{ "chapter": { "id": "suites-et-limites", "level": "terminale-specialite", "theme": "Analyse", "title": "Suites et limites", "description": "Limite d'une suite : définitions, limites usuelles ($q^n$,\npuissances de $n$), opérations et formes indéterminées, théorèmes de\ncomparaison et d'encadrement, suites monotones (convergence des\nsuites croissantes majorées), raisonnement par récurrence, suites\narithmético-géométriques.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "limites-usuelles" ], "title": "Limite de $q^n$ pour $0 < q < 1$", "statement": "Soit $q$ un réel tel que $0 < q < 1$. Quelle est la limite de la\nsuite $(q^n)$ quand $n$ tend vers $+\\infty$ ?", "options": [ { "text": "$0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : multiplier sans fin par un facteur\nstrictement compris entre $0$ et $1$ écrase les valeurs vers\n$0$. Exemple : $(0{,}5)^n$ vaut $0{,}5$ ; $0{,}25$ ;\n$0{,}125$ ; etc." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $q^n \\to +\\infty$ demande $q > 1$. Ici chaque\nmultiplication **réduit** la valeur." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la suite part de $q^0 = 1$ mais s'en éloigne\naussitôt en décroissant vers $0$. La valeur initiale n'est\npas la limite." }, { "text": "$q$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $q$ n'est que le premier terme non trivial\n($q^1$). Les puissances suivantes continuent de diminuer\nvers $0$." } ], "explanation": "Limites de référence de $(q^n)$ : si $-1 < q < 1$, la limite est\n$0$ ; si $q > 1$, c'est $+\\infty$ ; si $q = 1$, la suite est\nconstante égale à $1$ ; si $q \\leq -1$, pas de limite." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "limite-infinie" ], "title": "Définition de $\\lim u_n = +\\infty$", "statement": "Que signifie « la suite $(u_n)$ tend vers $+\\infty$ » ?", "options": [ { "text": "Tout intervalle $[A\\,;\\,+\\infty[$ contient tous les termes\n$u_n$ à partir d'un certain rang", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est la définition officielle. Aussi grand\nque soit le seuil $A$, la suite finit par le dépasser\n**définitivement**." }, { "text": "La suite est croissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite peut être croissante et converger (par\nexemple $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n}$ tend vers $1$), et une\nsuite peut tendre vers $+\\infty$ sans être croissante." }, { "text": "Les termes deviennent de plus en plus grands", "correct": false, "feedback": "Trop vague : « de plus en plus grands » décrit une\ncroissance, pas un dépassement de **tout** seuil. La\ndéfinition exige que chaque seuil $A$ soit franchi pour de\nbon." }, { "text": "Il existe un terme $u_n$ plus grand que n'importe quel réel", "correct": false, "feedback": "Erreur de quantificateurs : aucun terme fixé n'est infini.\nC'est pour **chaque** seuil $A$ qu'il existe un rang à\npartir duquel tous les termes dépassent $A$." } ], "explanation": "$\\lim u_n = +\\infty$ : pour tout réel $A$, l'intervalle\n$[A\\,;\\,+\\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir\nd'un certain rang. L'ordre des quantificateurs est essentiel." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "calcul", "operations" ], "title": "Limite d'un quotient de polynômes en $n$", "statement": "Quelle est la limite de la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$ ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $n^2$ en haut et en bas,\n$u_n = \\dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2} \\to \\dfrac{2}{1} = 2$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $+\\infty$, mais le\ndénominateur aussi. C'est une forme indéterminée\n$\\infty/\\infty$ qu'il faut lever en factorisant par $n^2$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ont le **même degré**,\nla limite est le quotient des coefficients dominants\n($2/1$), pas $0$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ est le quotient des termes\nconstants, qui deviennent négligeables. Ce sont les termes\nen $n^2$ qui dominent." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, on factorise par la plus\nhaute puissance : $u_n = \\dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2}$. Comme\n$1/n^2 \\to 0$, la limite vaut $2$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "formes-indeterminees" ], "title": "Reconnaître une forme indéterminée", "statement": "Parmi les situations suivantes, laquelle est une **forme\nindéterminée** ?", "options": [ { "text": "$\\lim u_n = +\\infty$ et $\\lim v_n = -\\infty$, on cherche\n$\\lim (u_n + v_n)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : « $\\infty - \\infty$ » est indéterminée. Selon\nles suites, le résultat peut être fini, infini ou ne pas\nexister (exemples : $n$ et $-n$ ; $n^2$ et $-n$)." }, { "text": "$\\lim u_n = +\\infty$ et $\\lim v_n = +\\infty$, on cherche\n$\\lim (u_n + v_n)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\infty + \\infty$ n'est pas indéterminée, la somme\ntend toujours vers $+\\infty$." }, { "text": "$\\lim u_n = 2$ et $\\lim v_n = +\\infty$, on cherche\n$\\lim (u_n \\times v_n)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le produit d'une limite **non nulle** par une\nlimite infinie n'est pas indéterminé : ici il tend vers\n$+\\infty$. Le cas indéterminé est $0 \\times \\infty$." }, { "text": "$\\lim u_n = 2$ et $\\lim v_n = +\\infty$, on cherche\n$\\lim \\dfrac{u_n}{v_n}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un numérateur borné sur un dénominateur qui tend\nvers l'infini donne $0$, sans indétermination." } ], "explanation": "Les quatre formes indéterminées au programme :\n« $\\infty - \\infty$ », « $0 \\times \\infty$ »,\n« $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ » et « $\\dfrac{0}{0}$ ».\nTout le reste se conclut par les théorèmes d'opérations." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "encadrement", "gendarmes" ], "title": "Théorème des gendarmes", "statement": "Pour tout $n \\geq 1$, on pose $u_n = \\dfrac{\\sin(n)}{n}$ et on\nsait que $-\\dfrac{1}{n} \\leq u_n \\leq \\dfrac{1}{n}$.\nQue peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers $0$, par le théorème d'encadrement", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux suites encadrantes $-1/n$ et $1/n$\ntendent vers $0$, donc la suite encadrée aussi (théorème des\ngendarmes)." }, { "text": "$(u_n)$ n'a pas de limite car $\\sin(n)$ n'en a pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $\\sin(n)$ oscille mais reste **borné**,\net il est divisé par $n$ qui tend vers l'infini.\nL'encadrement force la convergence vers $0$." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu penses peut-être à la limite de\n$\\dfrac{\\sin x}{x}$ en $0$. Ici $n$ tend vers $+\\infty$, et\nl'encadrement donne $0$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans connaître le signe de $u_n$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le théorème des gendarmes n'exige aucun signe,\nseulement un encadrement par deux suites de **même limite**." } ], "explanation": "Théorème des gendarmes : si $v_n \\leq u_n \\leq w_n$ à partir\nd'un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la\nmême limite $\\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\\ell$. Ici\n$\\ell = 0$." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "convergence-monotone", "piege" ], "title": "Suite croissante et majorée", "statement": "Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $10$.\nQue peut-on affirmer ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers une limite $\\ell \\leq 10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : toute suite croissante et majorée converge\n(théorème de convergence monotone), et sa limite est\ninférieure ou égale à tout majorant." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $10$", "correct": false, "feedback": "Piège classique : la limite n'est pas forcément le majorant\ndonné. Exemple : $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n+1}$ est croissante,\nmajorée par $10$, et converge vers $1$." }, { "text": "$(u_n)$ tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est impossible, tous les termes restent sous\n$10$. Une suite croissante ne tend vers $+\\infty$ que si\nelle est **non majorée**." }, { "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le théorème de convergence monotone s'applique\nquelle que soit la valeur initiale ; croissance + majoration\nsuffisent." } ], "explanation": "Théorème de convergence monotone : croissante et majorée\n$\\Rightarrow$ convergente. Attention : la limite est **au plus**\négale au majorant, sans lui être nécessairement égale." }, { "id": "q07", "difficulty": 3, "skills": [ "raisonnement", "piege" ], "title": "Suites croissantes et infini", "statement": "Parmi les affirmations suivantes, laquelle est **vraie** ?", "options": [ { "text": "Toute suite croissante non majorée tend vers $+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La croissance\nempêche de redescendre, et l'absence de majorant force à\ndépasser tout seuil." }, { "text": "Toute suite croissante tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Faux : une suite croissante peut converger si elle est\nmajorée, comme $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n+1}$ qui tend vers\n$1$." }, { "text": "Toute suite non majorée tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Faux : la suite $0,\\,1,\\,0,\\,2,\\,0,\\,3,\\,\\ldots$ est non\nmajorée mais ne tend pas vers $+\\infty$ (elle repasse sans\ncesse par $0$). Il manque la croissance." }, { "text": "Toute suite divergente tend vers $+\\infty$ ou $-\\infty$", "correct": false, "feedback": "Faux : $u_n = (-1)^n$ diverge sans tendre vers l'infini :\nelle oscille entre $-1$ et $1$. « Divergente » signifie\nseulement « non convergente »." } ], "explanation": "Le théorème exact combine **deux** hypothèses : croissante\n**et** non majorée $\\Rightarrow$ limite $+\\infty$. Chaque\nhypothèse seule est insuffisante, comme le montrent les\ncontre-exemples." }, { "id": "q08", "difficulty": 1, "skills": [ "recurrence", "definition" ], "title": "Structure d'un raisonnement par récurrence", "statement": "Pour démontrer par récurrence qu'une propriété $P(n)$ est vraie\npour tout entier $n \\geq n_0$, que doit-on établir ?", "options": [ { "text": "$P(n_0)$ est vraie, et pour tout $n \\geq n_0$, $P(n)$\nentraîne $P(n+1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : initialisation puis hérédité. Les deux\nétapes sont indispensables, puis on conclut pour tout\n$n \\geq n_0$." }, { "text": "Pour tout $n \\geq n_0$, $P(n)$ entraîne $P(n+1)$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : sans initialisation, rien ne démarre. La\npropriété « $n = n+1$ » est héréditaire et pourtant toujours\nfausse." }, { "text": "$P(n)$ est vraie pour $n_0$, $n_0 + 1$ et $n_0 + 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : vérifier quelques cas ne prouve rien pour tous les\nentiers. Il faut le mécanisme général de l'hérédité." }, { "text": "$P(n+1)$ entraîne $P(n)$, pour tout $n \\geq n_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : l'hérédité se propage vers les rangs\n**croissants** : on suppose $P(n)$ et on démontre $P(n+1)$." } ], "explanation": "Récurrence = initialisation ($P(n_0)$ vraie) + hérédité (si\n$P(n)$ est vraie pour un rang $n \\geq n_0$ quelconque, alors\n$P(n+1)$ l'est aussi). Conclusion : $P(n)$ vraie pour tout\n$n \\geq n_0$." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-geometrique", "calcul" ], "title": "Somme des puissances de $q$", "statement": "Pour $q \\neq 1$, que vaut la somme\n$1 + q + q^2 + \\cdots + q^n$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : somme des $n+1$ premiers termes de la suite\ngéométrique de premier terme $1$ et de raison $q$." }, { "text": "$\\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'exposant : la somme compte $n + 1$ termes (de\n$q^0$ à $q^n$), l'exposant au numérateur est donc $n+1$." }, { "text": "$\\dfrac{q^{n+1} - 1}{1 - q}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : ce quotient est l'**opposé** de la somme.\nNumérateur et dénominateur doivent être « dans le même\nsens » : $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$." }, { "text": "$n \\, q^{n}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu confonds avec une somme de termes **égaux**. Les\npuissances de $q$ sont toutes différentes, leur somme suit\nla formule géométrique." } ], "explanation": "Formule clé : $1 + q + \\cdots + q^n =\n\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \\neq 1$. Moyen mnémotechnique\n: $\\dfrac{1 - q^{\\text{nombre de termes}}}{1 - q}$, ici $n+1$\ntermes." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "arithmetico-geometrique", "point-fixe" ], "title": "Limite d'une suite arithmético-géométrique", "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 3$. On admet\nque $(u_n)$ converge vers un réel $\\ell$. Que vaut $\\ell$ ?", "options": [ { "text": "$\\ell = 6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite vérifie l'équation du point fixe\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3$, d'où $0{,}5\\,\\ell = 3$ puis\n$\\ell = 6$." }, { "text": "$\\ell = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le terme constant de la relation, pas la\nlimite. Il faut résoudre $\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3$." }, { "text": "$\\ell = 1{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1{,}5 = 0{,}5 \\times 3$ mélange les deux\ncoefficients. L'équation correcte est\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3$, de solution $6$." }, { "text": "Cela dépend de $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u_0$ influence les termes de la suite mais pas la\nvaleur de la limite quand elle existe : ici le coefficient\n$0{,}5$ contracte vers l'unique point fixe $6$." } ], "explanation": "Si $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ et $u_n \\to \\ell$, alors par passage à\nla limite $\\ell = a\\,\\ell + b$. Ici\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3 \\Leftrightarrow \\ell = 6$." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "comparaison" ], "title": "Théorème de comparaison", "statement": "Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_n \\geq n^2$ pour tout $n$.\nQue peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ tend vers $+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : théorème de comparaison. Comme\n$n^2 \\to +\\infty$ et que $u_n$ est au-dessus, $(u_n)$ est\npoussée vers $+\\infty$." }, { "text": "$(u_n)$ est croissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : être au-dessus de $n^2$ n'impose aucune monotonie ;\nla suite peut osciller tout en restant au-dessus de la\nparabole." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers une limite supérieure à $n^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une limite est un nombre fixe, elle ne peut pas\nêtre « supérieure à $n^2$ » qui dépend de $n$. Et ici la\nsuite ne converge pas : elle explose vers $+\\infty$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans majorant", "correct": false, "feedback": "Erreur : pour une limite $+\\infty$, c'est une **minoration**\npar une suite tendant vers $+\\infty$ qui conclut ; aucun\nmajorant n'est requis." } ], "explanation": "Théorème de comparaison : si $u_n \\geq v_n$ à partir d'un\ncertain rang et $v_n \\to +\\infty$, alors $u_n \\to +\\infty$.\nIci $v_n = n^2$." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "limites-usuelles", "calcul" ], "title": "Limite d'un quotient de suites géométriques", "statement": "Quelle est la limite de la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{3^n}{2^n}$ ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = \\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^n$ est une\nsuite géométrique de raison $\\dfrac{3}{2} > 1$, donc elle\ntend vers $+\\infty$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $q^n \\to 0$ demande $|q| < 1$. Ici la raison est\n$\\dfrac{3}{2} > 1$ : la suite explose au lieu de s'éteindre." }, { "text": "$\\dfrac{3}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{2}$ n'est que le terme $u_1$. La suite\ncontinue d'être multipliée par $\\dfrac{3}{2}$ à chaque rang." }, { "text": "$1$, car les deux suites tendent vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ est une forme\nindéterminée, elle ne vaut pas $1$ d'office. On la lève ici\nen écrivant $u_n = (3/2)^n$." } ], "explanation": "Regrouper les puissances : $\\dfrac{3^n}{2^n} =\n\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^n$. C'est une suite géométrique de\nraison $\\dfrac{3}{2} > 1$, donc de limite $+\\infty$." } ] }