$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Thalès, aires et volumes Théorème de Thalès et sa réciproque, agrandissement et réduction,
aires, volumes et conversions d'unités.

]]> Thalès, aires et volumes — Q01 : Reconnaître la configuration Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient à $[AB]$ et le point
$N$ à $[AC]$. Quelle condition permet d'appliquer le théorème de
Thalès ?

]]> Le théorème de Thalès s'applique dès que deux droites parallèles
coupent deux droites sécantes. Le parallélisme est l'hypothèse, les
égalités de quotients en sont la conclusion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles

]]> Bonne réponse : c'est le parallélisme qui garantit l'égalité des
trois quotients de longueurs.

]]> Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont sécantes

]]> Erreur : deux droites sécantes ne donnent aucune égalité de
quotients. Il faut au contraire qu'elles soient parallèles.

]]> Les longueurs $AM$ et $AN$ sont égales

]]> Erreur : cette égalité n'a rien d'obligatoire. Thalès compare des
quotients, pas des longueurs prises isolément.

]]> Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$

]]> Erreur : Thalès vaut dans n'importe quel triangle. L'angle droit
est l'affaire du théorème de Pythagore.

]]> Thalès, aires et volumes — Q02 : Calculer une longueur avec Thalès Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et
$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm,
$AB = 12$ cm et $BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?

]]> Dans cette configuration, les trois quotients
$\dfrac{AM}{AB}$, $\dfrac{AN}{AC}$ et $\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On
choisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ cm

]]> Bonne réponse : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$, donc
$MN = \dfrac{4 \times 15}{12} = 5$ cm.

]]> $45$ cm

]]> Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est
plus petit que $AB$.

]]> $11$ cm

]]> Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences
égales. Le calcul correct donne $5$ cm.

]]> $19$ cm

]]> Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le
rapport $\dfrac{4}{12}$.

]]> Thalès, aires et volumes — Q03 : Longueur sur le second côté Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et
$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 2$ cm,
$AB = 6$ cm et $AC = 15$ cm. Combien mesure $AN$ ?

]]> On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,
puis on applique la règle du produit en croix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ cm

]]> Bonne réponse : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, donc
$AN = \dfrac{2 \times 15}{6} = 5$ cm.

]]> $11$ cm

]]> Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès
est un rapport, pas un écart.

]]> $45$ cm

]]> Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme
$AM$ l'est par rapport à $AB$.

]]> $13$ cm

]]> Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du
triangle.

]]> Thalès, aires et volumes — Q04 : L'égalité des quotients Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$, $N$ est sur $[AC]$ et
$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Quelle égalité est vraie ?

]]> Les trois quotients s'écrivent toujours dans le même sens : chaque
petite longueur au numérateur, la grande correspondante au
dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$

]]> Bonne réponse : on compare les petites longueurs aux grandes, dans
le même ordre sur les deux côtés.

]]> $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AN}$

]]> Le second quotient est retourné : il faut garder le même ordre des
deux côtés du signe égal.

]]> $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{AC}$

]]> Les deux quotients ne sont pas construits pareil : à gauche une
part du côté, à droite le côté entier.

]]> $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{BC}{MN}$

]]> Le troisième quotient est inversé : c'est $\dfrac{MN}{BC}$ qui
rejoint les deux premiers.

]]> Thalès, aires et volumes — Q05 : Aire d'un triangle Un triangle a une base de $8$ cm et une hauteur de $5$ cm.
Quelle est son aire ?

]]> Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le
tout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base
choisie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20$ cm$^2$

]]> Bonne réponse : l'aire vaut
$\dfrac{8 \times 5}{2} = 20$ cm$^2$.

]]> $40$ cm$^2$

]]> C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle
en est la moitié.

]]> $13$ cm$^2$

]]> Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme
de deux longueurs.

]]> $26$ cm$^2$

]]> Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien
à voir avec une aire.

]]> Thalès, aires et volumes — Q06 : Retrouver une base Un triangle a une aire de $24$ cm$^2$ et une hauteur de
$6$ cm. Combien mesure la base correspondante ?

]]> Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :
base égale deux fois l'aire divisée par la hauteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8$ cm

]]> Bonne réponse : de $\dfrac{b \times 6}{2} = 24$ on tire
$b = \dfrac{2 \times 24}{6} = 8$ cm.

]]> $4$ cm

]]> Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une
division par $2$ qu'il faut compenser.

]]> $2$ cm

]]> Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui
éloigne deux fois plus du résultat.

]]> $18$ cm

]]> Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par
la division qui inverse le produit.

]]> Thalès, aires et volumes — Q07 : Du mètre carré au centimètre carré À combien de centimètres carrés correspond $1$ mètre carré ?

]]> Une aire fait intervenir deux longueurs : le facteur de conversion des
longueurs est donc élevé au carré. Pour un volume, il est élevé au
cube.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10\,000$ cm$^2$

]]> Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^2$ vaut
$100 \times 100 = 10\,000$ cm$^2$.

]]> $100$ cm$^2$

]]> C'est la conversion des longueurs. Pour les aires, le facteur est
multiplié par lui-même.

]]> $1\,000$ cm$^2$

]]> Erreur : $1\,000$ est le facteur entre le mètre cube et le
décimètre cube, pas entre ces deux unités d'aire.

]]> $1\,000\,000$ cm$^2$

]]> C'est le facteur entre le mètre cube et le centimètre cube. Pour
une aire, on ne multiplie $100$ qu'une seule fois par lui-même.

]]> Thalès, aires et volumes — Q08 : Des mètres aux centimètres Convertir $2{,}5$ m en centimètres.

]]> Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au
centimètre, on multiplie par $100$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $250$ cm

]]> Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie
par $100$.

]]> $25$ cm

]]> C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour
arriver aux centimètres.

]]> $2500$ cm

]]> C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\,000$ va trop
loin d'un rang.

]]> $0{,}025$ cm

]]> Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le
nombre obtenu doit être plus grand.

]]> Thalès, aires et volumes — Q09 : Volume d'un pavé droit Un pavé droit a pour dimensions $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm.
Quel est son volume ?

]]> Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée
par hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60$ cm$^3$

]]> Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses
trois dimensions, soit $60$ cm$^3$.

]]> $12$ cm$^3$

]]> Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois
dimensions n'a pas de sens ici.

]]> $94$ cm$^3$

]]> C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le
volume du solide.

]]> $30$ cm$^3$

]]> La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le
pavé droit.

]]> Thalès, aires et volumes — Q10 : La formule du cylindre Quelle formule donne le volume d'un cylindre de rayon $r$ et de
hauteur $h$ ?

]]> Pour un prisme ou un cylindre, le volume est l'aire de la base
multipliée par la hauteur. Le tiers n'apparaît que pour les solides
pointus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi r^2 h$

]]> Bonne réponse : l'aire du disque de base est $\pi r^2$, que l'on
multiplie par la hauteur.

]]> $2\pi r h$

]]> C'est l'aire de la surface latérale : le périmètre du disque
multiplié par la hauteur.

]]> $\pi r h^2$

]]> Les rôles sont échangés : c'est le rayon qui est élevé au carré,
puisqu'il sert à calculer l'aire de la base.

]]> $\dfrac{\pi r^2 h}{3}$

]]> La division par $3$ est celle du cône ou de la pyramide, pas celle
du cylindre.

]]> Thalès, aires et volumes — Q11 : Deux droites qui se croisent Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$
étant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$
et $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 3$ cm, $OC = 9$ cm et
$AB = 5$ cm. Combien mesure $CD$ ?

]]> Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les
quotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles
soient emboîtés ou opposés par le sommet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$ cm

]]> Bonne réponse : $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{AB}{CD}$, donc
$CD = \dfrac{9 \times 5}{3} = 15$ cm.

]]> $11$ cm

]]> Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par
multiplication, pas par addition.

]]> $4$ cm

]]> Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites
différentes, leur différence n'a pas de sens.

]]> $14$ cm

]]> Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport
$\dfrac{9}{3}$, et non par une somme.

]]> Thalès, aires et volumes — Q12 : Revenir à la figure de départ Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $3$. Un côté
mesure alors $21$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?

]]> Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs
par $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$ cm

]]> Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le
coefficient, soit $21 \div 3 = 7$ cm.

]]> $63$ cm

]]> Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire
en divisant par $3$.

]]> $18$ cm

]]> Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur
ajoute pas une valeur fixe.

]]> $24$ cm

]]> Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni
l'ajouter ni le retrancher.

]]> Thalès, aires et volumes — Q13 : Aire après agrandissement Une figure d'aire $15$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs
sont multipliées par $2$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?

]]> Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont
multipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60$ cm$^2$

]]> Bonne réponse : l'aire est multipliée par $2^2$, donc elle vaut
$15 \times 2^2 = 60$ cm$^2$.

]]> $30$ cm$^2$

]]> Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque
dimension, donc deux fois sur une aire.

]]> $120$ cm$^2$

]]> Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on
élève le coefficient au carré.

]]> $19$ cm$^2$

]]> Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas.

]]> Thalès, aires et volumes — Q14 : Volume après agrandissement Un solide de volume $9$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs
sont multipliées par $2$. Quel est le volume du solide obtenu ?

]]> Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,
parce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de
$k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $72$ cm$^3$

]]> Bonne réponse : le volume est multiplié par $2^3$, ce qui donne
$72$ cm$^3$.

]]> $36$ cm$^3$

]]> Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait
intervenir trois dimensions.

]]> $18$ cm$^3$

]]> Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des
trois dimensions est multipliée par $2$.

]]> $17$ cm$^3$

]]> Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas.

]]> Thalès, aires et volumes — Q15 : Aire d'un disque Quelle est l'aire d'un disque de rayon $5$ cm, exprimée en fonction
de $\pi$ ?

]]> Aire d'un disque : $\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et
l'on garde $\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25\pi$ cm$^2$

]]> Bonne réponse : l'aire vaut $\pi r^2$, soit
$5^2 \times \pi = 25\pi$ cm$^2$.

]]> $10\pi$ cm$^2$

]]> C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du
disque.

]]> $100\pi$ cm$^2$

]]> Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui
quadruple le résultat.

]]> $5\pi$ cm$^2$

]]> Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours
intervenir deux longueurs.

]]> Thalès, aires et volumes — Q16 : Périmètre d'un cercle Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $6$ cm, exprimé en
fonction de $\pi$ ?

]]> Périmètre d'un cercle : $2\pi r$, ou $\pi d$ avec le diamètre. On
retient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12\pi$ cm

]]> Bonne réponse : le périmètre vaut $2\pi r$, soit
$2 \times 6 \times \pi = 12\pi$ cm.

]]> $36\pi$ cm

]]> C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du
cercle.

]]> $6\pi$ cm

]]> Le facteur $2$ manque : la formule $\pi d$ utiliserait le
diamètre, qui vaut deux fois le rayon.

]]> $24\pi$ cm

]]> Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut
$2\pi r$, pas $4\pi r$.

]]> Thalès, aires et volumes — Q17 : Volume d'un cylindre Un cylindre a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est
son volume, exprimé en fonction de $\pi$ ?

]]> Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,
soit $\pi r^2 h$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $45\pi$ cm$^3$

]]> Bonne réponse : l'aire de la base vaut $3^2\pi$, que l'on
multiplie par la hauteur $5$.

]]> $30\pi$ cm$^3$

]]> C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le
périmètre au lieu de l'aire de la base.

]]> $15\pi$ cm$^3$

]]> Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base
vaut $3^2\pi$.

]]> $75\pi$ cm$^3$

]]> C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,
car il sert à calculer l'aire de la base.

]]> Thalès, aires et volumes — Q18 : Démontrer un parallélisme Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, placés
dans le même ordre à partir de $A$. Que faut-il vérifier pour
conclure que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ?

]]> Réciproque du théorème de Thalès : si les points sont rangés dans le
même ordre et si les deux quotients sont égaux, alors les droites sont
parallèles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$

]]> Bonne réponse : l'égalité des deux quotients, avec des points bien
rangés, donne le parallélisme.

]]> Que $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AN}$

]]> Le second quotient est retourné : les deux fractions doivent se
lire dans le même sens.

]]> Que $AM = AN$ et que $AB = AC$

]]> Ces égalités de longueurs sont bien trop exigeantes : seule
l'égalité des deux quotients est nécessaire.

]]> Que $AM + AN = AB + AC$

]]> Une somme de longueurs ne prouve rien : la réciproque de Thalès
repose sur des quotients.

]]> Thalès, aires et volumes — Q19 : Longueur qui rend parallèle Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 3$ cm et
$AB = 8$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 24$ cm. Quelle
longueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?

]]> On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en
croix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$ cm

]]> Bonne réponse : il faut $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{8}$,
d'où $AN = 9$ cm.

]]> $19$ cm

]]> Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige
l'égalité de deux quotients.

]]> $21$ cm

]]> Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas
la même longueur totale.

]]> $12$ cm

]]> Erreur : le rapport à respecter est $\dfrac{3}{8}$, qui ne
vaut pas la moitié.

]]> Thalès, aires et volumes — Q20 : Des mètres cubes aux litres Une cuve a un volume de $2$ m$^3$. Combien de litres peut-elle
contenir ?

]]> Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient
$1\,000$ dm$^3$, il contient $1\,000$ litres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2000$ L

]]> Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire
$1\,000$ litres.

]]> $200$ L

]]> Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre
le mètre cube et le litre.

]]> $20$ L

]]> Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur
voisines, pas entre deux unités de volume.

]]> $0{,}002$ L

]]> Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,
donc le nombre de litres est plus grand.

]]> Thalès, aires et volumes — Q21 : Du périmètre à l'aire Un carré a un périmètre de $20$ cm. Quelle est son aire ?

]]> Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le
côté par une division par $4$, avant d'élever au carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25$ cm$^2$

]]> Bonne réponse : le côté vaut $20 \div 4$, et l'aire est le carré
de ce côté, soit $25$ cm$^2$.

]]> $400$ cm$^2$

]]> Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut
d'abord revenir au côté en divisant par $4$.

]]> $40$ cm$^2$

]]> Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire
s'obtient en multipliant le côté par lui-même.

]]> $10$ cm$^2$

]]> Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas
une aire.

]]> Thalès, aires et volumes — Q22 : La formule de la pyramide Quelle formule donne le volume d'une pyramide dont la base a pour
aire $B$ et dont la hauteur vaut $h$ ?

]]> Pyramides et cônes ont le même volume : un tiers de l'aire de la base
multipliée par la hauteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{B \times h}{3}$

]]> Bonne réponse : le volume d'une pyramide est le tiers du produit
de l'aire de la base par la hauteur.

]]> $B \times h \times 3$

]]> Erreur de sens : le tiers réduit le volume, il ne le triple pas.

]]> $\dfrac{B \times h}{2}$

]]> Confusion avec le triangle : dans l'espace, le diviseur est $3$ et
non $2$.

]]> $\dfrac{B + h}{3}$

]]> Une aire et une longueur ne s'additionnent pas : la formule fait
intervenir leur produit.

]]> Thalès, aires et volumes — Q23 : Volume d'une pyramide Une pyramide a une base carrée de côté $6$ cm et une hauteur de
$5$ cm. Quel est son volume ?

]]> On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la
hauteur et l'on divise par $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60$ cm$^3$

]]> Bonne réponse : la base a pour aire $6^2$, et le volume vaut
$\dfrac{6^2 \times 5}{3} = 60$ cm$^3$.

]]> $180$ cm$^3$

]]> Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de
même base et de même hauteur.

]]> $10$ cm$^3$

]]> L'aire de la base est $6^2$, pas $6$ : un côté seul ne suffit
pas à décrire une surface.

]]> $90$ cm$^3$

]]> Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient
à l'aire du triangle.

]]> Thalès, aires et volumes — Q24 : Rapport de réduction Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 6$ cm et
$AB = 15$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant
sur $[AC]$. Quel est le rapport $\dfrac{AM}{AB}$ sous forme
irréductible ?

]]> Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans
cet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{2}{5}$

]]> Bonne réponse : on simplifie $\dfrac{6}{15}$ par leur plus
grand diviseur commun.

]]> $\dfrac{5}{2}$

]]> Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport
est inférieur à $1$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et
non le côté entier $AB$.

]]> $\dfrac{3}{5}$

]]> C'est le rapport $\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie
complémentaire du segment.

]]> Thalès, aires et volumes — Q25 : Côté entier ou partie du côté Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec
$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm, $MB = 6$ cm et
$BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?

]]> Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.
Quand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer
$AB = AM + MB$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ cm

]]> Bonne réponse : $AB = 4 + 6 = 10$, donc
$MN = \dfrac{4 \times 15}{10} = 6$ cm.

]]> $10$ cm

]]> Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le
dénominateur du quotient est $AB = 10$.

]]> $5$ cm

]]> Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence
ne mesure rien dans la figure.

]]> $11$ cm

]]> Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences
égales.

]]> Thalès, aires et volumes — Q26 : Arêtes multipliées, volume multiplié Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $2$. Par
combien son volume est-il multiplié ?

]]> Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son
volume par $k \times k \times k$, soit $k^3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8$

]]> Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par
$2$, donc le volume l'est par $2^3 = 8$.

]]> $4$

]]> C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met
en jeu trois dimensions, pas deux.

]]> $2$

]]> C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite
que les arêtes.

]]> $6$

]]> Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne
s'ajoutent pas.

]]> Thalès, aires et volumes — Q27 : Du mètre cube au centimètre cube À combien de centimètres cubes correspondent $2$ m$^3$ ?

]]> Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au
cube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par
$1\,000\,000$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2000000$ cm$^3$

]]> Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut
$100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000$ cm$^3$.

]]> $2000$ cm$^3$

]]> C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un
facteur $1\,000$ à appliquer.

]]> $20000$ cm$^3$

]]> Erreur : $10\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le
centimètre carré, donc celui des aires.

]]> $200$ cm$^3$

]]> C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume
l'exige trois fois.

]]> Thalès, aires et volumes — Q28 : Volume d'un cône Un cône a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est son
volume, exprimé en fonction de $\pi$ ?

]]> Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la
base multipliée par la hauteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15\pi$ cm$^3$

]]> Bonne réponse : la base a pour aire $3^2\pi$, et le volume en
est le tiers multiplié par la hauteur.

]]> $45\pi$ cm$^3$

]]> Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même
base et de même hauteur.

]]> $22{,}5\pi$ cm$^3$

]]> Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la
pyramide, et non $2$.

]]> $30\pi$ cm$^3$

]]> Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $3^2\pi$
qu'il faut utiliser.

]]> Thalès, aires et volumes — Q29 : Doubler le côté d'un carré On double la longueur du côté d'un carré. Que devient son aire ?

]]> Doubler toutes les longueurs multiplie les aires par $2^2 = 4$ et les
volumes par $2^3 = 8$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est multipliée par $4$

]]> Bonne réponse : les deux dimensions doublent, donc l'aire est
multipliée par $2 \times 2$.

]]> Elle est multipliée par $2$

]]> Erreur la plus fréquente : le coefficient agit sur la longueur et
sur la largeur, donc deux fois.

]]> Elle est multipliée par $8$

]]> C'est le facteur des volumes, où trois dimensions sont doublées.
Une aire n'en compte que deux.

]]> Elle augmente de $2$ cm$^2$

]]> Erreur : l'agrandissement multiplie l'aire, il ne lui ajoute pas
une quantité fixe.

]]> Thalès, aires et volumes — Q30 : Augmentation d'une aire Une photo a une aire de $12$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant
toutes ses longueurs par $2$. De combien de centimètres carrés son
aire augmente-t-elle ?

]]> La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la
différence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $36$ cm$^2$

]]> Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $48$ cm$^2$, soit
$36$ cm$^2$ de plus qu'au départ.

]]> $48$ cm$^2$

]]> C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à
retrancher l'aire de départ.

]]> $12$ cm$^2$

]]> Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il
agit deux fois.

]]> $84$ cm$^2$

]]> Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en
jeu que deux dimensions.

]]> Thalès, aires et volumes — Q31 : Aire d'un parallélogramme Un parallélogramme a une base de $8$ cm, une hauteur relative à
cette base de $5$ cm et un côté oblique de $6$ cm. Quelle est
son aire ?

]]> Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur
correspondante, jamais par le côté oblique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $40$ cm$^2$

]]> Bonne réponse : aire $=$ base $\times$ hauteur
$= 8 \times 5 = 40$ cm$^2$.

]]> $20$ cm$^2$

]]> Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du triangle,
pas celle du parallélogramme.

]]> $48$ cm$^2$

]]> Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la
hauteur, perpendiculaire à la base.

]]> $28$ cm$^2$

]]> Erreur : $28$ cm est le périmètre, pas l'aire.

]]>