{
  "chapter": {
    "id": "sommes-variables-aleatoires",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Probabilités",
    "title": "Sommes de variables aléatoires",
    "description": "Linéarité de l'espérance ($E(X+Y)$, $E(aX)$), additivité de la\nvariance pour des variables indépendantes, $V(aX) = a^2 V(X)$,\néchantillon d'une loi : espérance, variance et écart-type de la\nsomme $S_n$ et de la moyenne $M_n$, décomposition d'une binomiale\nen somme de variables de Bernoulli.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "linearite",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'une somme",
      "statement": "Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et\n$E(Y) = 5$. Que vaut $E(X + Y)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$, sans hypothèse supplémentaire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la linéarité de l'espérance,\n$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$, vaut **toujours**, indépendance ou\nnon."
        },
        {
          "text": "$8$, mais seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège : l'indépendance est nécessaire pour additionner les\n**variances**, pas les espérances. La linéarité de\nl'espérance est inconditionnelle."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $15 = 3 \\times 5$ serait un produit. La somme des\nvariables donne la somme des espérances : $3 + 5 = 8$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans connaître les lois de $X$ et $Y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la force de la linéarité, elle conclut sans\nconnaître les lois ni le lien entre les variables."
        }
      ],
      "explanation": "Linéarité de l'espérance : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et\n$E(aX) = a\\,E(X)$, **sans aucune hypothèse d'indépendance**.\nC'est l'outil le plus puissant du chapitre."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "linearite",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance de $aX$",
      "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X) = 2$. Que vaut\n$E(3X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(aX) = a\\,E(X) = 3 \\times 2 = 6$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier la variable par $3$ multiplie aussi sa\nvaleur moyenne par $3$."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $18 = 3^2 \\times 2$ applique la règle de la\n**variance** ($V(aX) = a^2V(X)$). Pour l'espérance, le\nfacteur sort sans être élevé au carré."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 + 2$ additionne le coefficient et l'espérance.\nLa règle est multiplicative : $E(3X) = 3E(X)$."
        }
      ],
      "explanation": "$E(aX) = a\\,E(X)$ : un facteur constant sort tel quel de\nl'espérance (contrairement à la variance, où il sort au\ncarré)."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance"
      ],
      "title": "Variance de $aX$",
      "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire avec $V(X) = 2$. Que vaut\n$V(3X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$18$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2\\,V(X) = 9 \\times 2 = 18$. La\nvariance est une moyenne de **carrés** d'écarts : le\nfacteur sort au carré."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur très fréquente : $3V(X)$ applique la règle de\nl'espérance. Les écarts sont multipliés par $3$, donc leurs\n**carrés** par $9$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier la variable dilate sa dispersion. La\nvariance est multipliée par $a^2 = 9$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12 = 6 \\times 2$ ne correspond à aucune règle.\nLa formule exacte est $V(aX) = a^2V(X) = 18$."
        }
      ],
      "explanation": "$V(aX) = a^2\\,V(X)$ (et donc $\\sigma(aX) = |a|\\,\\sigma(X)$).\nMoyen mémo : la variance s'exprime en unités **au carré**, le\nfacteur y entre au carré."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance",
        "independance"
      ],
      "title": "Additivité de la variance",
      "statement": "Sous quelle hypothèse a-t-on $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'additivité de la variance exige\nl'indépendance (dans le programme, celle du cadre de la\nsuccession d'épreuves indépendantes)."
        },
        {
          "text": "Toujours, comme pour l'espérance",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : contre-exemple, $Y = -X$ (avec $V(X) > 0$) :\n$V(X + Y) = V(0) = 0$ alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$."
        },
        {
          "text": "Lorsque $X$ et $Y$ ont la même loi",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : même loi ne veut pas dire indépendantes. $X$ et\n$-X$... ou encore $Y = X$ : $V(2X) = 4V(X) \\neq 2V(X)$."
        },
        {
          "text": "Lorsque $E(X) = E(Y) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le centrage ne remplace pas l'indépendance.\n$Y = -X$ centrée fournit encore le contre-exemple."
        }
      ],
      "explanation": "$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ **si $X$ et $Y$ sont indépendantes**.\nSans indépendance, les fluctuations peuvent se compenser\n($Y = -X$) ou se renforcer ($Y = X$)."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance",
        "calcul"
      ],
      "title": "Variance d'une différence",
      "statement": "Soient $X$ et $Y$ indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 1$.\nQue vaut $V(X - Y)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X - Y = X + (-1)Y$, donc\n$V(X - Y) = V(X) + (-1)^2 V(Y) = 4 + 1 = 5$. Les variances\ns'**ajoutent**, même pour une différence."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège classique : on ne soustrait pas les variances.\nSoustraire une variable ajoute de l'aléa autant que\nl'ajouter : $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme $V(Y)$ ne disparaît pas ; $-Y$ fluctue\nexactement autant que $Y$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{17}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun passage à la racine ici (tu penses à\nl'écart-type ?). $V(X - Y) = 4 + 1 = 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $X, Y$ indépendantes :\n$V(X - Y) = V(X) + (-1)^2V(Y) = V(X) + V(Y)$. Une variance ne\npeut jamais décroître en ajoutant du hasard indépendant, quel\nque soit le signe."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "echantillon",
        "ecart-type"
      ],
      "title": "Écart-type de la moyenne d'échantillon",
      "statement": "Soit un échantillon de taille $n = 100$ d'une variable\nd'écart-type $\\sigma = 5$, et $M_n$ la moyenne de\nl'échantillon. Que vaut $\\sigma(M_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{\\sqrt{100}} = 0{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$ donc\n$\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}} =\n\\dfrac{5}{10}$. Le fameux facteur $\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : moyenner **réduit** la dispersion. Chaque\nobservation a un écart-type de $5$, mais leur moyenne\nfluctue dix fois moins."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{100} = 0{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la **variance** qui se divise par $n$.\nL'écart-type, sa racine, se divise par $\\sqrt{n} = 10$."
        },
        {
          "text": "$50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $50 = 5\\sqrt{100}$ est l'écart-type de la\n**somme** $S_n$, pas de la moyenne. Diviser par $n$ ramène\nà $0{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "Formules d'échantillon : $\\sigma(S_n) = \\sigma\\sqrt{n}$ et\n$\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. C'est ce facteur\n$\\frac{1}{\\sqrt{n}}$ qui fonde la précision croissante des\nsondages et mesures répétées."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "echantillon",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'une somme d'échantillon",
      "statement": "Soit $S_n = X_1 + \\cdots + X_{50}$ la somme d'un échantillon de\ntaille $50$ d'une variable d'espérance $\\mu = 2$. Que vaut\n$E(S_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$100$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, $E(S_n) = n\\mu = 50 \\times 2\n= 100$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est l'espérance d'**une** observation (et\ncelle de la moyenne $M_n$). La somme de $50$ observations a\npour espérance $50 \\times 2$."
        },
        {
          "text": "$52$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $50 + 2$ additionne des objets de natures\ndifférentes. La règle est multiplicative : $n\\mu = 100$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $50/2$ ne correspond à aucune formule. $E(S_n) =\nn\\mu = 100$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un échantillon $(X_1, \\ldots, X_n)$ d'une loi d'espérance\n$\\mu$ : $E(S_n) = n\\mu$ (linéarité) et $E(M_n) = \\mu$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bernoulli",
        "decomposition"
      ],
      "title": "Une binomiale comme somme",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$. Comment retrouve-t-on la\nformule $V(X) = np(1-p)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "En écrivant $X$ comme somme de $n$ variables de Bernoulli\nindépendantes, chacune de variance $p(1-p)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X = X_1 + \\cdots + X_n$ avec $X_i$ de\nBernoulli indépendantes ; l'additivité des variances donne\n$n \\times p(1-p)$."
        },
        {
          "text": "En calculant directement $E(X^2)$ par la formule binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce calcul direct existe mais il est lourd ; la méthode du\nprogramme passe par la **décomposition en somme** et\nl'additivité des variances : c'est tout son intérêt."
        },
        {
          "text": "En dérivant l'espérance $np$ par rapport à $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver une espérance n'a pas de sens probabiliste\nici. Le lien correct passe par la somme de Bernoulli\nindépendantes."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas : cette formule est admise sans justification",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la démonstration est explicitement au programme,\nvia la décomposition en somme de variables de Bernoulli."
        }
      ],
      "explanation": "Décomposition fondamentale : $\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ est la loi\nde $X_1 + \\cdots + X_n$, où les $X_i$ sont des Bernoulli\nindépendantes. Espérances : $n \\times p$ ; variances\n(indépendance) : $n \\times p(1-p)$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "echantillon",
        "concentration"
      ],
      "title": "Effet de la taille d'échantillon",
      "statement": "On multiplie par $4$ la taille $n$ d'un échantillon. Que\ndevient la variance de la moyenne $M_n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est divisée par $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$ : quadrupler $n$\ndivise la variance de la moyenne par $4$ (et son écart-type\npar $2$)."
        },
        {
          "text": "Elle est divisée par $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'**écart-type** qui est divisé par\n$\\sqrt{4} = 2$. La variance, elle, suit $\\frac{V}{n}$ :\ndivision par $4$."
        },
        {
          "text": "Elle est divisée par $16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16$ appliquerait un carré de trop. $V(M_n)$ est\nproportionnelle à $\\dfrac{1}{n}$ : facteur $4$, pas $16$."
        },
        {
          "text": "Elle ne change pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'espérance $E(M_n) = \\mu$ qui est\ninsensible à $n$. La dispersion de la moyenne, elle, fond\nquand l'échantillon grandit."
        }
      ],
      "explanation": "$V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$ : la moyenne d'un échantillon se\nconcentre autour de $\\mu$ à mesure que $n$ croît. En pratique :\npour diviser l'incertitude (écart-type) par $2$, il faut\n**quadrupler** l'échantillon."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "echantillon",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance de la moyenne d'échantillon",
      "statement": "Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une\nvariable d'espérance $\\mu$. Que vaut $E(M_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\mu$, quelle que soit la taille $n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(M_n) = \\dfrac{1}{n}E(S_n) =\n\\dfrac{n\\mu}{n} = \\mu$. La moyenne d'échantillon vise juste\nen moyenne, pour tout $n$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\mu}{n}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division par $n$ est déjà incluse dans la\ndéfinition de $M_n$ ; elle compense exactement la somme des\n$n$ espérances."
        },
        {
          "text": "$n\\mu$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n\\mu$ est l'espérance de la **somme** $S_n$. La\nmoyenne divise par $n$ : $E(M_n) = \\mu$."
        },
        {
          "text": "Cela dépend de la variance de la loi",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la variance règle la **dispersion** de $M_n$\nautour de $\\mu$, pas sa valeur moyenne, qui vaut toujours\n$\\mu$."
        }
      ],
      "explanation": "$E(M_n) = \\mu$ : la taille de l'échantillon n'affecte que la\n**précision** ($V(M_n) = V/n$), pas le centre. C'est le point\nde départ de l'estimation statistique."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "linearite",
        "piege"
      ],
      "title": "Quelle égalité est toujours vraie ?",
      "statement": "Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires **quelconques**\n(pas nécessairement indépendantes). Laquelle de ces égalités\nest toujours vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la linéarité de l'espérance ne demande\naucune hypothèse. Les trois autres égalités exigent\nl'indépendance, et peuvent être fausses sans elle."
        },
        {
          "text": "$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : vraie **seulement** sous indépendance.\nContre-exemple : $Y = -X$ donne $V(X+Y) = 0$."
        },
        {
          "text": "$E(XY) = E(X)\\,E(Y)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette relation exige l'indépendance (et n'est\nd'ailleurs pas un attendu du programme). Avec $Y = X$ :\n$E(X^2) \\neq E(X)^2$ dès que $V(X) > 0$."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(X + Y) = \\sigma(X) + \\sigma(Y)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les écarts-types ne s'additionnent jamais tels\nquels (même sous indépendance, ce sont les **variances**\nqui s'ajoutent : $\\sigma(X+Y) = \\sqrt{\\sigma_X^2 +\n\\sigma_Y^2}$)."
        }
      ],
      "explanation": "À classer une fois pour toutes : l'espérance est linéaire sans\ncondition ; l'additivité concerne les **variances** et demande\nl'indépendance ; les écarts-types, eux, ne s'additionnent\npas."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "application",
        "calcul"
      ],
      "title": "Somme de deux dés",
      "statement": "On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $S$ la\nsomme des résultats. Sachant que l'espérance d'un dé vaut\n$3{,}5$, que vaut $E(S)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 =\n7$, par linéarité, sans même détailler la loi de $S$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est le maximum d'**un** dé. La somme de deux\ndés est centrée sur $3{,}5 + 3{,}5 = 7$."
        },
        {
          "text": "$3{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3{,}5$ est l'espérance d'un seul dé (ou de la\n**moyenne** des deux). La somme double : $7$."
        },
        {
          "text": "$12{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3{,}5^2$ multiplierait les espérances, ce qui\ncorrespondrait à un produit de variables. Pour une somme,\non additionne : $7$."
        }
      ],
      "explanation": "Toute la puissance de la linéarité : $E(S) = 2 \\times 3{,}5 =\n7$ sans calculer la loi de la somme (qui, elle, demanderait le\ntableau des 36 issues)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "translation-esperance"
      ],
      "title": "Espérance de $X + b$",
      "statement": "$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 10$. Que\nvaut $E(X + 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ajouter $5$ à toutes les valeurs décale\nla moyenne de $5$ : $E(X + b) = E(X) + b$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la **variance** qui ignore les\ntranslations ; la moyenne, elle, suit le décalage."
        },
        {
          "text": "$50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplication indue : $50 = 5 \\times E(X)$ correspond à\n$E(5X)$ : ici on **ajoute** $5$, on ne multiplie pas."
        },
        {
          "text": "Impossible sans connaître la loi de $X$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la linéarité de l'espérance opère sans jamais\nconnaître la loi : c'est toute sa puissance."
        }
      ],
      "explanation": "$E(aX + b) = aE(X) + b$ : l'espérance suit les\ntransformations affines. Décaler les valeurs décale la\nmoyenne, dilater les valeurs dilate la moyenne."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "translation-variance"
      ],
      "title": "Variance de $X + 5$",
      "statement": "$X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut $V(X + 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$ : une translation ne change pas la dispersion",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ajouter $5$ déplace toutes les valeurs\ndu même pas : les écarts à la moyenne, eux, ne bougent\npas d'un millimètre : $V(X + b) = V(X)$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $+5$ ne s'ajoute pas à la variance : il\nglisse le paquet entier sans l'étaler."
        },
        {
          "text": "$100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $100 = 5^2 \\times 4$ correspond à $V(5X)$\n(dilatation) : ici c'est une translation, neutre pour la\nvariance."
        },
        {
          "text": "$4 + 25 = 29$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25 = 5^2$ n'a rien à faire ici : la constante\n$b$ disparaît totalement de la variance."
        }
      ],
      "explanation": "$V(aX + b) = a^2V(X)$ : la constante $b$ s'évapore\n(translation), le facteur $a$ ressort **au carré**\n(dilatation). Contraste avec l'espérance, qui garde les\ndeux."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance-difference"
      ],
      "title": "Espérance d'une différence",
      "statement": "$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires avec $E(X) = 8$\net $E(Y) = 3$. Que vaut $E(X - Y)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : linéarité : $E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 8\n- 3 = 5$, indépendance ou pas."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $11$ est $E(X + Y)$ : la différence soustrait\nles espérances."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $24 = 8 \\times 3$ évoquerait un **produit**\n(et $E(XY) = E(X)E(Y)$ exige d'ailleurs\nl'indépendance) : la différence reste additive."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans l'indépendance de $X$ et $Y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la linéarité de l'espérance vaut TOUJOURS,\ndépendantes ou pas : c'est la variance qui réclame\nl'indépendance."
        }
      ],
      "explanation": "$E(X \\pm Y) = E(X) \\pm E(Y)$, sans aucune hypothèse : la\nlinéarité est inconditionnelle. Le réflexe « il faut\nl'indépendance » ne concerne que $V(X + Y)$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance-oppose"
      ],
      "title": "Variance de $-X$",
      "statement": "$X$ a pour variance $V(X) = 9$. Que vaut $V(-X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2V(X)$ avec $a = -1$ :\n$(-1)^2 = 1$ : retourner les valeurs retourne le paquet\nsans changer son étalement."
        },
        {
          "text": "$-9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une variance est une moyenne de **carrés**\nd'écarts : jamais négative, quelle que soit la\ntransformation."
        },
        {
          "text": "$81$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $81 = 9^2$ élèverait la variance au carré :\nla règle met au carré le **coefficient** $a = -1$, pas\nla variance."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-X$ reste aléatoire : sa dispersion est\nintacte : seul le signe des valeurs a basculé."
        }
      ],
      "explanation": "$V(-X) = V(X)$ et $\\sigma(-X) = \\sigma(X)$ : la dispersion\nignore l'orientation. Corollaire pratique : $V(X - Y) =\nV(X) + V(Y)$ pour des variables indépendantes : le moins\ndevient plus !"
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ecart-type-somme"
      ],
      "title": "Écart-type d'une somme",
      "statement": "$X$ et $Y$ sont **indépendantes**, avec $\\sigma(X) = 3$ et\n$\\sigma(Y) = 4$. Que vaut $\\sigma(X + Y)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$ : on additionne les variances ($9 + 16 = 25$), puis\nracine",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les **variances** s'ajoutent\n(indépendance), pas les écarts-types : $\\sigma(X+Y) =\n\\sqrt{9 + 16} = 5$ : le triangle $3$-$4$-$5$ des\nprobabilités."
        },
        {
          "text": "$7$ : la somme des écarts-types",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur ciblée : les écarts-types ne s'additionnent\nJAMAIS : l'additivité passe par les variances : $\\sqrt{9\n+ 16} = 5 < 7$ : les fluctuations se compensent\npartiellement."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Étape manquante : $25$ est la **variance** de la somme ;\nl'écart-type en est la racine : $5$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12 = 3 \\times 4$ ne correspond à aucune\nrègle : additivité des variances, puis racine."
        }
      ],
      "explanation": "Indépendance : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$, donc $\\sigma(X+Y) =\n\\sqrt{\\sigma(X)^2 + \\sigma(Y)^2}$ : une addition « à la\nPythagore ». Conséquence célèbre : $n$ sources de bruit\nindépendantes cumulent en $\\sqrt{n}$, pas en $n$."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "additivite-condition"
      ],
      "title": "Quand la variance est-elle additive ?",
      "statement": "L'égalité $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ est-elle toujours\nvraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : elle exige l'indépendance de $X$ et $Y$\n(contre-exemple : $Y = -X$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $Y = -X$ : $X + Y = 0$, variance\nnulle, alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : sans\nindépendance, les fluctuations peuvent s'annuler ou se\nrenforcer."
        },
        {
          "text": "Oui : la variance est linéaire comme l'espérance",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : la variance n'est PAS linéaire ($V(aX) = a^2V$,\ndéjà). Son additivité est un privilège de\nl'**indépendance**."
        },
        {
          "text": "Non : elle n'est jamais vraie, c'est une approximation",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop sévère : pour des variables indépendantes,\nl'égalité est exacte (théorème du cours) : c'est le cas\ndes tirages répétés."
        },
        {
          "text": "Oui, dès que $X$ et $Y$ ont la même loi",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : même loi n'est pas indépendance : $Y = -X$ a la\nmême loi que $X$ (si $X$ est symétrique) et l'égalité\néchoue."
        }
      ],
      "explanation": "$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ : toujours. $V(X + Y) = V(X) +\nV(Y)$ : **seulement si indépendance**. Ce contraste est LA\nnuance du chapitre : l'énoncer précisément vaut des points,\nl'oublier en coûte."
    }
  ]
}