{
"chapter": {
"id": "vecteurs-droites-plans-espace",
"level": "terminale-specialite",
"theme": "Algèbre et géométrie",
"title": "Vecteurs, droites et plans de l'espace",
"description": "Vecteurs de l'espace, combinaisons linéaires, colinéarité et\ncoplanarité, droites (point et vecteur directeur), plans (point\net couple de vecteurs non colinéaires), positions relatives,\nbases et repères de l'espace, décomposition d'un vecteur.",
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"colinearite",
"calcul"
],
"title": "Vecteurs colinéaires",
"statement": "Dans un repère de l'espace, on donne\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-4\\,;\\,6)$ et $\\vec{v}(1\\,;\\,-2\\,;\\,3)$.\nCes vecteurs sont-ils colinéaires ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\vec{u} = 2\\vec{v}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée de $\\vec{u}$ est le\ndouble de celle de $\\vec{v}$ : $\\vec{u} = 2\\vec{v}$, les\nvecteurs sont colinéaires."
},
{
"text": "Non, car leurs coordonnées ne sont pas égales",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la colinéarité n'exige pas l'égalité, mais la\n**proportionnalité** des coordonnées : $\\vec{u} = k\\vec{v}$\npour un réel $k$."
},
{
"text": "Non, car $2 + (-4) + 6 \\neq 1 + (-2) + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme des coordonnées n'a aucun sens\ngéométrique ici. Le test est la proportionnalité\ncoordonnée par coordonnée."
},
{
"text": "On ne peut pas le savoir sans connaître le repère",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la relation $\\vec{u} = 2\\vec{v}$ se lit sur les\ncoordonnées et vaut dans tout repère fixé."
}
],
"explanation": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ (avec $\\vec{v} \\neq \\vec{0}$) sont\ncolinéaires s'il existe un réel $k$ tel que\n$\\vec{u} = k\\vec{v}$, c'est-à-dire si les coordonnées sont\nproportionnelles. Ici $k = 2$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 1,
"skills": [
"droite",
"definition"
],
"title": "Déterminer une droite de l'espace",
"statement": "Par quelles données une droite de l'espace est-elle\nentièrement déterminée ?",
"options": [
{
"text": "Un point et un vecteur directeur non nul",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la droite passant par $A$ de vecteur\ndirecteur $\\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que\n$\\overrightarrow{AM} = t\\,\\vec{u}$, $t$ réel."
},
{
"text": "Un seul point",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : une infinité de droites passent par un même\npoint (dans toutes les directions de l'espace)."
},
{
"text": "Un vecteur directeur seul",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : un vecteur donne la **direction**, mais une\ninfinité de droites parallèles la partagent. Il faut\nancrer la droite par un point."
},
{
"text": "Deux vecteurs non colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux vecteurs non colinéaires engendrent la\ndirection d'un **plan**, pas d'une droite."
}
],
"explanation": "Une droite de l'espace = un point + une direction (vecteur\ndirecteur non nul) : $M \\in d \\Leftrightarrow \\overrightarrow{AM} =\nt\\,\\vec{u}$. (Deux points distincts conviennent aussi : le\nsecond fournit le vecteur $\\overrightarrow{AB}$.)"
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"plan",
"definition"
],
"title": "Déterminer un plan de l'espace",
"statement": "Par quelles données un plan de l'espace est-il entièrement\ndéterminé ?",
"options": [
{
"text": "Un point et deux vecteurs non colinéaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le plan passant par $A$ dirigé par\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ non colinéaires est l'ensemble des\npoints $M$ tels que $\\overrightarrow{AM} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$."
},
{
"text": "Un point et un vecteur non nul",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : un point et un vecteur déterminent une\n**droite**. Un plan a besoin de deux directions\nindépendantes."
},
{
"text": "Trois points quelconques",
"correct": false,
"feedback": "Piège : trois points **alignés** laissent une infinité de\nplans possibles. Il faut trois points **non alignés**."
},
{
"text": "Deux droites quelconques de l'espace",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux droites non coplanaires ne sont contenues\ndans aucun plan commun. Il faut des droites sécantes ou\nstrictement parallèles."
}
],
"explanation": "Un plan = un point + deux directions indépendantes :\n$M \\in \\mathcal{P} \\Leftrightarrow \\overrightarrow{AM} = a\\vec{u} +\nb\\vec{v}$ ($a$, $b$ réels), avec $\\vec{u}$, $\\vec{v}$ non\ncolinéaires. Version points : trois points non alignés."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"coplanarite",
"calcul"
],
"title": "Vecteurs coplanaires",
"statement": "On donne $\\vec{u}(1\\,;\\,0\\,;\\,0)$, $\\vec{v}(0\\,;\\,1\\,;\\,0)$ et\n$\\vec{w}(2\\,;\\,3\\,;\\,0)$. Ces trois vecteurs sont-ils\ncoplanaires ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\vec{w} = 2\\vec{u} + 3\\vec{v}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{w}$ est combinaison linéaire de\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ : les trois vecteurs partagent la\ndirection d'un même plan (ici le plan des deux premières\ncoordonnées)."
},
{
"text": "Non, car aucun n'est colinéaire à un autre",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la coplanarité de **trois** vecteurs ne se réduit\npas à des colinéarités deux à deux. Le bon test : l'un est\ncombinaison linéaire des deux autres."
},
{
"text": "Non, car ils sont dans l'espace",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : des vecteurs de l'espace peuvent très bien être\ncoplanaires ; c'est ici le cas, leur troisième coordonnée\nétant nulle."
},
{
"text": "Oui, car trois vecteurs sont toujours coplanaires",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : trois vecteurs peuvent être non coplanaires (par\nexemple les trois vecteurs d'une base). C'est la relation\n$\\vec{w} = 2\\vec{u} + 3\\vec{v}$ qui conclut ici."
}
],
"explanation": "Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un s'écrit comme\ncombinaison linéaire des deux autres (supposés non\ncolinéaires) : ici $\\vec{w} = 2\\vec{u} + 3\\vec{v}$."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"base",
"definition"
],
"title": "Base de l'espace",
"statement": "Que faut-il pour que trois vecteurs $\\vec{u}$, $\\vec{v}$,\n$\\vec{w}$ forment une base de l'espace ?",
"options": [
{
"text": "Qu'ils soient non coplanaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : trois vecteurs non coplanaires engendrent\ntout l'espace, et chaque vecteur s'y décompose de façon\nunique."
},
{
"text": "Qu'ils soient deux à deux non colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : $\\vec{u}$, $\\vec{v}$ et $\\vec{u} + \\vec{v}$\nsont deux à deux non colinéaires mais coplanaires : ils ne\npeuvent pas engendrer l'espace."
},
{
"text": "Qu'ils soient deux à deux orthogonaux",
"correct": false,
"feedback": "Trop exigeant : l'orthogonalité définit une base\n**orthogonale** (confort de calcul), mais une base\nquelconque demande seulement la non-coplanarité."
},
{
"text": "Qu'ils aient tous la même norme",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la norme ne joue aucun rôle dans la définition\nd'une base. Seule compte l'indépendance des trois\ndirections."
}
],
"explanation": "Base de l'espace = trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur\ns'écrit alors de manière **unique** $x\\vec{u} + y\\vec{v} +\nz\\vec{w}$ : ce sont ses coordonnées dans la base."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cube",
"combinaison-lineaire"
],
"title": "La diagonale du cube",
"statement": "Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, comment s'exprime le\nvecteur $\\overrightarrow{AG}$ (grande diagonale) en fonction de\n$\\overrightarrow{AB}$, $\\overrightarrow{AD}$ et $\\overrightarrow{AE}$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.15,line join=round]\n \\coordinate (A) at (0,0);\n \\coordinate (B) at (2,0);\n \\coordinate (C) at (2.9,0.75);\n \\coordinate (D) at (0.9,0.75);\n \\coordinate (E) at (0,1.9);\n \\coordinate (F) at (2,1.9);\n \\coordinate (G) at (2.9,2.65);\n \\coordinate (H) at (0.9,2.65);\n \\draw[dashed] (D) -- (A);\n \\draw[dashed] (D) -- (C);\n \\draw[dashed] (D) -- (H);\n \\draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (F) -- (B);\n \\draw (A) -- (E) -- (F);\n \\draw (E) -- (H) -- (G);\n \\draw[->,thick,blue] (A) -- (G);\n \\node[below left,font=\\small] at (A) {$A$};\n \\node[below right,font=\\small] at (B) {$B$};\n \\node[right,font=\\small] at (C) {$C$};\n \\node[left,font=\\small] at (D) {$D$};\n \\node[left,font=\\small] at (E) {$E$};\n \\node[above right,font=\\small] at (F) {$F$};\n \\node[above right,font=\\small] at (G) {$G$};\n \\node[above left,font=\\small] at (H) {$H$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD est la face inférieure\n(D à l'arrière, en pointillés), EFGH la face supérieure avec\nE au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H\nau-dessus de D. La grande diagonale AG est tracée en bleu,\nde A (avant bas gauche) à G (arrière haut droit).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour aller de $A$ à $G$, on avance selon\nl'arête $\\overrightarrow{AB}$, puis $\\overrightarrow{AD}$ (profondeur), puis\n$\\overrightarrow{AE}$ (hauteur) : relation de Chasles dans le cube."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD}$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AC}$, la diagonale\nde la **face inférieure**. Pour monter jusqu'à $G$, il faut\nencore ajouter $\\overrightarrow{AE}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AE}$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AE} = \\overrightarrow{AF}$, la diagonale\nde la **face avant**. Il manque la profondeur $\\overrightarrow{AD}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : les trois arêtes se parcourent dans le\nsens direct de $A$ vers $G$ ; aucune soustraction n'est\nnécessaire."
}
],
"explanation": "Décomposition dans le cube : $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} +\n\\overrightarrow{CG}$, et $\\overrightarrow{BC} = \\overrightarrow{AD}$, $\\overrightarrow{CG} = \\overrightarrow{AE}$\n(arêtes parallèles). D'où $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} +\n\\overrightarrow{AE}$."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"positions-relatives",
"raisonnement"
],
"title": "Deux droites sans point commun",
"statement": "Dans l'espace, deux droites n'ont aucun point commun.\nSont-elles nécessairement parallèles ?",
"options": [
{
"text": "Non : elles peuvent aussi être non coplanaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la spécificité de l'espace. Deux\ndroites sans point commun sont soit strictement parallèles\n(même direction), soit **non coplanaires** (directions\ndifférentes, aucun plan commun)."
},
{
"text": "Oui, comme dans le plan",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la dichotomie du plan (sécantes ou parallèles) ne\nsurvit pas en dimension 3. Pense à deux routes qui se\ncroisent par un pont : ni sécantes, ni parallèles."
},
{
"text": "Oui, si elles sont toutes les deux horizontales",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux droites « horizontales » de directions\ndifférentes et d'altitudes différentes sont non\ncoplanaires sans être parallèles."
},
{
"text": "Non : elles sont forcément confondues",
"correct": false,
"feedback": "Contradiction : des droites confondues ont **tous** leurs\npoints communs, pas aucun."
}
],
"explanation": "Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes,\nparallèles (strictement ou confondues), ou **non coplanaires**.\nCe troisième cas, sans équivalent dans le plan, se teste en\ncherchant un plan contenant les deux droites."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"repere",
"coordonnees",
"cube"
],
"title": "Coordonnées dans le repère du cube",
"statement": "Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, on munit l'espace du repère\n$\\left(A\\,;\\,\\overrightarrow{AB},\\,\\overrightarrow{AD},\\,\\overrightarrow{AE}\\right)$. Quelles\nsont les coordonnées du sommet $G$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.15,line join=round]\n \\coordinate (A) at (0,0);\n \\coordinate (B) at (2,0);\n \\coordinate (C) at (2.9,0.75);\n \\coordinate (D) at (0.9,0.75);\n \\coordinate (E) at (0,1.9);\n \\coordinate (F) at (2,1.9);\n \\coordinate (G) at (2.9,2.65);\n \\coordinate (H) at (0.9,2.65);\n \\draw[dashed] (D) -- (A);\n \\draw[dashed] (D) -- (C);\n \\draw[dashed] (D) -- (H);\n \\draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (F) -- (B);\n \\draw (A) -- (E) -- (F);\n \\draw (E) -- (H) -- (G);\n \\draw[->,thick,red] (A) -- (B);\n \\draw[->,thick,red] (A) -- (D);\n \\draw[->,thick,red] (A) -- (E);\n \\node[below left,font=\\small] at (A) {$A$};\n \\node[below right,font=\\small] at (B) {$B$};\n \\node[right,font=\\small] at (C) {$C$};\n \\node[left,font=\\small] at (D) {$D$};\n \\node[left,font=\\small] at (E) {$E$};\n \\node[above right,font=\\small] at (F) {$F$};\n \\node[above right,font=\\small] at (G) {$G$};\n \\node[above left,font=\\small] at (H) {$H$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD face inférieure (D à\nl'arrière), EFGH face supérieure (E au-dessus de A, F de B,\nG de C, H de D). Les trois vecteurs du repère AB, AD et AE\nsont tracés en rouge depuis A.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$G(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}\n= 1 \\cdot \\overrightarrow{AB} + 1 \\cdot \\overrightarrow{AD} + 1 \\cdot \\overrightarrow{AE}$ :\ncoordonnées $(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$."
},
{
"text": "$G(1\\,;\\,1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,1\\,;\\,0)$ est le sommet $C$, resté sur la\nface inférieure. $G$ est au-dessus de $C$ : troisième\ncoordonnée $1$."
},
{
"text": "$G(0\\,;\\,1\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(0\\,;\\,1\\,;\\,1)$ est le sommet $H$ (au-dessus de\n$D$). $G$ se trouve au-dessus de $C$, donc en\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$."
},
{
"text": "$G(1\\,;\\,0\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,0\\,;\\,1)$ est le sommet $F$ (au-dessus de\n$B$). Pour $G$, la profondeur $\\overrightarrow{AD}$ vaut aussi $1$."
}
],
"explanation": "Dans le repère $(A\\,;\\,\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AD},\\overrightarrow{AE})$, les\nsommets du cube ont pour coordonnées tous les triplets de $0$\net de $1$ : $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$,\n$C(1;1;0)$, $F(1;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $G(1;1;1)$."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 3,
"skills": [
"positions-relatives",
"cube"
],
"title": "Position relative dans le cube",
"statement": "Dans le cube $ABCDEFGH$ (mêmes notations que précédemment,\n$E$ au-dessus de $A$, $H$ au-dessus de $D$), quelle est la\nposition relative des droites $(AB)$ et $(DH)$ ?",
"options": [
{
"text": "Elles sont non coplanaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(AB)$ est horizontale à l'avant, $(DH)$\nverticale à l'arrière : directions non colinéaires et\naucun point commun. Aucun plan ne les contient toutes les\ndeux."
},
{
"text": "Elles sont sécantes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(AB)$ vit sur la face inférieure avant, $(DH)$\npart du sommet arrière $D$ verticalement : elles ne se\nrencontrent pas (aucun sommet commun, aucun croisement)."
},
{
"text": "Elles sont parallèles",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{AB}$ est horizontal et $\\overrightarrow{DH} = \\overrightarrow{AE}$\nest vertical : directions non colinéaires, donc pas de\nparallélisme."
},
{
"text": "Elles sont confondues",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : elles n'ont même aucun point commun. Confondues\nsignifierait la même droite."
}
],
"explanation": "Méthode : comparer les directions ($\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{DH}$\nnon colinéaires : pas parallèles), puis chercher un point\ncommun (il n'y en a pas : pas sécantes). Restent les droites\n**non coplanaires**, cas typique dans un cube."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"vecteur-directeur",
"calcul"
],
"title": "Vecteur directeur d'une droite $(AB)$",
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et $B(3\\,;\\,1\\,;\\,5)$. Quel vecteur\nest directeur de la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A\\,;\\,\nz_B - z_A) = (2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,3\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as **additionné** les coordonnées de $A$ et\n$B$. Un vecteur se calcule par différence : arrivée moins\ndépart."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,1\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la deuxième coordonnée :\n$y_B - y_A = 1 - 2 = -1$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées du **point** $A$, pas d'un\nvecteur directeur. La direction se lit sur $\\overrightarrow{AB}$."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A\\,;\\,z_B - z_A) =\n(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$. Tout vecteur non nul colinéaire à\n$\\overrightarrow{AB}$ dirige aussi la droite."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"alignement",
"calcul"
],
"title": "Tester l'alignement de trois points",
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$, $B(3\\,;\\,4\\,;\\,2)$ et\n$C(4\\,;\\,6\\,;\\,2)$. Ces trois points sont-ils alignés ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\overrightarrow{AC} = \\dfrac{3}{2}\\,\\overrightarrow{AB}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,4\\,;\\,0)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(3\\,;\\,6\\,;\\,0)$ sont colinéaires\n($3 = \\frac{3}{2} \\times 2$, $6 = \\frac{3}{2} \\times 4$,\n$0 = \\frac{3}{2} \\times 0$) : les points sont alignés."
},
{
"text": "Non, car $C$ n'est pas le milieu de $[AB]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'alignement n'exige pas que l'un des points soit\nun milieu. Le test est la **colinéarité** de $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$."
},
{
"text": "Non, car les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont\ndifférentes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : différents n'empêche pas colinéaires ! Il suffit\nd'un facteur commun : ici $\\overrightarrow{AC} = 1{,}5\\,\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"text": "On ne peut pas conclure sans calculer les distances",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le critère vectoriel (colinéarité de $\\overrightarrow{AB}$\net $\\overrightarrow{AC}$) est direct et suffit. Aucune distance n'est\nnécessaire."
}
],
"explanation": "$A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Ici $\\overrightarrow{AC} =\n\\frac{3}{2}\\overrightarrow{AB}$ : alignés (et tous dans le plan\nd'altitude $z = 2$)."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"plan",
"caracterisation"
],
"title": "Appartenance à un plan",
"statement": "Soit $\\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les\nvecteurs non colinéaires $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$. À quelle\ncondition un point $M$ appartient-il à $\\mathcal{P}$ ?",
"options": [
{
"text": "Il existe des réels $a$ et $b$ tels que\n$\\overrightarrow{AM} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation vectorielle du\nplan : $\\overrightarrow{AM}$ doit se décomposer sur les deux\ndirections du plan."
},
{
"text": "Il existe un réel $k$ tel que $\\overrightarrow{AM} = k\\vec{u}$",
"correct": false,
"feedback": "Trop restrictif : cette condition décrit la **droite**\npassant par $A$ dirigée par $\\vec{u}$, une partie seulement\ndu plan."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{u} = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'orthogonalité à $\\vec{u}$ caractérise un autre\nplan (celui de vecteur normal $\\vec{u}$). Ici $\\vec{u}$\nest une direction **contenue** dans $\\mathcal{P}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AM} = \\vec{u} + \\vec{v}$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Trop restrictif : cette égalité ne décrit qu'**un seul**\npoint du plan (celui de coordonnées $(1\\,;\\,1)$ dans le\nrepère du plan). Les coefficients $a$ et $b$ doivent\nrester libres."
}
],
"explanation": "Caractérisation d'un plan : $M \\in \\mathcal{P}\n\\Leftrightarrow \\overrightarrow{AM} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$ avec $a, b$\nréels. Les couples $(a\\,;\\,b)$ jouent le rôle de coordonnées\ndans le plan."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"chasles"
],
"title": "Relation de Chasles dans l'espace",
"statement": "Pour trois points $A$, $B$, $C$ de l'espace, que vaut\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AC}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : relation de Chasles : aller de $A$ à $B$\npuis de $B$ à $C$ revient à aller de $A$ à $C$ : la\nlettre du milieu s'efface."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{CA}$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : le trajet part de $A$ et finit en $C$ :\n$\\overrightarrow{AC}$, pas son opposé."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BB}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{BB} = \\vec{0}$ : la somme ne\ns'annule que si $C = A$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AB} \\times \\overrightarrow{BC}$",
"correct": false,
"feedback": "Hors sujet : aucune multiplication ici : l'addition\nvectorielle enchaîne les déplacements (Chasles)."
}
],
"explanation": "Chasles fonctionne dans l'espace comme dans le plan :\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} =\n\\overrightarrow{AC}$. Réflexe : insérer un point\nintermédiaire pour décomposer ou simplifier une somme."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"milieu",
"coordonnees"
],
"title": "Milieu d'un segment de l'espace",
"statement": "Soient $A(1\\ ;\\ 4\\ ;\\ -2)$ et $B(3\\ ;\\ 0\\ ;\\ 6)$. Quelles\nsont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$I(2\\ ;\\ 2\\ ;\\ 2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : moyenne coordonnée par coordonnée :\n$\\left(\\frac{1+3}{2}\\ ;\\ \\frac{4+0}{2}\\ ;\\\n\\frac{-2+6}{2}\\right)$."
},
{
"text": "$I(4\\ ;\\ 4\\ ;\\ 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : les **sommes** valent $(4\\ ;\\ 4\\ ;\\\n4)$ : le milieu prend la moitié."
},
{
"text": "$I(1\\ ;\\ 2\\ ;\\ 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les demi-**différences** : le milieu\nmoyenne les coordonnées, il ne les soustrait pas."
},
{
"text": "$I(2\\ ;\\ 2\\ ;\\ 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Troisième coordonnée : $\\frac{-2 + 6}{2} = 2$, pas $4$ :\nattention au signe de $-2$."
}
],
"explanation": "Milieu : moyennes des coordonnées, en dimension $3$ comme en\ndimension $2$ : $I\\left(\\frac{x_A + x_B}{2}\\ ;\\\n\\frac{y_A+y_B}{2}\\ ;\\ \\frac{z_A+z_B}{2}\\right)$."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"colinearite",
"coordonnees"
],
"title": "Colinéarité en coordonnées",
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(2\\ ;\\ -1\\ ;\\ 3)$ et\n$\\vec{v}(-4\\ ;\\ 2\\ ;\\ -6)$ sont-ils colinéaires ?",
"options": [
{
"text": "Oui : $\\vec{v} = -2\\,\\vec{u}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée de $\\vec{v}$ vaut\n$-2$ fois celle de $\\vec{u}$ : le même coefficient\npartout, c'est la définition en actes."
},
{
"text": "Non : leurs coordonnées ne sont pas égales",
"correct": false,
"feedback": "Critère trop fort : la colinéarité demande la\n**proportionnalité** des coordonnées, pas leur égalité."
},
{
"text": "Non : ils ne sont pas de même sens",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la colinéarité accepte les deux sens : $k = -2$\nnégatif donne des vecteurs opposés mais bien\ncolinéaires."
},
{
"text": "On ne peut pas le savoir sans repère orthonormé",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la colinéarité est une affaire de\nproportionnalité, lisible dans n'importe quel repère\n(l'orthonormé ne sert qu'aux longueurs et angles)."
}
],
"explanation": "$\\vec{v}$ colinéaire à $\\vec{u} \\neq \\vec{0}$ $\\iff$\n$\\vec{v} = k\\vec{u}$ : tester si le rapport\ncoordonnée par coordonnée est constant ($\\frac{-4}{2} =\n\\frac{2}{-1} = \\frac{-6}{3} = -2$). Outil numéro un pour\nalignement et parallélisme."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"decomposition",
"base"
],
"title": "Lire des coordonnées dans une base",
"statement": "Dans une base $(\\vec{i}\\ ;\\ \\vec{j}\\ ;\\ \\vec{k})$ de\nl'espace, on a $\\vec{w} = 3\\vec{i} - \\vec{k}$. Quelles sont\nles coordonnées de $\\vec{w}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\ ;\\ 0\\ ;\\ -1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de\nla décomposition : $3$ sur $\\vec{i}$, $0$ sur $\\vec{j}$\n(absent), $-1$ sur $\\vec{k}$."
},
{
"text": "$(3\\ ;\\ -1)$",
"correct": false,
"feedback": "Dimension : dans l'espace, trois coordonnées toujours :\nl'absence de $\\vec{j}$ se code par un $0$, elle ne\nsupprime pas la coordonnée."
},
{
"text": "$(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ 0)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre : le $-1$ porte sur $\\vec{k}$, **troisième**\nvecteur : le zéro est en deuxième position."
},
{
"text": "$(0\\ ;\\ 3\\ ;\\ -1)$",
"correct": false,
"feedback": "Décalage : le coefficient de $\\vec{i}$ ($3$) ouvre le\ntriplet."
}
],
"explanation": "Coordonnées = coefficients dans la décomposition $\\vec{w} =\nx\\vec{i} + y\\vec{j} + z\\vec{k}$, dans l'ordre de la base,\nzéros compris. La base garantit existence et unicité de\ncette écriture."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"coplanarite",
"test"
],
"title": "Tester la coplanarité de trois vecteurs",
"statement": "Comment vérifier que $\\vec{w}$ est coplanaire à $\\vec{u}$ et\n$\\vec{v}$ (non colinéaires) ?",
"options": [
{
"text": "Chercher des réels $a$ et $b$ tels que $\\vec{w} =\na\\vec{u} + b\\vec{v}$ (système sur les coordonnées)",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : coplanaire = combinaison linéaire des\ndeux autres : trois équations (une par coordonnée), deux\ninconnues : s'il y a une solution, coplanarité."
},
{
"text": "Vérifier que $\\vec{w} = \\vec{u} + \\vec{v}$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Trop restrictif : la somme est UNE combinaison\nparticulière ($a = b = 1$) : la coplanarité autorise\ntous les coefficients."
},
{
"text": "Vérifier que les trois vecteurs ont une coordonnée nulle\ncommune",
"correct": false,
"feedback": "Faux critère : il caractérise les plans **de\ncoordonnées** seulement : un plan quelconque n'aligne\naucun zéro."
},
{
"text": "C'est automatique : trois vecteurs de l'espace sont\ntoujours coplanaires",
"correct": false,
"feedback": "Faux : $(\\vec{i}\\ ;\\ \\vec{j}\\ ;\\ \\vec{k})$ n'est pas\ncoplanaire (c'est même une base !). La coplanarité est\nune vraie contrainte."
}
],
"explanation": "$\\vec{w}$ coplanaire à $(\\vec{u}\\ ;\\ \\vec{v})$ non\ncolinéaires $\\iff \\vec{w} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$. En\npratique : poser le système $3 \\times 2$ ; deux équations\ndéterminent $(a\\ ;\\ b)$, la troisième **valide ou réfute**."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"egalite-vectorielle",
"construction"
],
"title": "Construire un point par égalité vectorielle",
"statement": "Soient $A(1\\ ;\\ 0\\ ;\\ 2)$, $B(2\\ ;\\ 1\\ ;\\ 0)$ et\n$C(0\\ ;\\ 3\\ ;\\ 1)$. Quelles sont les coordonnées du point\n$M$ défini par $\\overrightarrow{AM} = 2\\overrightarrow{AB} -\n\\overrightarrow{AC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$M(4\\ ;\\ -1\\ ;\\ -1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(1\\ ;\\ 1\\ ;\\ -2)$,\n$\\overrightarrow{AC}(-1\\ ;\\ 3\\ ;\\ -1)$, donc\n$\\overrightarrow{AM}(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ -3)$ et $M = A +\n\\overrightarrow{AM} = (4\\ ;\\ -1\\ ;\\ -1)$."
},
{
"text": "$M(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ -3)$",
"correct": false,
"feedback": "Dernière étape sautée : $(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ -3)$ sont les\ncoordonnées du **vecteur** $\\overrightarrow{AM}$ : il\nreste à les ajouter à celles de $A$."
},
{
"text": "$M(4\\ ;\\ 2\\ ;\\ -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur $\\overrightarrow{AC}$ non soustrait :\nl'égalité retranche $\\overrightarrow{AC}$, elle ne\nl'ajoute pas."
},
{
"text": "$M(2\\ ;\\ 2\\ ;\\ -4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est $2\\overrightarrow{AB}$ seul (transformé\nen point depuis l'origine) : il manque $A$ et le terme\n$-\\overrightarrow{AC}$."
}
],
"explanation": "Méthode en trois temps : coordonnées des vecteurs\n($B - A$, $C - A$), combinaison, puis $M = A +\n\\overrightarrow{AM}$ : l'oubli du retour au point (ajouter\n$A$) est l'erreur signature de l'exercice."
}
]
}