$course$/QCM de maths/Maths expertes/Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers
Divisibilité dans $\mathbb{Z}$, division euclidienne,
congruences et compatibilité avec les opérations, PGCD et
algorithme d'Euclide, théorèmes de Bézout et de Gauss, nombres
premiers, décomposition en facteurs premiers, petit théorème
de Fermat.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q01 : Divisibilité dans $\mathbb{Z}$
Que signifie « $a$ divise $b$ » (noté $a \mid b$) pour deux
entiers relatifs ?]]>
$a \mid b \iff \exists k \in \mathbb{Z},\ b = ka$.
Propriétés : transitivité, et surtout : si $a \mid b$ et
$a \mid c$, alors $a$ divise toute combinaison $ub + vc$ :
l'outil de base des raisonnements.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il existe un entier $k$ tel que $b = ka$]]>
Bonne réponse : $b$ est un multiple de $a$. Exemples :
$7 \mid 42$ ($42 = 6 \times 7$), $-3 \mid 12$, et $5
\mid 0$ ($0 = 0 \times 5$).]]>
$\dfrac{a}{b}$ est un entier]]>
Fraction à l'envers : « $a$ divise $b$ » signifie que
$\frac{b}{a}$ est entier (quand $a \neq 0$), pas
$\frac{a}{b}$.]]>
$a < b$]]>
Sans rapport : $4 < 6$ mais $4 \nmid 6$ ; et $7 \mid 7$
sans inégalité stricte.]]>
$a$ et $b$ ont le même signe]]>
Sans rapport : $-3 \mid 12$ ($12 = (-4)(-3)$). La
divisibilité ignore les signes.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q02 : Division euclidienne d'un négatif
Quelle est la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?]]>
$a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ : le couple $(q, r)$ est
unique. Pour un dividende négatif, le quotient « descend » :
$-17 = 5 \times (-4) + 3$. Le reste est aussi le
représentant de $-17$ modulo $5$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-17 = 5 \times (-4) + 3$, quotient $-4$ et reste $3$]]>
Bonne réponse : le reste doit vérifier $0 \leq r < 5$ ;
on descend au multiple de $5$ inférieur à $-17$,
soit $-20$, et $-17 - (-20) = 3$.]]>
$-17 = 5 \times (-3) - 2$, quotient $-3$ et reste $-2$]]>
Reste négatif interdit : la définition impose $0 \leq
r < 5$. On corrige : $-17 = 5(-4) + 3$.]]>
$-17 = 5 \times (-3) + 2$, quotient $-3$ et reste $2$]]>
Calcul faux : $5 \times (-3) + 2 = -13 \neq -17$.
L'égalité doit être exacte et le reste dans
$[0\ ;\ 5[$.]]>
Impossible : la division euclidienne exige des entiers
positifs]]>
Erreur : le programme la définit pour tout dividende de
$\mathbb{Z}$ (le diviseur restant dans
$\mathbb{N}^*$).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q03 : Définition d'une congruence
Que signifie $a \equiv b \pmod n$ ?]]>
$a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b) \iff$ même reste
modulo $n$. C'est une relation d'équivalence, et surtout
elle respecte addition et multiplication : on calcule
« dans les restes ».]]>
1.0
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true
true
abc
$n$ divise $a - b$]]>
Bonne réponse : même reste dans la division par $n$,
c'est-à-dire différence multiple de $n$. Exemple :
$23 \equiv 3 \pmod 5$ car $5 \mid 20$.]]>
$a = b$]]>
Trop fort : la congruence est une égalité à un
multiple de $n$ près : $23 \neq 3$ mais $23 \equiv 3
\pmod 5$.]]>
$a$ divise $b$]]>
Confusion : c'est $n$ qui divise la différence
$a - b$, pas $a$ qui divise $b$.]]>
$a$ et $b$ sont premiers avec $n$]]>
Sans rapport : $10 \equiv 4 \pmod 6$ alors que ni $10$
ni $4$ n'est premier avec $6$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q04 : Compatibilité avec les opérations
Sachant $10 \equiv 1 \pmod 9$, que vaut $10^{2026}
\pmod 9$ ?]]>
Si $a \equiv b \pmod n$ alors $a + c \equiv b + c$, $ac
\equiv bc$ et $a^k \equiv b^k \pmod n$. Conséquence : un
entier est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10^{2026} \equiv 1 \pmod 9$]]>
Bonne réponse : la congruence passe aux puissances :
$10^{2026} \equiv 1^{2026} = 1$. C'est le cœur de la
preuve par neuf et du critère de divisibilité par $9$.]]>
$10^{2026} \equiv 2026 \pmod 9$]]>
Erreur : l'exposant ne « descend » pas : on élève la
congruence à la puissance : $1^{2026} = 1$.]]>
$10^{2026} \equiv 0 \pmod 9$]]>
Erreur : $10^{2026}$ n'est pas multiple de $9$ (ses
seuls facteurs premiers sont $2$ et $5$).]]>
Impossible sans calculer $10^{2026}$]]>
Erreur : tout l'intérêt des congruences est d'éviter ce
calcul : $10 \equiv 1$ suffit.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q05 : Algorithme d'Euclide
On calcule $\text{PGCD}(252\ ;\ 105)$ par l'algorithme
d'Euclide : $252 = 105 \times 2 + 42$, puis $105 = 42 \times
2 + 21$, puis $42 = 21 \times 2 + 0$. Quel est le PGCD ?]]>
Euclide : on remplace $(a\ ;\ b)$ par $(b\ ;\ r)$ jusqu'au
reste nul ; le PGCD est le dernier reste non nul. Contrôle :
$252 = 21 \times 12$, $105 = 21 \times 5$, et $12$, $5$
premiers entre eux.]]>
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0
true
true
abc
$21$ : le dernier reste non nul]]>
Bonne réponse : l'algorithme repose sur
$\text{PGCD}(a\ ;\ b) = \text{PGCD}(b\ ;\ r)$ ; le
dernier reste non nul est le PGCD.]]>
$42$ : le premier reste]]>
Erreur : $42$ ne divise pas $105$ : on continue tant que
le reste n'est pas nul ; c'est le dernier reste non
nul qui gagne.]]>
$0$ : le dernier reste]]>
Erreur : le $0$ final signale l'arrêt ; le PGCD est le
reste précédent ($21$).]]>
$2$ : le quotient répété]]>
Erreur : les quotients ne portent pas le PGCD : seuls
les restes comptent.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q06 : Théorème de Bézout
Que dit le théorème de Bézout pour deux entiers $a$ et $b$ ?]]>
Bézout : $\text{PGCD}(a\ ;\ b) = 1 \iff \exists\, u, v \in
\mathbb{Z},\ au + bv = 1$. Les coefficients $u$, $v$ se
calculent en remontant l'algorithme d'Euclide (Euclide
étendu). Plus généralement, le PGCD $d$ s'écrit toujours
$d = au + bv$.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il
existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$]]>
Bonne réponse : l'équivalence complète. Le sens « il
existe $u, v$ » se lit : tout diviseur commun divise
$au + bv = 1$, donc vaut $\pm 1$.]]>
Pour tous entiers $a$ et $b$, il existe $u$ et $v$ tels
que $au + bv = 1$]]>
Faux sans hypothèse : $6u + 4v$ est toujours pair, donc
jamais égal à $1$. Il faut $a$ et $b$ premiers entre
eux.]]>
Si $a \mid bc$ et $a$ premier avec $b$, alors $a \mid c$]]>
C'est le théorème de Gauss : conséquence de Bézout,
mais énoncé distinct.]]>
Tout entier $\geq 2$ se décompose en produit de facteurs
premiers]]>
C'est le théorème de décomposition (existence et
unicité), pas Bézout.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q07 : Théorème de Gauss
On sait que $7 \mid 3n$ pour un entier $n$. Que peut-on
conclure ?]]>
Gauss (démonstration au programme, via Bézout) : si $a \mid
bc$ et $\text{PGCD}(a\ ;\ b) = 1$, alors $a \mid c$.
L'hypothèse « premiers entre eux » est vitale : $6 \mid 4
\times 3$ sans diviser ni $4$ ni $3$.]]>
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true
true
abc
$7 \mid n$, car $7$ est premier avec $3$]]>
Bonne réponse : théorème de Gauss : $7$ divise le
produit $3n$ et est premier avec le facteur $3$, donc
divise l'autre facteur.]]>
$7 \mid 3$]]>
Faux : $3 < 7$ et $3 \neq 0$. Gauss oriente la
divisibilité vers le facteur non premier avec rien…
c'est $n$ qui hérite.]]>
$n = 7$]]>
Trop précis : $n$ est multiple de $7$ ($0$, $7$,
$14$, $-7$…), pas forcément $7$.]]>
Rien : il faudrait connaître $n$]]>
Erreur : c'est exactement la situation du théorème de
Gauss : conclusion garantie sans connaître $n$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q08 : Équation diophantienne
L'équation $3x + 5y = 1$ admet la solution particulière
$(x_0\ ;\ y_0) = (2\ ;\ -1)$. Quelles sont toutes les
solutions entières ?]]>
Méthode complète : solution particulière, puis soustraction
et théorème de Gauss pour la forme générale $x = x_0 + 5k$,
$y = y_0 - 3k$. Résoudre $ax + by = c$ exige
$\text{PGCD}(a\ ;\ b) \mid c$.]]>
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true
abc
$x = 2 + 5k$, $y = -1 - 3k$, pour $k \in \mathbb{Z}$]]>
Bonne réponse : par différence, $3(x - 2) = -5(y + 1)$ ;
Gauss ($3$ premier avec $5$) force $5 \mid x - 2$, d'où
la forme annoncée. Contrôle : $3(2 + 5k) + 5(-1 - 3k) =
1$.]]>
$(2\ ;\ -1)$ est la seule solution]]>
Incomplet : $(7\ ;\ -4)$ marche aussi ($21 - 20 = 1$) :
une droite entière de solutions, indexée par $k$.]]>
$x = 2 + 3k$, $y = -1 - 5k$, pour $k \in \mathbb{Z}$]]>
Coefficients croisés : c'est $5$ (coefficient de $y$)
qui module $x$, et $3$ qui module $y$. Contrôle avec
$k = 1$ : $3 \times 5 + 5 \times (-6) = -15 \neq 1$.]]>
Aucune : $3$ et $5$ ne divisent pas $1$]]>
Erreur : $\text{PGCD}(3\ ;\ 5) = 1$ divise $1$ :
Bézout garantit des solutions.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q09 : L'ensemble des nombres premiers
Que sait-on de l'ensemble des nombres premiers ?]]>
L'infinité des premiers est une démonstration au programme.
Argument clé : tout entier $\geq 2$ admet un diviseur
premier, et $N = p_1\cdots p_n + 1$ échappe à la liste
(reste $1$ dans chaque division).]]>
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0
true
true
abc
Il est infini (démonstration d'Euclide)]]>
Bonne réponse : si $p_1, \dots, p_n$ étaient les seuls
premiers, $N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ n'en serait
divisible par aucun : contradiction avec l'existence
d'un diviseur premier.]]>
Il est fini : le plus grand premier est connu]]>
Erreur : les « records » (nombres de Mersenne) sont les
plus grands premiers connus, pas les plus grands
existants : l'ensemble est infini.]]>
Tous les nombres premiers sont impairs]]>
Oubli de $2$ : le seul premier pair, mais premier quand
même.]]>
Un produit de deux premiers est premier]]>
Contraire de la définition : $3 \times 5 = 15$ a quatre
diviseurs : composé.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q10 : Décomposition en facteurs premiers
Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $360$ ?]]>
Existence et unicité de la décomposition : au programme
(avec démonstration de l'existence). Applications : lecture
des diviseurs ($360$ en a $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$), PGCD par
exposants minimaux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$]]>
Bonne réponse : $360 = 8 \times 45 = 8 \times 9 \times
5$. La décomposition existe et est unique (à l'ordre
près) : c'est le théorème fondamental.]]>
$360 = 2^2 \times 3^2 \times 10$]]>
Presque : le produit vaut bien $360$, mais $10 = 2
\times 5$ n'est pas premier : la décomposition doit
aller jusqu'au bout.]]>
$360 = 2^3 \times 45$]]>
Inachevé : $45 = 3^2 \times 5$ est composé. On
factorise jusqu'à n'avoir que des premiers.]]>
$360 = 6 \times 60$]]>
Simple produit : ni $6$ ni $60$ n'est premier. La
décomposition canonique : $2^3 \times 3^2 \times 5$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q11 : Petit théorème de Fermat
$p = 7$ est premier et $a = 3$ n'est pas divisible par $7$.
Que donne le petit théorème de Fermat ?]]>
Petit théorème de Fermat : si $p$ premier et $p \nmid a$,
alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ (variante : $a^p \equiv a$
pour tout $a$). Usage : réduire les exposants géants modulo
$p - 1$, tests de primalité, RSA.]]>
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0
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true
abc
$3^6 \equiv 1 \pmod 7$]]>
Bonne réponse : $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ : l'exposant
est $p - 1 = 6$. Vérification : $3^6 = 729 = 104 \times
7 + 1$.]]>
$3^7 \equiv 1 \pmod 7$]]>
Exposant faux : la forme en $a^p$ est $3^7 \equiv 3
\pmod 7$ (congru à $a$, pas à $1$).]]>
$3^6 \equiv 0 \pmod 7$]]>
Erreur : $3^6$ n'a que des facteurs $3$ : jamais
divisible par $7$. Fermat donne le reste $1$.]]>
$6^3 \equiv 1 \pmod 7$]]>
Base et exposant échangés : c'est $a^{p-1} = 3^6$.
(D'ailleurs $6^3 = 216 \equiv 6 \pmod 7$.)]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q12 : Inverse modulo $n$
Quel est l'inverse de $3$ modulo $7$, c'est-à-dire l'entier
$x \in \{1, \dots, 6\}$ tel que $3x \equiv 1 \pmod 7$ ?]]>
$a$ inversible modulo $n \iff \text{PGCD}(a\ ;\ n) = 1$ ;
l'inverse sort des coefficients de Bézout. Application :
résoudre $3x \equiv 4 \pmod 7$ : multiplier par $5$ :
$x \equiv 20 \equiv 6$.]]>
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true
abc
$x = 5$]]>
Bonne réponse : $3 \times 5 = 15 = 2 \times 7 + 1
\equiv 1$. L'inverse existe car $3$ et $7$ sont premiers
entre eux (Bézout).]]>
$x = 4$]]>
$3 \times 4 = 12 \equiv 5 \pmod 7$ : pas $1$. On teste
ou on remonte Bézout : $x = 5$.]]>
$x = \dfrac{1}{3}$]]>
Hors sujet : l'inverse modulaire est un entier : pas
de fractions dans $\mathbb{Z}/n$. Ici $5$ joue le rôle
de $\frac{1}{3}$.]]>
Il n'existe pas]]>
Erreur : $\text{PGCD}(3\ ;\ 7) = 1$ garantit l'inverse
(Bézout : $3 \times 5 + 7 \times (-2) = 1$).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q13 : Divisibilité par $3$
Le nombre $741$ est-il divisible par $3$ ?]]>
$10 \equiv 1 \pmod 3$ (et $\pmod 9$) : un entier est congru
à la somme de ses chiffres modulo $3$ et $9$. Les critères
de divisibilité sont des théorèmes de congruence déguisés.]]>
1.0
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0
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true
abc
Oui : la somme de ses chiffres, $7 + 4 + 1 = 12$, est
divisible par $3$]]>
Bonne réponse : critère fondé sur $10 \equiv 1
\pmod 3$ : tout nombre est congru à la somme de ses
chiffres modulo $3$. ($741 = 3 \times 247$.)]]>
Non : il est impair]]>
Confusion : la parité teste la divisibilité par $2$ :
$9$, $15$, $741$… sont impairs ET divisibles par $3$.]]>
Non : il ne se termine pas par $3$, $6$ ou $9$]]>
Faux critère : le dernier chiffre teste $2$, $5$ ou
$10$ : pour $3$, c'est la somme des chiffres qui
décide.]]>
Impossible à savoir sans poser la division]]>
Erreur : le critère de la somme des chiffres répond en
deux secondes : c'est toute la force des congruences.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q14 : Division euclidienne de $47$ par $6$
Quels sont le quotient et le reste de la division
euclidienne de $47$ par $6$ ?]]>
$a = bq + r$, $0 \leq r < b$ : le quotient est le plus grand
multiple qui tient, le reste est le débordement. La
contrainte sur $r$ rend le couple UNIQUE : c'est elle qui
fait tout marcher.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$47 = 6 \times 7 + 5$ : quotient $7$, reste $5$]]>
Bonne réponse : $6 \times 7 = 42 \leq 47 < 48 = 6
\times 8$, et $47 - 42 = 5$, bien dans $[0\ ;\ 6[$.]]>
Quotient $8$, reste $-1$]]>
Reste négatif interdit : la définition impose $0 \leq
r < 6$ : on prend le multiple de $6$ juste EN DESSOUS.]]>
Quotient $7$, reste $6$]]>
Reste trop grand : $r = 6$ signifierait qu'une unité de
quotient reste à prendre : le reste vit STRICTEMENT sous
le diviseur.]]>
Quotient $5$, reste $7$]]>
Rôles échangés (et reste invalide) : $47 = 6q + r$ avec
$q = 7$ (combien de fois $6$) et $r = 5$ (ce qui
déborde).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q15 : Deux entiers consécutifs
Que peut-on dire de $n$ et $n + 1$ pour tout entier $n$ ?]]>
Argument roi : tout diviseur commun de $a$ et $b$ divise
$a - b$. Pour des consécutifs, la différence vaut $1$ : PGCD
$= 1$. Ce petit lemme alimente quantité de démonstrations
(dont l'infinité des premiers).]]>
1.0
0.0
0
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true
abc
Ils sont toujours premiers entre eux]]>
Bonne réponse : tout diviseur commun divise leur
différence $(n+1) - n = 1$ : le PGCD vaut $1$, sans
exception.]]>
Ils ont toujours un facteur commun]]>
Erreur : leur seul diviseur commun est $1$ : deux
voisins n'ont rien à partager (l'argument de la
différence le prouve).]]>
L'un des deux est toujours premier]]>
Faux : $8$ et $9$ sont tous deux composés : « premiers
entre eux » ne dit rien de la primalité individuelle.]]>
Leur PGCD est $n$]]>
Erreur : $n \mid n$ mais $n \nmid n + 1$ (dès $n \geq
2$) : le PGCD tombe à $1$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q16 : Dernier chiffre et modulo $10$
Quel est le dernier chiffre de $7^4$ ?]]>
Dernier chiffre = reste modulo $10$ : réduire À CHAQUE
étape garde les nombres minuscules. Les puissances modulo
$10$ tournent en cycles courts ($7$ : période $4$) : les
repérer économise tout.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$ : car $7^2 = 49 \equiv 9$, puis $7^4 \equiv 9^2 =
81 \equiv 1 \pmod{10}$]]>
Bonne réponse : le dernier chiffre EST le reste modulo
$10$ : on réduit à chaque étape ($49 \to 9$, $81 \to
1$) au lieu de calculer $2401$.]]>
$9$]]>
Arrêt à mi-course : $9$ est le dernier chiffre de
$7^2$ : encore une élévation au carré : $9^2 \equiv 1$.]]>
$7$]]>
Erreur : les derniers chiffres de $7^n$ tournent :
$7, 9, 3, 1, 7, \dots$ : au rang $4$, le cycle retombe
sur $1$.]]>
$4$]]>
Erreur : $4$ est l'exposant, pas le reste : le calcul
modulaire donne $1$ ($7^4 = 2401$).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q17 : Compter les diviseurs
Sachant $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$, combien $360$
a-t-il de diviseurs positifs ?]]>
Nombre de diviseurs de $p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ :
$(e_1 + 1)\cdots(e_k + 1)$ : chaque diviseur est un choix
d'exposants entre $0$ et $e_i$. La décomposition en facteurs
premiers révèle TOUTE la structure multiplicative.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$(3+1)(2+1)(1+1) = 24$]]>
Bonne réponse : un diviseur choisit un exposant pour
chaque facteur premier : $4$ choix pour le $2$ ($2^0$ à
$2^3$), $3$ pour le $3$, $2$ pour le $5$ : produit $24$.]]>
$3 \times 2 \times 1 = 6$]]>
Le « $+1$ » oublié : l'exposant $0$ est un choix
légitime (ne pas prendre le facteur) : chaque exposant
offre $e + 1$ possibilités.]]>
$3 + 2 + 1 = 6$]]>
Addition au lieu de multiplication : les choix
d'exposants sont indépendants : principe
multiplicatif.]]>
$360 \div 2 = 180$]]>
Erreur : aucun lien de ce type : le compte sort de la
décomposition : $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q18 : Rendre une fraction irréductible
Sachant $\text{PGCD}(252\ ;\ 105) = 21$, quelle est la
forme irréductible de $\dfrac{252}{105}$ ?]]>
Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD donne LA
forme irréductible en une étape : c'est l'application
quotidienne de l'algorithme d'Euclide.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{12}{5}$]]>
Bonne réponse : diviser haut et bas par le PGCD :
$\frac{252 \div 21}{105 \div 21} = \frac{12}{5}$, et
$12$, $5$ sont premiers entre eux : irréductible
garanti.]]>
$\dfrac{84}{35}$]]>
Simplification partielle : diviser par $3$ seulement
laisse le facteur $7$ commun : le PGCD simplifie EN UNE
FOIS et à fond.]]>
$\dfrac{5}{12}$]]>
Fraction renversée : le numérateur $252$ donne $12$, le
dénominateur $105$ donne $5$.]]>
$\dfrac{21}{5}$]]>
Erreur : $21$ est le PGCD (le diviseur commun), pas le
numérateur simplifié ($252 \div 21 = 12$).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q19 : Tester la primalité de $97$
Pour vérifier que $97$ est premier, quels diviseurs
suffit-il de tester ?]]>
Test de primalité : diviser par les premiers $\leq
\sqrt{n}$ : si $n = ab$ avec $a \leq b$, alors $a \leq
\sqrt{n}$. Pour $97$ : quatre tests, verdict premier : la
racine carrée divise le travail par dix.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Les premiers $2, 3, 5, 7$ : tous ceux qui ne dépassent
pas $\sqrt{97} \approx 9{,}8$]]>
Bonne réponse : un composé $n = ab$ a toujours un
facteur $\leq \sqrt{n}$ : quatre divisions suffisent
(aucune ne tombe juste : $97$ est premier).]]>
Tous les entiers de $2$ à $96$]]>
Gaspillage : si aucun diviseur n'existe sous $\sqrt{97}$,
aucun n'existe au-dessus (ils iraient par paires) :
$9{,}8$ est la frontière utile.]]>
Seulement $2$ et $3$]]>
Insuffisant : $35 = 5 \times 7$ échappe à $2$ et $3$ :
il faut monter jusqu'à $\sqrt{n}$ ($5$ et $7$ compris).]]>
Les nombres pairs uniquement]]>
Erreur : les diviseurs pairs se réduisent au test de
$2$ : ce sont les premiers IMPAIRS ($3, 5, 7$) qui
restent à examiner.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q20 : Le calendrier modulo $7$
Nous sommes lundi. Quel jour serons-nous dans $100$ jours ?]]>
Les cycles du quotidien (jours, heures, angles) sont des
congruences : seul le reste importe. $100 \equiv 2
\pmod 7$ : le décalage net de $100$ jours est de $2$ jours.]]>
1.0
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0
true
true
abc
Mercredi : $100 \equiv 2 \pmod 7$, donc deux jours après
lundi]]>
Bonne réponse : $100 = 14 \times 7 + 2$ : les $14$
semaines pleines ne comptent pas, seuls les $2$ jours de
reste décalent.]]>
Lundi : $100$ est un compte rond]]>
Erreur : « rond » en base $10$ ne dit rien modulo $7$ :
seul le reste de $100$ par $7$ (qui vaut $2$) compte.]]>
Vendredi]]>
Erreur de reste : $100 = 98 + 2$ et $98 = 14 \times 7$ :
reste $2$, pas $4$ : lundi $+ 2 =$ mercredi.]]>
Impossible sans calendrier]]>
Erreur : les jours de la semaine SONT une arithmétique
modulo $7$ : le reste répond sans calendrier.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q21 : Calculer $2^{100} \pmod 7$
Que vaut le reste de $2^{100}$ dans la division par $7$ ?]]>
Puissances modulo $n$ : trouver le cycle (ici $2^3 \equiv
1$), réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit
théorème de Fermat garantit un cycle divisant $p - 1 = 6$ ;
le cycle réel peut être plus court ($3$ ici).]]>
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true
true
abc
$2$ : car $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$ et $100 = 3 \times
33 + 1$]]>
Bonne réponse : le cycle de $2$ modulo $7$ est de
longueur $3$ ($2, 4, 1, 2, 4, 1, \dots$) : $2^{100} =
(2^3)^{33} \times 2 \equiv 1^{33} \times 2 = 2$.]]>
$0$ : une puissance aussi grande est divisible par tout]]>
Erreur : $2^{100}$ n'a que des facteurs $2$ : jamais
divisible par $7$ : le reste ne peut pas être nul.]]>
$4$]]>
Erreur de position dans le cycle : $4 = 2^2$
correspondrait à un exposant $\equiv 2 \pmod 3$ ; or
$100 \equiv 1$ : reste $2$.]]>
$1$]]>
Presque : $1$ correspond aux exposants multiples de
$3$ ($99$ par exemple) : $100$ dépasse d'un cran :
$\times 2$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q22 : Résoudre $5x \equiv 3 \pmod 7$
Quelles sont les solutions de la congruence $5x \equiv 3
\pmod 7$ ?]]>
$ax \equiv b \pmod n$ avec $\text{PGCD}(a\ ;\ n) = 1$ :
multiplier par l'inverse de $a$ : $x \equiv a^{-1}b$.
L'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par
Bézout remonté (gros modules).]]>
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true
true
abc
$x \equiv 2 \pmod 7$ : on multiplie par $3$, inverse de
$5$ modulo $7$]]>
Bonne réponse : $5 \times 3 = 15 \equiv 1$ : $3$ est
l'inverse de $5$ ; alors $x \equiv 3 \times 3 = 9
\equiv 2$. Contrôle : $5 \times 2 = 10 \equiv 3$ ✓.]]>
$x = \dfrac{3}{5}$]]>
Hors monde : pas de fractions dans les congruences : la
« division » se fait en multipliant par l'INVERSE
modulaire de $5$ (qui est $3$).]]>
Aucune solution : $5$ ne divise pas $3$]]>
Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :
$\text{PGCD}(5\ ;\ 7) = 1$ garantit un inverse, donc une
solution unique modulo $7$.]]>
$x \equiv 3 \pmod 7$]]>
Contrôle : $5 \times 3 = 15 \equiv 1 \neq 3$ : c'est
l'inverse de $5$, pas la solution : encore une
multiplication par $3$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q23 : $n^2$ pair implique $n$ pair
Comment démontrer proprement : « si $n^2$ est pair, alors
$n$ est pair » ?]]>
Contraposée : « $A \Rightarrow B$ » équivaut à « non $B$
$\Rightarrow$ non $A$ » : quand l'hypothèse directe est
difficile à exploiter, renverser. Ici : l'imparité se
calcule ($2k+1$), la parité de $n^2$ ne se remonte pas
directement.]]>
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true
abc
Par contraposée : si $n$ est impair, $n = 2k + 1$ donne
$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, impair]]>
Bonne réponse : la contraposée (« $n$ impair
$\Rightarrow n^2$ impair ») se calcule en une ligne, et
elle est logiquement ÉQUIVALENTE à l'énoncé.]]>
En vérifiant pour $n = 2, 4, 6$]]>
Exemples, pas preuve : trois cas ne couvrent pas tous
les entiers (et testent d'ailleurs le sens réciproque !).]]>
C'est faux : $n^2$ pair n'impose rien à $n$]]>
Erreur : l'énoncé est vrai (essentiel, entre autres,
dans la preuve de l'irrationalité de $\sqrt{2}$) : la
contraposée le démontre.]]>
En divisant $n^2$ par $n$]]>
Erreur : la parité ne « se divise » pas : le passage
par l'écriture $n = 2k + 1$ (contraposée) est le chemin
rigoureux.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q24 : Pourquoi Euclide fonctionne
L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité
$\text{PGCD}(a\ ;\ b) = \text{PGCD}(b\ ;\ r)$ où $r$ est le
reste de $a$ par $b$. Pourquoi est-elle vraie ?]]>
Deux ingrédients : correction ($\text{PGCD}(a\ ;\ b) =
\text{PGCD}(b\ ;\ r)$, par conservation des diviseurs
communs) et terminaison (les restes décroissent strictement
vers $0$). Le modèle de toute preuve d'algorithme.]]>
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true
abc
Parce que $a = bq + r$ : les diviseurs communs de
$(a\ ;\ b)$ et de $(b\ ;\ r)$ sont exactement les mêmes]]>
Bonne réponse : $d$ divise $a$ et $b$ $\Rightarrow$ il
divise $r = a - bq$ ; et $d$ divise $b$ et $r$
$\Rightarrow$ il divise $a = bq + r$ : mêmes diviseurs
communs, même PGCD.]]>
Parce que $r$ est toujours plus petit que $b$]]>
C'est la raison de la terminaison (les restes
décroissent), pas de la correction : l'égalité des PGCD
vient de $a = bq + r$.]]>
Parce que le PGCD est toujours le dernier reste]]>
Circulaire : c'est la CONSÉQUENCE de l'égalité répétée,
pas sa justification.]]>
C'est une convention posée sans démonstration]]>
Erreur : c'est un théorème, démontré en deux lignes par
la conservation des diviseurs communs à travers $a = bq
+ r$.]]>