$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Statistique à deux variables quantitatives Nuage de points et point moyen, droite de régression des
moindres carrés, coefficient de corrélation, ajustements se
ramenant à l'affine par changement de variable, interpolation
et extrapolation, corrélation et causalité.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q01 : Point moyen d'un nuage Un nuage a pour points $(0\,;\,3)$, $(2\,;\,5)$,
$(4\,;\,10)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen
$G$ ?

]]> $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$ : moyennes des coordonnées.
Propriété clé : la droite des moindres carrés passe par
$G$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $G(2\,;\,6)$

]]> Bonne réponse : $\bar{x} = \dfrac{0 + 2 + 4}{3} = 2$ et
$\bar{y} = \dfrac{3 + 5 + 10}{3} = 6$.

]]> $G(6\,;\,18)$

]]> Oubli de la division : ce sont les sommes ; on divise
par l'effectif $3$.

]]> $G(2\,;\,5)$

]]> Erreur : $(2\,;\,5)$ est un point du nuage ; la moyenne
des ordonnées vaut $6$, pas $5$.

]]> $G(4\,;\,10)$

]]> Erreur : c'est le dernier point du nuage, pas le centre
de gravité.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q02 : Le sens des « moindres carrés » Que minimise la droite de régression des moindres carrés
parmi toutes les droites du plan ?

]]> Moindres carrés : minimiser $\sum (y_i - (ax_i + b))^2$.
Les carrés évitent les compensations de signes et pénalisent
les grands écarts. La droite obtenue passe par le point
moyen.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La somme des carrés des écarts verticaux entre les
points du nuage et la droite

]]> Bonne réponse : pour chaque point, on mesure l'écart
vertical (résidu) ; la droite de régression rend minimale
la somme de leurs carrés.

]]> Le nombre de points situés au-dessus de la droite

]]> Erreur : aucun comptage : c'est une somme de carrés
d'écarts qui est minimisée.

]]> La longueur de la droite

]]> Erreur : une droite est illimitée ; sa « longueur » n'a
pas de sens ici.

]]> La distance entre le premier et le dernier point

]]> Erreur : ces deux points n'ont aucun rôle privilégié :
tous les points comptent, par leurs écarts à la droite.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q03 : Utiliser une droite de régression La calculatrice fournit la droite de régression
$y = 2{,}4x + 10$ pour un nuage (valeurs de $x$ observées
entre $0$ et $20$). Quelle estimation de $y$ pour
$x = 15$ ?

]]> Capacité attendue : utiliser l'ajustement pour interpoler
($x$ dans la plage) ou extrapoler ($x$ au-delà, avec
prudence). Ici : interpolation, $y \approx 46$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $46$

]]> Bonne réponse : $2{,}4 \times 15 + 10 = 46$ :
interpolation à l'intérieur de la plage observée.

]]> $36$

]]> Erreur de calcul : $2{,}4 \times 15 = 36$, plus la
constante $10$ : $46$.

]]> $25$

]]> Erreur : $15 + 10$ ignore le coefficient directeur.
On applique toute la formule.

]]> Aucune estimation possible pour une valeur non observée

]]> Erreur : estimer les valeurs non observées est
l'objectif même de la régression (avec d'autant plus de
confiance qu'on reste dans la plage des données).

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q04 : Lire un coefficient de corrélation Pour un nuage de points, la calculatrice affiche un
coefficient de corrélation $r = -0{,}98$. Comment
l'interpréter ?

]]> Coefficient de corrélation : $-1 \leq r \leq 1$. $|r|$
proche de $1$ : nuage presque aligné (ajustement affine
pertinent) ; proche de $0$ : pas de lien affine. Signe
$=$ sens de la pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un lien affine très fort et décroissant : le nuage
est presque aligné sur une droite qui descend

]]> Bonne réponse : $|r|$ proche de $1$ : alignement
quasi parfait ; signe négatif : pente négative (quand
$x$ monte, $y$ descend).

]]> Une erreur de calcul : un coefficient est toujours
positif

]]> Erreur : $r$ vit dans $[-1\,;\,1]$ ; son signe porte
le sens de la relation.

]]> Un lien très faible, car $r$ est négatif

]]> Erreur : la force du lien se lit sur $|r|$ ($0{,}98$ :
très fort) ; le signe n'indique que le sens.

]]> $98\ \%$ des points sont sous la droite

]]> Erreur : $r$ ne compte aucun pourcentage de points ; il
mesure la qualité de l'alignement affine du nuage.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q05 : Quand l'ajustement affine est-il pertinent ? Deux études donnent $r_1 = 0{,}99$ et $r_2 = 0{,}30$. Que
peut-on en conclure sur la pertinence d'un ajustement
affine ?

]]> Réflexe avant tout ajustement : regarder le nuage et
$|r|$. Proche de $1$ : la droite résume bien ; loin de $1$ :
chercher un autre modèle (ou admettre l'absence de lien).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Très pertinent pour la première, douteux pour la
seconde

]]> Bonne réponse : $|r_1|$ proche de $1$ : les données
suivent de près une droite ; $|r_2| = 0{,}30$ : le nuage
est diffus, une droite résumerait mal.

]]> Pertinent dans les deux cas, car les deux sont positifs

]]> Erreur : le signe ne juge pas la qualité ; c'est la
proximité de $|r|$ à $1$ qui compte.

]]> Aucun des deux : seul $r = 1$ exactement autorise
l'ajustement

]]> Trop exigeant : les données réelles ne donnent jamais
$r = 1$ ; $0{,}99$ est excellent.

]]> Le second est meilleur, car plus proche de $0$

]]> Contresens : $r$ proche de $0$ signale l'absence de
lien affine, pas sa qualité.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q06 : Se ramener à l'affine par changement de variable Un nuage $(x_i\,;\,y_i)$ suit une tendance exponentielle
$y = k\,a^x$. Quel changement de variable ramène à un
ajustement affine ?

]]> Linéarisation (au programme) : $y = k\,a^x \Rightarrow
\ln y = \ln k + (\ln a)\,x$. Si le nuage $(x\,;\,\ln y)$ est
presque aligné, le modèle exponentiel est validé et ses
paramètres se lisent sur la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Poser $z = \ln y$ : alors $z = \ln k + x\ln a$, affine
en $x$

]]> Bonne réponse : le logarithme transforme le modèle
multiplicatif en modèle additif : le nuage
$(x\,;\,\ln y)$ s'aligne, et la régression s'applique.

]]> Poser $z = y^2$

]]> Erreur : élever au carré accentue la courbure au lieu de
la redresser. C'est le logarithme qui linéarise une
exponentielle.

]]> Poser $z = \dfrac{1}{y}$

]]> Erreur : l'inverse convient à d'autres formes (du type
$y = \frac{1}{ax + b}$), pas à l'exponentielle.

]]> Aucun : un nuage courbé ne s'ajuste jamais

]]> Erreur : c'est tout l'intérêt du programme : bien des
modèles se ramènent à l'affine par un changement de
variable adapté.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q07 : Les limites de l'extrapolation Une droite de régression ajuste très bien ($r = 0{,}99$) la
température moyenne d'un lieu selon l'année, observée de
$2000$ à $2020$. Peut-on l'utiliser pour prédire la
température en $2100$ ?

]]> Interpolation : fiable ; extrapolation : à manier avec un
regard critique, d'autant plus que l'horizon s'éloigne
(thème du programme, notamment sur le climat). Le modèle
décrit les données, pas l'avenir garanti.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Avec de grandes réserves : c'est une extrapolation très
loin des données, la tendance peut changer

]]> Bonne réponse : le bon ajustement vaut sur la plage
observée ; à $80$ ans de distance, rien ne garantit la
persistance de la tendance (regard critique exigé par le
programme, exemple climatique compris).

]]> Oui, sans réserve : $r = 0{,}99$ garantit la prédiction

]]> Erreur : $r$ mesure l'alignement passé, pas la
validité future du modèle. Extrapoler loin est toujours
fragile.

]]> Non : une droite de régression ne sert jamais à prédire

]]> Trop fort : prédire est l'un de ses usages ; c'est la
distance aux données qui commande la confiance.

]]> Oui, si on utilise plus de décimales

]]> Erreur : la précision numérique ne répare pas
l'incertitude du modèle hors de son domaine.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q08 : La droite passe par le point moyen Un nuage a pour point moyen $G(4\,;\,11)$ et la droite des
moindres carrés a pour pente $2$. Quelle est l'équation de
cette droite ?

]]> Propriété structurante : la droite des moindres carrés passe
par le point moyen $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$. Avec la pente,
l'équation s'en déduit : $y = 2x + 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x + 3$

]]> Bonne réponse : la droite passe par $G$ :
$11 = 2 \times 4 + b$ donne $b = 3$.

]]> $y = 2x + 11$

]]> Erreur : $b$ n'est pas l'ordonnée de $G$ : on impose le
passage par $G$ : $11 = 8 + b$, $b = 3$.

]]> $y = 2x - 3$

]]> Erreur de signe : $b = 11 - 8 = +3$.

]]> On ne peut pas conclure sans tous les points

]]> Erreur : pente donnée $+$ passage par $G$ (propriété
des moindres carrés) déterminent entièrement la droite.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q09 : Corrélation n'est pas causalité Sur plusieurs communes, le nombre de médecins et le nombre
de cas d'une maladie chronique sont fortement corrélés
($r = 0{,}9$). Peut-on conclure que les médecins provoquent
la maladie ?

]]> Thème explicite du programme : distinguer corrélation et
causalité. Devant un $r$ élevé, examiner : facteur commun
(ici la population), causalité inverse, coïncidence :
prédire n'est pas expliquer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : la taille de la population des communes explique
vraisemblablement les deux variables

]]> Bonne réponse : facteur commun classique : les grandes
communes ont plus de médecins et plus de cas. La
corrélation est réelle, la causalité illusoire.

]]> Oui : $r = 0{,}9$ est une preuve causale forte

]]> Erreur fondamentale : $r$ mesure une association,
jamais un mécanisme. Aucun seuil de $r$ ne crée de la
causalité.

]]> Oui, si la droite de régression est croissante

]]> Erreur : le sens de la pente n'ajoute rien : facteur
commun, hasard ou causalité inverse restent des
explications candidates.

]]> Non : les corrélations n'ont jamais aucun sens

]]> Trop fort : la corrélation décrit un lien réel
(utile pour prédire) ; c'est son interprétation causale
qui exige d'autres arguments.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q10 : Bien lire un résidu Avec l'ajustement $y = 2{,}4x + 10$, une observation donne
$x = 5$ et $y = 25$. Que vaut l'écart (résidu) entre la
valeur observée et la valeur prédite ?

]]> Résidu $=$ observé $-$ prédit : ici $+3$. Les moindres
carrés minimisent la somme des carrés de ces résidus ;
les examiner permet de juger l'ajustement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25 - 22 = 3$ : le point est au-dessus de la droite

]]> Bonne réponse : prédiction $2{,}4 \times 5 + 10 = 22$ ;
l'observation dépasse de $3$ : résidu positif, point
au-dessus.

]]> $0$ : la droite passe par tous les points

]]> Erreur : la droite passe au plus près des points,
pas dessus ; les résidus non nuls sont la règle.

]]> $25 - 5 = 20$

]]> Erreur : on compare $y$ observé à $y$ prédit ($22$),
pas à $x$.

]]> $-3$

]]> Erreur de signe : observé ($25$) moins prédit ($22$) :
$+3$ : le point domine la droite.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q11 : Obtenir la régression en pratique Comment obtient-on en pratique la droite de régression d'une
série de données (au programme) ?

]]> Position du programme : déterminer la droite à l'aide de
la calculatrice ou d'un logiciel, puis interpréter (pente,
$r$, prédictions). La démonstration des formules reste une
possibilité, pas une exigence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par la calculatrice, un tableur ou Python, qui renvoient
pente et ordonnée à l'origine

]]> Bonne réponse : la détermination est instrumentée
(capacité attendue) : on saisit les listes, l'outil
renvoie $a$, $b$ (et $r$) ; à nous l'interprétation.

]]> En reliant le premier et le dernier point du nuage

]]> Erreur : cette corde dépend de deux points seulement et
ignore tout le reste du nuage.

]]> En traçant à main levée, seule méthode admise

]]> Erreur : l'ajustement au jugé est une première approche,
mais la droite des moindres carrés se calcule
exactement, et les outils la fournissent.

]]> Il faut connaître par cœur les formules de $a$ et $b$

]]> Erreur : aucune formule n'est exigée : l'accent porte
sur l'usage des outils et l'interprétation des résultats.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q12 : La démarche complète d'un ajustement Quel est l'ordre pertinent des étapes pour ajuster une série
de données à deux variables ?

]]> Démarche type : nuage $\to$ choix du modèle (affine direct
ou changement de variable) $\to$ ajustement outillé et $r$
$\to$ interprétation critique (interpolation, extrapolation
prudente, corrélation $\neq$ causalité).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Représenter le nuage, choisir la forme du modèle
(affine ou à linéariser), calculer l'ajustement et $r$,
puis interpréter et prédire avec prudence

]]> Bonne réponse : le regard sur le nuage précède tout
calcul ; le coefficient $r$ valide ; l'interprétation
conclut, en distinguant corrélation et causalité.

]]> Calculer $r$ d'abord, et ne tracer le nuage que si $r$
est faible

]]> Erreur : un même $r$ peut cacher des nuages très
différents (courbure, point aberrant) : la
représentation graphique vient en premier.

]]> Prédire d'abord, ajuster ensuite

]]> Erreur : aucune prédiction sans modèle ajusté et
validé.

]]> Supprimer les points gênants, puis ajuster

]]> Erreur méthodologique : écarter des données pour
embellir l'ajustement fausse l'étude (un point aberrant
se discute, ne se supprime pas en silence).

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q13 : Un coefficient de $-0{,}95$ Entre l'altitude et la température, on mesure un coefficient
de corrélation $r = -0{,}95$. Comment l'interpréter ?

]]> Lire $r$ en deux temps : $|r|$ = force du lien linéaire
($0$ = aucun, $1$ = parfait) ; signe = sens (croissant ou
décroissant). Et jamais de causalité sur la seule foi du
coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lien linéaire fort et décroissant : quand l'altitude
monte, la température descend

]]> Bonne réponse : $|r|$ proche de $1$ : lien fort ; signe
négatif : les deux variables varient en sens
contraires.

]]> Lien très faible, car le coefficient est négatif

]]> Confusion signe/force : la force se lit sur $|r| =
0{,}95$ (très forte) : le signe donne seulement le SENS
du lien.

]]> Erreur de mesure : un coefficient ne peut pas être
négatif

]]> Erreur : $r$ vit dans $[-1\ ;\ 1]$ : les valeurs
négatives décrivent les liens décroissants, parfaitement
légitimes.

]]> L'altitude cause la baisse de température, c'est prouvé

]]> Trop dit : la corrélation mesure l'ASSOCIATION : la
causalité (ici plausible physiquement) demande d'autres
arguments que le seul $r$.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q14 : Un coefficient proche de $0$ Un nuage de points donne $r = 0{,}05$. Que peut-on en
conclure ?

]]> $r \approx 0$ : pas d'alignement : soit indépendance, soit
lien NON linéaire : seul le graphique tranche. Règle d'or :
jamais de conclusion sur $r$ sans avoir vu le nuage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pas de lien linéaire entre les variables (mais un
lien courbe reste possible)

]]> Bonne réponse : $r$ ne mesure QUE l'alignement : une
parabole parfaite peut donner $r \approx 0$ : toujours
regarder le nuage.

]]> Aucun lien d'aucune sorte entre les variables

]]> Trop fort : $r$ est aveugle aux liens non
linéaires : un nuage en U a un $r$ presque nul et un
lien très net.

]]> Un lien faible mais croissant

]]> Sur-lecture : à $0{,}05$, le signe n'a plus de
signification : le nuage est un brouillard (ou une
courbe).

]]> Les données sont fausses

]]> Erreur : l'absence de lien linéaire est un résultat
parfaitement valide : deux variables peuvent n'avoir
rien à voir.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q15 : Prévoir avec la droite de régression La droite de régression vaut $y = 2x + 1$. Quelle valeur le
modèle prévoit-il pour $x = 7$ ?

]]> Utiliser la régression : substituer, calculer : la valeur
obtenue est une estimation, fiable dans la zone des données
(interpolation), fragile au-delà (extrapolation).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 15$

]]> Bonne réponse : $2 \times 7 + 1 = 15$ : la droite sert
exactement à produire cette estimation.

]]> $y = 9$

]]> Erreur : $7 + 2 = 9$ additionne au lieu de multiplier :
$2x$ signifie $2 \times x$.

]]> $y = 14$

]]> Constante oubliée : $14 = 2 \times 7$ : le $+1$ du
modèle s'ajoute.

]]> Impossible : il faut la valeur observée en $x = 7$

]]> Contresens : la régression sert justement à estimer
là où on n'a pas observé : c'est une prévision de
modèle.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q16 : Le signe de $r$ et la pente Quel lien existe-t-il entre le signe du coefficient de
corrélation $r$ et la droite de régression ?

]]> Signe de $r$ = signe de la pente de la régression = sens du
lien. La force, elle, appartient à $|r|$ : une droite peut
être pentue avec un nuage très dispersé (petit $|r|$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $r$ et la pente de la droite ont toujours le même signe

]]> Bonne réponse : lien croissant : $r > 0$ ET droite
montante ; lien décroissant : les deux négatifs : les
deux indicateurs racontent le même sens.

]]> Ils sont toujours de signes opposés

]]> Erreur : un nuage montant donne une droite montante ET
un $r$ positif : les deux signes coïncident.

]]> Aucun lien : $r$ et la droite sont indépendants

]]> Erreur : les deux sortent des mêmes données : le sens du
lien (signe) leur est commun ($r$ ajoute la mesure de la
force).

]]> $r$ est le carré de la pente

]]> Erreur : aucune formule de ce type (un carré serait
toujours positif, or $r$ peut être négatif) : seul le
SIGNE est partagé.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q17 : Calculer un résidu Le modèle $y = 2x + 1$ prévoit $15$ pour $x = 7$, mais on
observe $y = 14$. Que vaut le résidu (observé moins prédit),
et que signifie son signe ?

]]> Résidu = observé − prédit : négatif sous la droite, positif
au-dessus. Les moindres carrés minimisent la somme des
résidus AU CARRÉ : les petits écarts des deux côtés sont la
norme, pas un défaut.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ : le point observé est en dessous de la droite

]]> Bonne réponse : $14 - 15 = -1$ : résidu négatif = la
droite surestime en ce point : l'observation est sous le
modèle.

]]> $+1$ : le point est au-dessus

]]> Ordre de la soustraction : observé − prédit $= 14 -
15 = -1$ : le point est SOUS la droite.

]]> $29$ : la somme des deux valeurs

]]> Erreur : le résidu est un écart : une soustraction,
pas une somme.

]]> $0$ : le modèle est bon donc l'écart est nul

]]> Erreur : un bon modèle a des résidus petits, pas
nuls : $-1$ ici : la droite ne passe pas par tous les
points, par construction.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q18 : Quand $|r| = 1$ Que signifie un coefficient de corrélation égal à $-1$
exactement ?

]]> Échelle de $|r|$ : $1$ = alignement parfait, $0$ = aucun
alignement, entre les deux : un continuum. En pratique, les
données réelles vivent entre $0$ et $1$ strictement : $\pm
1$ signale souvent une variable dupliquée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les points sont PARFAITEMENT alignés, sur une droite
décroissante

]]> Bonne réponse : $|r| = 1$ : alignement exact (tous les
résidus nuls) ; signe négatif : droite qui descend. Cas
limite rarissime sur données réelles.

]]> Les variables n'ont aucun lien

]]> Contresens complet : l'absence de lien linéaire
correspond à $r \approx 0$ : $\pm 1$ est le lien le plus
fort possible.

]]> Il y a forcément une erreur : $r$ ne peut pas atteindre
$-1$

]]> Erreur : $-1$ est la borne atteignable de
l'intervalle $[-1\ ;\ 1]$ : il suffit de points
exactement alignés en descente.

]]> La moitié des points est au-dessus de la droite

]]> Erreur : à $|r| = 1$, AUCUN point ne quitte la droite :
tous les résidus sont nuls.

]]>