$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Lois à densité Notion de loi à densité : probabilité représentée par une aire,
fonction de répartition $x \mapsto P(X \leq x)$, espérance sous
forme d'intégrale, loi uniforme sur $[0\,;\,1]$ puis sur
$[a\,;\,b]$ (densité, espérance), loi exponentielle (densité,
espérance, absence de mémoire).

]]> Lois à densité — Q01 : Qu'est-ce qu'une densité de probabilité ? Quelles conditions une fonction $f$ doit-elle remplir pour
être une densité de probabilité sur un intervalle $I$ ?

]]> Densité : $f \geq 0$ et aire totale $= 1$. Les probabilités
se lisent alors comme des aires : $P(c \leq X \leq d) =$
aire sous $f$ entre $c$ et $d$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Être positive sur $I$, et l'aire totale sous sa courbe
sur $I$ doit valoir $1$

]]> Bonne réponse : positivité (les probabilités sont
positives) et aire totale $1$ (l'événement certain).

]]> Être croissante et valoir $1$ à droite

]]> Confusion : ces propriétés décrivent la fonction de
répartition $P(X \leq x)$, pas la densité.

]]> Être comprise entre $0$ et $1$

]]> Erreur : une densité peut dépasser $1$ (par exemple la
densité uniforme sur $[0\,;\,0{,}5]$ vaut $2$) : c'est
l'aire qui est bornée par $1$, pas la hauteur.

]]> Être continue et impaire

]]> Erreur : l'imparité forcerait des valeurs négatives ;
aucune symétrie n'est requise.

]]> Lois à densité — Q02 : Lire une probabilité comme une aire Densité de la loi uniforme sur [0 ; 2] : un segment horizontal bleu à la hauteur 0,5 entre x = 0 et x = 2, nul ailleurs. La zone rectangulaire entre x = 0,5 et x = 1,5, sous le segment, est coloriée en bleu clair.

La figure montre la densité de la loi uniforme sur
$[0\,;\,2]$ (hauteur $0{,}5$) ; la zone colorée s'étend de
$0{,}5$ à $1{,}5$. Que vaut
$P(0{,}5 \leq X \leq 1{,}5)$ ?

]]> Pour une densité, probabilité $=$ aire. Uniforme sur
$[a\,;\,b]$ : densité constante $\frac{1}{b-a}$, et
$P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : la proportion
de longueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}5$ : l'aire du rectangle de largeur $1$ et de
hauteur $0{,}5$

]]> Bonne réponse : probabilité $=$ aire $= 1 \times 0{,}5 =
0{,}5$. La moitié de l'intervalle porte la moitié de la
probabilité : cohérent pour une loi uniforme.

]]> $1$ : la largeur de la zone

]]> Erreur : la largeur seule ne suffit pas : l'aire
multiplie largeur et hauteur ($0{,}5$).

]]> $0{,}25$

]]> Erreur : $0{,}5 \times 0{,}5$ prend la mauvaise
largeur : la zone va de $0{,}5$ à $1{,}5$, largeur $1$.

]]> $0{,}75$

]]> Erreur : $0{,}75$ correspondrait à une largeur de
$1{,}5$ (par exemple de $0{,}5$ à $2$). Ici :
$1 \times 0{,}5 = 0{,}5$.

]]> Lois à densité — Q03 : Densité de la loi uniforme Quelle est la densité de la loi uniforme sur l'intervalle
$[2\,;\,7]$ ?

]]> Uniforme sur $[a\,;\,b]$ : densité $\frac{1}{b-a}$ sur
l'intervalle, nulle ailleurs ; espérance $\frac{a+b}{2}$
(le milieu).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = \dfrac{1}{5}$ sur $[2\,;\,7]$, nulle ailleurs

]]> Bonne réponse : constante sur l'intervalle, de hauteur
$\dfrac{1}{b-a} = \dfrac{1}{5}$ pour que l'aire totale
($5 \times \frac{1}{5}$) vaille $1$.

]]> $f(x) = \dfrac{1}{7}$ sur $[2\,;\,7]$

]]> Erreur : le dénominateur est la longueur $b - a =
5$, pas la borne $7$. (Aire : $5 \times \frac{1}{7}
\neq 1$.)

]]> $f(x) = 5$ sur $[2\,;\,7]$

]]> Erreur : hauteur $5$ sur une largeur $5$ donnerait une
aire de $25$. La densité est l'inverse de la
longueur.

]]> $f(x) = x - 2$ sur $[2\,;\,7]$

]]> Erreur : une densité croissante privilégierait les
grandes valeurs : l'uniformité exige une hauteur
constante.

]]> Lois à densité — Q04 : Espérance d'une loi uniforme Un bus passe toutes les $10$ minutes ; le temps d'attente
$X$ d'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme
sur $[0\,;\,10]$. Que vaut $E(X)$ ?

]]> $E = \frac{a+b}{2}$ pour l'uniforme : le centre de gravité
du rectangle. Temps d'attente à un arrêt (thème du
programme) : en moyenne, la moitié de l'intervalle entre
passages.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ minutes

]]> Bonne réponse : $E(X) = \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{0 +
10}{2} = 5$ : en moyenne, on attend la moitié de
l'intervalle.

]]> $10$ minutes

]]> Erreur : $10$ est l'attente maximale (arrivée juste
après un bus). La moyenne vaut la moitié : $5$.

]]> $0$ minute

]]> Erreur : l'attente nulle est le meilleur cas, pas la
moyenne.

]]> $\dfrac{1}{10}$ de minute

]]> Confusion : $\dfrac{1}{10}$ est la densité
(hauteur), pas l'espérance.

]]> Lois à densité — Q05 : Fonction de répartition Pour une variable à densité $X$, que représente la fonction
de répartition $F(x) = P(X \leq x)$ ?

]]> Fonction de répartition : $F(x) = P(X \leq x)$, aire
cumulée. Utilité pratique : $P(c \leq X \leq d) = F(d) -
F(c)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'aire cumulée sous la densité jusqu'à $x$ : une
fonction croissante de $0$ vers $1$

]]> Bonne réponse : $F$ accumule la probabilité de gauche à
droite : croissante, limite $0$ à gauche, $1$ à droite.

]]> La hauteur de la densité en $x$

]]> Erreur : la hauteur est $f(x)$ ; la répartition est
l'aire accumulée jusqu'à $x$ (l'intégrale de la
densité).

]]> La probabilité que $X = x$ exactement

]]> Erreur : pour une loi à densité, $P(X = x) = 0$ (une
aire de largeur nulle). $F(x)$ cumule tout ce qui est
inférieur ou égal à $x$.

]]> L'espérance de $X$

]]> Erreur : l'espérance est un nombre ($\int x f(x)
dx$) ; la répartition est une fonction de $x$.

]]> Lois à densité — Q06 : $P(X = a)$ pour une loi à densité Soit $X$ une variable suivant une loi à densité. Que vaut
$P(X = 3)$ (la probabilité d'une valeur exacte) ?

]]> Différence essentielle discret/continu : en continu,
$P(X = a) = 0$ pour tout $a$ ; seules les plages de
valeurs portent de la probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ : une aire de largeur nulle

]]> Bonne réponse : la probabilité est une aire ; au-dessus
du seul point $3$, la largeur est nulle. Conséquence :
$P(X \leq 3) = P(X < 3)$ pour les lois à densité.

]]> $f(3)$, la valeur de la densité

]]> Erreur : $f(3)$ est une hauteur, pas une
probabilité. Elle ne devient probabilité que multipliée
par une largeur (aire).

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : aucune valeur ponctuelle ne porte de masse dans
une loi à densité : $P(X = 3) = 0$.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Erreur : pour toute loi à densité, les valeurs
exactes ont probabilité nulle (contrairement aux lois
discrètes).

]]> Lois à densité — Q07 : La loi exponentielle Quelle est la densité de la loi exponentielle de paramètre
$\lambda > 0$ ?

]]> Loi exponentielle : densité $\lambda e^{-\lambda t}$ sur
$[0\,;\,+\infty[$, espérance $\frac{1}{\lambda}$, absence de
mémoire. Version continue de la loi géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(t) = \lambda\,e^{-\lambda t}$ pour $t \geq 0$

]]> Bonne réponse : une décroissance exponentielle depuis la
hauteur $\lambda$ : le modèle continu des durées de vie
sans vieillissement.

]]> $f(t) = e^{\lambda t}$ pour $t \geq 0$

]]> Erreur : une exponentielle croissante aurait une
aire infinie : impossible pour une densité.

]]> $f(t) = \lambda$ pour $t \geq 0$

]]> Erreur : une constante sur $[0\,;\,+\infty[$ aurait
aussi une aire infinie : c'est l'uniforme qui est
constante, sur un intervalle borné.

]]> $f(t) = e^{-t^2}$

]]> Erreur : cette forme « en cloche » évoque d'autres lois
(hors programme). L'exponentielle décroît en
$e^{-\lambda t}$.

]]> Lois à densité — Q08 : Espérance d'une loi exponentielle La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de
paramètre $\lambda = 0{,}1$ (par millier d'heures). Quelle
est sa durée de vie moyenne ?

]]> $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ pour la loi exponentielle
(parallèle exact avec le $\frac{1}{p}$ de la loi
géométrique). Ici : $10$ milliers d'heures.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{\lambda} = 10$ milliers d'heures

]]> Bonne réponse : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ : plus le
taux de panne $\lambda$ est faible, plus la vie moyenne
est longue.

]]> $0{,}1$ millier d'heures

]]> Erreur : $0{,}1$ est le paramètre (taux) ;
l'espérance en est l'inverse : $10$.

]]> $\lambda^2 = 0{,}01$

]]> Erreur : aucun carré ici : $E = \frac{1}{\lambda}$
(et l'écart-type vaut aussi $\frac{1}{\lambda}$).

]]> Elle est infinie, car $t$ peut être arbitrairement grand

]]> Erreur : les grandes durées sont possibles mais si
improbables que la moyenne reste finie :
$\frac{1}{\lambda}$.

]]> Lois à densité — Q09 : Absence de mémoire continue La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle.
Il fonctionne déjà depuis $5$ ans. Que dire de sa durée de
vie restante ?

]]> Absence de mémoire : $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$.
L'atome radioactif ou le composant « sans usure » ignorent
leur âge : c'est ce qui définit la loi exponentielle parmi
les lois à densité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle suit la même loi exponentielle qu'un composant
neuf : le composant ne vieillit pas

]]> Bonne réponse : absence de mémoire, propriété
caractéristique de la loi exponentielle : conditionner
par la survie ne change pas la loi du temps restant.

]]> Elle est plus courte : il a déjà consommé une partie de
sa vie

]]> Intuition d'usure, hors modèle : l'exponentielle
modélise précisément les pannes sans vieillissement
(défaillances accidentelles, désintégration atomique).

]]> Elle est plus longue : il a prouvé sa robustesse

]]> Erreur : ni bonus ni malus : la loi du temps restant est
exactement celle d'origine.

]]> Elle devient certaine et égale à $\dfrac{1}{\lambda}$

]]> Erreur : l'espérance restante vaut
$\frac{1}{\lambda}$, mais la durée reste aléatoire, de
même loi qu'au départ.

]]> Lois à densité — Q10 : L'espérance comme intégrale Pour une variable $X$ de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$,
comment s'exprime l'espérance $E(X)$ ?

]]> Analogie discret-continu : $\sum x_i p_i \to \int x f(x)
dx$. Exemple : uniforme sur $[a\,;\,b]$ : $\int_a^b
\frac{x}{b-a} dx = \frac{a+b}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $E(X) = \displaystyle\int_a^b x\,f(x)\,dx$

]]> Bonne réponse : la version continue de
$\sum x_i\,p_i$ : chaque valeur $x$ pondérée par sa
densité, sommée par intégrale.

]]> $E(X) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$

]]> Erreur : cette intégrale vaut toujours $1$ (aire
totale). L'espérance pondère par la valeur $x$ :
$\int x f(x) dx$.

]]> $E(X) = f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$

]]> Erreur : la densité au milieu n'est pas une moyenne
(sauf coïncidence). L'espérance intègre toutes les
valeurs pondérées.

]]> $E(X) = \dfrac{f(a) + f(b)}{2}$

]]> Erreur : moyenner deux hauteurs de densité n'a pas de
sens probabiliste : l'espérance est $\int x f(x)\,dx$.

]]> Lois à densité — Q11 : Simuler avec la loi uniforme En Python, random() renvoie un réel de loi uniforme sur
$[0\,;\,1[$. Comment simuler une variable uniforme sur
$[3\,;\,8]$ ?

]]> Rôle central de l'uniforme sur $[0\,;\,1]$ (au programme) :
elle simule les autres lois. Uniforme sur $[a\,;\,b]$ :
$a + (b-a)U$. C'est la brique des simulations continues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 + 5 * random()

]]> Bonne réponse : on dilate $[0\,;\,1[$ par la longueur
($\times 5$) puis on translate au bon départ ($+3$) :
uniforme sur $[3\,;\,8[$.

]]> random(3, 8)

]]> Erreur : random() ne prend pas d'arguments. La
transformation affine $a + (b-a) \times$ random() fait
le travail.

]]> 3 * random() + 8

]]> Erreur : cette expression vit dans $[8\,;\,11[$ :
coefficients mal placés. Longueur $5$ en facteur, départ
$3$ en décalage.

]]> randint(3, 8)

]]> Erreur : randint produit des entiers (loi uniforme
discrète). Pour un réel de loi à densité : random()
transformé.

]]> Lois à densité — Q12 : Choisir entre uniforme et exponentielle Quel phénomène est le mieux modélisé par une loi
exponentielle ?

]]> Guide de modélisation : position au hasard $\to$ uniforme ;
durée d'attente sans mémoire $\to$ exponentielle ; comptes
$\to$ lois discrètes (binomiale, géométrique). Le thème
« temps d'attente » articule ces choix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le temps d'attente entre deux appels indépendants à un
standard téléphonique

]]> Bonne réponse : temps d'attente d'événements
« sans mémoire » (appels, désintégrations, pannes
accidentelles) : le domaine de la loi exponentielle.

]]> La position d'un point choisi au hasard sur un segment

]]> Erreur : aucun endroit du segment n'est privilégié :
loi uniforme.

]]> Le nombre de succès en $20$ tirages avec remise

]]> Erreur : un compte discret : loi binomiale, pas une
loi à densité.

]]> Le résultat d'un lancer de dé

]]> Erreur : six valeurs équiprobables : loi uniforme
discrète.

]]> Lois à densité — Q13 : Probabilité uniforme simple $X$ suit la loi uniforme sur $[0\ ;\ 10]$. Que vaut
$P(X \leq 3)$ ?

]]> Loi uniforme sur $[c\ ;\ d]$ : $P(X \in I) =
\frac{\text{longueur de } I}{d - c}$ : la probabilité EST la
proportion géométrique. Le modèle du « point au hasard ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}3$

]]> Bonne réponse : proportion de l'intervalle : longueur
favorable ($3$) sur longueur totale ($10$).

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ est la longueur favorable : une probabilité
la rapporte au total : $\frac{3}{10}$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : le dénominateur est la longueur totale
($10$), pas la borne demandée.

]]> $0{,}5$

]]> Erreur : $0{,}5$ correspondrait à $P(X \leq 5)$ (la
moitié) : ici la zone couvre $30\ \%$ de l'intervalle.

]]> Lois à densité — Q14 : L'aire totale sous une densité Que vaut l'aire totale sous la courbe d'une densité de
probabilité ?

]]> Une densité : $f \geq 0$ et $\int f = 1$ : les deux
conditions. Vérifier l'aire totale est le premier test face
à toute densité proposée (et la clé pour trouver une
constante inconnue).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$ : la certitude entière

]]> Bonne réponse : la variable prend forcément UNE valeur :
la probabilité totale, lue comme aire complète, vaut
$1$.

]]> $0$

]]> Erreur : ce sont les probabilités ponctuelles ($P(X
= a)$) qui sont nulles : l'aire totale, elle, vaut $1$.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Erreur : c'est la condition DÉFINISSANT une densité :
positive ET d'aire totale $1$, quelle que soit sa forme.

]]> L'espérance de la variable

]]> Confusion : l'espérance est l'intégrale de
$t\,f(t)$ (la valeur moyenne) : l'aire de $f$ seule vaut
toujours $1$.

]]> Lois à densité — Q15 : Uniforme sur $[2\ ;\ 8]$ $X$ suit la loi uniforme sur $[2\ ;\ 8]$. Que vaut
$P(3 \leq X \leq 5)$ ?

]]> Uniforme : toujours des rapports de longueurs :
$P(a \leq X \leq b) = \frac{b - a}{d - c}$. Piège récurrent :
oublier que l'intervalle total ne démarre pas en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

]]> Bonne réponse : longueur favorable $5 - 3 = 2$, longueur
totale $8 - 2 = 6$ : proportion $\frac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{5}{8}$

]]> Bornes brutes : les probabilités uniformes se calculent
sur les longueurs ($2$ sur $6$), pas sur les valeurs
des bornes.

]]> $\dfrac{2}{8}$

]]> Dénominateur : la longueur totale est $8 - 2 = 6$
(l'intervalle commence à $2$, pas à $0$).

]]> $\dfrac{3}{5}$

]]> Erreur : aucun rapport de bornes ne donne la
probabilité : longueur sur longueur : $\frac{2}{6}$.

]]> Lois à densité — Q16 : Fonction de répartition exponentielle $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Que
vaut $P(X \leq t)$ pour $t \geq 0$ ?

]]> Loi exponentielle : trois visages à distinguer : densité
$\lambda e^{-\lambda t}$, répartition $P(X \leq t) = 1 -
e^{-\lambda t}$, survie $P(X > t) = e^{-\lambda t}$. Tout
calcul en découle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 - e^{-\lambda t}$

]]> Bonne réponse : l'aire sous la densité entre $0$ et $t$ :
part de $0$, grimpe vers $1$ : la fonction de
répartition de la loi exponentielle.

]]> $e^{-\lambda t}$

]]> Complémentaire : $e^{-\lambda t}$ est $P(X > t)$ (la
survie) : la répartition en est le complément à $1$.

]]> $\lambda e^{-\lambda t}$

]]> Confusion : $\lambda e^{-\lambda t}$ est la densité
(la hauteur de la courbe) : la probabilité cumulée est
son intégrale.

]]> $\lambda t$

]]> Erreur : $\lambda t$ dépasse $1$ pour $t$ grand :
impossible pour une probabilité : la bonne formule
sature vers $1$.

]]> Lois à densité — Q17 : Durée de vie moyenne La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de
paramètre $\lambda = 0{,}5$ (par année). Quelle est sa durée
de vie moyenne ?

]]> $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ : taux et durée moyenne sont
inverses. Un composant à $\lambda = 0{,}5$ panne/an dure en
moyenne $2$ ans : la traduction mécanique du paramètre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$ ans : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$

]]> Bonne réponse : $E(X) = \frac{1}{\lambda} =
\frac{1}{0{,}5} = 2$ : le paramètre est un taux (de
panne par an), la moyenne en est l'inverse.

]]> $0{,}5$ an

]]> Confusion : $0{,}5$ est le taux de défaillance :
l'espérance l'inverse : $2$ ans.

]]> $\lambda^2 = 0{,}25$ an

]]> Erreur : aucun carré dans l'espérance exponentielle :
$E(X) = \frac{1}{\lambda}$.

]]> $e^{0{,}5} \approx 1{,}65$ an

]]> Erreur : l'exponentielle intervient dans la densité, pas
dans la formule de l'espérance : $\frac{1}{\lambda} =
2$.

]]> Lois à densité — Q18 : Probabilité de survie Avec $\lambda = 0{,}5$, quelle est la probabilité que le
composant fonctionne encore après $4$ ans ?

]]> $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ : identifier $\lambda$, $t$,
multiplier, exponentier. Repère utile : à $t = E(X)$, la
survie vaut $e^{-1} \approx 37\ \%$ : la moyenne n'est pas
la médiane.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P(X > 4) = e^{-2} \approx 0{,}135$

]]> Bonne réponse : survie : $e^{-\lambda t} = e^{-0{,}5
\times 4} = e^{-2}$ : environ $13{,}5\ \%$ des
composants passent le cap des $4$ ans.

]]> $1 - e^{-2} \approx 0{,}865$

]]> Complémentaire : $1 - e^{-2}$ est $P(X \leq 4)$ : la
probabilité d'être DÉJÀ tombé en panne.

]]> $e^{-0{,}5} \approx 0{,}61$

]]> Durée oubliée : l'exposant est $\lambda \times t = 0{,}5
\times 4 = 2$, pas $\lambda$ seul.

]]> $0$ : c'est le double de la durée moyenne

]]> Erreur : dépasser la moyenne n'a rien d'impossible : la
loi exponentielle a une longue queue : $13{,}5\ \%$ de
survivants à $2E(X)$.

]]>