$course$/QCM de maths/Maths expertes/Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle Image et affixe, module et interprétation géométrique, relation
$|z|^2 = z\bar{z}$, ensemble $\mathbb{U}$, arguments, forme
trigonométrique, exponentielle imaginaire $e^{i\theta}$,
formules d'Euler et de Moivre.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q01 : Affixe d'un point Dans le plan complexe, quel point est l'image du nombre
$z = -2 + 3i$ ?

]]> À $z = a + ib$ on associe le point $M(a\ ;\ b)$ : $z$ est
l'affixe de $M$ (et du vecteur $\overrightarrow{OM}$).
L'image de $\bar{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à
l'axe des abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point de coordonnées $(-2\ ;\ 3)$

]]> Bonne réponse : abscisse = partie réelle, ordonnée =
partie imaginaire. Le plan $\mathbb{R}^2$ est
l'ensemble des complexes.

]]> Le point de coordonnées $(3\ ;\ -2)$

]]> Coordonnées échangées : $\text{Re}$ en abscisse,
$\text{Im}$ en ordonnée.

]]> Le point de coordonnées $(-2\ ;\ 3i)$

]]> Erreur : les coordonnées d'un point sont réelles :
l'ordonnée est le coefficient $3$, sans $i$.

]]> Le point de coordonnées $(2\ ;\ 3)$

]]> Signe perdu : la partie réelle vaut $-2$ : le point est
à gauche de l'axe imaginaire.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q02 : Calcul d'un module Que vaut le module de $z = 3 - 4i$ ?

]]> $|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$ : distance $OM$. Géométrie
immédiate : $|z - z'|$ = distance entre les images de $z$ et
$z'$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $|z| = 5$

]]> Bonne réponse : $|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} =
\sqrt{25} = 5$ : la distance de l'origine au point
$(3\ ;\ -4)$.

]]> $|z| = -1$

]]> Erreur : $3 + (-4) = -1$ additionne les parties. Le
module est $\sqrt{a^2 + b^2}$, toujours positif.

]]> $|z| = 25$

]]> Racine oubliée : $a^2 + b^2 = 25$ est le carré du
module.

]]> $|z| = 7$

]]> Erreur : $|3| + |-4| = 7$ n'est pas le module : on ne
somme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la
majoration de l'inégalité triangulaire).

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q03 : La relation $|z|^2 = z\bar{z}$ Quelle égalité relie le module et le conjugué d'un nombre
complexe $z$ ?

]]> $|z|^2 = z\bar{z}$ : pont entre algèbre et géométrie. On en
tire $|zz'| = |z|\,|z'|$ et $|1/z| = 1/|z|$ (démonstrations
au programme).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $|z|^2 = z\,\bar{z}$

]]> Bonne réponse : $(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 = |z|^2$
(démonstration au programme). Cette relation fait tout :
inverses, modules de produits…

]]> $|z| = z\,\bar{z}$

]]> Puissance fausse : $z\bar{z} = a^2 + b^2$ est le
carré du module ($\sqrt{\ }$ manquante).

]]> $|z|^2 = z^2$

]]> Erreur : $z^2$ est en général complexe ($ (1+i)^2 = 2i$),
alors que $|z|^2$ est réel : il faut le conjugué.

]]> $|z|^2 = z + \bar{z}$

]]> Confusion : $z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z)$, qui peut
être négatif : le carré du module vient du produit.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q04 : Module d'un produit Soient $z$ et $z'$ deux complexes avec $|z| = 2$ et
$|z'| = 3$. Que vaut $|z\,z'|$ ?

]]> $|zz'| = |z||z'|$ : se démontre avec $|zz'|^2 =
zz'\overline{zz'} = z\bar{z}\,z'\bar{z'}$. Les arguments,
eux, s'ajoutent : multiplier = tourner et dilater.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : le module est multiplicatif :
$|zz'| = |z|\,|z'| = 6$, quelle que soit la direction
des deux nombres.

]]> $5$

]]> Erreur : $2 + 3$ additionne les modules : c'est au mieux
une majoration de $|z + z'|$, pas le module du
produit.

]]> Impossible à déterminer sans connaître $z$ et $z'$

]]> Erreur : justement, la force de la formule $|zz'| =
|z|\,|z'|$ est de ne dépendre que des modules.

]]> $36$

]]> Erreur : $36 = (|z||z'|)^2$ : carré parasite. Le module
du produit est $2 \times 3 = 6$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q05 : L'ensemble $\mathbb{U}$ $\mathbb{U}$ désigne l'ensemble des nombres complexes de
module $1$. Pourquoi dit-on que $\mathbb{U}$ est stable par
produit ?

]]> $\mathbb{U}$ = cercle unité, stable par produit et passage à
l'inverse : un exemple fondamental de groupe (sans le mot).
Sur $\mathbb{U}$, multiplier revient à additionner les
angles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si $|z| = |z'| = 1$, alors $|z\,z'| = 1 \times 1 = 1$ :
le produit reste dans $\mathbb{U}$

]]> Bonne réponse : la multiplicativité du module garde le
produit sur le cercle unité. Avec $|1/z| = 1$,
$\mathbb{U}$ est stable par produit et inverse.

]]> Parce que la somme de deux éléments de $\mathbb{U}$
reste dans $\mathbb{U}$

]]> Faux : $1 \in \mathbb{U}$ et $1 + 1 = 2 \notin
\mathbb{U}$. La stabilité concerne le produit, pas
la somme.

]]> Parce que $\mathbb{U}$ contient tous les nombres réels

]]> Faux : seuls $1$ et $-1$ sont des réels de module $1$.
$\mathbb{U}$ est le cercle unité, pas une droite.

]]> Parce que tout produit de complexes est de module $1$

]]> Faux : $|2 \times 3i| = 6$. La stabilité vaut pour les
éléments de $\mathbb{U}$ uniquement.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q06 : Argument d'un nombre complexe Plan complexe : point M de coordonnées (1 ; 1), vecteur OM tracé, angle pi sur quatre marqué entre l'axe réel et OM.

Le point $M$ ci-contre a pour affixe $z = 1 + i$. Que valent
$|z|$ et un argument de $z$ ?

]]> Un argument de $z \neq 0$ = mesure de l'angle
$(\vec{u}\ ;\ \overrightarrow{OM})$, défini modulo $2\pi$.
Ici $z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} +
i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$

]]> Bonne réponse : $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
(diagonale du carré unité) et l'angle avec l'axe réel
vaut $45°$, soit $\pi/4$.

]]> $|z| = 2$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$

]]> Module faux : $1^2 + 1^2 = 2$, puis racine :
$|z| = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.

]]> $|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$

]]> Argument faux : $\pi/2$ est l'axe imaginaire (affixe
$i$). Ici $M$ est sur la bissectrice : $\pi/4$.

]]> $|z| = 1$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$

]]> Module faux : $M$ n'est pas sur le cercle unité :
$OM = \sqrt{2} > 1$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q07 : Forme trigonométrique Quelle est la forme algébrique du nombre
$z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ ?

]]> Forme trigonométrique : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$. Conversion : $a =
r\cos\theta$, $b = r\sin\theta$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = 1 + i\sqrt{3}$

]]> Bonne réponse : $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, puis on
multiplie par $2$.

]]> $z = \sqrt{3} + i$

]]> Cosinus et sinus échangés : c'est l'angle $\pi/6$ qui
donne $\sqrt{3} + i$ (après multiplication par 2).

]]> $z = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Module oublié : c'est $e^{i\pi/3}$, de module $1$ : il
reste à multiplier par $r = 2$.

]]> $z = 2 + i\dfrac{2\pi}{3}$

]]> Erreur : on n'écrit pas l'angle en partie imaginaire :
on évalue cosinus et sinus.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q08 : Forme exponentielle Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 + i$ ?

]]> Notation $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ; tout
$z \neq 0$ s'écrit $r\,e^{i\theta}$. Relation fonctionnelle :
$e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ : mêmes
règles que l'exponentielle réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$

]]> Bonne réponse : module $\sqrt{2}$, argument $\pi/4$,
d'où $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ : l'écriture la plus
efficace pour multiplier et élever aux puissances.

]]> $z = e^{i\pi/4}$

]]> Module oublié : $e^{i\pi/4}$ est de module $1$, or
$|1 + i| = \sqrt{2}$.

]]> $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/2}$

]]> Argument faux : $\pi/2$ correspond à l'axe imaginaire
pur ; $1 + i$ est sur la bissectrice ($\pi/4$).

]]> $z = 2\,e^{i\pi/4}$

]]> Module faux : $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, pas $2$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q09 : Produit sous forme exponentielle Que vaut le produit $3e^{i\pi/6} \times 2e^{i\pi/3}$ ?

]]> $re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} =
rr'\,e^{i(\theta+\theta')}$ : multiplier des complexes =
multiplier les longueurs et additionner les angles. Toute la
géométrie des rotations est là.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6\,e^{i\pi/2} = 6i$

]]> Bonne réponse : modules multipliés ($3 \times 2$),
arguments ajoutés ($\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} =
\frac{\pi}{2}$), et $e^{i\pi/2} = i$.

]]> $6\,e^{i\pi^2/18}$

]]> Erreur : les arguments s'ajoutent (relation
fonctionnelle), ils ne se multiplient pas.

]]> $5\,e^{i\pi/2}$

]]> Erreur : les modules se multiplient ($3 \times 2 =
6$), ils ne s'ajoutent pas.

]]> $6\,e^{i\pi/6 \times i\pi/3}$

]]> Erreur d'écriture : $e^{a}e^{b} = e^{a+b}$ : on
additionne les exposants.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q10 : Formules d'Euler Quelle est l'expression de $\cos\theta$ donnée par les
formules d'Euler ?

]]> Euler : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$,
$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$. Usage
typique : linéariser $\cos^n\theta$ pour intégrer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$

]]> Bonne réponse : en ajoutant $e^{i\theta} = \cos\theta +
i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta -
i\sin\theta$, le sinus s'élimine.

]]> $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

]]> C'est la formule du sinus : la différence élimine le
cosinus, et le $2i$ normalise.

]]> $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$

]]> Erreur : la somme est déjà réelle ($2\cos\theta$) :
diviser par $2i$ rendrait le résultat imaginaire.

]]> $\cos\theta = e^{i\theta} + e^{-i\theta}$

]]> Facteur oublié : la somme vaut $2\cos\theta$ : il faut
diviser par $2$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q11 : Formule de Moivre Que dit la formule de Moivre ?

]]> Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) +
i\sin(n\theta)$. En développant le membre de gauche par le
binôme, on obtient $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en
fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) +
i\sin(n\theta)$

]]> Bonne réponse : c'est $\left(e^{i\theta}\right)^n =
e^{in\theta}$ en notation trigonométrique : élever à la
puissance $n$ = multiplier l'angle par $n$.

]]> $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(\theta^n) +
i\sin(\theta^n)$

]]> Erreur : l'angle est multiplié par $n$
($n\theta$), pas élevé à la puissance $n$.

]]> $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = n\cos\theta +
in\sin\theta$

]]> Erreur : la puissance n'est pas une multiplication par
$n$ : le module reste $1$, seul l'angle est multiplié.

]]> $\cos(n\theta) = n\cos\theta$

]]> Faux : déjà pour $n = 2$ : $\cos(2\theta) =
2\cos^2\theta - 1 \neq 2\cos\theta$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q12 : Puissance par la forme exponentielle En écrivant $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$, que vaut
$(1 + i)^8$ ?

]]> Méthode reine pour les puissances : forme exponentielle puis
$\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}$. Contrôle :
$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^8 = (2i)^4 = 16i^4 = 16$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $16$

]]> Bonne réponse : $(\sqrt{2})^8 e^{i\,8\pi/4} =
2^4\,e^{2i\pi} = 16 \times 1 = 16$ : huit lignes de
calcul algébrique évitées.

]]> $-16$

]]> Erreur d'angle : $8 \times \frac{\pi}{4} = 2\pi$, et
$e^{2i\pi} = 1$ (tour complet), pas $-1$.

]]> $16\,i$

]]> Erreur : $e^{2i\pi} = 1$, pas $i$ ($i$ correspond à un
quart de tour, $\pi/2$).

]]> $8\sqrt{2}$

]]> Module faux : $(\sqrt{2})^8 = 2^{8/2} = 2^4 = 16$, pas
$8\sqrt{2} = 2^{3{,}5}$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q13 : La valeur $e^{i\pi}$ Que vaut $e^{i\pi}$ ?

]]> Les quatre points cardinaux : $e^{i0} = 1$, $e^{i\pi/2} =
i$, $e^{i\pi} = -1$, $e^{3i\pi/2} = -i$ : le cercle unité
par quarts de tour. « $e^{i\pi} + 1 = 0$ » relie les cinq
constantes fondamentales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 +
0$ : le demi-tour du cercle unité : la célèbre identité
d'Euler.

]]> $1$

]]> Erreur : $1 = e^{i \cdot 0} = e^{2i\pi}$ (tour
complet) : $\pi$ n'est que le DEMI-tour : $-1$.

]]> $i$

]]> Erreur : $i = e^{i\pi/2}$ (quart de tour) : à $\pi$, on
atteint le point $(-1\ ;\ 0)$.

]]> $e^{\pi} \approx 23$

]]> Le $i$ oublié : $e^{i\pi}$ vit sur le cercle unité
(module $1$), rien à voir avec l'exponentielle réelle
$e^{\pi}$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q14 : Module d'un quotient Avec $|z| = 6$ et $|z'| = 2$, que vaut
$\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ ?

]]> $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ et
$\arg\frac{z}{z'} = \arg z - \arg z'$ : le quotient divise
les longueurs et soustrait les angles : le miroir exact du
produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient
des modules : $\frac{6}{2} = 3$.

]]> $4$

]]> Soustraction : les modules se divisent dans un
quotient (comme ils se multiplient dans un produit) :
$6 - 2$ ne correspond à rien.

]]> $12$

]]> Produit au lieu du quotient : $12 = |z z'|$ : pour la
division : $\frac{6}{2} = 3$.

]]> Impossible sans connaître les arguments

]]> Erreur : le module du quotient ne dépend QUE des
modules : les arguments règlent la direction, pas la
longueur.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q15 : Argument d'un réel négatif Quel est un argument de $z = -5$ ?

]]> Arguments des réels : positifs : $0 \pmod{2\pi}$ ;
négatifs : $\pi$. Des imaginaires purs : $\pm\frac{\pi}{2}$.
Quatre directions à placer sans réfléchir sur le cercle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi$

]]> Bonne réponse : $-5$ est sur la demi-droite des réels
négatifs : angle $\pi$ avec l'axe positif : $-5 =
5e^{i\pi}$.

]]> $0$

]]> Erreur : l'argument $0$ appartient aux réels
positifs : $-5$ pointe à l'opposé : $\pi$.

]]> $-5$

]]> Confusion : $-5$ est le nombre lui-même : son argument
est un ANGLE : $\pi$ (et son module $5$).

]]> Il n'en a pas : seuls les complexes ont un argument

]]> Erreur : les réels SONT des complexes : tout nombre non
nul a un argument ($0$ pour les positifs, $\pi$ pour les
négatifs).

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q16 : Module et argument du conjugué Comment module et argument de $\bar{z}$ se comparent-ils à
ceux de $z$ (non nul) ?

]]> $\bar{z} = re^{-i\theta}$ quand $z = re^{i\theta}$ :
symétrie d'axe réel : module intact, argument opposé.
Cohérent avec $z\bar{z} = r^2 e^{0} = |z|^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $|\bar{z}| = |z|$ et $\arg\bar{z} = -\arg z$

]]> Bonne réponse : conjuguer = réfléchir par rapport à
l'axe réel : la distance à l'origine ne bouge pas,
l'angle bascule en son opposé.

]]> $|\bar{z}| = -|z|$

]]> Impossible : un module est une distance, toujours
positive : la symétrie ne change pas les longueurs.

]]> Module et argument sont tous deux conservés

]]> Erreur : garder les deux caractériserait $z$ lui-même :
le conjugué retourne l'ANGLE ($z$ réel excepté).

]]> $\arg\bar{z} = \pi - \arg z$

]]> Mauvaise symétrie : $\pi - \theta$ est la réflexion
d'axe VERTICAL (celle de $-\bar{z}$) : conjuguer
réfléchit horizontalement : $-\theta$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q17 : Distance entre deux points par les affixes $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et $z_B = 4 +
6i$. Que vaut la distance $AB$ ?

]]> Dictionnaire : $z_B - z_A$ = affixe de
$\overrightarrow{AB}$ ; $|z_B - z_A| = AB$. Les distances
de la géométrie deviennent des modules : cercles et
médiatrices s'écrivent en une équation complexe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $AB = |z_B - z_A| = |3 + 4i| = 5$

]]> Bonne réponse : la distance est le module de la
différence des affixes : $\sqrt{9 + 16} = 5$.

]]> $AB = |z_B| - |z_A|$

]]> Erreur : la différence des modules minore la distance
(inégalité triangulaire) sans l'égaler : ici $\sqrt{52}
- \sqrt{5} \approx 4{,}97 \neq 5$… proche mais faux en
général : le bon objet est $|z_B - z_A|$.

]]> $AB = z_B - z_A = 3 + 4i$

]]> Erreur de nature : $3 + 4i$ est l'affixe du VECTEUR
$\overrightarrow{AB}$ : la distance est son module,
$5$.

]]> $AB = |z_A + z_B|$

]]> Somme au lieu de différence : $|z_A + z_B|$ mesure
$2\,OM$ où $M$ est le milieu : la distance $AB$ passe
par la soustraction.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q18 : Forme exponentielle de $-1 + i$ Quelle est la forme exponentielle de $z = -1 + i$ ?

]]> Méthode : module d'abord, puis PLACER le point (quadrant !)
avant de choisir l'argument : $\cos\theta =
\frac{-1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ :
$\theta = \frac{3\pi}{4}$. Le dessin évite l'erreur de
quadrant, la plus fréquente du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = \sqrt{2}\,e^{3i\pi/4}$

]]> Bonne réponse : module $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ ; le
point $(-1\ ;\ 1)$ vit dans le deuxième quadrant, sur la
bissectrice : argument $\pi - \frac{\pi}{4} =
\frac{3\pi}{4}$.

]]> $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$

]]> Quadrant raté : $e^{i\pi/4}$ pointe vers $(+1\ ;\ +1)$
(premier quadrant) : notre point a une partie réelle
NÉGATIVE : $\frac{3\pi}{4}$.

]]> $z = 2\,e^{3i\pi/4}$

]]> Module : $\sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, pas $2$.

]]> $z = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$

]]> Erreur : $-\frac{\pi}{4}$ descend dans le quatrième
quadrant ($1 - i$ normalisé) : notre point est en haut à
gauche.

]]>