$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Équations du premier degré
Résoudre une équation du premier degré, tester une solution,
mettre un problème en équation, équations produit simples.]]>
Équations du premier degré — Q01 : Ce que veut dire « être solution »
Que signifie la phrase « $5$ est solution de l'équation $3x - 7 = 8$ » ?]]>
Un nombre est solution d'une équation lorsque, mis à la place de
l'inconnue, il rend l'égalité vraie : les deux membres prennent alors
la même valeur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
En remplaçant $x$ par $5$, les deux membres deviennent égaux]]>
Bonne réponse : $3 \times 5 - 7 = 8$, et le membre de droite vaut
aussi $8$. L'égalité est vraie, donc $5$ est bien solution.]]>
En remplaçant $x$ par $5$, le membre de gauche devient nul]]>
Confusion avec la recherche d'un zéro : ici le membre de gauche doit
valoir $8$, comme le membre de droite, et non $0$.]]>
Le calcul du membre de gauche donne exactement le nombre $5$]]>
Le nombre $5$ est la valeur que l'on donne à $x$, pas le résultat du
calcul. Ce résultat vaut $8$.]]>
Le nombre $5$ figure dans l'écriture de l'un des deux membres]]>
Être solution ne se lit pas dans l'écriture de l'équation : il faut
remplacer l'inconnue, puis calculer.]]>
Équations du premier degré — Q02 : Reconnaître l'équation testée
Le nombre $5$ est solution d'une seule de ces quatre équations.
Laquelle ?]]>
Tester un nombre, c'est le mettre à la place de $x$ dans les deux
membres, puis vérifier que l'on obtient la même valeur de chaque côté.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3x + 4 = 19$]]>
Bonne réponse : $3 \times 5 + 4 = 19$, l'égalité est vraie.]]>
$3x + 4 = 22$]]>
En remplaçant $x$ par $5$, le membre de gauche vaut $19$ et non
$22$ : cette équation a une autre solution.]]>
$4x + 3 = 19$]]>
Les deux coefficients ont été échangés : $4 \times 5 + 3$
vaut $23$, ce qui ne convient pas.]]>
$3x - 4 = 19$]]>
Le signe du terme constant a changé : $3 \times 5 - 4$ vaut
$11$, ce qui ne convient pas.]]>
Équations du premier degré — Q03 : Équation du type $x + a = b$
Quelle est la solution de l'équation $x + 7 = 12$ ?]]>
Pour isoler $x$, on applique la même opération aux deux membres : le
terme constant change de côté en changeant de signe.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 5$]]>
Bonne réponse : on applique l'opération inverse aux deux membres.
On vérifie : $5 + 7 = 12$.]]>
$x = 19$]]>
Le signe a été conservé au lieu d'être changé de membre. On obtient
$19$ au lieu de $5$.]]>
$x = -5$]]>
Les deux membres ont été soustraits dans le mauvais ordre : la
solution est $5$, et non son opposé.]]>
$x = -19$]]>
Deux erreurs de signe se sont ajoutées l'une à l'autre. La solution
est $5$.]]>
Équations du premier degré — Q04 : Équation du type $ax = b$
Quelle est la solution de l'équation $4x = 28$ ?]]>
Quand un nombre multiplie l'inconnue, on divise les deux membres par ce
nombre pour isoler $x$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 7$]]>
Bonne réponse : $4x$ signifie $4 \times x$, on divise donc les
deux membres par $4$, ce qui donne $x = 7$.]]>
$x = 24$]]>
Une soustraction a remplacé la division. Le nombre $4$ multiplie
$x$ : son opération inverse est la division.]]>
$x = 32$]]>
Une addition a remplacé la division. L'opération inverse de
$\times 4$ est $\div 4$, ce qui donne $7$.]]>
$x = 112$]]>
Multiplier par $4$ éloigne du résultat : c'est l'opération
inverse, la division, qu'il faut appliquer.]]>
Équations du premier degré — Q05 : Équation du type $ax + b = c$
Quelle est la solution de l'équation $3x + 6 = 21$ ?]]>
On isole d'abord le terme en $x$ en retranchant le terme constant, puis
on divise les deux membres par le coefficient de $x$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 5$]]>
Bonne réponse : on retranche $6$ aux deux membres, puis on divise
par $3$, ce qui donne $x = 5$.]]>
$x = 15$]]>
La division par $3$ a été oubliée : on a bien
$3x = 15$, mais il reste une étape.]]>
$x = 9$]]>
Le terme $6$ a été ajouté au lieu d'être retranché : il change de
signe en changeant de membre.]]>
$x = -5$]]>
Erreur de signe à la fin : la division de $15$ par
$3$ donne $5$.]]>
Équations du premier degré — Q06 : Règle du produit nul
Que dit la règle du produit nul, utilisée pour résoudre
$(x - 3)(x + 5) = 0$ ?]]>
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses
facteurs est nul. Chaque facteur donne alors une équation à résoudre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un produit est nul dès que l'un de ses facteurs est nul]]>
Bonne réponse : il suffit qu'un seul facteur s'annule. On résout
donc séparément $x - 3 = 0$ puis $x + 5 = 0$.]]>
Un produit est nul seulement si ses deux facteurs sont nuls]]>
Erreur classique : un seul facteur nul suffit. Avec $x = 3$, le
second facteur vaut $8$ et le produit est pourtant nul.]]>
Un produit est nul lorsque la somme des facteurs est nulle]]>
La somme des facteurs n'intervient pas. C'est bien la nullité de
l'un des facteurs qui annule le produit.]]>
Un produit est nul quand les deux facteurs sont opposés]]>
Deux nombres opposés ont pour produit un nombre négatif, pas zéro :
par exemple $2 \times (-2) = -4$.]]>
Équations du premier degré — Q07 : Équation produit à deux facteurs
Quelles sont les solutions de l'équation
$(x - 3)(x + 5) = 0$ ?]]>
Une équation produit se résout facteur par facteur : chaque facteur mis
à zéro donne une équation simple, et chacune fournit une solution.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$ et $-5$]]>
Bonne réponse : chaque facteur donne une équation, $x - 3 = 0$
puis $x + 5 = 0$, d'où $3$ et $-5$.]]>
$-3$ et $5$]]>
Les nombres ont été recopiés tels quels : en passant de l'autre côté
du signe égal, ils changent de signe.]]>
$3$ et $5$]]>
Le signe n'a été changé que dans le premier facteur. Le second
donne $x = -5$.]]>
$3$ seulement]]>
Le second facteur a été oublié : il fournit lui aussi une solution,
à savoir $-5$.]]>
Équations du premier degré — Q08 : Traduire une phrase par une équation
On note $x$ un nombre. Le double de $x$, augmenté de $7$, vaut
$23$. Quelle équation traduit cette phrase ?]]>
Mettre en équation, c'est traduire la phrase dans l'ordre : le double
de $x$ donne $2x$, « augmenté de $7$ » donne $+ 7$, « vaut $23$ »
donne le signe égal.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2x + 7 = 23$]]>
Bonne réponse : le double de $x$ s'écrit $2x$, et « augmenté de
$7$ » ajoute $7$ à ce double.]]>
$2(x + 7) = 23$]]>
Ici c'est la somme $x + 7$ qui est doublée, alors que la phrase
double $x$ seul avant d'ajouter $7$.]]>
$x + 7 = 2 \times 23$]]>
Le doublement porte sur le nombre cherché, pas sur le résultat
annoncé $23$.]]>
$7x + 2 = 23$]]>
Les rôles de $2$ et de $7$ ont été échangés : $2$ est le
multiplicateur, $7$ le nombre ajouté.]]>
Équations du premier degré — Q09 : Reconnaître l'opération faite
Pour passer de l'équation $x + 7 = 12$ à l'équation $x = 5$, quelle
opération a-t-on faite ?]]>
Une équation reste vraie si on applique la même opération à ses deux
membres. C'est ce qui permet d'isoler l'inconnue étape par étape.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
On a retranché $7$ aux deux membres]]>
Bonne réponse : $x + 7 - 7 = 12 - 7$, ce qui laisse $x = 5$.]]>
On a ajouté $7$ aux deux membres]]>
Ajouter $7$ donnerait $x + 14 = 19$ : c'est l'opération inverse
qu'il faut appliquer.]]>
On a divisé les deux membres par $7$]]>
Le nombre $7$ est ajouté à $x$, il ne le multiplie pas : on le
retranche, on ne divise pas.]]>
On a retranché $7$ au membre de gauche]]>
Une opération faite d'un seul côté casse l'égalité : elle doit être
faite des deux côtés.]]>
Équations du premier degré — Q10 : Vérifier une solution trouvée
Après avoir résolu une équation, comment vérifier que la valeur trouvée
est bien solution ?]]>
Vérifier, c'est calculer séparément les deux membres de l'équation de
départ avec la valeur trouvée, puis constater qu'ils sont égaux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
On la remplace dans l'équation de départ et on compare les membres]]>
Bonne réponse : seule l'équation de départ permet de contrôler le
résultat, car c'est elle que l'on cherchait à résoudre.]]>
On la remplace dans la dernière ligne écrite et on compare les membres]]>
La dernière ligne contient déjà le résultat : si une erreur a été
faite avant, elle ne sera pas repérée.]]>
On refait le calcul à l'envers en partant du résultat obtenu à la fin]]>
Refaire les mêmes étapes en sens inverse reproduit l'éventuelle
erreur : le contrôle n'est pas indépendant.]]>
On contrôle que la valeur trouvée est bien un nombre entier positif]]>
Une solution peut très bien être négative ou fractionnaire : sa
forme ne prouve rien.]]>
Équations du premier degré — Q11 : Inconnue dans les deux membres
Quelle est la solution de l'équation $5x + 3 = 2x + 21$ ?]]>
Quand l'inconnue figure des deux côtés, on rassemble les termes en $x$
dans un membre et les nombres dans l'autre, puis on divise.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 6$]]>
Bonne réponse : on regroupe les $x$ à gauche et les nombres à
droite, ce qui donne $5x - 2x = 18$, puis
$x = 6$.]]>
$x = 18$]]>
Le regroupement des termes en $x$ a été fait, mais la division par
leur coefficient a été oubliée.]]>
$x = 8$]]>
Le terme $3$ a été ajouté au lieu d'être retranché : en changeant
de membre, il change de signe.]]>
$x = -6$]]>
Erreur de signe au moment de regrouper : la solution est $6$,
et non son opposé.]]>
Équations du premier degré — Q12 : Équation avec une parenthèse
Quelle est la solution de l'équation $3(x + 4) = 27$ ?]]>
Devant une parenthèse multipliée par un nombre, deux chemins sont
possibles : diviser d'abord par ce nombre, ou développer. Les deux
conduisent à la même solution.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 5$]]>
Bonne réponse : on divise d'abord par $3$, ce qui donne
$x + 4 = 9$, puis on isole $x$.]]>
$x = 13$]]>
Le terme $4$ a gardé son signe au lieu d'en changer au moment de
quitter la parenthèse.]]>
$x = 15$]]>
Le calcul s'est arrêté à $3x = 15$ après
développement : il reste à diviser par $3$.]]>
$x = -5$]]>
Erreur de signe à la dernière étape : la solution est $5$.]]>
Équations du premier degré — Q13 : Équation produit avec un coefficient
Quelles sont les solutions de l'équation
$(2x - 6)(x + 5) = 0$ ?]]>
Chaque facteur d'une équation produit se traite comme une équation du
premier degré à part entière, coefficient compris.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$ et $-5$]]>
Bonne réponse : $2x - 6 = 0$ donne $x = 3$, et
$x + 5 = 0$ donne $x = -5$.]]>
$-6$ et $5$]]>
Les nombres ont été recopiés sans résoudre : chaque facteur demande
un vrai calcul.]]>
$6$ et $-5$]]>
Dans le premier facteur, la division par $2$ a été oubliée :
$2x = 6$ donne $x = 3$.]]>
$3$ et $5$]]>
Le signe n'a pas été changé dans le second facteur : il donne
$x = -5$.]]>
Équations du premier degré — Q14 : Inconnue au numérateur
Quelle est la solution de l'équation $\dfrac{x}{4} = 7$ ?]]>
Quand l'inconnue est divisée par un nombre, on multiplie les deux
membres par ce nombre pour l'isoler.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 28$]]>
Bonne réponse : $x$ est divisé par $4$, on multiplie donc les deux
membres par $4$, ce qui donne $x = 28$.]]>
$x = \dfrac{7}{4}$]]>
La division a été faite une seconde fois au lieu d'être annulée par
une multiplication.]]>
$x = 11$]]>
Une addition a remplacé la multiplication : l'opération inverse de
$\div 4$ est $\times 4$.]]>
$x = 3$]]>
Une soustraction a remplacé la multiplication, alors que $4$
divise $x$ et ne lui est pas ajouté.]]>
Équations du premier degré — Q15 : Quotient égal à un nombre
Quelle est la solution de l'équation
$\dfrac{x + 3}{4} = 5$ ?]]>
La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : on multiplie
d'abord les deux membres par le dénominateur, puis on isole $x$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 17$]]>
Bonne réponse : on multiplie les deux membres par $4$, d'où
$x + 3 = 20$, puis $x = 17$.]]>
$x = 2$]]>
La multiplication par $4$ a été oubliée : tout le numérateur est
divisé par $4$, pas seulement une partie.]]>
$x = 23$]]>
Le terme $3$ a gardé son signe alors qu'il change de membre : on
obtient $17$.]]>
$x = -17$]]>
Erreur de signe finale : le résultat correct est $17$.]]>
Équations du premier degré — Q16 : Côté d'un carré
Le périmètre d'un carré est de $36$ cm. Quelle est la longueur de son
côté, en centimètres ?]]>
Le périmètre d'un carré de côté $x$ vaut $4x$. L'équation $4x = 36$ se
résout en divisant par $4$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$9$]]>
Bonne réponse : en notant $x$ le côté, $4x = 36$, donc
$x = 9$.]]>
$18$]]>
Le périmètre a été partagé en deux au lieu de quatre : un carré a
quatre côtés de même longueur.]]>
$32$]]>
Une soustraction a remplacé la division : les quatre côtés
multiplient la longueur cherchée.]]>
$144$]]>
La multiplication éloigne du résultat : c'est la division par $4$
qui isole le côté.]]>
Équations du premier degré — Q17 : Retrouver un nombre
On multiplie un nombre par $6$, puis on retire $3$ au résultat : on
obtient $45$. Quel est ce nombre ?]]>
Pour remonter à un nombre de départ, on défait les opérations dans
l'ordre inverse : on annule d'abord la soustraction, puis la
multiplication.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Bonne réponse : l'équation est $6x - 3 = 45$, donc
$6x = 48$ et $x = 8$.]]>
$7$]]>
Le nombre $3$ a été retranché une seconde fois au lieu d'être
ajouté pour revenir en arrière.]]>
$48$]]>
Le calcul s'est arrêté à $6x = 48$ : il reste à
diviser par $6$.]]>
$-8$]]>
Erreur de signe : le nombre cherché est positif et vaut $8$.]]>
Équations du premier degré — Q18 : Inconnue précédée d'un signe moins
Quelle est la solution de l'équation $20 - 3x = 8$ ?]]>
Lorsque l'inconnue est précédée d'un signe moins, on commence par
isoler le terme en $x$ du côté où il est positif, puis on divise.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 4$]]>
Bonne réponse : on isole $3x$, ce qui donne
$3x = 12$, puis on divise par $3$.]]>
$x = -4$]]>
Le signe moins devant $3x$ a été mal géré : le résultat correct
est $4$.]]>
$x = 12$]]>
La division par $3$ a été oubliée après avoir isolé le terme en
$x$.]]>
$x = 28$]]>
Le nombre $8$ a été ajouté au lieu d'être retranché lors du
changement de membre.]]>
Équations du premier degré — Q19 : Solution sous forme de fraction
Quelle est la solution de l'équation $4x = 10$ ? On donnera une
fraction simplifiée.]]>
Une équation du premier degré n'a pas toujours une solution entière :
on écrit alors le quotient sous forme de fraction simplifiée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = \dfrac{5}{2}$]]>
Bonne réponse : $x = \dfrac{10}{4}$, fraction que l'on simplifie
pour obtenir $\dfrac{5}{2}$.]]>
$x = \dfrac{2}{5}$]]>
Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le
second membre par le coefficient, pas l'inverse.]]>
$x = 6$]]>
Une soustraction a remplacé la division. Une solution n'a aucune
obligation d'être entière.]]>
$x = 40$]]>
La multiplication a remplacé la division : le coefficient $4$
s'annule en divisant.]]>
Équations du premier degré — Q20 : Termes en $x$ de part et d'autre
Quelle est la solution de l'équation $3x + 2 = 32 - 2x$ ?]]>
Un terme en $x$ change de signe quand il change de membre. On additionne
ensuite les coefficients avant de diviser.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 6$]]>
Bonne réponse : le terme $-2x$ devient $+2x$ à gauche, d'où
$5x = 30$ et $x = 6$.]]>
$x = 10$]]>
Le terme $-2x$ n'a pas été regroupé avec $3x$ : le coefficient
de $x$ vaut $5$.]]>
$x = 30$]]>
Le regroupement est juste, mais la division par $5$ a été
oubliée.]]>
$x = -6$]]>
Erreur de signe lors du passage de $-2x$ dans l'autre membre : la
solution est $6$.]]>
Équations du premier degré — Q21 : Facteur réduit à $x$
Quelles sont les solutions de l'équation $x(x + 5) = 0$ ?]]>
Le facteur $x$ compte comme les autres : il donne l'équation $x = 0$,
donc la solution $0$, souvent oubliée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$ et $-5$]]>
Bonne réponse : le premier facteur est $x$ lui-même, qui s'annule
en $0$ ; le second donne $x = -5$.]]>
$0$ et $5$]]>
Le signe du second facteur n'a pas été changé : $x + 5 = 0$
donne $x = -5$.]]>
$-5$ uniquement]]>
Le facteur $x$ a été oublié : il fournit pourtant la solution $0$.]]>
$0$ uniquement]]>
Le second facteur a été oublié : il fournit la solution $-5$.]]>
Équations du premier degré — Q22 : Équations équivalentes
Les équations $3x + 5 = 20$ et $3x = 15$ sont équivalentes.
Qu'est-ce que cela veut dire ?]]>
Deux équations sont équivalentes quand elles ont exactement le même
ensemble de solutions. Les opérations faites sur les deux membres
conservent cette équivalence.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elles ont exactement les mêmes solutions]]>
Bonne réponse : toutes deux ont pour unique solution $5$. Résoudre,
c'est enchaîner des équations équivalentes de plus en plus simples.]]>
Elles s'écrivent avec exactement les mêmes nombres]]>
L'écriture ne dit rien : $20$ a disparu et $15$ est apparu, alors
que les deux équations restent équivalentes.]]>
On passe de l'une à l'autre en multipliant par $3$]]>
On est passé de l'une à l'autre en retranchant $5$ aux deux
membres, et non par une multiplication.]]>
Chacune des deux admet une solution entière]]>
Deux équations peuvent avoir chacune une solution entière sans avoir
la même : c'est l'égalité des solutions qui compte.]]>
Équations du premier degré — Q23 : Coefficient négatif
Quelle est la solution de l'équation $-3x = 12$ ?]]>
Diviser les deux membres par un nombre négatif change le signe du
résultat. On peut aussi multiplier d'abord l'équation par $-1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = -4$]]>
Bonne réponse : on divise les deux membres par $-3$, ce qui donne
$x = -4$.]]>
$x = 4$]]>
Le signe moins du coefficient a été oublié : diviser par $-3$
change le signe du résultat.]]>
$x = 9$]]>
Une soustraction a remplacé la division par le coefficient de $x$.]]>
$x = -36$]]>
La multiplication a remplacé la division : c'est bien $-3$ qui
divise le second membre.]]>
Équations du premier degré — Q24 : Deux tarifs égaux
Un abonnement coûte $40$ € à l'inscription, puis $5$ € par mois. Un
autre coûte $9$ € par mois, sans frais d'inscription. Au bout de
combien de mois aura-t-on payé la même somme ?]]>
Deux tarifs sont égaux lorsque leurs expressions le sont : on écrit une
équation entre les deux, puis on regroupe les termes en $x$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Bonne réponse : l'équation est $40 + 5x = 9x$, donc
$4x = 40$ et $x = 10$.]]>
$4$]]>
C'est l'écart entre les deux prix mensuels, pas le nombre de mois
cherché.]]>
$8$]]>
Le second tarif a été ignoré : c'est la différence des prix
mensuels qui rattrape les frais d'inscription.]]>
$20$]]>
Le résultat a été doublé : l'équation donne directement $10$
mois.]]>
Équations du premier degré — Q25 : Signe moins devant une parenthèse
Quelle est la solution de l'équation $4x - (x + 3) = 15$ ?]]>
Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses
termes. C'est l'erreur la plus fréquente dans ce type d'équation.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 6$]]>
Bonne réponse : le signe moins change les deux termes de la
parenthèse, d'où $3x - 3 = 15$ et $x = 6$.]]>
$x = 4$]]>
Le signe moins n'a été appliqué qu'au premier terme : il porte sur
toute la parenthèse.]]>
$x = 18$]]>
Le calcul s'est arrêté avant la division par $3$, le
coefficient de $x$ après réduction.]]>
$x = -6$]]>
Erreur de signe en fin de résolution : la solution est $6$.]]>
Équations du premier degré — Q26 : Facteur constant dans un produit nul
Quelles sont les solutions de l'équation
$5(x - 2)(x + 7) = 0$ ?]]>
Seuls les facteurs contenant l'inconnue donnent des solutions. Un
facteur constant non nul peut être simplement divisé de chaque côté.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$ et $-7$]]>
Bonne réponse : le facteur $5$ ne s'annule jamais, seuls les deux
autres facteurs fournissent des solutions.]]>
$0$, $2$ et $-7$]]>
Le nombre $0$ a été ajouté sans raison : aucun facteur ne se réduit
à $x$ dans cette équation.]]>
$-2$ et $7$]]>
Les signes n'ont pas été changés : $x - 2 = 0$ donne $2$.]]>
$2$, $-7$ et $5$]]>
Le facteur constant $5$ a été compté comme une solution, alors
qu'il ne contient pas l'inconnue.]]>
Équations du premier degré — Q27 : Fraction avec un terme en $x$
Quelle est la solution de l'équation
$\dfrac{2x + 6}{5} = 4$ ?]]>
On supprime d'abord le dénominateur en multipliant les deux membres,
puis on résout l'équation du premier degré obtenue.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 7$]]>
Bonne réponse : on multiplie par $5$, d'où
$2x + 6 = 20$, puis on isole $x$.]]>
$x = -1$]]>
La multiplication par $5$ a été oubliée : le dénominateur porte
sur tout le numérateur.]]>
$x = 13$]]>
Le terme $6$ a gardé son signe en changeant de membre, ce qui
décale le résultat.]]>
$x = 14$]]>
Le calcul s'est arrêté à $2x = 14$ : il reste la
division par $2$.]]>
Équations du premier degré — Q28 : Équation sans solution
Pourquoi l'équation $2x + 5 = 2x + 9$ n'a-t-elle aucune solution ?]]>
Quand les termes en $x$ se simplifient et laissent une égalité fausse
entre deux nombres, l'équation n'a aucune solution.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
En retirant $2x$ de chaque côté, il resterait $5 = 9$]]>
Bonne réponse : l'inconnue disparaît et laisse une égalité fausse,
donc aucune valeur de $x$ ne peut convenir.]]>
Parce que $5$ et $9$ ne sont pas des multiples de $2$]]>
Les multiples n'ont rien à voir ici : $2x + 5 = 2x + 8$ n'aurait pas
davantage de solution.]]>
Parce que l'inconnue apparaît dans les deux membres de l'égalité]]>
Une inconnue présente des deux côtés ne gêne pas :
$2x + 5 = 3x + 9$ a bien une solution.]]>
Parce que $x$ devrait alors valoir $0$, ce qui ne convient pas]]>
La valeur $0$ ne convient pas, mais aucune autre non plus : le
problème ne vient pas de cette valeur particulière.]]>
Équations du premier degré — Q29 : Largeur d'un rectangle
Le périmètre d'un rectangle est de $44$ cm et sa longueur dépasse sa
largeur de $6$ cm. Quelle est sa largeur, en centimètres ?]]>
On note la largeur $x$, la longueur devient $x + 6$, et le périmètre
s'écrit $2(x + x + 6)$. L'équation obtenue est du premier degré.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Bonne réponse : en notant $x$ la largeur, $2(x + x + 6) = 44$,
donc $4x = 32$ et $x = 8$.]]>
$16$]]>
Le calcul s'est arrêté à $2x = 16$, qui est la somme
des deux largeurs et non une largeur.]]>
$14$]]>
C'est la longueur du rectangle : la largeur est plus petite de
$6$ cm.]]>
$11$]]>
Le périmètre a été partagé en quatre parts égales, ce qui
reviendrait à traiter le rectangle comme un carré.]]>
Équations du premier degré — Q30 : Solution fractionnaire
Quelle est la solution de l'équation $5x + 1 = 2x + 3$ ?
On donnera une fraction.]]>
Après regroupement, la solution s'écrit comme un quotient. Elle n'a
aucune raison d'être entière et se donne alors en fraction simplifiée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = \dfrac{2}{3}$]]>
Bonne réponse : on regroupe, ce qui donne $3x = 2$,
puis on divise pour obtenir $\dfrac{2}{3}$.]]>
$x = \dfrac{3}{2}$]]>
Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le
nombre par le coefficient de $x$.]]>
$x = -\dfrac{2}{3}$]]>
Erreur de signe lors du regroupement : le coefficient de $x$ vaut
$3$.]]>
$x = \dfrac{4}{7}$]]>
Les termes ont été additionnés au lieu d'être soustraits : passer
d'un membre à l'autre change le signe.]]>
Équations du premier degré — Q31 : Tester si un nombre est solution
Le nombre $3$ est-il solution de l'équation $3x + 2 = 11$ ?]]>
Un nombre est solution si, en remplaçant l'inconnue par ce nombre,
les deux membres prennent la même valeur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, car $3 \times 3 + 2 = 11$]]>
Bonne réponse : on remplace $x$ par $3$ dans le membre de
gauche : $3 \times 3 + 2 = 11$, à comparer avec $11$.]]>
Non, car $3 \times 3 + 2$ ne vaut pas $11$]]>
Erreur : le calcul $3 \times 3 + 2$ donne $11$ ; c'est sa
comparaison avec $11$ qui décide.]]>
On ne peut pas savoir sans résoudre l'équation]]>
Erreur : tester un nombre ne demande aucune résolution, seulement
un calcul de chaque membre.]]>
Oui, tout nombre entier est solution]]>
Erreur : une équation du premier degré n'a en général qu'une
seule solution.]]>
Équations du premier degré — Q32 : Une équation sans solution
Combien de solutions l'équation $x + 3 = x + 5$ possède-t-elle ?]]>
Une équation peut n'avoir aucune solution : après simplification,
on tombe sur une égalité fausse entre deux nombres.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Aucune, car on obtient $3 = 5$, qui est faux]]>
Bonne réponse : en retirant $x$ des deux membres, il reste
$3 = 5$, égalité fausse quelle que soit la valeur de $x$.]]>
Une seule, $x = 2$, qui vérifie l'égalité]]>
Erreur : pour $x = 2$, le membre de gauche vaut $5$ et celui de
droite $7$ ; ce ne sont pas des valeurs égales.]]>
Une seule, $x = -2$, l'opposé de l'écart]]>
Erreur : $-2$ est la différence entre $3$ et $5$, pas une
solution ; vérifiez en remplaçant.]]>
Une infinité, $x$ pouvant prendre toute valeur]]>
Erreur : aucune valeur ne convient, puisqu'un nombre plus $3$ ne
peut pas égaler le même nombre plus $5$.]]>
Équations du premier degré — Q33 : Une équation vraie pour toute valeur
Combien de solutions l'équation $2(x + 1) = 2x + 2$ possède-t-elle ?]]>
Quand une équation se ramène à une égalité toujours vraie, tout
nombre est solution : l'égalité de départ est une identité.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une infinité, l'égalité étant toujours vraie]]>
Bonne réponse : en développant le membre de gauche, on obtient
$2x + 2 = 2x + 2$ ; l'égalité est vraie quelle que soit la
valeur de $x$.]]>
Une seule, $x = 1$, qui vérifie l'égalité]]>
Erreur : $x = 1$ convient, mais $x = 0$, $x = 7$ ou n'importe
quel autre nombre conviennent aussi.]]>
Aucune, car il reste $2 = 2$ sans $x$]]>
Erreur : $2 = 2$ est une égalité vraie ; elle ne rejette
aucune valeur, elle les accepte toutes.]]>
Deux, $x = 1$ et $x = -1$, symétriques]]>
Erreur : il n'y a aucune raison de s'arrêter à deux valeurs ;
toutes conviennent.]]>
Équations du premier degré — Q34 : Dans combien d'années
Lina a $13$ ans. Dans combien d'années aura-t-elle $20$ ans ?
On note $n$ ce nombre d'années.]]>
Mettre en équation : choisir l'inconnue, écrire l'âge futur
$13 + n$, puis l'égaler à l'âge voulu.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$13 + n = 20$, d'où $n = 7$]]>
Bonne réponse : dans $n$ années, Lina aura $13 + n$ ans ; on
veut $13 + n = 20$, soit $n = 20 - 13 = 7$.]]>
$13 - n = 20$, d'où $n = -7$]]>
Erreur : les années à venir s'ajoutent à l'âge actuel ; un
nombre d'années négatif n'a pas de sens ici.]]>
$13 \times n = 20$]]>
Erreur : l'âge n'est pas multiplié par le nombre d'années, il
augmente de $1$ par an.]]>
$n = 33$]]>
Erreur : $33$ est la somme des deux âges, qui ne répond pas à la
question.]]>
Équations du premier degré — Q35 : Largeur d'un rectangle connaissant son périmètre
La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de $3$ cm et son
périmètre vaut $26$ cm. On note $x$ la largeur en cm. Quelle est
la largeur ?]]>
On exprime la longueur, $x + 3$, puis le périmètre,
$2(x + x + 3)$, et on résout l'équation obtenue.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5$ cm, solution de $2(x + x + 3) = 26$]]>
Bonne réponse : le périmètre est $2 \times (\text{largeur} +
\text{longueur}) = 2(2x + 3) = 4x + 2 \times 3$ ; on résout
$4x + 2 \times 3 = 26$ et $x = 5$.]]>
$11$ cm, solution de $x + x + 3 = 26$]]>
Erreur : $x + x + 3$ n'est que la moitié du périmètre ; il
manque le facteur $2$.]]>
$6$ cm, le quart du périmètre]]>
Erreur : le quart du périmètre serait le côté d'un carré ;
ici longueur et largeur diffèrent de $3$ cm.]]>
$3$ cm, la différence des côtés]]>
Erreur : $3$ est l'écart entre longueur et largeur, pas la
largeur.]]>
Équations du premier degré — Q36 : Un partage en trois parts inégales
Trois amis se partagent $45$ €. Noé reçoit $5$ € de plus que
Lou, et Sam reçoit le double de Lou. On note $x$ la part de Lou.
Combien Lou reçoit-elle ?]]>
On exprime chaque part en fonction de l'inconnue, on écrit que leur
somme vaut le total, puis on résout.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$ €, solution de $4x + 5 = 45$]]>
Bonne réponse : les trois parts sont $x$, $x + 5$ et $2x$ ;
leur somme vaut $4x + 5 = 45$, d'où $x = 10$.]]>
$15$ €, le tiers de la somme]]>
Erreur : le partage n'est pas égal ; le tiers ne convient que
si les trois parts sont identiques.]]>
$13$ €, solution de $3x + 5 = 45$]]>
Erreur : la part de Sam vaut $2x$, pas $x$ ; il manque un $x$
dans la somme.]]>
$11$ €, solution de $4x = 45$]]>
Erreur : les $5$ € supplémentaires de Noé ont été oubliés.]]>