaires : les droites ne sont pas\nparallèles."
        },
        {
          "text": "Oui, en une infinité de points",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une infinité de points communs signifierait\ndroites **confondues** : leurs directions différentes\nl'interdisent : un seul point."
        }
      ],
      "explanation": "Intersection de droites paramétrées : paramètres **séparés**\n($t$ et $s$), système sur les trois coordonnées, deux\néquations déterminent $(t\\ ;\\ s)$, la troisième arbitre\n(compatible = sécantes, incompatible = non coplanaires)."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "droite-incluse-plan"
      ],
      "title": "Droite incluse dans un plan",
      "statement": "La droite $d : (x\\ ;\\ y\\ ;\\ z) = (1 + t\\ ;\\ 1 - t\\ ;\\ 2t)$\nest-elle incluse dans le plan $P : x + y - 2 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui : $(1 + t) + (1 - t) - 2 = 0$ pour tout $t$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en injectant la paramétrique dans\nl'équation, le paramètre disparaît et l'égalité tient\npour **tout** $t$ : chaque point de la droite est dans\nle plan."
        },
        {
          "text": "Non : la droite a trois coordonnées, le plan seulement\ndeux termes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture : l'absence de $z$ dans l'équation\nsignifie coefficient nul, pas incompatibilité : le plan\nvit bien dans l'espace."
        },
        {
          "text": "Seulement le point obtenu pour $t = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sous-estimation : le test donne $0 = 0$ **indépendamment\nde $t$** : ce n'est pas une équation à résoudre mais une\nidentité : toute la droite est dedans."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas le savoir sans équation cartésienne de la\ndroite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'injection paramétrique $\\to$ cartésienne est\nexactement l'outil adapté (et une droite de l'espace n'a\nd'ailleurs pas UNE équation cartésienne)."
        }
      ],
      "explanation": "Position droite/plan par injection : équation en $t$ après\nsubstitution. Identité ($0 = 0$) : droite incluse ; équation\nimpossible : parallèle stricte ; une solution unique : point\nd'intersection."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "intersection-plans"
      ],
      "title": "Intersection de deux plans sécants",
      "statement": "Que forme l'intersection des plans $P : x + y + z = 3$ et\n$Q : x - y = 1$ (dont les normales ne sont pas\ncolinéaires) ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une droite ; par exemple, elle contient le point\n$(1\\ ;\\ 0\\ ;\\ 2)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux plans non parallèles se coupent\nselon une **droite**. Contrôle du point : $1 + 0 + 2 =\n3$ ✓ et $1 - 0 = 1$ ✓."
        },
        {
          "text": "Un point unique",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de dimension : un point unique demande **trois**\nplans bien choisis (ou une droite et un plan) : deux\nplans sécants laissent un degré de liberté : une droite."
        },
        {
          "text": "L'ensemble vide",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : vide = plans parallèles distincts, or leurs\nnormales $(1\\ ;\\ 1\\ ;\\ 1)$ et $(1\\ ;\\ -1\\ ;\\ 0)$ ne sont\npas colinéaires : ils se coupent."
        },
        {
          "text": "Un plan",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'intersection serait un plan si $P = Q$ ;\nleurs équations ne sont pas proportionnelles."
        }
      ],
      "explanation": "Deux plans de normales non colinéaires se coupent selon une\ndroite : la résoudre = poser $z = t$ (par exemple) et\nexprimer $x$, $y$ en fonction de $t$ : le système devient\nune représentation paramétrique."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "parametrer-segment"
      ],
      "title": "Paramétrer un segment",
      "statement": "Comment décrire le **segment** $[AB]$ à partir de la\nreprésentation $M(t) = A + t\\,\\overrightarrow{AB}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "En restreignant le paramètre : $t \\in [0\\ ;\\ 1]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $t = 0$ donne $A$, $t = 1$ donne $B$,\net les valeurs intermédiaires balaient l'intérieur du\nsegment : la droite entière correspondrait à $t \\in\n\\mathbb{R}$."
        },
        {
          "text": "En prenant $t \\in \\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop grand : $t = 2$ ou $t = -1$ sortent du segment\n(au-delà de $B$, avant $A$) : $\\mathbb{R}$ décrit toute\nla droite $(AB)$."
        },
        {
          "text": "En imposant $t > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Demi-mesure : $t > 0$ décrit la demi-droite ouverte\nissue de $A$ vers $B$… et au-delà : il faut aussi\nplafonner à $1$."
        },
        {
          "text": "Impossible : une paramétrique décrit toujours une droite\nentière",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le domaine du paramètre fait partie de la\ndescription : segment, demi-droite ou droite selon\nl'intervalle choisi."
        }
      ],
      "explanation": "$M(t) = A + t\\overrightarrow{AB}$ : $t \\in \\mathbb{R}$ :\ndroite ; $t \\geq 0$ : demi-droite ; $t \\in [0\\ ;\\ 1]$ :\nsegment (et $t = \\frac{1}{2}$ : le milieu). Le paramètre\nest un curseur de position."
    }
  ]
}