$course$/QCM de maths/Maths expertes/Équations polynomiales et racines de l'unité Équations du second degré à coefficients réels de discriminant
négatif, factorisation de $z^n - a^n$ et de $P(z)$ par
$z - a$, majoration du nombre de racines par le degré, racines
$n$-ièmes de l'unité et ensemble $\mathbb{U}_n$, utilisation
des complexes en géométrie.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q01 : Second degré à discriminant négatif Quelles sont les solutions complexes de l'équation
$z^2 + 4 = 0$ ?

]]> Si $\Delta < 0$, l'équation $az^2 + bz + c = 0$ (coefficients
réels) admet deux racines complexes conjuguées :
$z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = 2i$ et $z = -2i$

]]> Bonne réponse : $z^2 = -4 = 4i^2$, donc $z = \pm 2i$ :
deux solutions conjuguées, comme toujours pour une
équation à coefficients réels.

]]> $z = 2$ et $z = -2$

]]> Erreur : $(\pm 2)^2 = +4 \neq -4$. Les solutions de
$z^2 = -4$ sont imaginaires pures.

]]> Aucune : l'équation n'a pas de solution

]]> Vrai dans $\mathbb{R}$, faux dans $\mathbb{C}$ : les
complexes ont été créés exactement pour ça.

]]> $z = 2i$ seulement

]]> Incomplet : $(-2i)^2 = 4i^2 = -4$ aussi : une équation
de degré $2$ dans $\mathbb{C}$ a deux racines (comptées
avec multiplicité).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q02 : Résolution complète Quelles sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ ?

]]> $\Delta = -16 < 0$ : racines $1 \pm 2i$. Vérification par
somme et produit : $s = 2 = -b/a$, $p = 1 + 4 = 5 = c/a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$

]]> Bonne réponse : $\Delta = 4 - 20 = -16$, donc
$z = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = 1 \pm 2i$.

]]> $z = 1 + 4i$ et $z = 1 - 4i$

]]> Division oubliée : $\sqrt{-\Delta} = 4$, puis on divise
tout par $2a = 2$ : $\pm 2i$, pas $\pm 4i$.

]]> $z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$

]]> Signe de $b$ : la formule commence par $-b = +2$, d'où
partie réelle $+1$. (Contrôle : somme des racines
$= -b/a = 2$.)

]]> Pas de solution car $\Delta = -16 < 0$

]]> Réflexe de première à abandonner : dans $\mathbb{C}$,
$\Delta < 0$ donne deux racines conjuguées.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q03 : Somme et produit des racines Sans résoudre, que valent la somme et le produit des racines
de $z^2 - 6z + 13 = 0$ ?

]]> $z^2 - sz + p = (z - z_1)(z - z_2)$ : $s = z_1 + z_2$, $p =
z_1 z_2$. Ici : racines $3 \pm 2i$ (somme $6$, produit
$9 + 4 = 13$). Outil de contrôle et de fabrication
d'équations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Somme $= 6$, produit $= 13$

]]> Bonne réponse : pour $z^2 + bz + c$ unitaire, somme
$= -b$ et produit $= c$ : ils se lisent sur le polynôme.

]]> Somme $= -6$, produit $= 13$

]]> Signe : somme $= -b = -(-6) = +6$ (développer
$(z - z_1)(z - z_2)$ pour s'en convaincre).

]]> Somme $= 6$, produit $= -13$

]]> Signe du produit : $(z - z_1)(z - z_2) = z^2 - sz + p$ :
le produit est le terme constant, $+13$.

]]> Impossible sans calculer les racines

]]> Erreur : c'est le point du cours : somme et produit se
lisent directement sur les coefficients.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q04 : Factoriser quand une racine est connue Soit $P(z) = z^3 - 1$. On sait que $P(1) = 0$. Quelle
factorisation est correcte ?

]]> Théorème central (démonstration au programme) : si $P(a) =
0$, alors $P(z)$ se factorise par $(z - a)$. Cas modèle :
$z^n - a^n = (z - a)\sum_{k=0}^{n-1} a^k z^{n-1-k}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$

]]> Bonne réponse : identité $z^n - a^n = (z - a)(z^{n-1} +
az^{n-2} + \dots + a^{n-1})$ avec $n = 3$, $a = 1$.
Développer pour contrôler.

]]> $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + 1)$

]]> Développement faux : $(z-1)(z^2+1) = z^3 - z^2 + z - 1$.
Le facteur exact est $z^2 + z + 1$.

]]> $z^3 - 1 = (z - 1)^3$

]]> Erreur : $(z-1)^3 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1$. Une racine
n'est pas forcément triple !

]]> $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 - z + 1)$

]]> Signe : $z^2 \textbf{+} z + 1$. (Le facteur $z^2 - z +
1$ correspond à $z^3 \textbf{+} 1 = (z+1)(z^2-z+1)$.)

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q05 : Nombre de racines et degré Combien de racines complexes distinctes peut avoir, au
maximum, un polynôme de degré $5$ ?

]]> Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.
Application clé : deux polynômes de degré $\leq n$ égaux en
$n + 1$ points sont égaux partout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : chaque racine détache un facteur
$(z - a)$ ; le degré $5$ ne peut en fournir que $5$
(démonstration au programme).

]]> Une infinité

]]> Erreur : seul le polynôme nul a une infinité de
racines. Degré $5$ = au plus $5$ racines : c'est le
théorème.

]]> $10$

]]> Erreur : la borne est le degré lui-même, pas son double.

]]> Exactement $5$, toujours

]]> Nuance : au plus $5$ racines distinctes ; il peut y
en avoir moins ($z^5 = 0$ n'a que la racine $0$,
quintuple).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q06 : Équation de degré 3 avec racine connue L'équation $z^3 - z^2 + 3z + 5 = 0$ admet la racine $z =
-1$. En factorisant, quelles sont les autres solutions ?

]]> Méthode : identifier $z^3 - z^2 + 3z + 5 = (z +
1)(az^2 + bz + c)$ (ou poser la division), puis résoudre le
trinôme. Ici : $(z+1)(z^2 - 2z + 5)$, racines $-1$,
$1 \pm 2i$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$

]]> Bonne réponse : $z^3 - z^2 + 3z + 5 = (z + 1)(z^2 - 2z
+ 5)$, et le second facteur donne $\Delta = -16$, soit
$1 \pm 2i$.

]]> $z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$

]]> Erreur dans le second facteur : la division donne
$z^2 \textbf{−} 2z + 5$ (racines de partie réelle
$+1$).

]]> $z = 5$ et $z = -1$

]]> Erreur : contrôle immédiat : $5^3 - 5^2 + 15 + 5 =
120 \neq 0$. Il faut diviser par $(z + 1)$ puis résoudre
le trinôme.

]]> Aucune autre : $-1$ est la seule solution

]]> Incomplet : le quotient $z^2 - 2z + 5$ a deux racines
complexes conjuguées ($\Delta = -16$).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q07 : Racines $n$-ièmes de l'unité Qu'appelle-t-on racines $n$-ièmes de l'unité ?

]]> $\mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ k = 0, \dots, n-1\}$ :
$n$ points en polygone régulier sur le cercle unité, dont
toujours $1$. Détermination au programme (démonstration).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les solutions complexes de l'équation $z^n = 1$

]]> Bonne réponse : elles sont exactement $n$ : $e^{2ik\pi/n}$
pour $k = 0, 1, \dots, n - 1$, régulièrement espacées
sur le cercle unité.

]]> Les solutions de $z^n = 0$

]]> Erreur : $z^n = 0$ n'a que la solution $z = 0$. L'unité,
c'est $1$ : on résout $z^n = 1$.

]]> Les nombres $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, 1$

]]> Erreur : ce sont des rationnels de $[0\ ;\ 1]$. Les
racines de l'unité vivent sur le cercle unité.

]]> Les solutions de $z^n = n$

]]> Erreur : « unité » désigne le nombre $1$ : l'équation
est $z^n = 1$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q08 : Racines cubiques de l'unité Cercle unité du plan complexe avec les trois racines cubiques de l'unité : 1, j et j au carré, sommets d'un triangle équilatéral en pointillés.

Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j = e^{2i\pi/3}$
et $j^2$ (figure ci-contre). Quelle est la forme algébrique
de $j$ ?

]]> $\mathbb{U}_3 = \{1,\ j,\ j^2\}$ avec $j = e^{2i\pi/3} =
-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Relations d'or :
$j^3 = 1$, $j^2 = \bar{j}$ et $1 + j + j^2 = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $j = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Bonne réponse : $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,
$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : le sommet en
haut à gauche du triangle équilatéral.

]]> $j = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Signe du cosinus : l'angle $\frac{2\pi}{3}$ est dans le
deuxième quadrant : partie réelle négative. ($\frac{1}{2}
+ i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$, racine sixième.)

]]> $j = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> C'est $j^2 = e^{4i\pi/3} = \bar{j}$ : l'autre racine non
réelle, sous l'axe.

]]> $j = -1$

]]> Erreur : $(-1)^3 = -1 \neq 1$ : $-1$ est racine
carrée, pas cubique, de l'unité.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q09 : Racines quatrièmes de l'unité Quelles sont les solutions de $z^4 = 1$ ?

]]> $\mathbb{U}_4 = \{1, i, -1, -i\}$ : carré inscrit dans le
cercle unité. Cas particuliers au programme : $n = 2$
($\pm 1$), $n = 3$ ($1, j, j^2$), $n = 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$, $i$, $-1$ et $-i$

]]> Bonne réponse : les quatre points cardinaux du cercle
unité ($e^{ik\pi/2}$, $k = 0, 1, 2, 3$) : le carré
inscrit.

]]> $1$ et $-1$ seulement

]]> Incomplet : ce sont les racines carrées ; $i^4 =
(i^2)^2 = 1$ et $(-i)^4 = 1$ aussi : quatre racines pour
le degré $4$.

]]> $1$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$

]]> Erreur : $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \neq
1$. Les racines sont sur le cercle unité, pas dans
l'intervalle $[0\ ;\ 1]$.

]]> $1$ et $i$ seulement

]]> Incomplet : leurs opposés conviennent aussi (puissance
paire) : $\mathbb{U}_4$ a quatre éléments.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q10 : Somme des racines $n$-ièmes Que vaut la somme $1 + j + j^2$ des trois racines cubiques
de l'unité ?

]]> Pour tout $n \geq 2$, la somme des racines $n$-ièmes de
l'unité est nulle : somme géométrique de raison $\omega \neq
1$ avec $\omega^n = 1$. Un classique des problèmes
(polygones réguliers, transformation de Fourier discrète).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : $1 + j + j^2 = \dfrac{j^3 - 1}{j - 1} =
\dfrac{0}{j - 1} = 0$ (somme géométrique). Géométrie :
le centre de gravité du triangle équilatéral est
l'origine.

]]> $1$

]]> Erreur : les deux racines non réelles $j$ et $j^2 =
\bar{j}$ somment à $2\,\text{Re}(j) = -1$, qui annule le
$1$.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ serait la somme si les trois racines
valaient $1$. Elles pointent dans trois directions qui
se compensent exactement.

]]> $j^3$

]]> Erreur : $j^3 = 1$ (c'est la définition d'une racine
cubique), et la somme ne vaut pas $1$ mais $0$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q11 : Le quotient $\dfrac{c-a}{b-a}$ Soient $A$, $B$, $C$ trois points d'affixes $a$, $b$, $c$
distinctes. Que traduit l'appartenance du quotient
$\dfrac{c - a}{b - a}$ à $\mathbb{R}$ ?

]]> Dictionnaire géométrique : $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right| =
\dfrac{AC}{AB}$ et $\arg\dfrac{c-a}{b-a} =
(\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC})$. Réel =
alignés ; imaginaire pur = angle droit en $A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés

]]> Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle
$(\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC})$ ;
quotient réel = angle nul ou plat = alignement.

]]> Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$

]]> C'est le cas imaginaire pur : angle $\pm\pi/2$ en
$A$, donc orthogonalité de $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$.

]]> $ABC$ est équilatéral

]]> Erreur : équilatéral correspond à un quotient de module
$1$ et d'argument $\pm\pi/3$ ($e^{\pm i\pi/3}$), pas à
un réel.

]]> $B$ et $C$ sont confondus

]]> Erreur : $b = c$ donnerait un quotient... égal à $1$,
certes réel, mais le cas général « quotient réel »
couvre tout l'alignement.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q12 : Racines de l'unité et polygones Les images des racines $5$-ièmes de l'unité forment quelle
figure du plan complexe ?

]]> $\mathbb{U}_n$ = sommets du polygone régulier à $n$ côtés
inscrit dans le cercle unité, un sommet en $1$. C'est le
pont entre équations polynomiales et géométrie (construction
du pentagone, $\cos\frac{2\pi}{5}$…).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, avec
un sommet en $1$

]]> Bonne réponse : les $e^{2ik\pi/5}$ partagent le cercle en
$5$ arcs égaux à partir de $1$ : polygone régulier
garanti par la régularité des angles.

]]> Un segment de l'axe réel

]]> Erreur : une seule racine $5$-ième est réelle ($1$, car
$5$ impair). Les autres se répartissent sur le cercle.

]]> Un pentagone régulier centré en $1$

]]> Erreur de centre : le polygone est inscrit dans le
cercle de centre $O$ (module $1$) ; $1$ en est un
sommet.

]]> Cinq points au hasard sur le cercle unité

]]> Erreur : les arguments $\frac{2k\pi}{5}$ sont en
progression arithmétique : espacement parfaitement
régulier, rien d'aléatoire.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q13 : Racines par paires conjuguées Un polynôme à coefficients réels admet $2 + 3i$ comme
racine. Que peut-on affirmer ?

]]> Coefficients réels : $P(z) = 0 \Rightarrow P(\bar{z}) = 0$ :
l'axe réel est un miroir pour les racines. Conséquence : un
polynôme réel de degré impair a toujours au moins une racine
réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 - 3i$ est aussi racine : les racines non réelles vont
par paires conjuguées

]]> Bonne réponse : conjuguer l'égalité $P(z) = 0$ donne
$P(\bar{z}) = 0$ (les coefficients réels sont leurs
propres conjugués) : les racines complexes arrivent en
couple.

]]> $-2 - 3i$ est aussi racine

]]> Confusion : $-2 - 3i$ est l'opposé : la symétrie des
coefficients réels est la conjugaison (signe de la
partie imaginaire seule).

]]> Rien : chaque racine est indépendante

]]> Erreur : les coefficients réels imposent la symétrie par
conjugaison : c'est un théorème, pas un hasard.

]]> Le polynôme n'a que des racines complexes

]]> Erreur : des racines réelles peuvent coexister (elles
sont leurs propres conjuguées) : la paire ne concerne
que les racines NON réelles.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q14 : Résoudre $z^2 + z + 1 = 0$ Quelles sont les solutions de $z^2 + z + 1 = 0$ ?

]]> $z^2 + z + 1 = 0$ : les racines sont $j = e^{2i\pi/3}$ et
$j^2 = \bar{j}$ : le facteur non trivial de $z^3 - 1$. Somme
$-1$, produit $1$ : contrôle immédiat par les relations
coefficients-racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ : les nombres $j$ et
$j^2$

]]> Bonne réponse : $\Delta = 1 - 4 = -3$ : racines
$\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ : exactement les racines
cubiques non réelles de l'unité (cohérent : $z^3 - 1 =
(z - 1)(z^2 + z + 1)$).

]]> $z = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

]]> Le $i$ oublié : $\Delta = -3 < 0$ : les racines sont
complexes : $\sqrt{-\Delta} = \sqrt{3}$ s'accompagne du
facteur $i$.

]]> $z = 1$ et $z = -1$

]]> Contrôle : $1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ : ni $1$ ni $-1$
n'annulent le trinôme.

]]> Aucune : $\Delta < 0$

]]> Réflexe de première : dans $\mathbb{C}$, $\Delta < 0$
fournit deux racines conjuguées : c'est tout l'objet du
chapitre.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q15 : Factoriser $z^2 + 9$ Comment $z^2 + 9$ se factorise-t-il dans $\mathbb{C}$ ?

]]> Dans $\mathbb{C}$, $a^2 + b^2 = (a - ib)(a + ib)$ : les
sommes de carrés se factorisent. C'est le miracle du corps
des complexes : plus aucun polynôme n'est irréductible
au-delà du degré $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(z - 3i)(z + 3i)$

]]> Bonne réponse : $z^2 + 9 = z^2 - (3i)^2$ : une
différence de carrés déguisée : les racines $\pm 3i$
fournissent les facteurs.

]]> $(z + 3)(z - 3)$

]]> Signe : $(z+3)(z-3) = z^2 - 9$ : pour $z^2 + 9$, les
racines sont imaginaires : $\pm 3i$.

]]> $(z + 3)^2$

]]> Développement : $(z+3)^2 = z^2 + 6z + 9$ : le double
produit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en
$z$.

]]> Il est irréductible : somme de carrés

]]> Vrai dans $\mathbb{R}$, faux dans $\mathbb{C}$ : tout
polynôme s'y factorise en degrés $1$ : $z^2 + 9 = (z -
3i)(z + 3i)$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q16 : Combien de racines $n$-ièmes ? Combien l'équation $z^n = 1$ a-t-elle de solutions
complexes ?

]]> $\mathbb{U}_n$ compte exactement $n$ éléments : le degré
majore, l'exhibition des $e^{2ik\pi/n}$ atteint la borne.
C'est LE cas d'école où « au plus $n$ » devient
« exactement $n$ ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement $n$

]]> Bonne réponse : les $e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, \dots,
n - 1$, toutes distinctes : le maximum autorisé par le
degré, atteint.

]]> Une seule : $z = 1$

]]> Vision réelle : dans $\mathbb{C}$, le cercle fournit $n$
solutions régulièrement espacées ($1$ n'est que celle de
$k = 0$).

]]> Deux : $z = 1$ et $z = -1$

]]> Cas particulier : $\pm 1$ sont les solutions pour $n =
2$ (et $-1$ seulement si $n$ est pair) : en général, il
y en a $n$.

]]> Une infinité

]]> Erreur : un polynôme de degré $n$ a au plus $n$
racines : les angles $\frac{2k\pi}{n}$ se répètent
modulo $2\pi$ : exactement $n$ points distincts.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q17 : Quotient imaginaire pur $A$, $B$, $C$ sont trois points d'affixes $a$, $b$, $c$
distinctes. Que signifie « $\dfrac{c - a}{b - a}$ est
imaginaire pur (non nul) » ?

]]> Le quotient $\frac{c-a}{b-a}$ : son argument = l'angle en
$A$, son module = le rapport $\frac{AC}{AB}$. Réel :
alignement ; imaginaire pur : angle droit ; $e^{i\pi/3}$ :
triangle équilatéral. Un dictionnaire géométrique complet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'angle en $A$ entre $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ est droit

]]> Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle
$(\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC})$ :
imaginaire pur = argument $\pm\frac{\pi}{2}$ = angle
droit en $A$.

]]> Les points sont alignés

]]> Inversé : l'alignement correspond au quotient réel
(argument $0$ ou $\pi$) : l'imaginaire pur est la
perpendiculaire.

]]> Le triangle est équilatéral

]]> Erreur : équilatéral demande un quotient $e^{\pm
i\pi/3}$ (module $1$, angle $60°$) : ni réel ni
imaginaire pur.

]]> $AB = AC$

]]> Confusion module/argument : l'égalité des longueurs se
lit sur le MODULE du quotient ($= 1$) : l'imaginaire pur
parle de l'angle.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q18 : Résoudre $z^3 = 8$ Quelles sont les solutions complexes de $z^3 = 8$ ?

]]> $z^n = a$ ($a > 0$) : solutions $\sqrt[n]{a}\;e^{2ik\pi/n}$ :
la racine réelle multipliée par les racines $n$-ièmes de
l'unité : polygone régulier de rayon $\sqrt[n]{a}$. Ramener
à $\mathbb{U}_n$ par division : le réflexe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$, $2j$ et $2j^2$ (où $j = e^{2i\pi/3}$)

]]> Bonne réponse : $z^3 = 8 \iff \left(\frac{z}{2}\right)^3
= 1$ : les solutions sont $2$ fois les racines cubiques
de l'unité : un triangle équilatéral de rayon $2$.

]]> $2$ seulement

]]> Vision réelle : $2$ est la seule solution RÉELLE : dans
$\mathbb{C}$, le degré $3$ livre trois racines ($2j$ et
$2j^2$ complètent).

]]> $2$, $-2$ et $2i$

]]> Contrôle : $(-2)^3 = -8 \neq 8$ et $(2i)^3 = -8i$ : les
bonnes racines s'obtiennent en tournant de $120°$ :
$2e^{2i\pi/3}$, $2e^{4i\pi/3}$.

]]> $8$, $8j$ et $8j^2$

]]> Module : la racine cubique de $8$ est $2$ ($2^3 = 8$) :
le module des solutions est $2$, pas $8$.

]]>