$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Suites numériques, modèles discrets
Approche intuitive de la limite d'une suite, opérations et
théorème des gendarmes, limite de $q^n$ pour une raison
positive, limite de la somme $1 + q + \cdots + q^n$ pour
$0 < q < 1$, suites arithmético-géométriques (suite constante
solution, solution générale), problèmes de seuil.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q01 : Limite de $q^n$, raison entre 0 et 1
Que vaut la limite de $0{,}7^n$ quand $n$ tend vers
$+\infty$ ?]]>
Limites de référence (raison positive) : $q^n \to 0$ si
$0 < q < 1$ ; $q^n \to +\infty$ si $q > 1$ ; constante $1$ si
$q = 1$. Socle de tous les modèles exponentiels discrets.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$]]>
Bonne réponse : multiplier sans fin par $0{,}7 < 1$
écrase la valeur : $0{,}7$ ; $0{,}49$ ; $0{,}343$… vers
$0$.]]>
$+\infty$]]>
Erreur : l'explosion vers $+\infty$ demande une raison
$q > 1$. Ici chaque multiplication réduit.]]>
$0{,}7$]]>
Erreur : $0{,}7$ n'est que le premier terme ($n = 1$).
Les puissances suivantes continuent de fondre vers $0$.]]>
$1$]]>
Erreur : $q^n \to 1$ exigerait $q = 1$ (suite constante).
Avec $0{,}7$, la décroissance vers $0$ est inexorable.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q02 : Limite d'une somme géométrique
Pour $0 < q < 1$, que vaut la limite de la somme
$1 + q + q^2 + \cdots + q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?]]>
Résultat clé : $1 + q + \cdots + q^n \to \dfrac{1}{1-q}$
pour $0 < q < 1$. Exemple parlant :
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots \to 2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1}{1 - q}$]]>
Bonne réponse : la somme vaut $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$
et $q^{n+1} \to 0$ : la limite est $\dfrac{1}{1-q}$
(démonstration possible au programme).]]>
$+\infty$]]>
Erreur : bien qu'on additionne une infinité de termes,
ceux-ci fondent si vite que le total plafonne :
c'est la somme géométrique convergente.]]>
$1$]]>
Erreur : $1$ n'est que le premier terme. La limite
complète vaut $\dfrac{1}{1-q}$ (par exemple $2$ pour
$q = \frac{1}{2}$).]]>
$\dfrac{1}{q - 1}$]]>
Erreur de signe : pour $0 < q < 1$, $q - 1 < 0$
donnerait une limite négative, impossible pour une somme
de termes positifs. La formule est $\dfrac{1}{1 - q}$.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q03 : Suite constante solution
Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$.
Quelle suite constante vérifie cette relation ?]]>
Méthode au programme pour les suites
arithmético-géométriques : chercher la suite constante
solution ($c = ac + b$), point d'équilibre autour duquel tout
s'organise. Ici $c = 20$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La suite constante égale à $20$]]>
Bonne réponse : une constante $c$ vérifie
$c = 0{,}8c + 4$, soit $0{,}2c = 4$ et $c = 20$.]]>
La suite constante égale à $4$]]>
Erreur : teste : $0{,}8 \times 4 + 4 = 7{,}2 \neq 4$. La
constante cherchée résout $c = 0{,}8c + 4$.]]>
La suite constante égale à $5$]]>
Erreur : $0{,}8 \times 5 + 4 = 8 \neq 5$. L'équation du
point fixe donne $c = \dfrac{4}{0{,}2} = 20$.]]>
Aucune suite constante ne convient]]>
Erreur : dès que le coefficient diffère de $1$,
l'équation $c = ac + b$ a une unique solution :
$c = \dfrac{b}{1-a} = 20$ ici.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q04 : Exploiter la suite constante
Toujours avec $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$ (point d'équilibre
$20$) et $u_0 = 30$. Que vaut la limite de $(u_n)$ ?]]>
Schéma complet : poser $v_n = u_n - c$ ($c$ point
d'équilibre) transforme la récurrence en suite géométrique
$v_{n+1} = a\,v_n$. Pour $|a| < 1$ : $v_n \to 0$ et
$u_n \to c$. Modèle des stabilisations (température,
médicament, capital).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$20$ : l'écart au point d'équilibre est multiplié par
$0{,}8$ à chaque rang et fond vers $0$]]>
Bonne réponse : la suite $v_n = u_n - 20$ vérifie
$v_{n+1} = 0{,}8\,v_n$ (géométrique) : $v_n = 10 \times
0{,}8^n \to 0$, donc $u_n \to 20$.]]>
$30$ : la suite reste à sa valeur initiale]]>
Erreur : $u_1 = 0{,}8 \times 30 + 4 = 28 \neq 30$ : la
suite bouge dès le premier pas, attirée vers $20$.]]>
$+\infty$]]>
Erreur : le coefficient $0{,}8 < 1$ contracte
l'écart au point fixe au lieu de l'amplifier : la suite
converge.]]>
$0$]]>
Erreur : c'est l'écart $u_n - 20$ qui tend vers $0$,
pas la suite elle-même, qui se stabilise en $20$.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q05 : Théorème des gendarmes
Une suite vérifie, pour tout $n \geq 1$,
$3 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 3 + \dfrac{1}{n}$.
Que peut-on conclure ?]]>
Gendarmes : $v_n \leq u_n \leq w_n$ avec $v_n \to \ell$ et
$w_n \to \ell$ $\Rightarrow$ $u_n \to \ell$. Ici le couloir
de largeur $\frac{2}{n}$ se referme sur $3$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(u_n)$ converge vers $3$]]>
Bonne réponse : les deux suites encadrantes tendent vers
$3$ : la suite coincée entre elles aussi (théorème des
gendarmes).]]>
$(u_n)$ est constante égale à $3$]]>
Trop fort : la suite peut osciller dans le couloir
(par exemple $3 + \frac{(-1)^n}{2n}$) ; seul son
comportement limite est imposé.]]>
On ne peut rien dire sans connaître $u_n$ explicitement]]>
Erreur : c'est la force du théorème : l'encadrement par
deux suites de même limite suffit à conclure.]]>
$(u_n)$ converge vers $\dfrac{1}{n}$]]>
Erreur de nature : une limite est un nombre fixe ;
$\frac{1}{n}$ dépend de $n$. Le couloir se resserre
autour de $3$.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q06 : Modéliser un compte avec versements
Un compte rapporte $2\ \%$ par an et reçoit un versement de
$100$ euros chaque fin d'année. Notant $u_n$ le solde après
$n$ années, quelle récurrence modélise la situation ?]]>
Modèle mixte (taux $+$ versement constant) : récurrence
arithmético-géométrique $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec
$a = 1{,}02$ et $b = 100$. La chronologie des opérations
décide de la formule exacte.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100$]]>
Bonne réponse : le solde est d'abord multiplié par
$1{,}02$ (intérêts), puis augmenté du versement : modèle
arithmético-géométrique typique.]]>
$u_{n+1} = u_n + 102$]]>
Erreur : ce modèle additif ignore que les intérêts
portent sur le solde courant (qui grandit), pas
seulement sur un montant fixe.]]>
$u_{n+1} = 1{,}02\,(u_n + 100)$? Non : les intérêts de
l'année ne portent pas sur le versement de fin d'année]]>
Piège de chronologie : avec un versement en fin
d'année, les intérêts de l'année ne s'y appliquent pas :
$u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100$.]]>
$u_{n+1} = 0{,}02\,u_n + 100$]]>
Erreur : multiplier par $0{,}02$ ne garderait que les
intérêts en perdant le capital ! Le coefficient d'une
hausse de $2\ \%$ est $1{,}02$.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q07 : Opérations sur les limites
Soient $u_n \to 5$ et $v_n \to 0{,}5$. Que vaut la limite de
$\dfrac{u_n}{v_n}$ ?]]>
Opérations sur les limites (admises) : somme, produit,
quotient (dénominateur de limite non nulle) se passent aux
limites. $\frac{5}{0{,}5} = 10$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Bonne réponse : quotient de limites (dénominateur non
nul) : $\dfrac{5}{0{,}5} = 10$.]]>
$2{,}5$]]>
Erreur : $5 \times 0{,}5 = 2{,}5$ serait la limite du
produit. Le quotient divise : $5 / 0{,}5 = 10$.]]>
$5{,}5$]]>
Erreur : $5 + 0{,}5$ est la limite de la somme.]]>
On ne peut pas conclure]]>
Erreur : les formes indéterminées demandent $0/0$ ou
$\infty/\infty$ ; ici tout est fini et le dénominateur ne
s'annule pas : les opérations s'appliquent directement.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q08 : Dérouler une récurrence
Soit $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 6$ avec $u_0 = 4$. Que vaut
$u_2$ ?]]>
Une récurrence se calcule de proche en proche : $u_0 = 4 \to
u_1 = 8 \to u_2 = 10$. (La suite grimpe vers son point
d'équilibre $c = 12$.)]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Bonne réponse : $u_1 = 0{,}5 \times 4 + 6 = 8$, puis
$u_2 = 0{,}5 \times 8 + 6 = 10$.]]>
$8$]]>
Incomplet : $8 = u_1$. Le rang $2$ demande une itération
de plus : $u_2 = 10$.]]>
$7$]]>
Erreur : $0{,}5 \times (4 + 6)$ ? La formule multiplie
d'abord le terme courant, puis ajoute $6$ :
$u_1 = 8$, $u_2 = 10$.]]>
$16$]]>
Erreur : $16 = 4 \times 2^2$ appliquerait un doublement.
Ici on multiplie par $0{,}5$ et on ajoute $6$ à
chaque rang.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q09 : Problème de seuil
La valeur d'un équipement est divisée par $2$ chaque année :
$u_n = 1000 \times 0{,}5^n$ (en euros). À partir de quel rang
$n$ la valeur passe-t-elle sous $10$ euros ?]]>
Recherche de seuil (algorithme du programme) : dérouler les
puissances jusqu'au franchissement. $0{,}5^7 = \frac{1}{128}$
: $7{,}8 < 10 < 15{,}6$ : rang $7$. (Le logarithme donnera
plus tard la solution directe.)]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n = 7$]]>
Bonne réponse : $1000 \times 0{,}5^6 = 15{,}6$ euros
(encore au-dessus) et $1000 \times 0{,}5^7 = 7{,}8$
euros : le seuil des $10$ euros est franchi au rang $7$.]]>
$n = 100$]]>
Erreur linéaire : $1000/10 = 100$ raisonne comme si la
perte était constante. La division répétée par $2$ va
bien plus vite : $7$ rangs suffisent.]]>
$n = 6$]]>
Presque : $0{,}5^6 = \dfrac{1}{64}$ donne $15{,}6$
euros, toujours au-dessus de $10$. Un rang de plus.]]>
$n = 10$]]>
Erreur : au rang $10$, il ne reste que $0{,}98$ euro :
le seuil de $10$ euros est franchi depuis le rang $7$.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q10 : Représentation en toile d'araignée
Pour représenter graphiquement une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
et conjecturer son comportement, on trace la courbe de $f$
et une autre droite. Laquelle ?]]>
Représentation d'une suite récurrente (capacité attendue) :
courbe de $f$ $+$ droite $y = x$, construction en escalier
ou en spirale. Les intersections $f(x) = x$ sont les
candidats limites.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La droite d'équation $y = x$]]>
Bonne réponse : la construction en escalier rebondit
entre la courbe (calcul de $f(u_n)$) et la droite
$y = x$ (report du résultat en abscisse) ; les points
fixes se lisent aux intersections courbe-droite.]]>
L'axe des abscisses]]>
Erreur : l'axe des abscisses ne permet pas de reporter
l'ordonnée $f(u_n)$ en nouvelle abscisse ; c'est le rôle
de la bissectrice $y = x$.]]>
La droite $y = f(0)$]]>
Erreur : cette horizontale n'a aucun rôle dans la
construction ; le va-et-vient exige $y = x$.]]>
La tangente à la courbe en $u_0$]]>
Erreur : la tangente sert à d'autres méthodes (Newton) ;
l'escalier de la récurrence utilise la droite $y = x$.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q11 : Décroissance radioactive discrète
Chaque année, $3\ \%$ des noyaux d'un échantillon se
désintègrent. Avec $N_0$ noyaux au départ, quel modèle
discret décrit $N_n$ (nombre de noyaux après $n$ années) ?]]>
Taux de perte constant $\to$ suite géométrique de raison
$1 - t$. Modèle discret de la radioactivité (thème du
programme), version continue à venir avec $y' = ay$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$N_n = N_0 \times 0{,}97^n$ : suite géométrique de raison
$0{,}97$]]>
Bonne réponse : perdre $3\ \%$ par an revient à
multiplier par $0{,}97$ chaque année : décroissance
exponentielle discrète.]]>
$N_n = N_0 - 0{,}03\,n$]]>
Erreur : ce modèle linéaire retire un montant fixe
par an. Or $3\ \%$ portent sur le stock restant, qui
diminue : modèle multiplicatif.]]>
$N_n = N_0 \times 0{,}03^n$]]>
Erreur : multiplier par $0{,}03$ ferait disparaître
$97\ \%$ des noyaux chaque année. Le facteur de
conservation est $0{,}97$.]]>
$N_n = N_0 \times 1{,}03^n$]]>
Erreur de sens : $1{,}03$ ferait croître
l'échantillon. Une perte de $3\ \%$ correspond à
$\times\,0{,}97$.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q12 : Comportement selon la raison
Trois suites géométriques ont pour raisons respectives
$0{,}9$ ; $1$ ; $1{,}1$ (premiers termes strictement
positifs). Quels sont leurs comportements à long terme ?]]>
Trichotomie fondamentale des suites géométriques positives :
$q < 1$ : extinction ; $q = 1$ : équilibre ; $q > 1$ :
explosion. Un écart minime de raison ($0{,}9$ contre
$1{,}1$) sépare des mondes : sensibilité clé en modélisation
(épidémies, intérêts).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Vers $0$ pour $0{,}9$ ; constante pour $1$ ; vers
$+\infty$ pour $1{,}1$]]>
Bonne réponse : la position de la raison par rapport à
$1$ sépare trois destins radicalement différents, même
pour des raisons très proches ($0{,}9$ et $1{,}1$).]]>
Les trois convergent, plus ou moins vite]]>
Erreur : $1{,}1^n$ explose ($1{,}1^{100} \approx
13\,800$) : aucune convergence pour $q > 1$.]]>
Les trois tendent vers leur raison]]>
Erreur : la raison est un facteur, pas un point
d'arrivée. Les limites sont $0$, la constante initiale,
et $+\infty$.]]>
Impossible à dire sans les premiers termes]]>
Erreur : pour des premiers termes strictement positifs,
seul le rapport à $1$ de la raison décide du
comportement limite.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q13 : Limite d'une suite arithmétique
Quelle est la limite d'une suite arithmétique de raison
$r = 3$ ?]]>
Suites arithmétiques : $r > 0$ : limite $+\infty$ ; $r <
0$ : $-\infty$ ; $r = 0$ : constante. Le modèle linéaire
discret ne plafonne jamais : contraste fondamental avec les
géométriques amorties.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$+\infty$ : chaque pas ajoute $3$, sans plafond]]>
Bonne réponse : $u_n = u_0 + 3n$ dépasse tout seuil :
une suite arithmétique de raison positive file vers
$+\infty$.]]>
$3$ : la raison]]>
Confusion : la raison est le pas, pas la
destination : les termes s'accumulent sans s'arrêter à
$3$.]]>
$u_0$]]>
Erreur : $u_0$ est le point de départ : avec $r > 0$, la
suite s'en éloigne définitivement.]]>
$0$]]>
Erreur : ce destin appartient aux suites
géométriques de raison $|q| < 1$ : l'arithmétique de
raison positive grimpe sans retour.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q14 : Somme des puissances de $q$
Pour $q \neq 1$, que vaut la somme $1 + q + q^2 + \dots +
q^n$ ?]]>
$1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ :
l'exposant compte les termes. Conséquence clé pour les
limites : si $|q| < 1$, la somme tend vers $\frac{1}{1 -
q}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$]]>
Bonne réponse : $n + 1$ termes, du rang $0$ au rang
$n$ : l'exposant du numérateur est le nombre de
termes.]]>
$\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$]]>
Exposant décalé : cette formule somme $n$ termes
($1 + \dots + q^{n-1}$) : jusqu'à $q^n$ inclus, il y en
a $n + 1$.]]>
$\dfrac{q^{n+1}}{1 - q}$]]>
Numérateur amputé : le $1 -$ initial est indispensable
(testez $q = 0$ : la somme vaut $1$, la formule doit le
redonner).]]>
$(n + 1)\,q$]]>
Confusion avec l'arithmétique : ce serait la somme de
$n+1$ termes ÉGAUX à $q$ : ici les termes grimpent en
puissances.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q15 : Point d'équilibre d'un modèle mixte
Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$. Quelle est la
valeur d'équilibre (suite constante solution) ?]]>
Équilibre de $u_{n+1} = au_n + b$ : $\ell = \dfrac{b}{1 -
a}$ (résoudre $\ell = a\ell + b$). Avec $|a| < 1$, les
suites convergent vers cet équilibre : la valeur de long
terme du modèle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$250$, solution de $\ell = 0{,}8\,\ell + 50$]]>
Bonne réponse : l'équilibre vérifie $\ell = 0{,}8\ell +
50$, soit $0{,}2\ell = 50$ : $\ell = 250$ : si la suite
y démarre, elle y reste.]]>
$50$]]>
Contrôle : $0{,}8 \times 50 + 50 = 90 \neq 50$ : le
terme constant n'est pas l'équilibre : on résout
l'équation du point fixe.]]>
$62{,}5$]]>
Erreur : $\frac{50}{0{,}8}$ divise par le coefficient au
lieu de $1 - 0{,}8$ : l'équation est $0{,}2\ell = 50$.]]>
$0$]]>
Erreur : $0{,}8 \times 0 + 50 = 50 \neq 0$ : zéro n'est
équilibre que des modèles SANS terme constant.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q16 : Limite d'une forme explicite
Que vaut $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(5 - 3 \times
0{,}7^n\right)$ ?]]>
Forme $\ell + C q^n$ avec $|q| < 1$ : limite $\ell$ : la
partie géométrique meurt, le plateau reste. La forme
explicite standard des modèles convergents (la lire, c'est
lire le long terme).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5$]]>
Bonne réponse : $0{,}7^n \to 0$ (raison entre $0$ et
$1$) : le terme correctif s'évanouit, reste le plateau
$5$.]]>
$2$]]>
Erreur : $5 - 3 = 2$ évalue $0{,}7^n$ à $1$ (sa valeur
en $n = 0$) : à l'infini, la puissance fond vers $0$.]]>
$+\infty$]]>
Erreur : $0{,}7 < 1$ : la puissance décroît vers
$0$, elle n'explose pas : la suite plafonne à $5$.]]>
$0$]]>
Erreur : c'est $0{,}7^n$ qui tend vers $0$, pas la suite
entière : le $5$ demeure.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q17 : La suite auxiliaire $v_n = u_n - 250$
Pour $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$ (équilibre $250$), on pose
$v_n = u_n - 250$. Que devient la suite $(v_n)$ ?]]>
Méthode de la suite auxiliaire : retrancher l'équilibre
transforme le modèle mixte en géométrique pure : $v_n = v_0
\times 0{,}8^n$, d'où $u_n = 250 + (u_0 - 250) \times
0{,}8^n$ : forme explicite et limite d'un seul coup.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Géométrique de raison $0{,}8$ : $v_{n+1} = 0{,}8\,v_n$]]>
Bonne réponse : $v_{n+1} = u_{n+1} - 250 = 0{,}8u_n +
50 - 250 = 0{,}8(u_n - 250) = 0{,}8v_n$ : mesurer
l'écart à l'équilibre purifie le modèle.]]>
Arithmétique de raison $50$]]>
Erreur : le décalage a précisément absorbé le $+50$ :
il ne reste que la multiplication par $0{,}8$.]]>
Constante égale à $250$]]>
Erreur : $v_n$ mesure l'écart à $250$ : il rétrécit
de $20\ \%$ par étape, il n'est pas figé.]]>
De même nature que $(u_n)$ : rien ne change]]>
Erreur : tout change ! $(u_n)$ est arithmético-
géométrique (mixte), $(v_n)$ est géométrique pure :
c'est le but de la manœuvre.]]>
Suites numériques, modèles discrets — Q18 : Interpréter la convergence
Une population de poissons suit $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$
(en centaines, $50$ = alevins introduits chaque année).
Comment interpréter la convergence vers $250$ ?]]>
Lire un modèle $u_{n+1} = au_n + b$ : $a$ = ce qui reste
d'une période à l'autre, $b$ = l'apport fixe, l'équilibre
$\frac{b}{1-a}$ = le point où l'apport compense exactement
les pertes. Les maths et l'écologie disent la même chose.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La population se stabilise vers $25\,000$ poissons :
pertes et repeuplement finissent par s'équilibrer]]>
Bonne réponse : à $250$ centaines, les $20\ \%$ de
pertes ($50$) sont exactement compensées par les $50$
introduites : flux entrant = flux sortant : plateau.]]>
La population disparaît à terme]]>
Erreur : le repeuplement annuel maintient un socle : la
limite est $250$ centaines, pas $0$ (ce serait le cas
sans le $+50$).]]>
La population explose : on ajoute des poissons chaque
année]]>
Erreur : les pertes de $20\ \%$ grossissent avec la
population : elles finissent par absorber tout l'apport :
le modèle plafonne.]]>
La population oscille sans se stabiliser]]>
Erreur : avec une raison $0 < 0{,}8 < 1$, la
convergence est monotone : la suite s'approche du
plateau sans le franchir.]]>