$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Primitives et équations différentielles
Notion de solution d'une équation différentielle, primitives
(équation $y' = f$, unicité à constante près), reconnaissance
des formes $2uu'$, $e^u u'$ et $\dfrac{u'}{u}$, équations
différentielles $y' = ay$ et $y' = ay + b$ : solution
particulière constante et solution générale, vérification
qu'une fonction est solution.]]>
Primitives et équations différentielles — Q01 : Vérifier une solution
La fonction $f(x) = 5\,e^{2x}$ est-elle solution de
l'équation différentielle $y' = 2y$ ?]]>
Capacité attendue : vérifier qu'une fonction donnée est
solution en la dérivant et en substituant. $f' = 10e^{2x} =
2f$ : solution.]]>
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0.0
0
true
true
abc
Oui, car $f'(x) = 10\,e^{2x} = 2 \times 5\,e^{2x} =
2\,f(x)$]]>
Bonne réponse : on dérive et on compare : $f' = 2f$ est
bien vérifiée pour tout $x$. C'est la méthode de
vérification attendue.]]>
Non, car $f(0) = 5 \neq 2$]]>
Erreur : l'équation $y' = 2y$ ne fixe aucune valeur en
$0$ ; elle relie la dérivée à la fonction, ce que
$f$ respecte.]]>
Non, car il y a un $5$ en facteur]]>
Erreur : tout multiple $C\,e^{2x}$ convient : le facteur
se conserve en dérivant et se simplifie dans l'équation.]]>
On ne peut pas vérifier sans résoudre l'équation]]>
Erreur : vérifier est plus simple que résoudre : on
dérive la candidate et on teste l'égalité.]]>
Primitives et équations différentielles — Q02 : Primitive et équation $y' = f$
Chercher une primitive de $f$ revient à résoudre quelle
équation différentielle ?]]>
Lien fondateur du chapitre : primitive de $f$ $=$ solution
de $y' = f$. Deux primitives d'une même fonction continue
sur un intervalle diffèrent d'une constante.]]>
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true
true
abc
$y' = f$]]>
Bonne réponse : une primitive de $f$ est une fonction
dont la dérivée est $f$ : c'est l'équation
différentielle la plus simple.]]>
$y' = y$]]>
Erreur : $y' = y$ définit l'exponentielle (la dérivée
égale la fonction inconnue, pas une fonction
donnée).]]>
$y = f'$]]>
Sens inversé : ceci demanderait de dériver $f$. La
primitivation remonte : $y' = f$.]]>
$y' = 0$]]>
Erreur : $y' = 0$ caractérise les fonctions constantes.
La primitive répond à $y' = f$ pour un $f$ quelconque.]]>
Primitives et équations différentielles — Q03 : L'ensemble des primitives
$F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur
$\mathbb{R}$. Quelles sont toutes les primitives de $f$ ?]]>
Théorème (démonstration possible) : sur un intervalle, les
primitives de $f$ s'écrivent $F + C$. Une condition (valeur
en un point) fixe $C$ et isole une primitive unique.]]>
1.0
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0
true
true
abc
Les fonctions $x \mapsto x^2 + C$, $C$ constante réelle]]>
Bonne réponse : deux primitives d'une même fonction sur
un intervalle diffèrent d'une constante : la famille
complète est $x^2 + C$.]]>
La seule fonction $x \mapsto x^2$]]>
Incomplet : $x^2 + 7$ se dérive aussi en $2x$. Il y a
une infinité de primitives, décalées verticalement.]]>
Les fonctions $x \mapsto Cx^2$]]>
Erreur : $(Cx^2)' = 2Cx \neq 2x$ dès que $C \neq 1$. La
liberté est additive ($+C$), pas multiplicative.]]>
Les fonctions $x \mapsto x^2 + Cx$]]>
Erreur : $(x^2 + Cx)' = 2x + C \neq 2x$ pour $C \neq 0$.
Seule une constante ajoutée disparaît en dérivant.]]>
Primitives et équations différentielles — Q04 : Reconnaître la forme $2u'u$
Quelle est une primitive de $f(x) = 2 \times 3 \times
(3x + 1)$, c'est-à-dire $f = 2u'u$ avec $u(x) = 3x + 1$ ?]]>
Formes à reconnaître (capacité attendue) : $2u'u \to u^2$ ;
$u'e^u \to e^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ (pour $u > 0$).
Toujours contrôler en redérivant.]]>
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true
true
abc
$F(x) = (3x + 1)^2$]]>
Bonne réponse : $(u^2)' = 2u'u$ : la forme $2u'u$ se
primitive en $u^2$. Contrôle : $\left((3x+1)^2\right)' =
2 \times 3 \times (3x+1)$.]]>
$F(x) = (3x + 1)^3$]]>
Erreur : $(u^3)' = 3u'u^2$, une autre forme. Ici
l'exposant de départ est $1$ : la primitive est $u^2$.]]>
$F(x) = 6x^2 + 2x$? Développons : $f(x) = 18x + 6$, de
primitive $9x^2 + 6x$]]>
Piégeux : $9x^2 + 6x$ est une primitive correcte
(elle diffère de $(3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$ d'une
constante), mais l'expression $6x^2 + 2x$ proposée ne se
dérive pas en $f$. Vérifie toujours en dérivant.]]>
$F(x) = 2(3x + 1)$]]>
Erreur : $\left(2(3x+1)\right)' = 6$, constant : ce
n'est pas $f$. La structure $2u'u$ appelle $u^2$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q05 : Reconnaître la forme $u'e^u$
Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ ?]]>
$f = u'e^u$ avec $u = x^2$ : primitive $e^u$. La présence du
facteur $u' = 2x$ devant l'exponentielle est le signal à
repérer.]]>
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true
true
abc
$F(x) = e^{x^2}$]]>
Bonne réponse : avec $u = x^2$, $u' = 2x$ : $f = u'e^u$,
de primitive $e^u = e^{x^2}$.]]>
$F(x) = x^2\,e^{x^2}$]]>
Erreur : dériver ce produit donne $2x\,e^{x^2} +
x^2 \times 2x\,e^{x^2}$, un terme de trop. La primitive
de $u'e^u$ est $e^u$ tout court.]]>
$F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{2x}$]]>
Erreur : « diviser par la dérivée de l'intérieur » ne
marche que pour un intérieur affine. Ici la
vérification échoue (dérivée d'un quotient).]]>
$F(x) = 2\,e^{x^2}$]]>
Erreur : $\left(2e^{x^2}\right)' = 4x\,e^{x^2}$, le
double de $f$. Le facteur $2x$ est exactement $u'$ :
aucun coefficient à ajouter.]]>
Primitives et équations différentielles — Q06 : Reconnaître la forme $\dfrac{u'}{u}$
Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
sur $\mathbb{R}$ ?]]>
$\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ (pour $u > 0$). Repérer au
numérateur la dérivée exacte du dénominateur : ici
$(x^2+1)' = 2x$.]]>
1.0
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true
true
abc
$F(x) = \ln(x^2 + 1)$]]>
Bonne réponse : $f = \dfrac{u'}{u}$ avec
$u = x^2 + 1 > 0$ : primitive $\ln u$.]]>
$F(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$]]>
Erreur : dériver $\dfrac{1}{u}$ donne
$-\dfrac{u'}{u^2}$, pas $\dfrac{u'}{u}$. La forme
quotient-de-la-dérivée appelle le logarithme.]]>
$F(x) = 2x\,\ln(x^2 + 1)$]]>
Erreur : ce produit se dérive avec deux termes (règle du
produit) et ne redonne pas $f$. La primitive est
$\ln(x^2+1)$ seule.]]>
$F(x) = \ln(2x)$]]>
Erreur : $(\ln 2x)' = \dfrac{1}{x}$, sans lien avec
$f$. C'est tout le bloc $u = x^2 + 1$ qui entre dans le
logarithme.]]>
Primitives et équations différentielles — Q07 : Résoudre $y' = ay$
Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = -0{,}5\,y$ ?]]>
Théorème (démonstration possible) : les solutions de
$y' = ay$ sont exactement les $x \mapsto C\,e^{ax}$. Signe
de $a$ : croissance ($a > 0$) ou extinction ($a < 0$).]]>
1.0
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true
abc
Les fonctions $y = C\,e^{-0{,}5x}$, $C$ réel]]>
Bonne réponse : solutions de $y' = ay$ : les
$C\,e^{ax}$. Ici $a = -0{,}5$ : des décroissances
exponentielles (vers $0$ en $+\infty$).]]>
Les fonctions $y = C\,e^{0{,}5x}$]]>
Erreur de signe : $(Ce^{0{,}5x})' = 0{,}5\,y$, l'équation
opposée. Le coefficient $a$ passe tel quel dans
l'exposant.]]>
La seule fonction $y = e^{-0{,}5x}$]]>
Incomplet : tous les multiples conviennent, y compris la
fonction nulle ($C = 0$). La constante s'ajuste ensuite à
une condition initiale.]]>
Les fonctions $y = -0{,}5x + C$]]>
Erreur : ces affines résolvent $y' = -0{,}5$
(second membre constant), pas $y' = -0{,}5\,y$ où la
dérivée dépend de la fonction elle-même.]]>
Primitives et équations différentielles — Q08 : Résoudre $y' = ay + b$
Quelles sont les solutions de l'équation $y' = -2y + 8$ ?]]>
Méthode au programme : (1) solution particulière constante
$c = -\frac{b}{a} = 4$ ; (2) solution générale
$y = Ce^{ax} + c = Ce^{-2x} + 4$. Toutes les solutions
convergent ici vers $4$.]]>
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0
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true
abc
$y = C\,e^{-2x} + 4$]]>
Bonne réponse : solution particulière constante :
$0 = -2c + 8$ donne $c = 4$ ; solution générale : les
$Ce^{-2x}$ de l'équation homogène, décalées de $4$.]]>
$y = C\,e^{-2x} + 8$]]>
Erreur : la constante particulière n'est pas $b$ mais
$-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{-2} = 4$. Contrôle : $y = 8$
donne $y' = 0$ mais $-2 \times 8 + 8 = -8 \neq 0$.]]>
$y = C\,e^{2x} + 4$]]>
Erreur de signe dans l'exponentielle : l'équation
homogène associée est $y' = -2y$, de solutions
$Ce^{-2x}$.]]>
$y = -2x + 8$]]>
Erreur : cette affine a une dérivée constante $-2$,
alors que $-2y + 8$ varie avec $y$ : pas solution.]]>
Primitives et équations différentielles — Q09 : Condition initiale
Parmi les solutions $y = C\,e^{-2x} + 4$ de $y' = -2y + 8$,
laquelle vérifie $y(0) = 10$ ?]]>
$y(0) = C + 4 = 10 \Rightarrow C = 6$. La solution
$6e^{-2x} + 4$ part de $10$ et décroît vers l'équilibre $4$ :
allure typique (refroidissement de Newton, charge de
condensateur).]]>
1.0
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true
abc
$y = 6\,e^{-2x} + 4$]]>
Bonne réponse : $y(0) = C + 4 = 10$ donne $C = 6$.
Existence et unicité : une condition initiale isole une
solution.]]>
$y = 10\,e^{-2x} + 4$]]>
Erreur : $C$ n'est pas $y(0)$ : la constante $+4$
décale la valeur initiale : $C = 10 - 4 = 6$.]]>
$y = 10\,e^{-2x}$]]>
Erreur : sans le $+4$, cette fonction résout $y' = -2y$
(équation homogène), pas $y' = -2y + 8$.]]>
$y = 6\,e^{-2x}$]]>
Erreur : il manque la solution particulière $+4$ : cette
fonction vaut $6$ en $0$ (pas $10$) et ne vérifie pas
l'équation complète.]]>
Primitives et équations différentielles — Q10 : Interpréter la solution constante
Dans un modèle de refroidissement $T' = -0{,}1\,(T - 20)$
(température $T$ en degrés, temps en minutes), que
représente la constante $20$ ?]]>
Loi de refroidissement de Newton (thème du programme) :
l'équation $y' = a(y - y_{\text{éq}})$ a pour équilibre
$y_{\text{éq}}$, limite de toutes les solutions quand
$a < 0$. Lire les constantes d'un modèle est une capacité
centrale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La température ambiante, état d'équilibre vers lequel
$T$ tend]]>
Bonne réponse : $T = 20$ annule $T'$ : c'est la solution
constante (équilibre). Toute solution s'en approche
exponentiellement : l'objet finit à température
ambiante.]]>
La température initiale de l'objet]]>
Erreur : la température initiale est $T(0)$, donnée à
part. Le $20$ de l'équation est l'attracteur, pas le
départ.]]>
La vitesse de refroidissement]]>
Erreur : la vitesse est portée par le coefficient
$-0{,}1$ (par minute). Le $20$ est une température.]]>
Une constante d'intégration]]>
Erreur : la constante d'intégration $C$ apparaît dans la
solution générale $Ce^{-0{,}1t} + 20$ ; le $20$, lui,
appartient au modèle.]]>
Primitives et équations différentielles — Q11 : Primitive vérifiant une condition
Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ vérifiant
$F(1) = 5$ ?]]>
Deux temps : famille $x^3 + C$ (primitive de $3x^2$), puis
condition $F(1) = 5 \Rightarrow C = 4$. Parmi l'infinité de
primitives, une seule passe par le point imposé.]]>
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true
abc
$F(x) = x^3 + 4$]]>
Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$ ;
$F(1) = 1 + C = 5$ donne $C = 4$.]]>
$F(x) = x^3 + 5$]]>
Erreur : $C$ n'est pas la valeur imposée : $F(1) = 1 + 5
= 6 \neq 5$. On résout $1 + C = 5$.]]>
$F(x) = x^3$]]>
Erreur : $F(1) = 1 \neq 5$. Il faut ajuster la constante
pour satisfaire la condition.]]>
$F(x) = 5x^3$]]>
Erreur : $(5x^3)' = 15x^2 \neq 3x^2$ : la constante
s'ajoute, elle ne multiplie pas.]]>
Primitives et équations différentielles — Q12 : Choisir la bonne équation différentielle
Une population croît à une vitesse proportionnelle à son
effectif $y(t)$, avec un taux de $4\ \%$ par unité de
temps. Quelle équation différentielle modélise cette
situation ?]]>
Traduction modélisatrice type : « vitesse proportionnelle à
la quantité » $\Leftrightarrow y' = ky$ : le pont entre les
suites géométriques (discret) et l'exponentielle (continu),
cœur du thème « modèles d'évolution ».]]>
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true
abc
$y' = 0{,}04\,y$]]>
Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif »
se traduit mot à mot : $y' = k\,y$ avec $k = 0{,}04$.
Solutions : croissances exponentielles $Ce^{0{,}04t}$.]]>
$y' = 0{,}04$]]>
Erreur : une dérivée constante modélise une
croissance linéaire (même ajout par unité de temps),
indépendante de l'effectif.]]>
$y = 0{,}04\,t$]]>
Erreur : ceci est une fonction explicite, pas une
équation différentielle, et elle décrit encore du
linéaire.]]>
$y' = y + 0{,}04$]]>
Erreur : le taux doit multiplier $y$
(proportionnalité), pas s'y ajouter : $y' = 0{,}04y$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q13 : Primitive de $x^2$
Quelle est une primitive de $f(x) = x^2$ ?]]>
Primitive de $x^n$ : $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ : monter
l'exposant, diviser par lui. Toujours contrôler en
redérivant : deux secondes qui évitent toutes les
étourderies.]]>
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0
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true
abc
$F(x) = \dfrac{x^3}{3}$]]>
Bonne réponse : l'exposant monte d'un cran et on divise
par le nouvel exposant : contrôle en dérivant :
$\frac{3x^2}{3} = x^2$.]]>
$F(x) = 2x$]]>
Sens inverse : $2x$ est la dérivée de $x^2$ : la
primitive remonte le courant.]]>
$F(x) = x^3$]]>
Division oubliée : $(x^3)' = 3x^2$ : trois fois trop :
diviser par le nouvel exposant.]]>
$F(x) = \dfrac{x^2}{2}$]]>
Exposant figé : $\frac{x^2}{2}$ primitive $x$ : pour
$x^2$, l'exposant monte à $3$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q14 : Primitive de $\dfrac{1}{x}$
Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?]]>
L'exception de la règle des puissances : primitive de
$\frac{1}{x}$ = $\ln x + C$ (sur $]0\ ;\ +\infty[$). Un
résultat à connaître isolément : il ne se déduit d'aucune
formule mécanique.]]>
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0
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true
abc
$F(x) = \ln x$]]>
Bonne réponse : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ : le
logarithme est né pour combler ce trou de la formule des
puissances.]]>
$F(x) = -\dfrac{1}{x^2}$]]>
Sens inverse : $-\frac{1}{x^2}$ est la dérivée de
$\frac{1}{x}$.]]>
$F(x) = \dfrac{x^0}{0}$]]>
Division par zéro : la règle des puissances casse
exactement pour $n = -1$ : c'est $\ln$ qui prend le
relais.]]>
$F(x) = e^x$]]>
Erreur : $e^x$ est sa propre primitive : $\frac{1}{x}$
appelle le logarithme.]]>
Primitives et équations différentielles — Q15 : Primitive de $e^{2x}$
Quelle est une primitive de $f(x) = e^{2x}$ ?]]>
Primitive de $e^{ax}$ : $\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est
conservé, le coefficient passe au dénominateur. La brique de
toutes les solutions d'équations différentielles.]]>
1.0
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0
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true
abc
$F(x) = \dfrac{e^{2x}}{2}$]]>
Bonne réponse : dériver $e^{2x}$ fait sortir un $2$ :
la primitive le compense par $\frac{1}{2}$. Contrôle :
$\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)' = e^{2x}$ ✓.]]>
$F(x) = 2e^{2x}$]]>
Sens inverse : $2e^{2x}$ est la dérivée de $e^{2x}$ :
pour primitiver, on divise par le coefficient.]]>
$F(x) = e^{2x}$]]>
Compensation oubliée : $(e^{2x})' = 2e^{2x} \neq
e^{2x}$ : seule $e^x$ (coefficient $1$) est sa propre
primitive.]]>
$F(x) = \dfrac{e^{3x}}{3}$]]>
Erreur : l'exposant d'une exponentielle ne monte pas
comme une puissance de $x$ : il reste $2x$, et on divise
par $2$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q16 : Les solutions de $y' = 3y$
Quelles sont toutes les solutions de l'équation
différentielle $y' = 3y$ ?]]>
$y' = ay$ : solutions $Ce^{ax}$, une par valeur de $C$
(fixée par la condition initiale : $C = y(0)$). L'équation
dit « la vitesse est proportionnelle au stock » : c'est LA
définition dynamique de l'exponentielle.]]>
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0
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true
abc
$y(x) = C\,e^{3x}$, pour une constante $C$ quelconque]]>
Bonne réponse : les exponentielles $Ce^{3x}$ vérifient
$y' = 3Ce^{3x} = 3y$, et le théorème garantit qu'il n'y
en a pas d'autres.]]>
$y(x) = e^{3x}$ uniquement]]>
Famille amputée : $5e^{3x}$, $-2e^{3x}$… conviennent
aussi : une équation différentielle a une famille de
solutions, indexée par $C$.]]>
$y(x) = 3x + C$]]>
Confusion : $3x + C$ résout $y' = 3$ (second membre
constant) : ici $y'$ est proportionnel à $y$ :
croissance exponentielle.]]>
$y(x) = C\,e^{x} + 3$]]>
Erreur : contrôle : $y' = Ce^x$ mais $3y = 3Ce^x + 9$ :
pas égaux : le coefficient $3$ appartient à l'exposant.]]>
Primitives et équations différentielles — Q17 : Résoudre avec condition initiale
Quelle est la solution de $y' = -0{,}5\,y + 10$ vérifiant
$y(0) = 0$ ?]]>
Plan de résolution de $y' = ay + b$ : 1) équilibre
$-\frac{b}{a}$ ; 2) forme générale équilibre $+ Ce^{at}$ ;
3) condition initiale pour $C$. La forme $\ell(1 -
e^{at})$ : la charge d'un réservoir depuis zéro.]]>
1.0
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0
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true
abc
$y(t) = 20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)$]]>
Bonne réponse : équilibre $\frac{10}{0{,}5} = 20$ ;
solutions $20 + Ce^{-0{,}5t}$ ; $y(0) = 0$ force $C =
-20$ : la courbe monte de $0$ vers le plateau $20$.]]>
$y(t) = 20\,e^{-0{,}5t}$]]>
Condition violée : $y(0) = 20 \neq 0$ : cette solution
part du plateau et décroît : la nôtre part de $0$ et
monte.]]>
$y(t) = 10\,t$]]>
Modèle linéaire : il ignore le terme $-0{,}5y$ (le
freinage proportionnel au stock) : la vraie solution
sature à $20$.]]>
$y(t) = -20\,e^{-0{,}5t}$]]>
Équilibre oublié : cette expression tend vers $0$ et
part de $-20$ : la solution complète est équilibre PLUS
partie exponentielle : $20 - 20e^{-0{,}5t}$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q18 : Long terme des solutions
Pour l'équation $y' = -0{,}5\,y + 10$, que deviennent
toutes les solutions quand $t \to +\infty$ ?]]>
Pour $y' = ay + b$ avec $a < 0$ : l'équilibre
$-\frac{b}{a}$ attire toutes les solutions (la partie
exponentielle meurt). Avec $a > 0$ : il les repousse. Le
signe de $a$ raconte tout le film.]]>
1.0
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0
true
true
abc
Elles convergent toutes vers l'équilibre $20$, quel que
soit leur point de départ]]>
Bonne réponse : la partie $Ce^{-0{,}5t}$ s'éteint
(coefficient négatif dans l'exposant) : seul le plateau
$20$ survit : équilibre attracteur.]]>
Elles divergent vers $+\infty$]]>
Erreur : le coefficient de $y$ est négatif ($-0{,}5$) :
il freine : l'explosion appartient aux équations $y' =
ay + b$ avec $a > 0$.]]>
Elles tendent vers $0$]]>
Terme constant oublié : le second membre $+10$ maintient
un apport : l'équilibre est $\frac{10}{0{,}5} = 20$, pas
$0$.]]>
Cela dépend du point de départ]]>
Erreur : le départ règle la trajectoire (montée ou
descente), pas la destination : toutes finissent en
$20$.]]>