$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Fonctions convexes Dérivée seconde, convexité définie par la position relative de
la courbe et de ses sécantes (équivalences admises : position
par rapport aux tangentes, croissance de $f'$, positivité de
$f''$), concavité, points d'inflexion, lectures graphiques et
applications (courbe de Lorenz).

]]> Fonctions convexes — Q01 : Convexité et sécantes Comment la convexité d'une fonction sur un intervalle
est-elle définie au programme ?

]]> Définition du programme : $f$ convexe sur $I$ si sa courbe
est sous ses sécantes ; équivalences admises (pour $f$
dérivable) : courbe au-dessus de ses tangentes, $f'$
croissante, $f'' \geq 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sa courbe est en dessous de chacune de ses sécantes
(cordes) sur l'intervalle

]]> Bonne réponse : entre deux points de la courbe, le
segment qui les joint passe au-dessus de la courbe :
définition par les sécantes.

]]> Sa courbe est au-dessus de ses sécantes

]]> Inversé : la courbe au-dessus de ses cordes caractérise
la concavité (bombée vers le haut).

]]> La fonction est croissante

]]> Erreur : la convexité parle de la courbure, pas du
sens : $e^{-x}$ est décroissante et convexe.

]]> La fonction est positive

]]> Erreur : aucun lien : $x^2 - 10$ est convexe et prend
des valeurs négatives.

]]> Fonctions convexes — Q02 : Critère de la dérivée seconde Soit $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$, de dérivée seconde
$f''(x) = 6x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?

]]> Critère pratique (admis) : $f'' \geq 0$ sur $I$
$\Leftrightarrow$ $f$ convexe sur $I$. Pour $x^3$ :
concave puis convexe, avec bascule en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[0\,;\,+\infty[$, car $f''(x) \geq 0$ y est vérifié

]]> Bonne réponse : $6x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$ :
convexe à droite de l'origine, concave à gauche.

]]> Sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Erreur : pour $x < 0$, $f''(x) = 6x < 0$ : la courbe y
est concave (bombée vers le haut).

]]> Sur $]-\infty\,;\,0]$

]]> Inversé : c'est l'intervalle de concavité
($f'' \leq 0$).

]]> Nulle part, car $f$ change de signe

]]> Erreur : le signe de $f$ est sans rapport ; seul le
signe de $f''$ décide de la convexité.

]]> Fonctions convexes — Q03 : Point d'inflexion Qu'est-ce qu'un point d'inflexion de la courbe de $f$ ?

]]> Inflexion $=$ changement de convexité. Signature graphique :
la tangente traverse la courbe. Signature analytique : $f''$
s'annule en changeant de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un point où la courbe change de convexité (la tangente y
traverse la courbe)

]]> Bonne réponse : la courbure bascule (convexe-concave ou
l'inverse) ; pour $f$ deux fois dérivable, $f''$ s'y
annule en changeant de signe.

]]> Un point où la fonction atteint un extremum

]]> Erreur : l'extremum concerne $f'$ (tangente
horizontale) ; l'inflexion concerne $f''$ (changement de
courbure).

]]> Un point où la courbe coupe l'axe des abscisses

]]> Erreur : couper l'axe est une affaire de signe de
$f$, pas de courbure.

]]> Un point où la tangente est verticale

]]> Erreur : la pente de la tangente n'est pas en cause :
au point d'inflexion, la tangente (de pente quelconque)
traverse la courbe.

]]> Fonctions convexes — Q04 : Lire la convexité sur une courbe Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : maximum local en (-1 ; 2), minimum local en (1 ; -2), traversée de l'origine. La courbe est bombée vers le haut à gauche de 0 (concave) et creusée vers le haut à droite (convexe).

La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. Quelle
lecture de convexité est correcte ?

]]> Lecture attendue au programme : repérer les zones bombées
(concaves) et creusées (convexes) et leurs frontières (points
d'inflexion). Ici : bascule en $(0\,;\,0)$, cohérente avec
$f''(x) = 6x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Concave sur $]-\infty\,;\,0]$, convexe sur
$[0\,;\,+\infty[$, inflexion à l'origine

]]> Bonne réponse : bombée à gauche (sous... au-dessus de
ses cordes), creusée à droite ; la bascule se fait en
$0$, où la tangente traverse la courbe.

]]> Convexe sur $]-\infty\,;\,0]$, concave sur
$[0\,;\,+\infty[$

]]> Inversé : à droite de $0$, la courbe « tient l'eau »
(creusée vers le haut) : c'est la convexité.

]]> Convexe partout, car la courbe monte à la fin

]]> Erreur : monter n'est pas être convexe. Entre $-2$ et
$-1$, la courbe monte en étant concave.

]]> Points d'inflexion en $-1$ et $1$

]]> Confusion : $-1$ et $1$ sont les extremums locaux
(tangentes horizontales). L'inflexion, unique, est à
l'origine.

]]> Fonctions convexes — Q05 : Convexité et tangentes Soit $f$ dérivable et convexe sur un intervalle $I$. Comment
la courbe se place-t-elle par rapport à ses tangentes ?

]]> Pour $f$ dérivable : convexe $\Leftrightarrow$ courbe
au-dessus de ses tangentes $\Leftrightarrow$ $f'$ croissante
$\Leftrightarrow$ $f'' \geq 0$ (équivalences admises).
Mémo : $\exp$ au-dessus, $\ln$ en dessous.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de chacune de ses tangentes

]]> Bonne réponse : équivalence admise au programme : courbe
sous les sécantes $\Leftrightarrow$ au-dessus des
tangentes (pour une fonction dérivable).

]]> En dessous de ses tangentes

]]> Inversé : sous les tangentes, c'est la concavité
(pense au logarithme, toujours sous ses tangentes).

]]> Elle traverse chaque tangente

]]> Erreur : la traversée de la tangente n'arrive qu'aux
points d'inflexion, exclus d'un intervalle de
convexité stricte.

]]> Cela dépend du signe de $f$

]]> Erreur : la position courbe-tangentes ne dépend que de
la courbure, jamais du signe des valeurs.

]]> Fonctions convexes — Q06 : Convexité des fonctions de référence Parmi ces fonctions, laquelle est concave sur son
ensemble de définition ?

]]> Répertoire : convexes : $x^2$, $e^x$, $\dfrac{1}{x}$ (sur
$]0\,;\,+\infty[$) ; concave : $\ln x$, $\sqrt{x}$. La
concavité du logarithme et de la racine dit le rendement
décroissant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \ln x$

]]> Bonne réponse : $(\ln x)'' = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ : le
logarithme est concave (courbe sous ses tangentes,
croissance qui s'essouffle).

]]> $x \mapsto e^x$

]]> Erreur : $(e^x)'' = e^x > 0$ : l'exponentielle est
convexe (croissance qui s'emballe).

]]> $x \mapsto x^2$

]]> Erreur : $(x^2)'' = 2 > 0$ : la parabole est le prototype
de la convexité.

]]> $x \mapsto x$

]]> Cas limite : une droite est à la fois convexe et
concave (au sens large), ses cordes étant confondues avec
elle ; elle n'est pas « la » concave typique attendue.

]]> Fonctions convexes — Q07 : Convexité et croissance de $f'$ Soit $f$ dérivable sur $I$. Quelle propriété de $f'$
caractérise la convexité de $f$ ?

]]> Lecture dynamique de la convexité : la pente augmente le
long de la courbe. Trois étages à ne pas mélanger : signe de
$f$ (position), signe de $f'$ (sens), croissance de $f'$ ou
signe de $f''$ (courbure).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'$ est croissante sur $I$

]]> Bonne réponse : la pente ne cesse d'augmenter : la
courbe « tourne vers le haut ». (D'où $f'' \geq 0$ quand
$f''$ existe.)

]]> $f'$ est positive sur $I$

]]> Erreur : $f' > 0$ donne la croissance de $f$, pas sa
convexité. Une pente peut être positive et diminuer
(concave croissante, comme $\ln$).

]]> $f'$ est constante sur $I$

]]> Erreur : pente constante $=$ droite, le cas frontière.
La convexité (au sens large) demande une pente
croissante.

]]> $f'$ s'annule au milieu de $I$

]]> Erreur : l'annulation de $f'$ signale un extremum de
$f$, sans lien avec la courbure.

]]> Fonctions convexes — Q08 : Trouver un point d'inflexion par le calcul Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$, avec $f''(x) = 6x - 12$. En
quelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?

]]> Méthode : résoudre $f''(x) = 0$ et vérifier le changement
de signe. $6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$, signe $-$ puis
$+$ : inflexion en $(2\,;\,f(2)) = (2\,;\,-6)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 2$ : $f''$ s'y annule en changeant de signe

]]> Bonne réponse : $6x - 12 < 0$ avant $2$, $> 0$ après :
concave puis convexe, inflexion en $x = 2$.

]]> En $x = 12$

]]> Erreur de résolution : $6x - 12 = 0$ donne $x = 2$, pas
$12$.

]]> En $x = 0$, car $f(0) = 0$

]]> Erreur : l'annulation de $f$ (passage par l'origine)
n'a rien à voir avec la courbure : on annule $f''$.

]]> Il n'y en a pas, car $f''$ s'annule

]]> Contresens : l'annulation avec changement de signe
est exactement la condition d'inflexion.

]]> Fonctions convexes — Q09 : Croissance qui s'essouffle La production $f(t)$ d'une usine croît, mais de moins en
moins vite. Comment cela se traduit-il sur $f'$ et $f''$ ?

]]> Traduire les phrases en dérivées : le sens (croît/décroît)
se lit sur $f'$, l'allure de la vitesse (accélère/ralentit)
sur $f''$. « Croît de moins en moins vite » $=$ croissante
concave.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f' > 0$ et $f'' < 0$ : croissante et concave

]]> Bonne réponse : « croît » : $f' > 0$ ; « de moins en
moins vite » : la pente diminue, $f'$ décroît :
$f'' < 0$.

]]> $f' > 0$ et $f'' > 0$

]]> Erreur : $f'' > 0$ décrirait une croissance qui
s'accélère (convexe, type exponentielle).

]]> $f' < 0$ et $f'' < 0$

]]> Erreur : $f' < 0$ signifierait une production en
baisse. Elle croît : $f' > 0$.

]]> $f' > 0$ et $f'' = 0$

]]> Erreur : $f'' = 0$ partout donnerait une croissance
parfaitement linéaire (vitesse constante), pas un
essoufflement.

]]> Fonctions convexes — Q10 : La courbe de Lorenz Une courbe de Lorenz (répartition des richesses) relie
$(0\,;\,0)$ à $(1\,;\,1)$ : en abscisse la part cumulée de
la population, en ordonnée la part cumulée des richesses.
Quelles sont ses propriétés mathématiques ?

]]> Thème du programme (répartition des richesses) : la courbe
de Lorenz est croissante, convexe, de $(0\,;\,0)$ à
$(1\,;\,1)$, sous la diagonale. Plus elle s'incurve, plus la
répartition est inégalitaire (indice de Gini).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante et convexe, sous la bissectrice $y = x$

]]> Bonne réponse : les parts cumulées croissent, les plus
modestes détiennent moins que leur part (courbe sous la
diagonale), et l'accumulation s'accélère vers les plus
riches : convexité.

]]> Décroissante et concave

]]> Erreur : des parts cumulées ne peuvent que
croître ; et la bosse au-dessus de la diagonale n'a pas
de sens ici.

]]> Croissante et au-dessus de la bissectrice

]]> Erreur : au-dessus de $y = x$, les $20\ \%$ les plus
modestes détiendraient plus de $20\ \%$ des
richesses : contraire à la construction par ordre
croissant de richesse.

]]> Périodique

]]> Erreur : la courbe vit sur $[0\,;\,1]$ et ne se répète
pas : la périodicité n'a aucun sens ici.

]]> Fonctions convexes — Q11 : Utiliser la position sécante-courbe Soit $f$ convexe sur $[0\,;\,4]$, avec $f(0) = 1$ et
$f(4) = 9$. Que peut-on dire de $f(2)$ ?

]]> La définition par les sécantes fournit des inégalités
concrètes : pour $f$ convexe, la valeur au milieu ne dépasse
pas la moyenne des valeurs aux bornes ($f(2) \leq
\frac{f(0) + f(4)}{2} = 5$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(2) \leq 5$ : la courbe est sous la corde, qui vaut
$5$ au milieu

]]> Bonne réponse : la sécante joint $(0\,;\,1)$ à
$(4\,;\,9)$ et vaut $\dfrac{1 + 9}{2} = 5$ en $x = 2$ ;
la convexité place la courbe en dessous.

]]> $f(2) = 5$ exactement

]]> Erreur : l'égalité ne vaudrait que pour une fonction
affine. La convexité donne une inégalité :
$f(2) \leq 5$.

]]> $f(2) \geq 5$

]]> Inversé : au-dessus de la corde, ce serait la
concavité.

]]> On ne peut rien dire sur $f(2)$

]]> Erreur : la convexité est justement une information
quantitative : courbe sous la corde, donc
$f(2) \leq 5$.

]]> Fonctions convexes — Q12 : Ne pas confondre les trois étages Soit $f$ deux fois dérivable avec, en $x = a$ : $f(a) > 0$,
$f'(a) < 0$ et $f''(a) > 0$. Comment la courbe se
comporte-t-elle près de $a$ ?

]]> Les trois étages de lecture : $f$ (position), $f'$ (sens),
$f''$ (courbure), indépendants les uns des autres. $f > 0$,
$f' < 0$, $f'' > 0$ : décroissance amortie, l'allure de
$e^{-x}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de l'axe, en descente, dans une zone convexe
(la descente freine)

]]> Bonne réponse : trois informations indépendantes :
position haute ($f > 0$), pente négative ($f' < 0$),
courbure vers le haut ($f'' > 0$) : une descente qui
s'adoucit, typique d'une décroissance exponentielle.

]]> Sous l'axe, en montée

]]> Erreur : $f(a) > 0$ place le point au-dessus de
l'axe et $f'(a) < 0$ le met en descente.

]]> Au sommet d'une bosse

]]> Erreur : un sommet exigerait $f'(a) = 0$ et une
courbure vers le bas ($f'' < 0$).

]]> En un point d'inflexion

]]> Erreur : l'inflexion demanderait $f''(a) = 0$ avec
changement de signe ; ici $f''(a) > 0$ franchement.

]]>