$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Fonctions : continuité, limites, logarithme Continuité (approche intuitive), théorème des valeurs
intermédiaires (admis) et fonctions strictement monotones,
limites des fonctions de référence et asymptotes, fonction
logarithme népérien (réciproque de l'exponentielle, équation
fonctionnelle, dérivée, limites), relation
$\ln(q^n) = n\ln q$ pour les seuils, dérivées de $f(ax+b)$,
$e^{u}$, $\ln u$, $u^2$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q01 : Continuité et tracé Intuitivement, que signifie « $f$ est continue sur un
intervalle » ?

]]> Approche du programme : continue $=$ tracé sans saut. Les
fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme,
racine) sont continues sur leurs intervalles de définition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sa courbe se trace sur cet intervalle sans lever le
crayon

]]> Bonne réponse : c'est l'approche intuitive du programme,
suffisante pour utiliser le théorème des valeurs
intermédiaires (toute fonction dérivable est continue).

]]> Sa courbe est une droite

]]> Erreur : la continuité n'impose aucune forme : une
parabole ou une exponentielle sont continues sans être
droites.

]]> La fonction est croissante

]]> Erreur : continuité et monotonie sont indépendantes :
une fonction peut onduler continûment.

]]> La fonction est positive

]]> Erreur : le signe n'a rien à voir : $x \mapsto -x^2$ est
continue et négative.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q02 : TVI et stricte monotonie Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,4]$,
avec $f(0) = -3$ et $f(4) = 9$. Que peut-on dire de
l'équation $f(x) = 5$ ?

]]> TVI $+$ stricte monotonie : pour tout $k$ entre $f(a)$ et
$f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement une solution. On
l'approche ensuite par balayage ou dichotomie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet une unique solution dans $[0\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : $5$ est compris entre $-3$ et $9$
(existence par le TVI, admis), et la stricte monotonie
exclut une seconde solution.

]]> Elle admet au moins deux solutions

]]> Erreur : une fonction strictement croissante ne repasse
jamais par la même valeur.

]]> Elle n'admet aucune solution, car $5 \neq f(0)$ et
$5 \neq f(4)$

]]> Erreur : le TVI garantit que toutes les valeurs
intermédiaires sont atteintes, pas seulement celles des
bornes.

]]> La solution est $x = 5$

]]> Confusion : $5$ est la valeur visée ($y$), pas la
solution ($x$), dont le théorème garantit l'existence
sans donner la position.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q03 : Limite et asymptote On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Que
peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?

]]> Lecture des limites : limite finie $\ell$ en $\pm\infty$
$\to$ asymptote horizontale $y = \ell$ ; limite infinie en un
point $a$ $\to$ asymptote verticale $x = a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe
en $+\infty$

]]> Bonne réponse : la courbe se rapproche indéfiniment de
cette horizontale quand $x$ grandit.

]]> La droite $x = 2$ est asymptote verticale

]]> Erreur : une asymptote verticale correspond à une
limite infinie en un point fini, pas à une limite finie à
l'infini.

]]> La courbe coupe l'axe des ordonnées en $2$

]]> Erreur : l'ordonnée à l'origine est $f(0)$, sans lien
avec le comportement en $+\infty$.

]]> La fonction est constante égale à $2$

]]> Erreur : la fonction peut varier longtemps avant de se
stabiliser vers $2$ ; seule la tendance à l'infini
est fixée.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q04 : Le logarithme, réciproque de l'exponentielle Comment la fonction $\ln$ est-elle définie ?

]]> Définition du programme : $\ln$ est la réciproque de
$\exp$ : pour $x > 0$, $\ln x$ est l'unique exposant $y$ tel
que $e^y = x$. D'où $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Comme la fonction réciproque de l'exponentielle :
$\ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x$ (pour $x > 0$)

]]> Bonne réponse : $\ln$ « défait » l'exponentielle :
$\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$. Les deux courbes sont
symétriques par rapport à la droite $y = x$.

]]> Comme la dérivée de l'exponentielle

]]> Erreur : la dérivée de $e^x$ est $e^x$ elle-même. Le
logarithme est la réciproque, pas la dérivée.

]]> Comme l'inverse : $\ln(x) = \dfrac{1}{e^x}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{e^x} = e^{-x}$, une autre
exponentielle. « Réciproque » (défaire) n'est pas
« inverse » (un sur).

]]> Comme la primitive de l'exponentielle

]]> Erreur : une primitive de $e^x$ est $e^x$. Le logarithme
répond à la question « quel exposant ? », c'est la
réciproque.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q05 : Équation fonctionnelle du logarithme Pour $a, b > 0$, que vaut $\ln(a \times b)$ ?

]]> Équation fonctionnelle : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
(démonstration possible au programme). Conséquences :
$\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$, $\ln(q^n) = n\ln q$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln a + \ln b$

]]> Bonne réponse : le logarithme transforme les produits en
sommes : c'est sa raison d'être historique (simplifier
les calculs astronomiques).

]]> $\ln a \times \ln b$

]]> Erreur : contrôle avec $a = b = e$ : $\ln(e^2) = 2$,
alors que $\ln e \times \ln e = 1$.

]]> $\ln(a + b)$

]]> Erreur : $\ln(a+b)$ ne se développe pas. La formule
transforme le produit en somme, pas l'inverse.

]]> $\ln a - \ln b$

]]> Erreur : la différence correspond au quotient :
$\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q06 : Dérivée du logarithme Quelle est la dérivée de $\ln$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?

]]> $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$. Croissante,
concave, avec $\lim_{0^+} \ln = -\infty$ et
$\lim_{+\infty} \ln = +\infty$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \dfrac{1}{x}$

]]> Bonne réponse : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ (calcul
possible au programme, la dérivabilité étant admise) :
positive, donc $\ln$ strictement croissante.

]]> $x \mapsto \ln x$

]]> Erreur : seule l'exponentielle est sa propre dérivée. Le
logarithme se dérive en $\dfrac{1}{x}$.

]]> $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$

]]> Erreur : $-\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de la fonction
inverse $\dfrac{1}{x}$.

]]> $x \mapsto e^x$

]]> Erreur : $e^x$ est la dérivée de l'exponentielle ; sa
réciproque a une dérivée bien différente :
$\dfrac{1}{x}$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q07 : Un seuil résolu par $\ln(q^n) = n \ln q$ On cherche le plus petit entier $n$ tel que
$0{,}8^n < 0{,}1$. En utilisant $\ln(0{,}8^n) = n\ln(0{,}8)$
(avec $\ln 0{,}8 \approx -0{,}223$ et
$\ln 0{,}1 \approx -2{,}303$), que trouve-t-on ?

]]> Capacité attendue : utiliser $\ln(q^n) = n\ln q$ pour
résoudre un seuil exactement. Vigilance : $\ln q < 0$ pour
$q < 1$, la division renverse l'inégalité. Ici $n = 11$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n = 11$, car l'inéquation équivaut à $n > \dfrac{\ln
0{,}1}{\ln 0{,}8} \approx 10{,}3$

]]> Bonne réponse : $n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}1$ ; en divisant
par $\ln 0{,}8 < 0$, l'inégalité se renverse :
$n > 10{,}3$, donc $n = 11$.

]]> $n = 10$, car $10{,}3$ s'arrondit à $10$

]]> Erreur d'arrondi : il faut $n$ strictement supérieur
à $10{,}3$ : le premier entier convenable est $11$
(vérification : $0{,}8^{10} \approx 0{,}107 > 0{,}1$).

]]> $n = 11$, mais sans renverser l'inégalité

]]> Résultat juste, raisonnement incomplet : diviser par
$\ln 0{,}8$, négatif, renverse le sens : oublier ce
renversement mène à « $n < 10{,}3$ », absurde ici.

]]> Aucun $n$ ne convient : une puissance reste positive

]]> Erreur : positive, certes, mais aussi petite qu'on veut :
$0{,}8^n \to 0$ franchit tout seuil positif.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q08 : Dérivée de $f(ax + b)$ Quelle est la dérivée de $g(x) = e^{3x + 1}$ ?

]]> Formule au programme : $\left(f(ax+b)\right)' =
a\,f'(ax+b)$. Pour l'exponentielle : $(e^{ax+b})' =
a\,e^{ax+b}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $g'(x) = 3\,e^{3x + 1}$

]]> Bonne réponse : dérivée de $x \mapsto f(ax + b)$ :
$a\,f'(ax + b)$. Ici $f = \exp$, $a = 3$ :
$3\,e^{3x+1}$.

]]> $g'(x) = e^{3x + 1}$

]]> Oubli du facteur $3$ : la composition par $3x + 1$ fait
sortir le coefficient de $x$.

]]> $g'(x) = (3x + 1)\,e^{3x}$

]]> Erreur : ni l'exposant ne change, ni l'intérieur ne
descend tel quel : seul $a = 3$ sort en facteur.

]]> $g'(x) = 3\,e^{3x}$

]]> Erreur : l'exposant $3x + 1$ se conserve intégralement
en dérivant : $3\,e^{3x+1}$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q09 : Dérivée de $\ln(u)$ Quelle est la dérivée de $h(x) = \ln(x^2 + 1)$ ?

]]> Dérivées composées au programme : $(e^u)' = u'\,e^u$,
$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, $(u^2)' = 2u\,u'$. Ici :
$\dfrac{2x}{x^2+1}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $h'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

]]> Bonne réponse : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec
$u = x^2 + 1$ (strictement positif) et $u' = 2x$.

]]> $h'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

]]> Oubli du numérateur $u' = 2x$ : la règle de la composée
est $\dfrac{u'}{u}$, pas $\dfrac{1}{u}$.

]]> $h'(x) = \ln(2x)$

]]> Erreur : on ne dérive pas « à l'intérieur du
logarithme » : le $\ln$ disparaît au profit du quotient
$\frac{u'}{u}$.

]]> $h'(x) = \dfrac{2x}{\ln(x^2 + 1)}$

]]> Erreur : le dénominateur est $u = x^2 + 1$ lui-même, pas
son logarithme.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q10 : Résoudre avec le logarithme Quelle est la solution de l'équation $e^{2x} = 10$ ?

]]> Utiliser la réciprocité : $e^{2x} = 10 \Leftrightarrow 2x =
\ln 10 \Leftrightarrow x = \frac{\ln 10}{2}$. Capacité
attendue : transformer une écriture avec l'équation
fonctionnelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{\ln 10}{2}$

]]> Bonne réponse : $\ln(e^{2x}) = 2x$, donc
$2x = \ln 10$ et $x = \dfrac{\ln 10}{2} \approx 1{,}15$.

]]> $x = \ln 5$

]]> Erreur : $\ln 5$ résoudrait $e^x = 5$. Ici l'exposant
est $2x$ : $x = \frac{\ln 10}{2}$ (et $\frac{\ln 10}{2}
= \ln\sqrt{10} \neq \ln 5$).

]]> $x = \dfrac{10}{2e}$

]]> Erreur : l'exponentielle ne se « divise » pas : on la
défait par le logarithme : $2x = \ln 10$.

]]> $x = \ln 10 - 2$

]]> Erreur : le coefficient $2$ divise ($2x = \ln 10$),
il ne se soustrait pas.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q11 : Limites du logarithme Quelles sont les limites de $\ln x$ en $0^+$ et en
$+\infty$ ?

]]> Limites de référence : $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
(asymptote verticale $x = 0$) et
$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\infty$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$

]]> Bonne réponse : la courbe plonge le long de l'axe des
ordonnées près de $0$ et grimpe sans plafond (mais très
lentement) vers $+\infty$.

]]> $0$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$

]]> Erreur : $\ln$ s'annule en $x = 1$, pas en $0$. Près de
$0^+$, le logarithme dévisse vers $-\infty$
($\ln 0{,}001 \approx -6{,}9$).

]]> $-\infty$ en $0^+$ et $e$ en $+\infty$

]]> Erreur : aucune saturation en $e$ : le logarithme dépasse
toute valeur, aussi lentement que ce soit.

]]> Elles n'existent pas

]]> Erreur : les deux limites existent (au sens infini) :
$-\infty$ et $+\infty$ : la courbe du logarithme les rend
visibles.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q12 : Nombre de solutions par le tableau de variations Une fonction continue $f$ décroît de $8$ à $-1$ sur
$[0\,;\,3]$ puis croît de $-1$ à $2$ sur $[3\,;\,6]$.
Combien l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle de solutions sur
$[0\,;\,6]$ ?

]]> Capacité attendue : exploiter le tableau de variations pour
compter les solutions de $f(x) = k$ : une par branche de
monotonie dont la plage de valeurs contient $k$. Ici :
deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux : une sur chaque branche de monotonie

]]> Bonne réponse : sur $[0\,;\,3]$, $f$ traverse $1$ en
descendant de $8$ à $-1$ (une solution) ; sur
$[3\,;\,6]$, elle le retraverse en remontant de $-1$ à
$2$ (une seconde).

]]> Une seule

]]> Erreur : les deux branches contiennent $1$ dans leur
plage de valeurs ($[-1\,;\,8]$ et $[-1\,;\,2]$) : une
solution chacune.

]]> Aucune

]]> Erreur : $1$ est compris entre $-1$ et $8$ : le TVI
garantit au moins une traversée.

]]> Trois

]]> Erreur : chaque branche strictement monotone livre au
plus une solution : deux branches, deux solutions
maximum.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q13 : Les deux valeurs à connaître Que valent $\ln 1$ et $\ln e$ ?

]]> Les deux ancres du logarithme : $\ln 1 = 0$ (la courbe coupe
l'axe en $1$) et $\ln e = 1$. Tout calcul de logarithme se
raccroche à elles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$

]]> Bonne réponse : $e^0 = 1$ et $e^1 = e$ : le logarithme,
réciproque de l'exponentielle, renvoie les exposants.

]]> $\ln 1 = 1$ et $\ln e = e$

]]> Erreur : le logarithme ne rend pas le nombre lui-même :
il rend l'exposant à donner à $e$ ($0$ pour obtenir
$1$).

]]> $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 0$

]]> Erreur : $\ln e = 1$ (il faut l'exposant $1$ pour
obtenir $e$) : seul $\ln 1$ est nul.

]]> $\ln 1$ n'existe pas

]]> Erreur : $\ln$ est défini sur $]0\ ;\ +\infty[$ et $1 >
0$ : c'est $\ln 0$ qui n'existe pas.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q14 : Décomposer $\ln 6$ Comment s'écrit $\ln 6$ en fonction de $\ln 2$ et
$\ln 3$ ?

]]> $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ : décomposer les entiers en
facteurs pour tout exprimer avec $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 5$…
Gymnastique de base du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 6 = \ln 2 + \ln 3$

]]> Bonne réponse : $6 = 2 \times 3$, et le logarithme
transforme le produit en somme.

]]> $\ln 6 = \ln 2 \times \ln 3$

]]> Erreur : le produit des logarithmes n'est pas le
logarithme du produit : la propriété échange produit
contre somme.

]]> $\ln 6 = \ln(2 + 3) + \ln 1$

]]> Erreur : $2 + 3 = 5 \neq 6$, et $\ln(a + b)$ ne se
décompose pas : c'est le produit $2 \times 3$ qu'on
éclate.

]]> $\ln 6 = 2\ln 3$

]]> Erreur : $2\ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9 \neq \ln 6$ :
l'exposant en facteur code une puissance, pas un
produit de facteurs distincts.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q15 : Où $\ln$ est-il négatif ? Pour quels réels $x$ a-t-on $\ln x < 0$ ?

]]> Signe de $\ln$ : négatif sur $]0\ ;\ 1[$, nul en $1$,
positif au-delà. Utile en permanence dans les études de
signe et les résolutions d'inéquations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $0 < x < 1$

]]> Bonne réponse : $\ln$ s'annule en $1$ et croît :
négatif avant, positif après ($\ln 0{,}5 \approx
-0{,}69$).

]]> Pour $x < 0$

]]> Domaine : $\ln x$ n'existe pas pour $x \leq 0$ : la
question du signe ne se pose que sur $]0\ ;\
+\infty[$.

]]> Jamais : un logarithme est positif

]]> Erreur : $\ln 0{,}1 \approx -2{,}3$ : sur $]0\ ;\ 1[$,
le logarithme plonge (vers $-\infty$ en $0^+$).

]]> Pour $x < e$

]]> Mauvais repère : l'annulation se fait en $1$ ($\ln 1 =
0$) : entre $1$ et $e$, $\ln$ est déjà positif.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q16 : Écrire $\ln 16$ avec $\ln 2$ Comment s'écrit $\ln 16$ en fonction de $\ln 2$ ?

]]> $\ln(a^n) = n\ln a$ : LA propriété qui résout les seuils
($q^n < \varepsilon$) et simplifie les calculs. Toujours
commencer par décomposer le nombre ($16 = 2^4$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 16 = 4\ln 2$

]]> Bonne réponse : $16 = 2^4$ et $\ln(a^n) = n\ln a$ :
l'exposant descend en facteur.

]]> $\ln 16 = (\ln 2)^4$

]]> Erreur : l'exposant sort en facteur, pas en
puissance du logarithme : $(\ln 2)^4 \approx 0{,}23$
alors que $\ln 16 \approx 2{,}77$.

]]> $\ln 16 = 8\ln 2$

]]> Exposant faux : $16 = 2^4$ (et non $2^8 = 256$) :
facteur $4$.

]]> $\ln 16 = \ln 2 + 14$

]]> Erreur : aucune addition de ce type : la décomposition
passe par la puissance $2^4$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q17 : Domaine de $\ln(3 - x)$ Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \ln(3 - x)$ est-elle
définie ?

]]> $\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ strictement : résoudre cette
inéquation est le réflexe d'ouverture de tout exercice avec
logarithme composé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\ ;\ 3[$

]]> Bonne réponse : il faut $3 - x > 0$, soit $x < 3$ :
l'argument du logarithme doit être strictement positif.

]]> $]3\ ;\ +\infty[$

]]> Sens inversé : $3 - x > 0$ se résout en $x < 3$
(attention au signe du coefficient de $x$).

]]> $]0\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : la condition porte sur $3 - x$ (l'intérieur),
pas sur $x$ lui-même.

]]> $]-\infty\ ;\ 3]$

]]> Borne : en $x = 3$, l'intérieur vaut $0$ et $\ln 0$
n'existe pas : intervalle ouvert.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q18 : Résoudre $\ln x \geq 1$ Quel est l'ensemble des solutions de $\ln x \geq 1$ ?

]]> Méthode : écrire le second membre en logarithme ($1 = \ln
e$), puis utiliser la croissance stricte pour comparer les
arguments dans le même sens. Solution : $x \geq e \approx
2{,}72$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[e\ ;\ +\infty[$

]]> Bonne réponse : $1 = \ln e$, et la croissance stricte
conserve l'ordre : $\ln x \geq \ln e \iff x \geq e$.

]]> $[1\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : $\ln 1 = 0 < 1$ : le seuil n'est pas $1$ mais
$e$ (le nombre dont le logarithme vaut $1$).

]]> $[0\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : outre le domaine ($x > 0$ strict), $\ln 2
\approx 0{,}69 < 1$ : il faut monter jusqu'à $e$.

]]> $]0\ ;\ e]$

]]> Sens inversé : $\ln$ croît : les GRANDES valeurs de $x$
donnent les grands logarithmes : $x \geq e$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q19 : Simplifier $e^{\ln 5}$ Que vaut $e^{\ln 5}$ ?

]]> Les deux annulations à connaître : $e^{\ln x} = x$ ($x >
0$) et $\ln(e^x) = x$ (tout $x$). Elles fondent toutes les
résolutions d'équations mêlant les deux fonctions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : exponentielle et logarithme se
neutralisent : $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$.

]]> $\ln 5$

]]> Erreur : l'exponentielle a bien été appliquée ? Elle
défait le logarithme : il reste le nombre nu, $5$.

]]> $e \times 5$

]]> Erreur : $e^{\ln 5}$ n'est pas un produit : c'est $e$
élevé à la puissance $\ln 5$, et la réciprocité rend
$5$.

]]> $e^5$

]]> Erreur : l'exposant est $\ln 5 \approx 1{,}6$, pas $5$ :
la simplification exacte donne $5$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q20 : Résoudre $e^x = 7$ Quelle est la solution de l'équation $e^x = 7$ ?

]]> $e^x = k$ ($k > 0$) $\iff x = \ln k$ : le logarithme est
l'outil d'extraction des exposants. Pour $k \leq 0$ : aucune
solution (l'exponentielle est strictement positive).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \ln 7$

]]> Bonne réponse : appliquer $\ln$ aux deux membres :
$\ln(e^x) = x$ à gauche, $\ln 7$ à droite. C'est LA
raison d'être du logarithme.

]]> $x = \dfrac{7}{e}$

]]> Erreur : diviser par $e$ ne défait pas une puissance :
l'opération réciproque de $e^x$ est le logarithme.

]]> $x = 7 - e$

]]> Erreur : soustraire $e$ n'a aucun effet sur l'exposant :
seule la fonction réciproque isole $x$.

]]> Aucune solution : $7$ n'est pas une puissance de $e$

]]> Erreur : tout réel strictement positif est atteint
par l'exponentielle : la solution existe et se nomme
$\ln 7 \approx 1{,}95$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q21 : Dérivée de $x\ln x$ Quelle est la dérivée de $f(x) = x\ln x$ sur $]0\ ;\
+\infty[$ ?

]]> $(x\ln x)' = \ln x + 1$ : le calcul type mêlant produit et
logarithme. Son signe (négatif avant $e^{-1}$, positif
après) donne le minimum de $x\ln x$ : un classique d'étude.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \ln x + 1$

]]> Bonne réponse : règle du produit : $1 \times \ln x + x
\times \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{x}$

]]> Facteur oublié : $\frac{1}{x}$ dérive $\ln x$ seul : le
facteur $x$ impose la règle du produit.

]]> $f'(x) = \ln x$

]]> Terme manquant : le produit $x \times \frac{1}{x} = 1$
s'ajoute : $\ln x + 1$.

]]> $f'(x) = 1$

]]> Erreur : simplifier $x \times \frac{1}{x}$ avant de
dériver ne respecte pas la structure produit : la
dérivée complète est $\ln x + 1$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q22 : Limite de $\dfrac{\ln x}{x}$ en $+\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ ?

]]> Hiérarchie en $+\infty$ : $\ln x \ll x^n \ll e^x$ : le
logarithme perd contre toute puissance, l'exponentielle
gagne contre toutes. Trois croissances, un classement
immuable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ : le logarithme croît infiniment plus lentement que
$x$

]]> Bonne réponse : croissance comparée : $\ln x$ est
négligeable devant toute puissance de $x$ : le quotient
s'écrase sur $0$.

]]> $+\infty$ : le numérateur tend vers l'infini

]]> Duel oublié : le dénominateur explose AUSSI, et beaucoup
plus vite : le rapport fond ($\frac{\ln 10^6}{10^6}
\approx 0{,}000014$).

]]> $1$ : deux infinis s'équilibrent

]]> Erreur : aucune règle d'équilibre : la hiérarchie des
croissances tranche : $\ln x \ll x$.

]]> La limite n'existe pas

]]> Erreur : la forme $\frac{\infty}{\infty}$ se lève par la
croissance comparée : limite $0$, résultat de cours.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q23 : Résoudre $\ln(2x) = \ln(x + 3)$ Quelle est la solution de $\ln(2x) = \ln(x + 3)$ ?

]]> $\ln a = \ln b \iff a = b$ (avec $a, b > 0$) : égaler les
arguments, puis VÉRIFIER le domaine : une racine qui rend un
argument négatif est à rejeter (pas ici).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$ (et le domaine $x > 0$ est respecté)

]]> Bonne réponse : par injectivité, $2x = x + 3$, donc
$x = 3$ ; contrôle du domaine : $2 \times 3 = 6 > 0$ ✓.

]]> $x = -3$

]]> Résolution fausse ET domaine violé : $2x = x + 3$ donne
$+3$ ; et en $-3$, aucun des deux logarithmes n'existe.

]]> $x = 1$

]]> Contrôle : $\ln 2 \neq \ln 4$ : l'équation $2x = x + 3$
donne $x = 3$.

]]> Aucune : deux logarithmes différents ne sont jamais
égaux

]]> Erreur : ils sont égaux exactement quand leurs
arguments le sont : l'équation se ramène à $2x = x +
3$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q24 : Le logarithme en $0^+$ Que vaut $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x$, et que dire de la
courbe ?

]]> Bilan des limites de $\ln$ : $-\infty$ en $0^+$ (asymptote
verticale $x = 0$), $+\infty$ en $+\infty$ (sans asymptote,
croissance lente). Le miroir exact de l'exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale

]]> Bonne réponse : quand $x$ fond vers $0$, l'exposant
nécessaire plonge : $\ln(0{,}001) \approx -6{,}9$… : la
courbe longe l'axe vertical vers le bas.

]]> $0$ : le logarithme s'annule au bord

]]> Confusion : $\ln$ s'annule en $x = 1$, pas en $0$ : au
bord du domaine, il plonge sans limite.

]]> $-1$

]]> Erreur : $-1 = \ln(e^{-1}) = \ln(0{,}37)$ : une étape
du plongeon, pas sa fin : la chute continue vers
$-\infty$.

]]> La limite n'existe pas car $\ln 0$ n'existe pas

]]> Nuance : la valeur $\ln 0$ n'existe pas, mais la
limite en $0^+$ existe au sens infini : $-\infty$.

]]>