$course$/QCM de maths/Maths expertes/Nombres complexes : point de vue algébrique
L'ensemble $\mathbb{C}$, partie réelle et partie imaginaire,
opérations, conjugaison et propriétés algébriques, inverse d'un
nombre complexe non nul, équations $az = b$ et équations
simples faisant intervenir $z$ et $\bar{z}$, formule du binôme.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q01 : Le nombre $i$
Quelle égalité définit le nombre $i$ ?]]>
$\mathbb{C}$ est construit en adjoignant à $\mathbb{R}$ un
nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ ; tout complexe s'écrit alors
$z = a + ib$ ($a, b$ réels). Puissances utiles : $i^3 = -i$,
$i^4 = 1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$i^2 = -1$]]>
Bonne réponse : $i$ est introduit comme un nombre dont le
carré vaut $-1$ : la clé qui ouvre la résolution de
toutes les équations du second degré.]]>
$i = \sqrt{-1}$, avec les règles usuelles des racines]]>
Piège d'écriture : la notation $\sqrt{\ }$ est réservée
aux réels positifs ; l'utiliser avec $-1$ mène à des
absurdités ($1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} =
i \times i = -1$ ?!). On dit : $i^2 = -1$.]]>
$i = -1$]]>
Erreur : $(-1)^2 = 1 \neq -1$. Le nombre $i$ n'est pas
réel : c'est son carré qui vaut $-1$.]]>
$i^2 = 1$]]>
Erreur : les nombres de carré $1$ sont $1$ et $-1$, déjà
réels. La nouveauté de $i$ : $i^2 = -1$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q02 : Parties réelle et imaginaire
Soit $z = 3 - 5i$. Que valent la partie réelle et la partie
imaginaire de $z$ ?]]>
Forme algébrique $z = a + ib$ : $\text{Re}(z) = a$,
$\text{Im}(z) = b$, tous deux réels. Deux complexes sont
égaux si et seulement si leurs parties réelles et
imaginaires coïncident.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -5$]]>
Bonne réponse : dans $z = a + ib$, la partie imaginaire
est le réel $b$ (ici $-5$), sans le facteur $i$.]]>
$\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -5i$]]>
Erreur de convention : la partie imaginaire est un
nombre réel (le coefficient de $i$), pas $-5i$.]]>
$\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = 5$]]>
Erreur de signe : $z = 3 + (-5)i$ : le coefficient de
$i$ est $-5$.]]>
$\text{Re}(z) = -5$ et $\text{Im}(z) = 3$]]>
Rôles échangés : la partie réelle est le terme sans
$i$ ($3$).]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q03 : Produit de deux complexes
Que vaut le produit $(2 + i)(3 - 2i)$ ?]]>
Les opérations dans $\mathbb{C}$ suivent les règles usuelles,
avec $i^2 = -1$ : $(2+i)(3-2i) = 6 - 4i + 3i + 2 = 8 - i$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8 - i$]]>
Bonne réponse : $6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i + 2 =
8 - i$ (le $-2i^2$ devient $+2$).]]>
$6 - 2i$]]>
Erreur : produit des seuls premiers et derniers termes.
On développe entièrement (double distribution), avec
$i^2 = -1$.]]>
$4 - i$]]>
Erreur de signe sur $i^2$ : $-2i^2 = +2$, à ajouter :
$6 + 2 = 8$ pour la partie réelle.]]>
$8 + i$]]>
Erreur de signe sur la partie imaginaire :
$-4i + 3i = -i$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q04 : Conjugué d'un nombre complexe
Quel est le conjugué de $z = 4 + 3i$ ?]]>
$\overline{a + ib} = a - ib$. Propriétés (démonstrations au
programme) : $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$,
$\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}$, et
$z\bar{z} = a^2 + b^2$, réel positif : l'outil des
divisions.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\bar{z} = 4 - 3i$]]>
Bonne réponse : conjuguer change le signe de la partie
imaginaire seulement (symétrie par rapport à l'axe
réel).]]>
$\bar{z} = -4 - 3i$]]>
Erreur : c'est l'opposé $-z$. Le conjugué ne touche
pas la partie réelle.]]>
$\bar{z} = -4 + 3i$]]>
Erreur : le signe a changé du mauvais côté : conjuguer
agit sur le terme en $i$.]]>
$\bar{z} = 3 + 4i$]]>
Erreur : aucune permutation des parties : seul le signe
de la partie imaginaire bascule.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q05 : Inverse d'un complexe
Quelle est la forme algébrique de $\dfrac{1}{1 + 2i}$ ?]]>
Méthode systématique : $\dfrac{1}{z} =
\dfrac{\bar{z}}{z\bar{z}}$, le dénominateur $z\bar{z} =
a^2 + b^2$ étant réel. Ici : $\frac{1-2i}{5}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i$]]>
Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le
conjugué : $\dfrac{1 - 2i}{(1+2i)(1-2i)} =
\dfrac{1 - 2i}{1 + 4} = \dfrac{1 - 2i}{5}$.]]>
$1 - 2i$]]>
Incomplet : le conjugué seul n'est pas l'inverse : il
faut diviser par $z\bar{z} = 5$.]]>
$\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2i}$]]>
Erreur : l'inverse d'une somme n'est pas la somme des
inverses (déjà faux chez les réels !).]]>
$\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}i$]]>
Erreur de signe : le numérateur est le conjugué
$1 - 2i$ : la partie imaginaire de l'inverse est
négative.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q06 : Équation linéaire $az = b$
Quelle est la solution de l'équation $(1 + i)z = 4$ ?]]>
$az = b \Rightarrow z = \dfrac{b}{a}$, calculé par le
conjugué. Toujours vérifier : $(1+i)(2-2i) = 2 - 2i + 2i +
2 = 4$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = 2 - 2i$]]>
Bonne réponse : $z = \dfrac{4}{1+i} = \dfrac{4(1-i)}
{(1+i)(1-i)} = \dfrac{4(1-i)}{2} = 2(1 - i)$.]]>
$z = 4 - i$]]>
Erreur : on ne « soustrait » pas le coefficient : on
divise par $1 + i$ (via le conjugué).]]>
$z = 2 + 2i$]]>
Erreur de signe : le conjugué du dénominateur est
$1 - i$, qui transmet son signe : $z = 2 - 2i$.
(Contrôle : $(1+i)(2+2i) = 4i \neq 4$.)]]>
$z = 4(1 + i)$]]>
Erreur : multiplier par $1 + i$ au lieu de diviser.
Contrôle : $(1+i) \times 4(1+i) = 4(1+i)^2 = 8i \neq 4$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q07 : Équation avec $z$ et $\bar{z}$
Quelles sont les solutions de l'équation $z + \bar{z} = 6$ ?]]>
Méthode : poser $z = x + iy$ et identifier.
$z + \bar{z} = 2x$ et $z - \bar{z} = 2iy$ : les équations en
$z$, $\bar{z}$ se traduisent en conditions sur $x$ et $y$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Tous les complexes de partie réelle $3$ (la droite
verticale $x = 3$ du plan complexe)]]>
Bonne réponse : avec $z = x + iy$ : $z + \bar{z} = 2x =
6$, donc $x = 3$, et $y$ reste libre : une droite de
solutions.]]>
$z = 3$ seulement]]>
Incomplet : $3 + 4i$ convient aussi ($z + \bar{z} = 6$).
La partie imaginaire disparaît dans la somme : elle est
libre.]]>
$z = 6$]]>
Erreur : $6 + \bar{6} = 12 \neq 6$. La somme
$z + \bar{z}$ vaut $2\,\text{Re}(z)$ : on résout
$2x = 6$.]]>
Aucune solution]]>
Erreur : tout $z = 3 + iy$ convient : une infinité de
solutions.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q08 : Conjugué d'un produit
Pour tous complexes $z$ et $z'$, que vaut $\overline{z\,z'}$ ?]]>
Propriétés de la conjugaison : $\overline{z + z'} = \bar{z} +
\bar{z'}$, $\overline{zz'} = \bar{z}\bar{z'}$,
$\overline{z^n} = \bar{z}^n$, $\overline{1/z} = 1/\bar{z}$ :
elle commute avec toutes les opérations.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\bar{z} \times \bar{z'}$]]>
Bonne réponse : la conjugaison respecte les produits
(démonstration au programme) : conjuguer avant ou après
multiplication revient au même.]]>
$\bar{z} + \bar{z'}$]]>
Erreur : la somme des conjugués est le conjugué de la
somme, pas du produit.]]>
$z\,z'$]]>
Erreur : le conjugué d'un produit n'est lui-même que si
le produit est réel. En général, la partie
imaginaire change de signe.]]>
$-z\,z'$]]>
Erreur : conjuguer n'est pas prendre l'opposé (seule la
partie imaginaire bascule).]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q09 : Formule du binôme dans $\mathbb{C}$
Que vaut $(1 + i)^2$, et qu'en déduit-on pour
$(1 + i)^4$ ?]]>
La formule du binôme vaut dans $\mathbb{C}$ (démonstration au
programme). $(1+i)^2 = 2i$ et $(1+i)^4 = -4$ : exemple
fétiche, à retrouver plus tard par la forme exponentielle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$]]>
Bonne réponse : $1 + 2i + i^2 = 2i$, puis $(2i)^2 =
4i^2 = -4$ : les puissances se calculent par étages.]]>
$(1+i)^2 = 2$, donc $(1+i)^4 = 4$]]>
Erreur : le double produit $2i$ ne disparaît pas :
$(1+i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$ (imaginaire pur).]]>
$(1+i)^2 = 1 + i^2 = 0$]]>
Erreur classique : le carré d'une somme exige le double
produit : $1 + 2i + i^2 = 2i \neq 0$.]]>
$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = 4i$]]>
Erreur à la deuxième étape : $(2i)^2 = 4i^2 = -4$, réel
négatif ($i^2 = -1$ frappe encore).]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q10 : Le produit $z\bar{z}$
Soit $z = a + ib$ (avec $a$, $b$ réels). Que vaut
$z\,\bar{z}$ ?]]>
$z\bar{z} = a^2 + b^2$ : toujours réel positif, nul
seulement pour $z = 0$. C'est le carré du module
($|z|^2 = z\bar{z}$, exploité au chapitre géométrique).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$a^2 + b^2$ : un réel positif]]>
Bonne réponse : $(a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 +
b^2$ : l'identité remarquable qui rend les dénominateurs
réels.]]>
$a^2 - b^2$]]>
Erreur de signe : $-(ib)^2 = -i^2b^2 = +b^2$ : le
$i^2 = -1$ retourne le signe.]]>
$a^2 + b^2\,i$]]>
Erreur : les termes croisés $-iab + iab$ s'annulent :
le produit est réel.]]>
$2a$]]>
Confusion : $2a = z + \bar{z}$ (la somme). Le
produit donne $a^2 + b^2$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q11 : Caractériser les réels par la conjugaison
Soit $z$ un nombre complexe. Que signifie l'égalité
$\bar{z} = z$ ?]]>
Caractérisations utiles : $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow
\bar{z} = z$ ; $z$ imaginaire pur $\Leftrightarrow \bar{z} =
-z$. Elles transforment des questions de nature en équations.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z$ est un nombre réel]]>
Bonne réponse : $\bar{z} = z \Leftrightarrow -b = b
\Leftrightarrow b = 0$ : la partie imaginaire est nulle.
(De même : $\bar{z} = -z \Leftrightarrow z$ imaginaire
pur.)]]>
$z$ est un imaginaire pur]]>
Inversé : l'imaginaire pur vérifie $\bar{z} = -z$
(partie réelle nulle).]]>
$z = 0$]]>
Trop restrictif : tout réel ($7$, $-3$, $\pi$…) est égal
à son conjugué.]]>
$z = 1$]]>
Trop restrictif : la propriété caractérise tous les
réels, pas seulement $1$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q12 : Puissances de $i$
Que vaut $i^{2026}$ ?]]>
Cycle des puissances : $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$,
$i^4 = 1$, puis répétition. Calculer $i^n$ : réduire $n$
modulo $4$ (un avant-goût des congruences du chapitre
d'arithmétique).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-1$]]>
Bonne réponse : les puissances de $i$ tournent avec une
période $4$ ($i, -1, -i, 1$) ; $2026 = 4 \times 506 + 2$,
donc $i^{2026} = i^2 = -1$.]]>
$1$]]>
Erreur : $i^n = 1$ exige $n$ multiple de $4$ ; or
$2026 \equiv 2 \pmod 4$.]]>
$i$]]>
Erreur : $i^n = i$ correspond à $n \equiv 1 \pmod 4$ ;
le reste de $2026$ est $2$.]]>
$-i$]]>
Erreur : $-i$ correspond au reste $3$. Ici $2026 = 4
\times 506 + 2$ : $i^{2026} = -1$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q13 : Somme de deux complexes
Que vaut la somme $(3 + 2i) + (1 - 5i)$ ?]]>
Addition composante par composante, comme des vecteurs :
$(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)$. La structure la
plus simple du chapitre : la géométrie dira « translation ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4 - 3i$]]>
Bonne réponse : parties réelles ensemble ($3 + 1$),
parties imaginaires ensemble ($2 - 5$).]]>
$4 + 7i$]]>
Signe : $2i + (-5i) = -3i$ : le moins de $5i$ compte.]]>
$-1 + 7i$]]>
Mélange : les parties réelles s'ajoutent entre elles
($3 + 1 = 4$), sans croiser les imaginaires.]]>
$9i$]]>
Erreur : réels et imaginaires ne fusionnent pas : la
somme garde deux composantes : $4$ et $-3i$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q14 : Identifier parties réelles et imaginaires
$x$ et $y$ sont des réels tels que $x + 2i = 3 + yi$. Que
valent $x$ et $y$ ?]]>
Identification : $a + ib = c + id \iff a = c$ et $b = d$
($a, b, c, d$ réels). Une égalité complexe se dédouble en
deux égalités réelles : l'outil des équations à
coefficients inconnus.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 3$ et $y = 2$]]>
Bonne réponse : deux complexes sont égaux si et
seulement si leurs parties réelles ET imaginaires
coïncident : $x = 3$, $2 = y$.]]>
$x = 2$ et $y = 3$]]>
Croisement : $x$ (réel) s'identifie à $3$ (réel), et le
coefficient $2$ de $i$ à $y$.]]>
Impossible : une équation ne détermine pas deux
inconnues]]>
Erreur : une équation COMPLEXE vaut DEUX équations
réelles (une par partie) : exactement de quoi trouver
$x$ et $y$.]]>
$x = 3 + yi - 2i$, on ne peut pas mieux]]>
Erreur : $x$ est RÉEL par hypothèse : sa partie
imaginaire est nulle, ce qui force $y = 2$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q15 : Quotient de deux complexes
Quelle est la forme algébrique de $\dfrac{2 + i}{1 - i}$ ?]]>
Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui
rend celui-ci réel ($z\bar{z} = |z|^2$). Contrôle :
$\frac{1 + 3i}{2} \times (1 - i) = \frac{1 + 3i - i + 3}{2}
= 2 + i$ ✓.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1 + 3i}{2}$]]>
Bonne réponse : multiplier haut et bas par le conjugué
$1 + i$ : numérateur $(2+i)(1+i) = 1 + 3i$,
dénominateur $1 + 1 = 2$.]]>
$2 - i$]]>
Erreur : diviser terme à terme n'existe pas : la méthode
passe par le conjugué du dénominateur.]]>
$\dfrac{3 + 3i}{2}$]]>
Développement : $(2+i)(1+i) = 2 + 2i + i + i^2 = 1 +
3i$ (le $i^2 = -1$ mange une unité réelle).]]>
$\dfrac{1 + 3i}{0}$]]>
Dénominateur : $(1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 2$ (jamais nul
pour un complexe non nul : c'est $|1 - i|^2$).]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q16 : La différence $z - \bar{z}$
Pour $z = a + ib$, que vaut $z - \bar{z}$ ?]]>
Les deux extracteurs : $z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z)$ et
$z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z)$ : somme pour le réel,
différence pour l'imaginaire. Ils transforment les équations
en $z, \bar{z}$ en systèmes réels.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2ib$ : un imaginaire pur]]>
Bonne réponse : $(a + ib) - (a - ib) = 2ib$ : la partie
réelle s'annule, la partie imaginaire double.]]>
$2a$ : un réel]]>
Confusion avec la somme : $z + \bar{z} = 2a$ : la
différence, elle, isole l'imaginaire.]]>
$0$]]>
Erreur : $z - \bar{z} = 0$ seulement si $z$ est réel
($b = 0$) : en général, il reste $2ib$.]]>
$2b$]]>
Le $i$ perdu : la différence vaut $2ib$, imaginaire
pur : $2b$ serait un réel.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q17 : Résoudre $z^2 = -9$
Quelles sont les solutions complexes de $z^2 = -9$ ?]]>
$z^2 = -k$ ($k > 0$) : solutions $\pm i\sqrt{k}$ : la
brique des trinômes à discriminant négatif ($\sqrt{-\Delta}$
devient $i\sqrt{-\Delta}$... écrit proprement :
$\pm i\sqrt{|\Delta|}$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = 3i$ et $z = -3i$]]>
Bonne réponse : $(3i)^2 = 9i^2 = -9$ et $(-3i)^2 = -9$ :
les « racines carrées » de $-9$ sont imaginaires pures,
conjuguées l'une de l'autre.]]>
$z = -3$ seulement]]>
Erreur : $(-3)^2 = +9 \neq -9$ : aucun réel n'a de carré
négatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire.]]>
$z = 3i$ seulement]]>
Moitié : $(-3i)^2 = -9$ aussi : une équation de degré
$2$ garde ses deux racines dans $\mathbb{C}$.]]>
Aucune : un carré est toujours positif]]>
Réflexe réel périmé : dans $\mathbb{C}$, tout nombre a
des racines carrées : c'est la raison d'être de $i$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q18 : Calculer $(1 + i)^3$
Que vaut $(1 + i)^3$ ?]]>
Stratégie des puissances : passer par le carré ($(1+i)^2 =
2i$, à connaître) puis multiplier. Contrôle par le module :
$|1+i|^3 = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2} = |-2 + 2i|$ ✓.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-2 + 2i$]]>
Bonne réponse : $(1+i)^2 = 2i$, puis $(1+i)^3 = 2i(1 +
i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$ : par étages, jamais en force.]]>
$1 + i^3 = 1 - i$]]>
Cube distribué à tort : $(a + b)^3 \neq a^3 + b^3$ : le
binôme complet (ou le calcul par étages) est
obligatoire.]]>
$2 + 2i$]]>
Signe : $2i \times i = 2i^2 = -2$ : la partie réelle
est négative.]]>
$3 + 3i$]]>
Erreur : multiplier par $3$ n'est pas élever au cube :
$(1+i)^3$ se calcule via $(1+i)^2 = 2i$.]]>