$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Lois discrètes Loi uniforme sur $\{1, \ldots, n\}$ et son espérance, loi de
Bernoulli (espérance, écart-type), schéma de Bernoulli et
coefficients binomiaux (triangle de Pascal), loi binomiale
$\mathcal{B}(n\,;\,p)$ (expression, espérance et écart-type
admis), loi géométrique (expression, espérance admise, absence
de mémoire).

]]> Lois discrètes — Q01 : Loi uniforme sur $\{1, \ldots, n\}$ On lance un dé équilibré à $6$ faces : le résultat $X$ suit
la loi uniforme sur $\{1, \ldots, 6\}$. Que vaut $E(X)$ ?

]]> Loi uniforme sur $\{1, \ldots, n\}$ : chaque valeur a la
probabilité $\frac{1}{n}$ et $E(X) = \frac{n+1}{2}$
(démonstration possible avec $1 + \cdots + n =
\frac{n(n+1)}{2}$). Pour le dé : $3{,}5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3{,}5$

]]> Bonne réponse : $E(X) = \dfrac{1 + 2 + \cdots + 6}{6} =
\dfrac{21}{6} = 3{,}5$, soit $\dfrac{n+1}{2}$ pour la loi
uniforme sur $\{1, \ldots, n\}$.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ serait le « milieu entier », mais la
moyenne des six faces vaut $\dfrac{21}{6} = 3{,}5$
(l'espérance n'est pas forcément une valeur possible).

]]> $6$

]]> Erreur : $6$ est la valeur maximale, pas la moyenne.

]]> $\dfrac{1}{6}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{6}$ est la probabilité de chaque
face, pas l'espérance du résultat.

]]> Lois discrètes — Q02 : Loi de Bernoulli $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}2$
($X = 1$ en cas de succès, $0$ sinon). Que valent $E(X)$ et
$V(X)$ ?

]]> Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,
$V(X) = p(1-p)$, $\sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}$ : la brique
élémentaire de la binomiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}16$

]]> Bonne réponse : $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p) = 0{,}2
\times 0{,}8 = 0{,}16$ (démonstrations possibles au
programme).

]]> $E(X) = 0{,}5$ et $V(X) = 0{,}25$

]]> Erreur : ces valeurs correspondent à $p = 0{,}5$
(pièce équilibrée). Ici $p = 0{,}2$ : $E = 0{,}2$.

]]> $E(X) = 1$ et $V(X) = 0$

]]> Erreur : $E = 1$ et $V = 0$ décriraient un succès
certain ($p = 1$). Avec $p = 0{,}2$, la variable
fluctue.

]]> $E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}2$

]]> Erreur sur la variance : $V = p(1-p) = 0{,}16$, pas $p$
lui-même.

]]> Lois discrètes — Q03 : Triangle de Pascal La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est $1\ ;\,4\ ;\,6\ ;
\,4\ ;\,1$. Que vaut le coefficient binomial
$\dbinom{5}{2}$ ?

]]> Capacité attendue : déterminer les coefficients binomiaux
par le triangle de Pascal. Ligne $5$ : $1\ ;\,5\ ;\,10\ ;\,
10\ ;\,5\ ;\,1$, obtenue par sommes de la ligne $4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$, en additionnant $4 + 6$ (relation de Pascal)

]]> Bonne réponse : chaque coefficient est la somme des deux
situés au-dessus : $\binom{5}{2} = \binom{4}{1} +
\binom{4}{2} = 4 + 6 = 10$.

]]> $24$, en multipliant $4 \times 6$

]]> Erreur : la relation de Pascal est additive, pas
multiplicative.

]]> $6$

]]> Erreur : $6 = \binom{4}{2}$ appartient à la ligne
$n = 4$. La ligne suivante s'en déduit par sommes.

]]> $5$

]]> Erreur : $5 = \binom{5}{1}$ (deuxième coefficient de la
ligne). $\binom{5}{2}$ est le troisième : $10$.

]]> Lois discrètes — Q04 : Identifier une loi binomiale On tire $10$ fois avec remise une boule dans une urne
contenant $30\ \%$ de boules rouges, et on compte le nombre
$X$ de rouges. Quelle est la loi de $X$ ?

]]> Identifier les lois (capacité attendue) : compte de succès
sur $n$ répétitions indépendantes $\to$ binomiale ; rang du
premier succès $\to$ géométrique ; une seule épreuve $\to$
Bernoulli.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$

]]> Bonne réponse : $10$ épreuves de Bernoulli identiques
(remise !) et indépendantes, $X$ compte les succès :
binomiale.

]]> La loi uniforme sur $\{0, \ldots, 10\}$

]]> Erreur : les valeurs de $X$ ne sont pas équiprobables
($5$ rouges est bien plus probable que $10$).

]]> La loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$

]]> Erreur : la Bernoulli décrit une épreuve. Le
compte sur $10$ épreuves suit la binomiale.

]]> La loi géométrique de paramètre $0{,}3$

]]> Erreur : la géométrique donne le rang du premier
succès, pas le nombre de succès en $10$ tirages.

]]> Lois discrètes — Q05 : Une probabilité binomiale Soit $X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$ (quatre lancers d'une
pièce équilibrée). Que vaut $P(X = 2)$ ?

]]> $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ : ici $6 \times
\frac{1}{16} = 0{,}375$. Le triangle de Pascal fournit le
$6$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{4}{2} \times 0{,}5^4 = \dfrac{6}{16} = 0{,}375$

]]> Bonne réponse : $\binom{4}{2} = 6$ chemins à deux
succès, chacun de probabilité $0{,}5^2 \times 0{,}5^2 =
0{,}5^4$.

]]> $0{,}5$

]]> Erreur : l'intuition « la moitié du temps » surestime :
les valeurs $0$, $1$, $3$, $4$ prennent ensemble
$62{,}5\ \%$ de la masse.

]]> $0{,}25$

]]> Erreur : $0{,}5^2$ ignore les échecs et les
placements : la formule complète donne $6/16$.

]]> $\dfrac{1}{16}$

]]> Incomplet : $\dfrac{1}{16}$ est la probabilité d'un
seul chemin ; il y en a $\binom{4}{2} = 6$.

]]> Lois discrètes — Q06 : Espérance et écart-type d'une binomiale Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}25)$. Que valent
$E(X)$ et $\sigma(X)$ (admis au programme) ?

]]> Formules admises : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$,
$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$. Ici : $25 \pm 4{,}3$ environ :
l'ordre de grandeur des fluctuations attendues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $E(X) = 25$ et $\sigma(X) = \sqrt{18{,}75} \approx
4{,}33$

]]> Bonne réponse : $E = np = 25$ et $\sigma =
\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0{,}25 \times 0{,}75}$.

]]> $E(X) = 25$ et $\sigma(X) = 18{,}75$

]]> Erreur : $18{,}75$ est la variance ; l'écart-type en
est la racine carrée.

]]> $E(X) = 50$ et $\sigma(X) = 5$

]]> Erreur : $E = np = 100 \times 0{,}25 = 25$, pas la
moitié de $n$.

]]> $E(X) = 0{,}25$

]]> Erreur : $0{,}25$ est l'espérance d'une épreuve ;
sur $100$ répétitions : $25$.

]]> Lois discrètes — Q07 : La loi géométrique On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ jusqu'au
premier succès ; $X$ est le rang de ce premier succès. Que
vaut $P(X = k)$ ?

]]> Loi géométrique de paramètre $p$ : $P(X = k) =
(1-p)^{k-1}p$ pour $k \geq 1$, et $E(X) = \dfrac{1}{p}$
(admis). Modèle des temps d'attente discrets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(1 - p)^{k-1}\,p$

]]> Bonne réponse : $k - 1$ échecs consécutifs puis un
succès, les épreuves étant indépendantes.

]]> $p^k$

]]> Erreur : $p^k$ serait $k$ succès d'affilée. Le
premier succès au rang $k$ exige d'abord $k-1$ échecs.

]]> $\dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

]]> Erreur : c'est la formule binomiale (nombre de
succès sur $n$ fixé). La géométrique n'a pas de
coefficient : l'ordre est imposé (échecs puis succès).

]]> $\dfrac{1}{k}$

]]> Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme : les
petits rangs sont les plus probables.

]]> Lois discrètes — Q08 : Espérance d'un temps d'attente On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$. Combien de
lancers faut-il en moyenne ?

]]> Règle mémorable : un événement de probabilité $p$ se produit
en moyenne au bout de $\frac{1}{p}$ essais. Pour le $6$ :
six lancers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ lancers, car $E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{1/6}$

]]> Bonne réponse : le rang du premier $6$ suit la loi
géométrique de paramètre $\frac{1}{6}$ : espérance
$\frac{1}{p} = 6$ (admise au programme).

]]> $3{,}5$ lancers

]]> Confusion : $3{,}5$ est l'espérance du résultat d'un
lancer (loi uniforme). Ici on attend un événement de
probabilité $\frac{1}{6}$ : $6$ essais en moyenne.

]]> $1$ lancer

]]> Erreur : le $6$ tombe du premier coup une fois sur six
seulement ; en moyenne, l'attente dure $6$ lancers.

]]> $36$ lancers

]]> Erreur : $36 = 6^2$ surestime : la formule est
$E = \frac{1}{p} = 6$.

]]> Lois discrètes — Q09 : Absence de mémoire On a déjà lancé le dé $10$ fois sans obtenir de $6$. Quelle
est la probabilité d'obtenir enfin un $6$ au prochain
lancer ?

]]> Absence de mémoire (au programme) : sachant $X > n$, la loi
de l'attente restante est celle de $X$ au départ. Le passé
des échecs ne crée aucune « dette » de succès : antidote
mathématique à l'illusion du joueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{6}$, comme à chaque lancer : le dé n'a pas de
mémoire

]]> Bonne réponse : les lancers sont indépendants : la
malchance passée n'augmente en rien les chances futures.
C'est la propriété caractéristique de la loi géométrique
(absence de mémoire).

]]> Plus de $\dfrac{1}{6}$ : le $6$ « doit » sortir

]]> L'illusion du joueur : le dé ignore son passé. Après dix
échecs, l'attente restante suit exactement la même
loi qu'au départ.

]]> Moins de $\dfrac{1}{6}$ : ce dé semble défavorable

]]> Erreur (dans le modèle du dé équilibré) : dix échecs
n'ont rien d'extraordinaire
($\left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 16\ \%$) et ne
remettent pas en cause l'équilibre.

]]> $\dfrac{10}{6}$

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$. La
réponse est $\frac{1}{6}$, inchangée.

]]> Lois discrètes — Q10 : Calcul explicite d'une probabilité géométrique $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}5$
(premier pile d'une pièce équilibrée). Que vaut
$P(X = 3)$ ?

]]> $P(X = 3) = (1-p)^2 p = \frac{1}{8}$ : la moitié des cas au
rang 1, un quart au rang 2, un huitième au rang 3 : la masse
décroît géométriquement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}5^2 \times 0{,}5 = 0{,}125$

]]> Bonne réponse : deux faces puis un pile :
$(1-p)^{2}\,p = 0{,}25 \times 0{,}5 = \dfrac{1}{8}$.

]]> $0{,}5$

]]> Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un pile à un
lancer donné ; exiger « premier pile au rang 3 » impose
aussi deux échecs préalables.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme ; le rang
$3$ a la probabilité $\left(\frac{1}{2}\right)^3 =
\frac{1}{8}$.

]]> $0{,}375$

]]> Erreur : $0{,}375 = \binom{4}{2}/16$ vient d'un calcul
binomial. Ici pas de coefficient : l'ordre
échec-échec-succès est imposé.

]]> Lois discrètes — Q11 : Intervalle et calculatrice Soit $X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}5)$ (une pièce testée
sur $50$ lancers). La calculatrice donne
$P(18 \leq X \leq 32) \approx 0{,}967$. Comment interpréter
ce résultat pour tester l'équilibre de la pièce ?

]]> Problème type du programme : construire un intervalle $I$
tel que $P(X \in I) \geq 1 - \alpha$ sous le modèle, puis
confronter l'observation. Improbable sous le modèle
$\Rightarrow$ modèle remis en question : l'esprit du test
d'hypothèse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si la pièce est équilibrée, le nombre de piles tombe
dans $[18\,;\,32]$ dans environ $97\ \%$ des cas ; un
résultat hors de cet intervalle rend le modèle suspect

]]> Bonne réponse : c'est la démarche du programme (test
d'une pièce) : un intervalle de forte probabilité sous
le modèle ; une observation très improbable conduit à
douter du modèle.

]]> La pièce est équilibrée avec probabilité $0{,}967$

]]> Erreur d'interprétation : la probabilité porte sur les
résultats sous le modèle, pas sur le modèle
lui-même.

]]> Il sortira exactement entre $18$ et $32$ piles, garanti

]]> Erreur : il reste environ $3\ \%$ de cas hors
intervalle, parfaitement possibles avec une pièce
équilibrée.

]]> Ce calcul ne sert à rien sans la liste des lancers

]]> Erreur : le nombre total de piles suffit : c'est lui
que la binomiale modélise.

]]> Lois discrètes — Q12 : Choisir la bonne loi Trois variables : $A$ = numéro obtenu en tirant une carte
parmi $10$ numérotées de $1$ à $10$ ; $B$ = nombre de
clients qui achètent parmi $20$ visiteurs indépendants
(chacun achète avec probabilité $0{,}1$) ; $C$ = rang du
premier appel décroché par un standard qui décroche avec
probabilité $0{,}6$ à chaque appel. Quelles lois ?

]]> Capacité attendue centrale : identifier la loi d'après
la structure de l'expérience. Uniforme : équiprobabilité ;
Bernoulli : une épreuve ; binomiale : compte sur $n$
épreuves ; géométrique : premier succès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A$ : uniforme sur $\{1, \ldots, 10\}$ ; $B$ :
binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}1)$ ; $C$ :
géométrique de paramètre $0{,}6$

]]> Bonne réponse : équiprobabilité sur un ensemble fini
$\to$ uniforme ; compte de succès sur $n$ répétitions
$\to$ binomiale ; rang du premier succès $\to$
géométrique.

]]> $A$ : binomiale ; $B$ : géométrique ; $C$ : uniforme

]]> Erreur : tout est permuté. Relie chaque situation à sa
structure : équiprobable / compte de succès / première
réussite.

]]> Les trois suivent des lois binomiales

]]> Erreur : $A$ n'a ni succès ni répétition, et $C$ n'a
pas de nombre d'épreuves fixé à l'avance.

]]> $A$ : uniforme ; $B$ : géométrique ; $C$ : binomiale

]]> Erreur sur $B$ et $C$ : compter des acheteurs sur $20$
visiteurs est binomial ; attendre le premier décroché
est géométrique.

]]> Lois discrètes — Q13 : Aucun succès sur $n$ essais $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}3$. Que vaut $P(X = 0)$ ?

]]> $P(X = 0) = (1 - p)^n$ : le cas le plus utile de la
binomiale : il ouvre le calcul de $P(X \geq 1)$ par le
complémentaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}7^4 \approx 0{,}24$

]]> Bonne réponse : zéro succès = quatre échecs
indépendants : $(1 - p)^n = 0{,}7^4$.

]]> $0{,}3^4$

]]> Inversé : $0{,}3^4$ est $P(X = 4)$ (quatre succès) :
l'absence de succès se code avec la probabilité d'échec.

]]> $0$

]]> Erreur : « aucun succès » est un scénario tout à fait
possible (environ une chance sur quatre ici).

]]> $1 - 0{,}3 = 0{,}7$

]]> Puissance manquante : $0{,}7$ est l'échec sur UN essai :
quatre échecs consécutifs exigent $0{,}7^4$.

]]> Lois discrètes — Q14 : Espérance de la loi uniforme $X$ suit la loi uniforme sur $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (un dé
équilibré). Que vaut $E(X)$ ?

]]> Loi uniforme sur $\{1, \dots, n\}$ : $E(X) = \frac{n+1}{2}$ :
le centre de gravité des valeurs équiprobables. Pour le dé :
$3{,}5$, la référence mentale des jeux équilibrés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3{,}5$

]]> Bonne réponse : moyenne des valeurs équiprobables :
$\frac{1 + 6}{2} = 3{,}5$ (formule $\frac{n + 1}{2}$
pour $\{1, \dots, n\}$).

]]> $3$

]]> Erreur : le « milieu » exact des entiers $1$ à $6$ est
$3{,}5$ : l'espérance n'a pas besoin d'être une valeur
atteignable.

]]> $\dfrac{1}{6}$

]]> Confusion : $\frac{1}{6}$ est la probabilité de chaque
face, pas la moyenne des résultats.

]]> $6$

]]> Erreur : $6$ est le maximum : la moyenne de long terme
se place au centre : $3{,}5$.

]]> Lois discrètes — Q15 : Au moins un succès $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}3$. Comment calculer $P(X \geq 1)$ ?

]]> $P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ : LE réflexe binomial. Toute
question « au moins un » se traite par le complémentaire
« aucun » : un produit, une soustraction, fini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}7^4 \approx 0{,}76$

]]> Bonne réponse : le contraire de « au moins un » est
« aucun » : $1 - P(X = 0)$ : un seul terme au lieu de
quatre.

]]> $P(X = 1) = 4 \times 0{,}3 \times 0{,}7^3$

]]> Confusion : $P(X = 1)$ compte exactement un succès :
« au moins un » englobe $1, 2, 3$ et $4$ : le
complémentaire est la voie courte.

]]> $4 \times 0{,}3 = 1{,}2$

]]> Alerte : une probabilité au-dessus de $1$ : l'addition
des $p$ ne calcule pas « au moins un » (elle ignore les
recouvrements).

]]> $0{,}3^4$

]]> Erreur : $0{,}3^4$ est « QUE des succès » ($X = 4$) : à
l'opposé du calcul demandé.

]]> Lois discrètes — Q16 : Attendre plus de $n$ essais $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ (rang du
premier succès). Que vaut $P(X > n)$ ?

]]> $P(X > n) = (1 - p)^n$ : la « fonction de survie » de la loi
géométrique. On en déduit tout : $P(X \leq n) = 1 - (1 -
p)^n$, et l'absence de mémoire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(1 - p)^n$ : les $n$ premiers essais sont tous des
échecs

]]> Bonne réponse : attendre au-delà de $n$ = n'avoir encore
rien obtenu = $n$ échecs consécutifs : $(1 - p)^n$.

]]> $p^n$

]]> Inversé : $p^n$ enchaînerait $n$ succès : attendre,
c'est enchaîner des échecs.

]]> $1 - p^n$

]]> Erreur : le complémentaire mal placé : l'événement
« $X > n$ » se décrit directement : $n$ échecs
d'affilée.

]]> $n(1 - p)$

]]> Erreur : les échecs successifs se multiplient
(indépendance), ils ne s'additionnent pas.

]]> Lois discrètes — Q17 : Temps d'attente moyen Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}2$. En
moyenne, combien de tirs faut-il pour obtenir le premier
succès ?

]]> $E(X) = \frac{1}{p}$ pour la loi géométrique : l'inverse de
la probabilité. Intuition solide : un événement à $1\ \%$
s'attend en moyenne $100$ répétitions : à retenir pour tous
les ordres de grandeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ tirs : $E(X) = \dfrac{1}{p}$

]]> Bonne réponse : loi géométrique : $E(X) = \frac{1}{p} =
\frac{1}{0{,}2} = 5$ : un succès sur cinq en moyenne =
cinq essais par succès.

]]> $0{,}2$ tir

]]> Confusion : $0{,}2$ est la probabilité par essai :
l'attente moyenne en est l'inverse : $5$.

]]> $2$ tirs

]]> Erreur : $\frac{1}{0{,}2} = 5$, pas $2$ (attention à la
division par un décimal).

]]> Impossible à prévoir : l'attente est aléatoire

]]> Confusion : chaque attente est aléatoire, mais leur
MOYENNE de long terme est parfaitement déterminée :
$\frac{1}{p}$.

]]> Lois discrètes — Q18 : Binomiale ou géométrique ? Expérience A : « je lance $10$ fléchettes et je compte les
réussites ». Expérience B : « je lance des fléchettes
jusqu'à la première réussite et je compte les lancers ».
Quelles lois ?

]]> Le test de reconnaissance : « combien de succès sur $n$
essais fixés ? » : binomiale $(n\ ;\ p)$ ; « combien
d'essais jusqu'au premier succès ? » : géométrique $(p)$.
Identifier la loi AVANT tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A : binomiale (nombre d'essais fixé) ; B : géométrique
(rang du premier succès)

]]> Bonne réponse : la question discriminante : QUI est
aléatoire ? En A, le nombre de succès (essais fixés) ;
en B, le nombre d'essais (arrêt au premier succès).

]]> A : géométrique ; B : binomiale

]]> Inversé : la binomiale exige un nombre d'essais fixé
d'avance ($10$ en A) ; la géométrique compte l'attente
(B).

]]> Les deux sont binomiales

]]> Erreur : en B, le nombre d'essais n'est pas fixé : c'est
justement la variable : hors du cadre binomial.

]]> Les deux sont géométriques

]]> Erreur : en A, on ne s'arrête pas au premier succès : on
épuise les $10$ essais et on compte : binomiale.

]]>