$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Pythagore et trigonométrie Théorème de Pythagore, sa réciproque, et trigonométrie du triangle
rectangle : cosinus, sinus, tangente, longueurs et angles.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q01 : Reconnaître l'hypoténuse Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Quel côté est son hypoténuse ?

]]> Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle
droit. C'est toujours le plus long des trois côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le côté $[BC]$, opposé à l'angle droit

]]> Bonne réponse : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit,
donc $[BC]$ lorsque le triangle est rectangle en $A$.

]]> Le côté $[AB]$, le plus court des trois

]]> Erreur : l'hypoténuse est au contraire le plus long des trois
côtés, et c'est ici $[BC]$.

]]> Le côté $[AC]$, qui porte l'angle droit

]]> Erreur : $[AB]$ et $[AC]$ forment l'angle droit. L'hypoténuse lui
fait face, c'est donc $[BC]$.

]]> Le côté $[AB]$, nommé en premier

]]> Erreur : l'ordre des lettres ne décide de rien. On repère l'angle
droit, en $A$, et l'hypoténuse est le côté opposé, $[BC]$.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q02 : Calculer l'hypoténuse Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$ cm et
$AC = 4$ cm. Combien mesure $BC$ ?

]]> Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle en $A$, on a
$BC^2 = AB^2 + AC^2$. On additionne les carrés, puis on prend la
racine carrée de la somme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ cm

]]> Bonne réponse : $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, donc
$BC = 5$ cm.

]]> $7$ cm

]]> Erreur classique : on additionne les longueurs au lieu des carrés.
On a $BC^2 = 25$, donc $BC = 5$ cm.

]]> $25$ cm

]]> Tu as trouvé $BC^2$ et tu t'es arrêté là. Il reste à prendre la
racine carrée : $BC = 5$ cm.

]]> $1$ cm

]]> Erreur : on n'ôte pas les longueurs, on ajoute leurs carrés. Le
calcul donne $BC = 5$ cm.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q03 : Calculer un côté de l'angle droit Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On sait que $BC = 5$ cm et
$AB = 3$ cm. Combien mesure $AC$ ?

]]> Quand l'hypoténuse est connue, on isole le côté cherché :
$AC^2 = BC^2 - AB^2$. On termine toujours par la racine carrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$ cm

]]> Bonne réponse : $AC^2 = 5^2 - 3^2 = 16$, donc
$AC = 4$ cm.

]]> $2$ cm

]]> Erreur : la soustraction porte sur les carrés, pas sur les
longueurs. On obtient $AC^2 = 16$, puis $AC = 4$ cm.

]]> $8$ cm

]]> Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc la plus grande longueur. On
retranche ici, et $AC = 4$ cm.

]]> $16$ cm

]]> Tu as calculé $AC^2$ sans prendre la racine carrée. La longueur
cherchée vaut $4$ cm.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q04 : L'égalité de Pythagore Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. Quelle égalité est vraie ?

]]> On repère d'abord l'angle droit. Le côté qui lui est opposé est
l'hypoténuse, et son carré vaut la somme des carrés des deux autres
côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $RT^2 = RS^2 + ST^2$

]]> Bonne réponse : l'angle droit est en $S$, donc l'hypoténuse est
$[RT]$ et son carré vaut la somme des deux autres carrés.

]]> $RS^2 = RT^2 + ST^2$

]]> Erreur : $[RS]$ borde l'angle droit, ce n'est pas l'hypoténuse.
C'est $RT^2$ qui vaut la somme des deux autres.

]]> $ST^2 = RS^2 + RT^2$

]]> Erreur : $[ST]$ borde lui aussi l'angle droit. L'hypoténuse est le
côté $[RT]$, opposé au sommet $S$.

]]> $RT^2 = RS^2 \times ST^2$

]]> Erreur : l'égalité de Pythagore additionne les carrés, elle ne les
multiplie jamais.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q05 : Carré de l'hypoténuse Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 2$ et
$AC = 3$. Que vaut $BC^2$ ?

]]> Le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres
côtés. Attention : $(a + b)^2$ ne vaut pas $a^2 + b^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $13$

]]> Bonne réponse : $BC^2 = 2^2 + 3^2 = 13$. On additionne
bien les carrés des deux côtés de l'angle droit.

]]> $25$

]]> Erreur fréquente : $(2 + 3)^2$ n'est pas $2^2 + 3^2$. La
bonne somme des carrés vaut $13$.

]]> $10$

]]> Erreur : élever au carré n'est pas multiplier par $2$. On obtient
$13$ et non $10$.

]]> $5$

]]> Erreur : on soustrait les carrés seulement quand on cherche un
côté de l'angle droit. Ici on les additionne : $13$.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q06 : Côté opposé à un angle Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Quel côté est opposé à
l'angle $\widehat{ABC}$ ?

]]> Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, le côté opposé est celui
qui ne touche pas son sommet, et le côté adjacent est celui qui le
touche sans être l'hypoténuse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le côté $[AC]$

]]> Bonne réponse : le côté opposé à $\widehat{ABC}$ est celui qui ne
touche pas le sommet $B$, c'est $[AC]$.

]]> Le côté $[AB]$

]]> Erreur : $[AB]$ part du sommet $B$. Il est adjacent à l'angle, pas
opposé à lui.

]]> Le côté $[BC]$

]]> Erreur : $[BC]$ part aussi de $B$, et c'est même l'hypoténuse. Le
côté opposé est $[AC]$.

]]> Aucun, car $B$ est un sommet

]]> Erreur : chaque angle aigu d'un triangle rectangle possède bien un
côté opposé, ici $[AC]$.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q07 : Écrire un cosinus Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$, $AC = 4$
et $BC = 5$. Que vaut $\cos(\widehat{ABC})$ ?

]]> Cosinus d'un angle aigu : côté adjacent divisé par hypoténuse. On
repère d'abord le sommet de l'angle, puis les deux côtés qui le
touchent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{5}$

]]> Bonne réponse : le cosinus est le quotient du côté adjacent par
l'hypoténuse, soit $AB$ divisé par $BC$.

]]> $\dfrac{5}{3}$

]]> Quotient inversé : l'hypoténuse est au dénominateur, jamais au
numérateur.

]]> $\dfrac{4}{5}$

]]> C'est le sinus : $AC$ est le côté opposé à $\widehat{ABC}$, pas le
côté adjacent.

]]> $\dfrac{3}{4}$

]]> C'est un quotient de deux côtés de l'angle droit, donc l'inverse
de la tangente, pas le cosinus.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q08 : Écrire un sinus Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 5$, $AC = 12$
et $BC = 13$. Que vaut $\sin(\widehat{ABC})$ ?

]]> Sinus d'un angle aigu : côté opposé divisé par hypoténuse. Comme
l'hypoténuse est le plus grand côté, ce quotient est toujours
inférieur à $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{12}{13}$

]]> Bonne réponse : le sinus est le quotient du côté opposé par
l'hypoténuse, soit $AC$ divisé par $BC$.

]]> $\dfrac{5}{13}$

]]> C'est le cosinus : $AB$ touche le sommet $B$, c'est le côté
adjacent et non le côté opposé.

]]> $\dfrac{12}{5}$

]]> C'est la tangente : elle compare les deux côtés de l'angle droit,
sans faire intervenir l'hypoténuse.

]]> $\dfrac{13}{12}$

]]> Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le
résultat dépasserait $1$.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q09 : Écrire une tangente Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$, $AC = 4$
et $BC = 5$. Que vaut $\tan(\widehat{ABC})$ ?

]]> Tangente d'un angle aigu : côté opposé divisé par côté adjacent.
C'est le seul des trois quotients qui ignore l'hypoténuse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{4}{3}$

]]> Bonne réponse : la tangente est le quotient du côté opposé par le
côté adjacent, soit $AC$ divisé par $AB$.

]]> $\dfrac{3}{4}$

]]> Quotient inversé : le côté opposé va au numérateur, le côté
adjacent au dénominateur.

]]> $\dfrac{4}{5}$

]]> C'est le sinus : la tangente n'utilise jamais l'hypoténuse dans
son écriture.

]]> $\dfrac{3}{5}$

]]> C'est le cosinus : là encore l'hypoténuse apparaît, ce qui exclut
la tangente.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q10 : La formule du cosinus Dans un triangle rectangle, quelle égalité définit le cosinus d'un
angle aigu ?

]]> Les trois quotients à retenir : cosinus adjacent sur hypoténuse,
sinus opposé sur hypoténuse, tangente opposé sur adjacent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

]]> Bonne réponse : le cosinus compare le côté adjacent à
l'hypoténuse.

]]> $\cos = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$

]]> Confusion avec le sinus, qui est le quotient du côté opposé par
l'hypoténuse.

]]> $\cos = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

]]> Confusion avec la tangente, seul quotient qui n'utilise pas
l'hypoténuse.

]]> $\cos = \dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}}$

]]> Quotient inversé : ainsi écrit, le résultat dépasserait $1$, ce
qui est impossible pour un cosinus.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q11 : Conclure avec la réciproque Dans un triangle $ABC$, on constate que $BC^2 = AB^2 + AC^2$. Que
peut-on en conclure ?

]]> Réciproque du théorème de Pythagore : si le carré du plus grand côté
est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est
rectangle, et l'angle droit est opposé à ce plus grand côté.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le triangle est rectangle en $A$

]]> Bonne réponse : l'égalité désigne $[BC]$ comme hypoténuse, donc
l'angle droit est au sommet opposé, en $A$.

]]> Le triangle est rectangle en $B$

]]> Erreur : le sommet de l'angle droit est celui qui ne touche pas
l'hypoténuse $[BC]$, c'est donc $A$.

]]> Le triangle est rectangle en $C$

]]> Erreur : $C$ est une extrémité de $[BC]$, donc un sommet de
l'hypoténuse, pas celui de l'angle droit.

]]> Le triangle est isocèle de sommet $A$

]]> Erreur : l'égalité porte sur des carrés, elle ne dit rien de
l'égalité de deux côtés.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q12 : Diagonale d'un rectangle Un rectangle mesure $4$ cm de longueur et $3$ cm de largeur.
Combien mesure sa diagonale ?

]]> Une diagonale de rectangle partage la figure en deux triangles
rectangles dont elle est l'hypoténuse. Pythagore s'applique
directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ cm

]]> Bonne réponse : la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle
rectangle de côtés $4$ et $3$, donc elle vaut $5$ cm.

]]> $7$ cm

]]> Erreur : on additionne les carrés, pas les longueurs. La diagonale
mesure $5$ cm.

]]> $25$ cm

]]> C'est le carré de la diagonale. Il reste à en prendre la racine
carrée pour trouver $5$ cm.

]]> $2{,}6$ cm

]]> Erreur : la diagonale est l'hypoténuse, donc on additionne les
carrés au lieu de les soustraire.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q13 : Échelle contre un mur Une échelle de $13$ m est appuyée contre un mur, son pied posé à
$5$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

]]> Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont
l'échelle est l'hypoténuse. On retranche donc les carrés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$ m

]]> Bonne réponse : l'échelle est l'hypoténuse, donc la hauteur vérifie
$13^2 - 5^2 = 144$, d'où $12$ m.

]]> $8$ m

]]> Erreur : la soustraction se fait sur les carrés, pas sur les
longueurs. La hauteur vaut $12$ m.

]]> $18$ m

]]> Erreur : la hauteur atteinte est forcément plus petite que
l'échelle, qui est l'hypoténuse.

]]> $144$ m

]]> C'est le carré de la hauteur. Sa racine carrée donne la réponse :
$12$ m.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q14 : Hypoténuse arrondie Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 5$ cm et
$AC = 7$ cm. Combien mesure $BC$, arrondi au dixième ?

]]> Quand la somme des carrés n'est pas un carré parfait, on garde la
valeur affichée par la calculatrice et on arrondit à la précision
demandée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8{,}6$ cm

]]> Bonne réponse : $BC^2 = 74$, et la racine carrée arrondie au
dixième donne $8{,}6$ cm.

]]> $12$ cm

]]> Erreur : on ajoute les carrés, pas les longueurs. On trouve
$8{,}6$ cm.

]]> $74$ cm

]]> C'est $BC^2$. La racine carrée reste à prendre, ce qui donne
$8{,}6$ cm.

]]> $4{,}9$ cm

]]> Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc on additionne les carrés au
lieu de les soustraire.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q15 : Longueur par le cosinus Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\widehat{ABC}$
mesure $37°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $15$ cm. On donne
$\cos(37°) \approx 0{,}8$ et $\sin(37°) \approx 0{,}6$.
Combien mesure $AB$ ?

]]> Quand l'hypoténuse et un angle aigu sont connus, le côté adjacent
s'obtient en multipliant l'hypoténuse par le cosinus de cet angle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$ cm

]]> Bonne réponse : $[AB]$ est le côté adjacent, donc
$AB = BC \times \cos(37°) = 12$ cm.

]]> $9$ cm

]]> Confusion des deux quotients : le sinus donne le côté opposé
$[AC]$, alors que $[AB]$ est le côté adjacent.

]]> $18{,}8$ cm

]]> Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le cosinus. Diviser
donnerait une longueur plus grande que l'hypoténuse.

]]> $25$ cm

]]> Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une
multiplication.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q16 : Longueur par la tangente Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\widehat{ABC}$
mesure $37°$ et $AB = 8$ cm. On donne
$\tan(37°) \approx 0{,}75$. Combien mesure $AC$ ?

]]> La tangente relie les deux côtés de l'angle droit. Connaissant le
côté adjacent, on obtient le côté opposé en le multipliant par la
tangente de l'angle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ cm

]]> Bonne réponse : $\tan(37°) = \dfrac{AC}{AB}$, donc
$AC = 8 \times 0{,}75 = 6$ cm.

]]> $10{,}7$ cm

]]> Quotient inversé : $AC$ est au numérateur de la tangente, donc on
multiplie $AB$ au lieu de diviser.

]]> $8{,}75$ cm

]]> Erreur : la tangente est un facteur multiplicatif, on ne l'ajoute
pas à la longueur connue.

]]> $7{,}25$ cm

]]> Erreur : la tangente n'est pas une longueur à retrancher, c'est un
quotient de deux côtés.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q17 : Longueur par le sinus Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\widehat{ABC}$
mesure $30°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $14$ cm. On donne
$\sin(30°) \approx 0{,}5$ et $\cos(30°) \approx 0{,}87$.
Combien mesure $AC$ ?

]]> Connaissant l'hypoténuse et un angle aigu, le côté opposé s'obtient
en multipliant l'hypoténuse par le sinus de cet angle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$ cm

]]> Bonne réponse : $[AC]$ est le côté opposé à $\widehat{ABC}$, donc
$AC = BC \times \sin(30°) = 7$ cm.

]]> $12{,}18$ cm

]]> Confusion des deux quotients : le cosinus donne le côté adjacent
$[AB]$, pas le côté opposé $[AC]$.

]]> $28$ cm

]]> Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le sinus. Le résultat doit
rester plus petit que l'hypoténuse.

]]> $16{,}1$ cm

]]> Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une
multiplication.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q18 : Égalité qui donne l'angle Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$ cm et
$BC = 5$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\widehat{ABC}$ ?

]]> Pour retrouver un angle, on choisit le quotient qui n'utilise que les
deux longueurs connues, puis la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{3}{5}$

]]> Bonne réponse : les deux longueurs connues sont le côté adjacent
et l'hypoténuse, ce qui est exactement le cosinus.

]]> $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{5}{3}$

]]> Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le
cosinus dépasserait $1$.

]]> $\sin(\widehat{ABC}) = \dfrac{3}{5}$

]]> Erreur : $[AB]$ touche le sommet $B$, c'est le côté adjacent. Le
sinus utiliserait $[AC]$.

]]> $\tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{3}{5}$

]]> Erreur : la tangente ne fait jamais intervenir l'hypoténuse, or
$[BC]$ en est une.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q19 : Triangle non rectangle Un triangle a pour côtés $6$ cm, $8$ cm et $11$ cm. Est-il rectangle ?

]]> On calcule à part le carré du plus grand côté et la somme des carrés
des deux autres. S'ils diffèrent, le triangle n'est pas rectangle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car $6^2 + 8^2 = 100$ et $11^2 = 121$

]]> Bonne réponse : les deux nombres diffèrent, donc l'égalité de
Pythagore n'est pas vérifiée et le triangle n'est pas rectangle.

]]> Oui, car $6^2 + 8^2 = 100$ et $11^2 = 100$

]]> Erreur de calcul : $11^2 = 121$, et non $100$. L'égalité échoue.

]]> Oui, car $6 + 8 = 14$ dépasse la longueur $11$

]]> Cette comparaison dit seulement que le triangle existe. Elle ne
renseigne pas sur la présence d'un angle droit.

]]> Non, car $6 + 8 = 14$ n'est pas égal à $11$

]]> La conclusion est juste mais la raison est fausse : la réciproque
compare des carrés, pas des longueurs.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q20 : Repérer un triplet Parmi ces triplets de longueurs, lequel donne un triangle rectangle ?

]]> On teste toujours l'égalité sur le plus grand côté. Les triplets
$3$, $4$, $5$ et $5$, $12$, $13$ et leurs multiples reviennent sans
cesse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$, $12$ et $15$

]]> Bonne réponse : $81 + 144 = 225$, qui est bien $15^2$. C'est le
triplet $3$, $4$, $5$ multiplié par $3$.

]]> $10$, $12$ et $16$

]]> Erreur : $100 + 144 = 244$, alors que $16^2 = 256$. L'égalité
n'est pas vérifiée.

]]> $5$, $7$ et $9$

]]> Erreur : $25 + 49 = 74$, alors que $9^2 = 81$. Le triangle existe
mais n'a pas d'angle droit.

]]> $6$, $9$ et $12$

]]> Erreur : $36 + 81 = 117$, alors que $12^2 = 144$. Multiplier
$3$, $4$, $5$ par $3$ donnerait $9$, $12$, $15$.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q21 : Périmètre d'un triangle rectangle Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $9$ cm et
$12$ cm. Quel est son périmètre ?

]]> Le périmètre est la somme des trois côtés. Il faut donc d'abord
calculer l'hypoténuse par le théorème de Pythagore.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $36$ cm

]]> Bonne réponse : l'hypoténuse vaut $15$ cm, donc le périmètre est
$9 + 12 + 15 = 36$ cm.

]]> $21$ cm

]]> Il manque l'hypoténuse : elle mesure $15$ cm et fait partie du
contour.

]]> $42$ cm

]]> Erreur : on a compté deux fois les côtés de l'angle droit, comme
pour un rectangle. Un triangle n'a que trois côtés.

]]> $54$ cm

]]> C'est l'aire du triangle, pas son périmètre. Le périmètre est la
somme des trois longueurs.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q22 : Angle et deux côtés de l'angle droit Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 4$ cm et
$AC = 7$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\widehat{ABC}$ ?

]]> Le choix du quotient dépend des longueurs connues. Deux côtés de
l'angle droit conduisent toujours à la tangente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{7}{4}$

]]> Bonne réponse : les deux longueurs connues bordent l'angle droit,
c'est donc la tangente qu'il faut utiliser.

]]> $\tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{4}{7}$

]]> Quotient inversé : le côté opposé $[AC]$ va au numérateur, le côté
adjacent $[AB]$ au dénominateur.

]]> $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{7}{4}$

]]> Erreur : le cosinus exige l'hypoténuse $[BC]$, qui n'est pas
connue ici.

]]> $\sin(\widehat{ABC}) = \dfrac{7}{4}$

]]> Erreur : le sinus exige lui aussi l'hypoténuse, absente des
données.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q23 : Somme à comparer Pour savoir si le triangle de côtés $5$ cm, $6$ cm et $8$ cm
est rectangle, on compare $8^2$ à la somme des carrés des deux
autres côtés. Que vaut cette somme ?

]]> La réciproque se teste en deux calculs séparés : la somme des carrés
des deux petits côtés d'une part, le carré du plus grand d'autre
part.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $61$

]]> Bonne réponse : $5^2 + 6^2 = 61$. Comme $8^2 = 64$,
les deux nombres diffèrent et le triangle n'est pas rectangle.

]]> $64$

]]> C'est le carré du plus grand côté, l'autre membre de la
comparaison. La somme demandée vaut $61$.

]]> $121$

]]> Erreur classique : on a calculé $(5 + 6)^2$ au lieu de
$5^2 + 6^2$, qui vaut $61$.

]]> $30$

]]> Erreur : les carrés s'additionnent, ils ne se remplacent pas par
le produit des deux longueurs.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q24 : Cosinus sous forme irréductible Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 10$, $AC = 24$
et $BC = 26$. Quel est $\cos(\widehat{ABC})$ sous forme
irréductible ?

]]> On écrit d'abord le quotient adjacent sur hypoténuse, puis on
simplifie la fraction par le plus grand diviseur commun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{5}{13}$

]]> Bonne réponse : le cosinus vaut $\dfrac{10}{26}$, que l'on
simplifie pour obtenir $\dfrac{5}{13}$.

]]> $\dfrac{13}{5}$

]]> Quotient inversé : un cosinus d'angle aigu reste inférieur à $1$,
ce qui n'est pas le cas ici.

]]> $\dfrac{12}{13}$

]]> C'est le sinus : $[AC]$ est le côté opposé à $\widehat{ABC}$, pas
le côté adjacent.

]]> $\dfrac{5}{12}$

]]> C'est l'inverse de la tangente : ce quotient ne fait pas
intervenir l'hypoténuse.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q25 : Repérer l'hypoténuse avant de calculer Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. On donne $RS = 5$ cm et
$RT = 13$ cm. Combien mesure $ST$ ?

]]> Avant tout calcul, on repère le sommet de l'angle droit : le côté
opposé est l'hypoténuse. On additionne ou on retranche les carrés
selon que l'inconnue est cette hypoténuse ou non.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$ cm

]]> Bonne réponse : l'angle droit est en $S$, donc $[RT]$ est
l'hypoténuse et $ST^2 = 13^2 - 5^2$, d'où $12$ cm.

]]> $13{,}9$ cm

]]> Piège évité de justesse : $[RT]$ est déjà l'hypoténuse, on
retranche donc les carrés au lieu de les additionner.

]]> $8$ cm

]]> Erreur : la soustraction porte sur les carrés, jamais directement
sur les longueurs.

]]> $18$ cm

]]> Erreur : $[ST]$ borde l'angle droit, il est donc plus court que
l'hypoténuse $[RT]$.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q26 : Une tangente plus grande que 1 Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu peut-elle
valoir $2{,}5$ ?

]]> Sinus et cosinus d'un angle aigu sont toujours inférieurs à $1$ parce
qu'ils se comparent à l'hypoténuse. La tangente, elle, n'a pas de
limite supérieure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, si le côté opposé dépasse l'adjacent

]]> Bonne réponse : la tangente compare les deux côtés de l'angle
droit, et ce quotient peut dépasser $1$.

]]> Non, une tangente reste toujours plus petite que $1$

]]> Confusion avec le sinus et le cosinus : eux se comparent à
l'hypoténuse, donc restent inférieurs à $1$.

]]> Non, seul un angle obtus donnerait cela

]]> Erreur : un triangle rectangle possède un angle droit et deux
angles aigus, jamais d'angle obtus.

]]> Oui, mais uniquement pour un angle de $45°$

]]> Erreur : à $45°$ la tangente vaut exactement $1$. Elle dépasse
$1$ pour tout angle plus grand.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q27 : Retrouver l'hypoténuse Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\widehat{ABC}$
mesure $30°$ et le côté $AC$ mesure $7$ cm. On donne
$\sin(30°) \approx 0{,}5$ et $\cos(30°) \approx 0{,}87$.
Combien mesure $BC$, arrondi au dixième ?

]]> Quand l'inconnue se trouve au dénominateur du quotient, on divise la
longueur connue par le sinus ou le cosinus de l'angle. Le résultat
doit rester cohérent : l'hypoténuse est le plus grand côté.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $14$ cm

]]> Bonne réponse : $\sin(30°) = \dfrac{AC}{BC}$, donc
$BC = 7 \div 0{,}5 \approx 14$ cm.

]]> $3{,}5$ cm

]]> Piège de l'inconnue au dénominateur : ici on divise, car
l'hypoténuse est plus grande que le côté opposé.

]]> $8$ cm

]]> Mauvais quotient : $[AC]$ est le côté opposé à $\widehat{ABC}$,
c'est donc le sinus qui intervient.

]]> $6{,}09$ cm

]]> Double erreur : mauvais quotient, et multiplication au lieu d'une
division.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q28 : Aire d'un triangle rectangle Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Son hypoténuse $BC$ mesure
$10$ cm et $AB = 6$ cm. Quelle est son aire ?

]]> Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit jouent le
rôle de base et de hauteur. Il faut donc calculer le côté manquant
avant de diviser le produit par $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $24$ cm$^2$

]]> Bonne réponse : $AC = 8$ cm, et l'aire vaut
$\dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ cm$^2$.

]]> $30$ cm$^2$

]]> Piège : l'hypoténuse n'est pas une hauteur du triangle. Les deux
côtés de l'angle droit sont $6$ et $8$.

]]> $48$ cm$^2$

]]> Erreur : c'est l'aire du rectangle correspondant. Celle du
triangle en est la moitié, soit $24$ cm$^2$.

]]> $40$ cm$^2$

]]> Erreur : $[BC]$ et $[AC]$ ne forment pas l'angle droit, ils ne
peuvent pas servir de base et de hauteur.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q29 : Un cosinus impossible Un élève trouve $\cos(\widehat{ABC}) = 1{,}25$ dans un triangle
rectangle. Pourquoi est-ce impossible ?

]]> Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des quotients dont le
dénominateur, l'hypoténuse, est le plus grand côté. Ils restent donc
compris entre $0$ et $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'adjacent est plus court que l'hypoténuse

]]> Bonne réponse : ce quotient est donc inférieur à $1$. L'élève a
sans doute inversé le numérateur et le dénominateur.

]]> Le cosinus d'un angle aigu est toujours négatif

]]> Erreur : un cosinus d'angle aigu est positif. Ce qui cloche ici,
c'est qu'il dépasse $1$.

]]> Le cosinus ne concerne que les angles de $30°$

]]> Erreur : le cosinus se définit pour tous les angles aigus, pas
seulement pour quelques valeurs remarquables.

]]> Un quotient de longueurs n'est jamais décimal

]]> Erreur : un quotient de longueurs est très souvent décimal, comme
$0{,}8$. Le problème est qu'il dépasse $1$.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q30 : Diagonale d'un carré Un carré a pour côté $5$ cm. Combien mesure sa diagonale, arrondie
au dixième ?

]]> La diagonale d'un carré est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont
les deux côtés de l'angle droit valent le côté du carré. Son carré
vaut donc le double du carré du côté.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7{,}1$ cm

]]> Bonne réponse : la diagonale vérifie $d^2 = 5^2 + 5^2 =
50$, donc $d \approx 7{,}1$ cm.

]]> $10$ cm

]]> Erreur : la diagonale ne vaut pas deux côtés. Elle est plus courte
que le chemin qui longe deux côtés.

]]> $50$ cm

]]> C'est le carré de la diagonale. Sa racine carrée donne $7{,}1$
cm.

]]> $7{,}5$ cm

]]> Erreur : aucune règle ne donne la diagonale en ajoutant la moitié
du côté. Il faut passer par Pythagore.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q31 : Le côté à isoler Pour savoir si un triangle dont les côtés mesurent $5$ cm, $6$ cm
et $8$ cm est rectangle, quel côté doit-on mettre au carré seul ?

]]> Avant d'appliquer la réciproque, on repère le plus grand côté : on
compare son carré à la somme des carrés des deux autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le plus grand, $8$ cm, seule hypoténuse possible

]]> Bonne réponse : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté ;
on compare donc $8^2$ à $5^2 + 6^2$.

]]> Le plus petit, $5$ cm, pour simplifier le calcul

]]> Erreur : le plus petit côté ne peut pas être l'hypoténuse, qui
est le plus grand des trois.

]]> N'importe lequel, le résultat ne change pas

]]> Erreur : $5^2 + 8^2$ et $5^2 + 6^2$ ne donnent pas le même
test ; seul le plus grand côté joue le rôle de l'hypoténuse.

]]> Les trois, chacun à son tour, pour être sûr

]]> Erreur : un seul test suffit, avec le plus grand côté isolé.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q32 : Un triangle à côtés entiers Un triangle a pour côtés $5$ cm, $12$ cm et $13$ cm. Est-il
rectangle ?

]]> Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des
deux autres, le triangle est rectangle : c'est la réciproque du
théorème de Pythagore.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$

]]> Bonne réponse : $5^2 + 12^2 = 169$ et $13^2 = 169$ ;
l'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle, l'angle
droit étant opposé au côté de $13$ cm.

]]> Non, car $5 + 12 \neq 13$

]]> Erreur : la réciproque de Pythagore compare des carrés, pas
les longueurs elles-mêmes.

]]> Non, car $(5 + 12)^2 = 289 \neq 13^2$

]]> Erreur : il faut ajouter les carrés, $5^2 + 12^2$, pas élever
la somme au carré.

]]> On ne peut pas savoir sans mesurer les angles

]]> Erreur : la réciproque du théorème de Pythagore permet de
conclure à partir des seules longueurs.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q33 : Un triplet agrandi Le triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm est rectangle. Le
triangle de côtés $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm l'est-il aussi ?

]]> Multiplier les trois côtés par un même nombre conserve l'égalité de
Pythagore : les multiples d'un triplet rectangle sont rectangles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$

]]> Bonne réponse : les côtés ont tous été multipliés par $2$ ;
l'égalité de Pythagore reste vraie, chaque carré étant multiplié
par $2^2$.

]]> Non, car seul le triangle $3$, $4$, $5$ est rectangle

]]> Erreur : tout agrandissement d'un triangle rectangle est encore
rectangle ; les angles ne changent pas.

]]> Non, car $6 + 8 \neq 10$

]]> Erreur : le test porte sur les carrés des longueurs.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître les angles

]]> Erreur : les longueurs suffisent, par la réciproque de
Pythagore.

]]> Pythagore et trigonométrie — Q34 : Théorème ou réciproque Dans quelle situation utilise-t-on la réciproque du théorème de
Pythagore ?

]]> Théorème : de l'angle droit vers les longueurs. Réciproque : des
longueurs vers l'angle droit. Le sens de l'implication change.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On connaît les trois côtés et on cherche si un angle est droit

]]> Bonne réponse : la réciproque part de l'égalité entre les
carrés des côtés pour conclure que le triangle est rectangle.

]]> On connaît l'angle droit et deux côtés, on cherche le troisième

]]> Erreur : c'est le théorème direct, qui part de l'angle droit
pour calculer une longueur.

]]> On connaît deux angles et on cherche le troisième

]]> Erreur : cela relève de la somme des angles d'un triangle, pas de
Pythagore.

]]> On connaît un côté et un angle aigu, on cherche un autre côté

]]> Erreur : c'est la trigonométrie qui relie un angle aigu et deux
côtés.

]]>