{
  "chapter": {
    "id": "schema-bernoulli-loi-binomiale",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Probabilités",
    "title": "Schéma de Bernoulli et loi binomiale",
    "description": "Succession d'épreuves indépendantes (probabilité d'une liste\nd'issues par produit), épreuve et loi de Bernoulli, schéma de\nBernoulli, loi binomiale $\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ : formule\n$P(X = k)$, espérance et variance, problèmes de seuil.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "bernoulli"
      ],
      "title": "Épreuve de Bernoulli",
      "statement": "Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une expérience aléatoire à exactement deux issues, succès\n(probabilité $p$) et échec (probabilité $1 - p$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux issues seulement, avec $p$ pour le\nsuccès. Exemples : pile ou face, gagné ou perdu, pièce\ndéfectueuse ou conforme."
        },
        {
          "text": "Une expérience répétée $p$ fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $p$ est une **probabilité** (entre $0$ et $1$),\npas un nombre de répétitions. La répétition relève du\nschéma de Bernoulli, avec un paramètre $n$ entier."
        },
        {
          "text": "Une expérience dont les issues sont équiprobables",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'impose $p = \\dfrac{1}{2}$. Une épreuve de\nBernoulli peut être très déséquilibrée ($p = 0{,}01$)."
        },
        {
          "text": "Une expérience à deux issues répétée indéfiniment",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'épreuve de Bernoulli est **une seule**\nexpérience. Sa répétition en nombre fixé $n$ constitue le\nschéma de Bernoulli."
        }
      ],
      "explanation": "Épreuve de Bernoulli : une expérience, deux issues, succès de\nprobabilité $p$. La variable qui vaut $1$ en cas de succès et\n$0$ sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Conditions d'une loi binomiale",
      "statement": "Dans quelle situation la variable $X$ suit-elle une loi\nbinomiale $\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$X$ compte les succès dans la répétition de $n$ épreuves de\nBernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : trois ingrédients : même épreuve,\nindépendance des répétitions, et $X$ = **nombre de\nsuccès**."
        },
        {
          "text": "$X$ compte les succès dans $n$ tirages **sans remise** dans\nune urne",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège classique : sans remise, la composition de l'urne\nchange à chaque tirage, les épreuves ne sont ni identiques\nni indépendantes. (Avec remise, en revanche, c'est\nbinomial.)"
        },
        {
          "text": "$X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le rang du premier succès suit une loi\n**géométrique** (approfondissement), pas binomiale. La\nbinomiale compte les succès sur un nombre fixé d'épreuves."
        },
        {
          "text": "$X$ prend ses valeurs entre $0$ et $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : bien des variables vivent dans\n$\\{0, \\ldots, n\\}$ sans être binomiales. Ce sont les\nhypothèses de répétition indépendante qui font la\nbinomiale."
        }
      ],
      "explanation": "$X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ exige : $n$ répétitions d'une\nmême épreuve de Bernoulli, indépendance (typiquement tirages\n**avec remise**), et $X$ = nombre de succès."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "succession-epreuves",
        "produit"
      ],
      "title": "Probabilité d'une liste d'issues",
      "statement": "On répète $3$ fois, de façon indépendante, une épreuve de\nBernoulli avec $p = 0{,}3$. Quelle est la probabilité de la\nliste d'issues (succès, échec, succès) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}3 \\times 0{,}7 \\times 0{,}3 = 0{,}063$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par indépendance, la probabilité d'une\nliste d'issues est le **produit** des probabilités de\nchaque issue."
        },
        {
          "text": "$0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}3 = 1{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse jamais $1$.\nL'addition sert pour des événements incompatibles ; une\nsuccession d'issues se traite par **produit**."
        },
        {
          "text": "$0{,}3^3 = 0{,}027$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}3^3$ est la probabilité de (succès, succès,\nsuccès). La deuxième épreuve est ici un **échec**, de\nprobabilité $0{,}7$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3 \\times 0{,}7^2 = 0{,}147$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette liste compterait un succès et **deux**\néchecs. La liste demandée contient deux succès et un\néchec : $0{,}3^2 \\times 0{,}7$."
        }
      ],
      "explanation": "Principe fondamental de la succession d'épreuves\nindépendantes : $P(x_1, \\ldots, x_n) = P(x_1) \\times \\cdots\n\\times P(x_n)$. Ici $0{,}3 \\times 0{,}7 \\times 0{,}3 =\n0{,}063$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formule",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer $P(X = k)$",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(5\\,;\\,0{,}2)$. Que vaut $P(X = 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{5}{2} \\times 0{,}2^2 \\times 0{,}8^3 = 0{,}2048$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ :\n$10 \\times 0{,}04 \\times 0{,}512 = 0{,}2048$."
        },
        {
          "text": "$0{,}2^2 \\times 0{,}8^3 = 0{,}02048$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du coefficient binomial : $0{,}2^2 \\times 0{,}8^3$\nest la probabilité d'**une seule** liste à deux succès. Il\ny a $\\binom{5}{2} = 10$ listes possibles."
        },
        {
          "text": "$0{,}2^2 = 0{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette écriture ignore les trois échecs (facteur\n$0{,}8^3$) et le nombre de placements des succès (facteur\n$\\binom{5}{2}$)."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{5}{2} \\times 0{,}2^2 \\times 0{,}8 = 0{,}32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'exposant : il y a $n - k = 3$ échecs, donc\n$0{,}8^3$, pas $0{,}8^1$. Les exposants doivent totaliser\n$n = 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule binomiale : $P(X = k) = \\binom{n}{k}\\,p^k(1-p)^{n-k}$.\nLe coefficient compte les positions des succès, les puissances\ndonnent la probabilité d'une liste. Ici $0{,}2048$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'une binomiale",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}3)$. Que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 20 \\times 0{,}3 = 6$. En\nmoyenne, $6$ succès sur $20$ épreuves."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}3$ est l'espérance d'**une seule** épreuve de\nBernoulli. Sur $20$ épreuves, les espérances s'additionnent\n: $20 \\times 0{,}3$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $20$ est le nombre d'épreuves, atteint seulement\nsi tout réussit. La moyenne pondère par $p$ : $np = 6$."
        },
        {
          "text": "$4{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $4{,}2 = np(1-p)$ est la **variance** de $X$,\npas son espérance."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ : $E(X) = np$ et\n$V(X) = np(1-p)$. Ici $E(X) = 6$ et $V(X) = 4{,}2$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance"
      ],
      "title": "Variance d'une binomiale",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}3)$. Que vaut $V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 20 \\times 0{,}3 \\times\n0{,}7 = 4{,}2$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $6 = np$ est l'**espérance**. La variance\najoute le facteur $(1-p)$ : $np(1-p) = 4{,}2$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{4{,}2} \\approx 2{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\sqrt{np(1-p)}$ est l'**écart-type**\n$\\sigma(X)$. La variance est son carré : $4{,}2$."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $14 = 20 \\times 0{,}7 = n(1-p)$ est l'espérance du\nnombre d'**échecs**. La variance vaut $np(1-p)$."
        }
      ],
      "explanation": "$V(X) = np(1-p)$ pour une binomiale (démonstration au\nprogramme via la somme de $n$ Bernoulli indépendantes). Ici\n$20 \\times 0{,}3 \\times 0{,}7 = 4{,}2$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arbre",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Chemins dans l'arbre",
      "statement": "On représente un schéma de Bernoulli à $n = 3$ épreuves par un\narbre. Combien de chemins réalisent exactement $2$ succès ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{3}{2} = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un chemin est déterminé par les positions\ndes succès : SSE, SES, ESS, soit $\\binom{3}{2} = 3$\nchemins."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ne confonds pas le **nombre de succès** ($2$) avec\nle nombre de chemins qui le réalisent ($\\binom{3}{2} = 3$)."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^3 = 8$ est le nombre **total** de chemins de\nl'arbre. Seuls $3$ d'entre eux comptent exactement deux\nsuccès."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 = 3!$ ordonnerait trois objets distincts. Ici\nles deux succès sont interchangeables : $\\binom{3}{2} = 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, les chemins à $k$ succès\nparmi $n$ épreuves sont au nombre de $\\binom{n}{k}$ : c'est\nexactement l'origine du coefficient dans la formule\nbinomiale."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complementaire"
      ],
      "title": "Passer par l'événement contraire",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(4\\,;\\,0{,}5)$. Que vaut\n$P(X \\geq 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire de\n« au moins un succès » est « aucun succès » :\n$P(X \\geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n = 1 - 0{,}5^4$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5^4 = 0{,}0625$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5^4 = P(X = 0)$, la probabilité de\nl'événement **contraire**. Il faut la retrancher de $1$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un succès sur **une**\népreuve. Sur quatre épreuves, obtenir au moins un succès\nest bien plus probable : $0{,}9375$."
        },
        {
          "text": "$4 \\times 0{,}5 = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$ ($2$ est\nici l'espérance $np$). Le bon chemin passe par le\ncomplémentaire."
        }
      ],
      "explanation": "Réflexe « au moins un » : passer au contraire.\n$P(X \\geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$. Ici\n$1 - 0{,}0625 = 0{,}9375$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "cumul",
        "calculatrice"
      ],
      "title": "Écrire $P(X \\geq 8)$ pour la calculatrice",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(10\\,;\\,0{,}9)$. La calculatrice ne\nfournit que les probabilités cumulées $P(X \\leq k)$. Quelle\nécriture donne $P(X \\geq 8)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1 - P(X \\leq 7)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le contraire de « $X \\geq 8$ » est\n« $X \\leq 7$ » (variable à valeurs entières). D'où\n$P(X \\geq 8) = 1 - P(X \\leq 7)$."
        },
        {
          "text": "$1 - P(X \\leq 8)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de borne classique : $1 - P(X \\leq 8) =\nP(X \\geq 9)$, ce qui **exclut** la valeur $8$. Le contraire\nde $X \\geq 8$ s'arrête à $7$."
        },
        {
          "text": "$P(X \\leq 8)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $P(X \\leq 8)$ cumule les valeurs\n**jusqu'à** $8$, alors qu'on veut celles à partir de $8$."
        },
        {
          "text": "$P(X = 8)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $X \\geq 8$ regroupe les valeurs $8$, $9$ et\n$10$ ; il manque $P(X = 9)$ et $P(X = 10)$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une variable entière : $P(X \\geq k) = 1 - P(X \\leq k-1)$.\nL'erreur de borne (utiliser $k$ au lieu de $k-1$) est le piège\nle plus fréquent des calculs binomiaux à la calculatrice."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modelisation",
        "independance"
      ],
      "title": "Avec ou sans remise",
      "statement": "Une urne contient $10$ boules dont $3$ gagnantes. On tire $5$\nboules et on note $X$ le nombre de boules gagnantes. Dans quel\ncas $X$ suit-il exactement une loi binomiale ?",
      "options": [
        {
          "text": "Si les tirages se font **avec remise**",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage est une épreuve\nidentique ($p = 0{,}3$) et indépendante des autres :\n$X \\sim \\mathcal{B}(5\\,;\\,0{,}3)$."
        },
        {
          "text": "Si les tirages se font **sans remise**",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sans remise, la composition de l'urne change à\nchaque tirage : le paramètre $p$ n'est plus constant et les\népreuves ne sont plus indépendantes."
        },
        {
          "text": "Dans les deux cas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le mode de tirage est décisif. La binomiale exige\ndes épreuves identiques et indépendantes, ce que seule la\nremise garantit."
        },
        {
          "text": "Dans aucun cas, car l'urne contient moins de boules\ngagnantes que de tirages",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec remise, on peut retomber sur les mêmes boules\ngagnantes ; rien n'empêche $X = 5$. Le modèle binomial\ns'applique parfaitement."
        }
      ],
      "explanation": "Le critère de la binomiale est l'**indépendance** des\nrépétitions avec un $p$ constant : tirages avec remise (ou\nsituations assimilées). Sans remise, le modèle change."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation"
      ],
      "title": "Modéliser un QCM au hasard",
      "statement": "Un QCM comporte $7$ questions ; chacune propose $4$ options\ndont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au\nhasard. Quelle est la loi du nombre $X$ de bonnes réponses ?",
      "options": [
        {
          "text": "$X \\sim \\mathcal{B}\\!\\left(7\\,;\\,\\dfrac{1}{4}\\right)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $7$ épreuves identiques et indépendantes,\nsuccès = bonne réponse de probabilité $\\dfrac{1}{4}$.\nEspérance : $7/4 = 1{,}75$ bonne réponse en moyenne."
        },
        {
          "text": "$X \\sim \\mathcal{B}\\!\\left(7\\,;\\,\\dfrac{3}{4}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{4}$ est la probabilité d'une réponse\n**fausse**. Le succès compté par $X$ est la bonne réponse :\n$p = \\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$X \\sim \\mathcal{B}\\!\\left(4\\,;\\,\\dfrac{1}{7}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Paramètres croisés : $n$ est le nombre de **répétitions**\n($7$ questions) et $p$ la probabilité de succès à chacune\n($1/4$)."
        },
        {
          "text": "$X \\sim \\mathcal{B}\\!\\left(28\\,;\\,\\dfrac{1}{4}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $28 = 7 \\times 4$ compte les options, pas les\népreuves. Chaque **question** est une épreuve : $n = 7$."
        }
      ],
      "explanation": "Modélisation : chaque question est une épreuve de Bernoulli de\nparamètre $p = \\frac{1}{4}$, répétée $7$ fois de façon\nindépendante. $X \\sim \\mathcal{B}(7\\,;\\,1/4)$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "esperance",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Interpréter l'espérance",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(100\\,;\\,0{,}4)$, donc $E(X) = 40$.\nQuelle interprétation est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sur un grand nombre de répétitions de l'expérience\ncomplète, le nombre de succès vaut **en moyenne** environ\n$40$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance est une moyenne en tendance\n(loi des grands nombres), pas une garantie sur une\nréalisation donnée."
        },
        {
          "text": "À chaque expérience, $X$ vaut exactement $40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $X$ fluctue autour de $40$ (écart-type\n$\\sqrt{24} \\approx 4{,}9$). Observer $35$ ou $46$ n'a rien\nd'anormal."
        },
        {
          "text": "$P(X = 40)$ vaut environ $0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la probabilité de la valeur exacte $40$ est\nd'environ $0{,}08$ seulement. L'espérance ne se lit pas\ncomme une probabilité."
        },
        {
          "text": "Il est impossible d'obtenir plus de $40$ succès",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $X$ peut prendre toute valeur de $0$ à $100$ ;\n$40$ n'est qu'un centre de gravité, pas un plafond."
        }
      ],
      "explanation": "$E(X)$ est la valeur moyenne du nombre de succès sur un grand\nnombre de répétitions de l'expérience. Les réalisations\nindividuelles fluctuent autour d'elle, d'autant moins (en\nproportion) que $n$ est grand."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "probabilite-zero-succes"
      ],
      "title": "Aucun succès",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p =\n0{,}2$. Que vaut $P(X = 0)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}8^3 = 0{,}512$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : zéro succès = trois échecs consécutifs,\nchacun de probabilité $0{,}8$, indépendants : $0{,}8^3$\n(et $\\binom{3}{0} = 1$ ne change rien)."
        },
        {
          "text": "$0{,}2^3 = 0{,}008$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : $0{,}2^3$ est $P(X = 3)$ (trois **succès**).\nAucun succès s'écrit avec la probabilité d'échec\n$0{,}8$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « aucun succès » est un événement tout à fait\npossible (plus d'une chance sur deux ici !), pas un\névénement impossible."
        },
        {
          "text": "$1 - 0{,}2 = 0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance manquante : $0{,}8$ est l'échec sur UNE\népreuve ; il en faut trois de suite : $0{,}8^3$."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X = 0) = (1 - p)^n$ : le cas particulier le plus utile de\nla formule binomiale, porte d'entrée du calcul de $P(X \\geq\n1) = 1 - (1-p)^n$."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ecart-type"
      ],
      "title": "Écart-type d'une binomiale",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p =\n0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sigma(X) = \\sqrt{100 \\times 0{,}5 \\times 0{,}5} = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 25$, puis racine\ncarrée : $\\sigma = 5$. Sur $100$ lancers équilibrés,\nl'écart typique autour de $50$ est $5$."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(X) = 25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $25$ est la **variance** ; l'écart-type\nen est la racine carrée."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(X) = 50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $50 = np$ est l'**espérance**, le centre de\nla distribution ; l'écart-type mesure la dispersion\nautour de ce centre."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(X) = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 = \\sqrt{100}$ néglige le facteur $p(1-p) =\n0{,}25$ : la racine porte sur le produit complet."
        }
      ],
      "explanation": "Binomiale : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\\sigma =\n\\sqrt{np(1-p)}$. L'ordre de grandeur $\\sigma \\approx\n\\frac{\\sqrt{n}}{2}$ (pour $p = 0{,}5$) nourrit l'intuition\ndes fluctuations d'échantillonnage."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul-cumule"
      ],
      "title": "Calculer $P(X \\leq 1)$",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =\n0{,}5$. Que vaut $P(X \\leq 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(X = 0) + P(X = 1) = \\dfrac{1}{16} + \\dfrac{4}{16} =\n\\dfrac{5}{16}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux termes : $\\binom{4}{0}(0{,}5)^4 =\n\\frac{1}{16}$ et $\\binom{4}{1}(0{,}5)^4 = \\frac{4}{16}$ :\nl'événement « au plus un succès » se découpe en $\\{0\\}$\net $\\{1\\}$."
        },
        {
          "text": "$P(X = 1) = \\dfrac{4}{16}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Cas $X = 0$ oublié : « au plus $1$ » inclut zéro\nsuccès : les deux termes s'ajoutent."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$, par symétrie",
          "correct": false,
          "feedback": "Symétrie mal placée : la symétrie de $p = 0{,}5$ relie\n$P(X \\leq 1)$ et $P(X \\geq 3)$ (chacune $\\frac{5}{16}$),\nmais le point médian est $X = 2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{16}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficients oubliés : les $\\binom{4}{k}$ comptent les\nchemins : $1$ chemin pour zéro succès, $4$ pour un\nsuccès : $\\frac{5}{16}$."
        }
      ],
      "explanation": "Probabilité cumulée = somme des $P(X = k)$ concernés. Avec\n$p = 0{,}5$, tout se lit sur le triangle de Pascal : ligne\n$1, 4, 6, 4, 1$ sur $2^4 = 16$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conditions-modele"
      ],
      "title": "Quand le modèle binomial échoue",
      "statement": "On lance un dé jusqu'à obtenir le premier six, et on compte\nles lancers nécessaires. Pourquoi ce nombre ne suit-il PAS\nune loi binomiale ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce que le nombre d'épreuves n'est pas fixé à\nl'avance : on s'arrête au premier succès",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la binomiale exige un nombre $n$\nd'épreuves **déterminé avant l'expérience** ; ici la\ndurée est aléatoire (c'est le territoire de la loi\ngéométrique, vue en maths complémentaires)."
        },
        {
          "text": "Parce qu'un dé n'est pas une épreuve de Bernoulli",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « six ou pas six » est exactement une épreuve\nde Bernoulli ($p = \\frac{1}{6}$) : le problème est\nailleurs (le nombre d'épreuves)."
        },
        {
          "text": "Parce que les lancers ne sont pas indépendants",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les lancers d'un dé sont indépendants : la\ncondition qui manque est le **nombre fixé** de\nrépétitions."
        },
        {
          "text": "Mais si : tout comptage suit une loi binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la binomiale compte les succès sur $n$ épreuves\n**fixées** : compter l'attente du premier succès est un\ntout autre objet."
        }
      ],
      "explanation": "Points de contrôle du modèle binomial : 1) $n$ fixé à\nl'avance ; 2) épreuves identiques et indépendantes ; 3) deux\nissues par épreuve ; 4) on compte les succès. Le moindre\nmanquement (arrêt au premier succès, tirage sans remise…)\ncasse le modèle."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "symetrie"
      ],
      "title": "Symétrie de la binomiale équilibrée",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p =\n0{,}5$. Quelle égalité traduit la symétrie de cette loi ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(X = k) = P(X = 10 - k)$ pour tout $k$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et\néchecs ne change rien : $3$ succès et $7$ succès sont\néquiprobables : histogramme en miroir autour de $5$."
        },
        {
          "text": "$P(X = k) = P(X = k + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités varient avec $k$ (maximum au\ncentre, faibles aux bords) : la symétrie est un miroir,\npas un plateau."
        },
        {
          "text": "$P(X = k) = \\dfrac{1}{11}$ pour tout $k$",
          "correct": false,
          "feedback": "Loi uniforme imaginée : les $\\binom{10}{k}$ pèsent\ndifféremment chaque valeur : $P(X = 5) = \\frac{252}{1024}\n\\gg P(X = 0) = \\frac{1}{1024}$."
        },
        {
          "text": "$P(X = k) = 1 - P(X = 10 - k)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le miroir égalise les probabilités, il ne les\nrend pas complémentaires (leur somme n'a aucune raison\nde valoir $1$)."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $p = 0{,}5$ : $P(X = k) = \\binom{n}{k}(0{,}5)^n$, et\n$\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}$ : symétrie parfaite autour\nde $\\frac{n}{2}$. Pour $p \\neq 0{,}5$, l'histogramme penche\ndu côté le plus probable."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "esperance-modelisation"
      ],
      "title": "Espérance et gain moyen",
      "statement": "Un jeu se répète $50$ fois : chaque partie est gagnée avec\nla probabilité $0{,}3$ et rapporte alors $2$ euros (sinon\nrien). Quel gain total moyen peut-on espérer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$30$ euros : $E(X) = 50 \\times 0{,}3 = 15$ parties\ngagnées en moyenne, à $2$ euros chacune",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X$ (nombre de victoires) suit la\nbinomiale $(50\\ ;\\ 0{,}3)$ : $E(X) = 15$ ; le gain vaut\n$2X$, d'espérance $2 \\times 15 = 30$ euros."
        },
        {
          "text": "$100$ euros : $50 \\times 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rêve de victoire totale : $100$ euros supposerait\n**toutes** les parties gagnées ; en moyenne, seules\n$30\\ \\%$ le sont."
        },
        {
          "text": "$15$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Gain unitaire oublié : $15$ est le nombre moyen de\n**parties gagnées** ; chacune rapporte $2$ euros :\n$30$ euros."
        },
        {
          "text": "Impossible à prévoir : le jeu est aléatoire",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion prévision/moyenne : le résultat d'UNE série\nest imprévisible, mais l'espérance ($30$ euros) décrit\nla moyenne sur un grand nombre de séries : c'est\nexactement son rôle."
        }
      ],
      "explanation": "Chaîne de modélisation : reconnaître la binomiale, $E(X) =\nnp$, puis linéarité $E(2X) = 2E(X)$. L'espérance s'interprète\ncomme moyenne de long terme : la boussole des décisions\nrépétées."
    }
  ]
}