$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Intégration Intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la
courbe, relation de Chasles, valeur moyenne (comprise entre les
bornes de la fonction), méthode des rectangles, extension aux
fonctions de signe quelconque, théorème fondamental et calcul
par primitives ($F(b) - F(a)$), aire entre deux courbes.

]]> Intégration — Q01 : L'intégrale comme aire Pour $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$, que
représente $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ?

]]> $\int_a^b f(x)\,dx$ $=$ aire sous la courbe (pour $f \geq 0$),
avec les propriétés héritées de l'aire : additivité
(Chasles), invariance par translation et symétrie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'aire, en unités d'aire, entre la courbe, l'axe des
abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$

]]> Bonne réponse : c'est la définition du programme,
appuyée sur la notion intuitive d'aire.

]]> La variation $f(b) - f(a)$

]]> Confusion : $f(b) - f(a)$ est un accroissement. Le
calcul par primitive donne $F(b) - F(a)$, avec $F$
primitive de $f$.

]]> La pente moyenne de la courbe

]]> Erreur : la pente relève de la dérivation. L'intégrale
cumule les valeurs : c'est une aire.

]]> Le maximum de $f$ sur $[a\,;\,b]$

]]> Erreur : le maximum est une valeur ponctuelle ; l'aire
agrège toute la plage $[a\,;\,b]$.

]]> Intégration — Q02 : Calcul par une primitive Que vaut $\displaystyle\int_1^3 2x\,dx$ ?

]]> Théorème du calcul intégral : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) -
F(a)$ pour toute primitive $F$ de $f$. Ici $[x^2]_1^3 = 8$
(l'aire d'un trapèze, vérifiable géométriquement).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8$

]]> Bonne réponse : $F(x) = x^2$ est une primitive de $2x$ :
$F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8$.

]]> $4$

]]> Erreur : $4 = 2 \times 3 - 2 \times 1$ évalue $f$ aux
bornes. Le calcul passe par une primitive :
$[x^2]_1^3 = 8$.

]]> $9$

]]> Incomplet : $9 = F(3)$ oublie de retrancher
$F(1) = 1$.

]]> $6$

]]> Erreur : $6 = f(3)$ est une valeur de la fonction, pas
l'aire cumulée entre $1$ et $3$.

]]> Intégration — Q03 : Relation de Chasles Sachant $\displaystyle\int_0^3 f = 7$ et
$\displaystyle\int_3^8 f = 5$, que vaut
$\displaystyle\int_0^8 f$ ?

]]> Chasles : $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ :
l'additivité des aires, héritée de la géométrie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$

]]> Bonne réponse : les aires se recollent bout à bout
(Chasles) : $\int_0^8 = \int_0^3 + \int_3^8 = 7 + 5$.

]]> $35$

]]> Erreur : les intégrales d'intervalles mis bout à bout
s'additionnent, elles ne se multiplient pas.

]]> $2$

]]> Erreur : $7 - 5$ soustrairait les morceaux. La réunion
des intervalles cumule les aires : $12$.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître $f$

]]> Erreur : la relation de Chasles conclut sans la moindre
formule pour $f$ : c'est une propriété de l'aire.

]]> Intégration — Q04 : Valeur moyenne La vitesse d'un véhicule sur l'intervalle $[0\,;\,2]$
(heures) vérifie $\displaystyle\int_0^2 v(t)\,dt = 150$
(kilomètres). Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?

]]> Valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ : $\mu =
\frac{1}{b-a}\int_a^b f$, comprise entre les bornes de la
fonction. Pour une vitesse : distance/durée, l'exemple le
plus parlant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $75$ km/h

]]> Bonne réponse : valeur moyenne $= \dfrac{1}{b - a}
\int_a^b v = \dfrac{150}{2}$ : distance totale divisée
par la durée.

]]> $150$ km/h

]]> Erreur : $150$ est la distance parcourue
(l'intégrale) ; la moyenne la rapporte à la durée :
$75$ km/h.

]]> $300$ km/h

]]> Erreur : multiplier par la durée irait dans le mauvais
sens : on divise l'intégrale par $b - a$.

]]> $75$ km

]]> Erreur d'unité : une vitesse moyenne s'exprime en km/h ;
$75$ km serait une distance.

]]> Intégration — Q05 : Méthode des rectangles Pour approcher $\displaystyle\int_0^1 f$ avec $f$
croissante, on somme les aires de rectangles dont la
hauteur est prise au bord gauche de chaque subdivision.
Cette approximation est :

]]> Rectangles et monotonie : pour $f$ croissante, bords gauches
minorent et bords droits majorent : un encadrement de
l'intégrale, qui se resserre avec le pas (mise en œuvre
algorithmique au programme).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Inférieure ou égale à l'intégrale

]]> Bonne réponse : $f$ croissante : la valeur au bord
gauche est la plus petite du morceau, chaque
rectangle reste sous la courbe : minoration.

]]> Supérieure ou égale à l'intégrale

]]> Inversé : la majoration viendrait des bords droits
(les plus hauts pour une croissante).

]]> Exactement égale à l'intégrale

]]> Erreur : des marches d'escalier laissent toujours un
écart avec une courbe (sauf constante) ; l'écart fond
quand la subdivision s'affine.

]]> Tantôt au-dessus, tantôt en dessous

]]> Erreur : la monotonie fixe le sens pour tous les
morceaux : bords gauches $\Rightarrow$ minoration
systématique.

]]> Intégration — Q06 : Intégrale d'une fonction négative Soit $f$ continue et négative sur $[0\,;\,4]$, le
domaine entre sa courbe et l'axe ayant une aire de $6$
unités. Que vaut $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$ ?

]]> Extension au signe quelconque : l'intégrale compte
positivement les zones au-dessus de l'axe, négativement
celles en dessous. Aire géométrique $=$ intégrale de $|f|$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-6$

]]> Bonne réponse : sous l'axe, l'intégrale compte l'aire
négativement : $\int_0^4 f = -6$.

]]> $6$

]]> Erreur : $6$ est l'aire (toujours positive) ;
l'intégrale d'une fonction négative est négative.

]]> $0$

]]> Erreur : rien ne se compense ici : la fonction reste du
même côté de l'axe, l'intégrale vaut $-6$.

]]> Impossible : une intégrale est toujours positive

]]> Erreur : c'est l'aire qui est positive. L'intégrale,
elle, est algébrique : positive au-dessus de l'axe,
négative en dessous.

]]> Intégration — Q07 : Aire sous l'exponentielle Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ ?

]]> $\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e - 1$ : l'exemple du
programme (approché aussi par la méthode des rectangles pour
voir converger l'encadrement).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e - 1$

]]> Bonne réponse : $e^x$ est sa propre primitive :
$[e^x]_0^1 = e - e^0 = e - 1 \approx 1{,}72$.

]]> $e$

]]> Incomplet : il manque la borne inférieure :
$e^0 = 1$ se retranche.

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ serait l'aire d'un carré unité ; la courbe
de $e^x$ monte de $1$ à $e$ : l'aire vaut $e - 1$.

]]> $e + 1$

]]> Erreur de signe : $F(b) - F(a) = e - 1$ : on
soustrait la valeur en la borne basse.

]]> Intégration — Q08 : La fonction aire Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ et $F(x) =
\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$. Que dit le théorème du
programme sur $F$ ?

]]> Théorème fondamental (au programme) : $x \mapsto \int_a^x
f(t)\,dt$ est dérivable de dérivée $f$. L'aire s'accumule à
la vitesse de la hauteur : d'où le calcul des intégrales par
primitives.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F$ est dérivable et $F' = f$

]]> Bonne réponse : la « fonction aire cumulée » a pour
dérivée la fonction intégrée : le pont entre aire et
primitive, qui justifie le calcul par $F(b) - F(a)$.

]]> $F$ est constante

]]> Erreur : l'aire cumulée grandit avec $x$ (pour
$f > 0$) : $F$ est loin d'être constante.

]]> $F = f$

]]> Erreur d'étage : l'aire cumulée n'égale pas la hauteur
courante ; c'est sa dérivée (vitesse d'accumulation)
qui vaut $f$.

]]> $F' = f'$

]]> Erreur : intégrer puis dériver redonne $f$ elle-même,
pas sa dérivée.

]]> Intégration — Q09 : Aire entre deux courbes Sur $[0\,;\,2]$, on a $f(x) \geq g(x)$. Comment se calcule
l'aire du domaine compris entre les deux courbes ?

]]> Aire entre deux courbes (capacité attendue) : $\int_a^b (f -
g)$ lorsque $f \geq g$ sur $[a\,;\,b]$ (découper aux points
de croisement sinon).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - g(x)\right) dx$

]]> Bonne réponse : la bande entre les courbes a pour
« hauteur » locale $f(x) - g(x) \geq 0$ : son aire est
l'intégrale de la différence.

]]> $\displaystyle\int_0^2 f + \int_0^2 g$

]]> Erreur : la somme empilerait les deux aires sous les
courbes. Le domaine entre elles se mesure par la
différence.

]]> $\displaystyle\int_0^2 f \times \int_0^2 g$

]]> Erreur : aucun produit d'intégrales ne mesure une aire
entre courbes.

]]> $\displaystyle\int_0^2 g - \int_0^2 f$

]]> Signe inversé : avec $f \geq g$, cette différence serait
négative : l'aire est $\int (f - g)$.

]]> Intégration — Q10 : La moyenne entre les bornes Une fonction continue vérifie $2 \leq f(x) \leq 8$ sur
$[0\,;\,5]$. Que peut-on dire de sa valeur moyenne $\mu$ sur
cet intervalle ?

]]> Propriété au programme : $m \leq f \leq M$ sur $[a\,;\,b]$
$\Rightarrow$ $m \leq \mu \leq M$. (En intégrant :
$m(b-a) \leq \int f \leq M(b-a)$, puis division par
$b - a$.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 \leq \mu \leq 8$

]]> Bonne réponse : la valeur moyenne est toujours comprise
entre les bornes de la fonction (propriété du
programme) : une moyenne ne sort pas de la plage des
valeurs.

]]> $\mu = 5$ exactement

]]> Erreur : $5$ serait la moyenne des bornes ; la vraie
moyenne dépend du temps passé près de chaque valeur.

]]> $10 \leq \mu \leq 40$

]]> Erreur : tu as multiplié par la longueur $5$ : c'est
l'intégrale qui est comprise entre $10$ et $40$, la
moyenne reste entre $2$ et $8$.

]]> On ne peut rien dire

]]> Erreur : l'encadrement de $f$ se transmet à sa moyenne :
c'est une garantie systématique.

]]> Intégration — Q11 : Aire sous une parabole Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = 4 - x², tournée vers le bas, de sommet (0 ; 4), coupant l'axe des abscisses en -2 et 2. Le domaine entre la parabole et l'axe des abscisses, de x = -2 à x = 2, est colorié en bleu clair.

Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de
$f(x) = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses. Quelle est son
aire ?

]]> Calcul type (thème « calculs d'aires ») : primitive
$4x - \frac{x^3}{3}$, intégrale $\frac{32}{3}$ : exactement
les deux tiers du rectangle circonscrit, résultat
d'Archimède.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{32}{3}$ unités d'aire

]]> Bonne réponse : $\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx =
\left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} =
\dfrac{32}{3} \approx 10{,}7$ (la quadrature de la
parabole, déjà chez Archimède).

]]> $16$ unités d'aire

]]> Erreur : $16$ est l'aire du rectangle englobant
($4 \times 4$). La parabole en occupe les deux tiers :
$\dfrac{32}{3}$.

]]> $\dfrac{16}{3}$ unités d'aire

]]> Erreur de bornes : $\dfrac{16}{3} = \int_0^2 (4 -
x^2)dx$ : la moitié droite seulement. Le domaine va de
$-2$ à $2$.

]]> $0$ : les deux moitiés se compensent

]]> Erreur : la fonction est positive sur tout
$[-2\,;\,2]$ : rien ne se compense, les moitiés
s'additionnent.

]]> Intégration — Q12 : Estimer une aire par Monte-Carlo Pour estimer l'aire sous une courbe dans le carré unité, on
tire $10\,000$ points au hasard dans le carré et on compte
la proportion de points situés sous la courbe. Pourquoi
cette méthode fonctionne-t-elle ?

]]> Méthode de Monte-Carlo (algorithme du programme) :
probabilité de tomber dans le domaine $=$ aire relative ;
la fréquence sur un grand nombre de tirages l'estime.
Précieuse quand les primitives manquent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La proportion de points sous la courbe approche le
rapport des aires (loi des grands nombres)

]]> Bonne réponse : chaque point a une probabilité égale à
l'aire cherchée (carré d'aire $1$) d'y tomber : la
fréquence observée estime cette aire.

]]> Les points tirés se placent d'eux-mêmes sous la courbe

]]> Erreur : les tirages sont uniformes dans tout le
carré ; c'est le comptage qui filtre.

]]> La méthode donne l'aire exacte dès $100$ points

]]> Erreur : l'estimation fluctue (en $1/\sqrt{n}$) : elle
se raffine avec le nombre de points sans jamais devenir
exacte.

]]> Elle ne fonctionne que pour des aires rectangulaires

]]> Erreur : sa force est justement de traiter des formes
quelconques, y compris sans primitive connue.

]]> Intégration — Q13 : Intégrale d'une constante Que vaut $\displaystyle\int_1^4 5\,dt$ ?

]]> $\int_a^b c\,dt = c(b - a)$ : le rectangle fondamental.
Point d'ancrage pour contrôler les calculs plus élaborés et
les encadrements.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$

]]> Bonne réponse : un rectangle de hauteur $5$ et de
largeur $4 - 1 = 3$ : aire $15$.

]]> $5$

]]> Largeur oubliée : la constante se multiplie par la
longueur de l'intervalle : $5 \times 3$.

]]> $20$

]]> Erreur : $5 \times 4$ prend la borne droite au lieu de
la largeur $4 - 1 = 3$.

]]> $\dfrac{15}{2}$

]]> Erreur : la division par $2$ vaudrait pour un triangle :
une constante dessine un rectangle plein.

]]> Intégration — Q14 : Échanger les bornes Sachant $\displaystyle\int_0^2 f = 7$, que vaut
$\displaystyle\int_2^0 f$ ?

]]> $\int_b^a f = -\int_a^b f$ : conséquence directe du crochet
$F(b) - F(a)$. À utiliser pour remettre les bornes en ordre
croissant avant tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-7$

]]> Bonne réponse : échanger les bornes renverse le signe :
$F(0) - F(2) = -(F(2) - F(0))$.

]]> $7$

]]> Erreur : l'intégrale est orientée : parcourir
l'intervalle à l'envers change le signe.

]]> $0$

]]> Erreur : $\int_a^a = 0$ demande des bornes égales :
ici elles sont échangées : opposé.

]]> $\dfrac{1}{7}$

]]> Erreur : aucun inverse en jeu : le crochet change
simplement de signe.

]]> Intégration — Q15 : Linéarité de l'intégrale On donne $\displaystyle\int_0^1 f = 4$ et
$\displaystyle\int_0^1 g = -2$. Que vaut
$\displaystyle\int_0^1 (3f + g)$ ?

]]> $\int(\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta\int g$ :
l'intégrale respecte sommes et coefficients : le levier qui
décompose tout calcul en briques simples.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : linéarité : $3 \times 4 + (-2) = 10$ :
les coefficients sortent, les intégrales s'additionnent.

]]> $14$

]]> Signe : $\int g = -2$ est négative : $12 + (-2) = 10$,
pas $12 + 2$.

]]> $6$

]]> Coefficient perdu : le $3$ multiplie $\int f = 4$ :
$12 - 2 = 10$.

]]> $2$

]]> Erreur : $4 - 2 = 2$ ignore le facteur $3$ : la
linéarité le conserve.

]]> Intégration — Q16 : Signe d'une intégrale $f$ est continue et positive sur $[0\ ;\ 3]$. Que
peut-on dire de $\displaystyle\int_0^3 f(t)\,dt$ sans la
calculer ?

]]> Positivité : $f \geq 0$ sur $[a\ ;\ b]$ ($a \leq b$)
$\Rightarrow \int_a^b f \geq 0$. Avec la linéarité, elle
fournit la comparaison des intégrales : les deux outils
théoriques du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est positive ou nulle

]]> Bonne réponse : une aire sous une courbe au-dessus de
l'axe ne peut pas être négative : la positivité se
transmet de la fonction à l'intégrale.

]]> Elle est strictement positive

]]> Trop fort : la fonction nulle est positive et son
intégrale vaut $0$ : conclusion en inégalité large.

]]> Rien : il faut calculer

]]> Erreur : le signe s'obtient GRATUITEMENT par la
positivité : l'argument le plus économique du chapitre.

]]> Elle vaut exactement l'aire du rectangle $3 \times
\max f$

]]> Erreur : ce rectangle majore l'intégrale, il ne
l'égale pas (sauf fonction constante).

]]> Intégration — Q17 : Encadrer sans calculer Sur $[0\ ;\ 4]$, on sait que $2 \leq f(t) \leq 5$. Quel
encadrement de $\displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt$ en
découle ?

]]> $m \leq f \leq M$ sur $[a\ ;\ b] \Rightarrow m(b - a) \leq
\int_a^b f \leq M(b - a)$ : l'inégalité de la moyenne. Les
deux rectangles encadrent l'aire : image à garder en tête.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8 \leq \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \leq 20$

]]> Bonne réponse : intégrer l'encadrement : les bornes $2$
et $5$ se multiplient par la largeur $4$ : rectangles
minorant et majorant.

]]> $2 \leq \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \leq 5$

]]> Largeur oubliée : c'est la valeur moyenne qui reste
entre $2$ et $5$ : l'intégrale, elle, est multipliée par
la largeur $4$.

]]> $0 \leq \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \leq 4$

]]> Erreur : la fonction vaut au moins $2$ sur une largeur
$4$ : l'intégrale ne descend pas sous $8$.

]]> Aucun : il faut l'expression exacte de $f$

]]> Erreur : encadrer la fonction suffit à encadrer
l'intégrale : c'est le service rendu par la comparaison.

]]> Intégration — Q18 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,dt$ Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,dt$ ?

]]> Primitive de $e^{-t}$ : $-e^{-t}$ (le signe compense).
Contrôle de cohérence : la fonction est positive sur
$[0\ ;\ 1]$ : l'intégrale doit être positive : $1 -
\frac{1}{e}$ ✓.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 - \dfrac{1}{e}$

]]> Bonne réponse : primitive $-e^{-t}$ : le crochet donne
$-e^{-1} - (-e^0) = 1 - \frac{1}{e} \approx 0{,}63$.

]]> $\dfrac{1}{e} - 1$

]]> Ordre du crochet : $F(1) - F(0)$, avec le signe de la
primitive : le résultat est positif (aire sous une
courbe positive).

]]> $e - 1$

]]> Signe de l'exposant perdu : $e - 1$ est
$\int_0^1 e^{t}dt$ : ici l'exponentielle décroît : aire
plus petite ($\approx 0{,}63$).

]]> $-e^{-1}$

]]> Borne basse oubliée : le crochet soustrait $F(0) = -1$ :
$-e^{-1} + 1$.

]]>