$course$/QCM de maths/Maths expertes/Graphes, matrices et chaînes de Markov Vocabulaire des graphes (sommets, arêtes, degré, chaîne,
connexité), matrices et opérations, inverse et puissances,
matrice d'adjacence et comptage de chemins, suites
$U_{n+1} = AU_n + C$, chaînes de Markov à deux ou trois états,
matrice de transition et distributions invariantes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q01 : Degré d'un sommet Dans un graphe non orienté, qu'appelle-t-on degré d'un
sommet ?

]]> Vocabulaire de base : ordre = nombre de sommets ; degré d'un
sommet = nombre d'arêtes incidentes. Lemme des poignées de
main : la somme des degrés vaut $2 \times$ (nombre d'arêtes),
donc elle est toujours paire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité

]]> Bonne réponse : le degré compte les arêtes incidentes au
sommet : son « nombre de connexions ».

]]> Le nombre total de sommets du graphe

]]> Confusion : c'est l'ordre du graphe. Le degré est
une caractéristique locale de chaque sommet.

]]> Le nombre total d'arêtes du graphe

]]> Erreur : le degré ne compte que les arêtes touchant ce
sommet, pas toutes.

]]> La longueur de la plus longue chaîne partant du sommet

]]> Erreur : les chaînes mesurent des parcours ; le degré
mesure les connexions immédiates.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q02 : Graphe complet Combien d'arêtes possède le graphe complet à $5$ sommets
(chaque paire de sommets est reliée) ?

]]> Graphe complet à $n$ sommets : chaque sommet est de degré
$n - 1$, et il y a $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ arêtes.
Contrôle par les poignées de main : $\frac{5 \times 4}{2} =
10$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : une arête par paire de sommets :
$\binom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2} = 10$.

]]> $20$

]]> Double comptage : $5 \times 4$ compte chaque arête dans
les deux sens ; on divise par $2$.

]]> $5$

]]> Erreur : $5$ arêtes font un simple cycle (pentagone). Le
graphe complet relie toutes les paires : $10$.

]]> $25$

]]> Erreur : $5^2$ compterait aussi des boucles et les deux
sens. Paires distinctes : $\binom{5}{2} = 10$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q03 : Graphe connexe Que signifie « le graphe est connexe » ?

]]> Chaîne = suite d'arêtes consécutives ; sa longueur = nombre
d'arêtes. Connexe = toute paire de sommets est reliée par
une chaîne : le réseau est d'un seul bloc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux sommets quelconques sont toujours reliés par au
moins une chaîne

]]> Bonne réponse : d'un seul tenant : on peut voyager de
n'importe quel sommet vers n'importe quel autre en
suivant les arêtes.

]]> Chaque paire de sommets est reliée par une arête directe

]]> Trop fort : c'est le graphe complet. La connexité
autorise les détours (chaînes de plusieurs arêtes).

]]> Le graphe ne contient aucun cycle

]]> Autre notion : c'est un graphe acyclique (une forêt).
Un cycle peut très bien être connexe.

]]> Tous les sommets ont le même degré

]]> Autre notion (graphe régulier) : deux triangles disjoints
ont tous leurs degrés égaux à $2$ sans être connexes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q04 : Dimensions d'une matrice Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 4
\end{pmatrix}$. Quelles sont les dimensions de $A$ ?

]]> Matrice $n \times p$ : tableau de $n$ lignes et $p$
colonnes. Cas particuliers : matrice carrée ($n = p$),
matrice ligne ($1 \times p$), matrice colonne ($n \times
1$). Le produit $AB$ exige : colonnes de $A$ = lignes de
$B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 \times 3$ : deux lignes, trois colonnes

]]> Bonne réponse : convention lignes $\times$ colonnes,
toujours dans cet ordre.

]]> $3 \times 2$

]]> Ordre inversé : on annonce d'abord les lignes ($2$),
puis les colonnes ($3$).

]]> $6$

]]> Incomplet : $6$ est le nombre de coefficients, mais la
forme ($2 \times 3$ ou $3 \times 2$ ou $6 \times 1$…)
est une information essentielle.

]]> $2 \times 2$

]]> Erreur : la matrice n'est pas carrée : elle a $3$
colonnes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q05 : Produit de matrices Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
$B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Que vaut
le produit $AB$ ?

]]> Produit ligne $\times$ colonne. Attention : en général
$AB \neq BA$ (ici $BA = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 3
\end{pmatrix}$) : la multiplication des matrices n'est pas
commutative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $AB = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : ligne par colonne : $(1 \times 3 + 2
\times 1) = 5$, $(1 \times 0 + 2 \times 1) = 2$, $(0
\times 3 + 1 \times 1) = 1$, $(0 \times 0 + 1 \times 1)
= 1$.

]]> $AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Produit coefficient par coefficient : ce n'est pas la
règle : chaque case croise une ligne de $A$ avec une
colonne de $B$.

]]> $AB = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

]]> Addition parasite : c'est $A + B$. Le produit multiplie
ligne par colonne puis somme.

]]> $AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Première case fausse : $(1\ \ 2) \cdot
\binom{3}{1} = 3 + 2 = 5$, pas $3$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q06 : Inverse d'une matrice $2 \times 2$ Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$.
Quelle est la matrice inverse $A^{-1}$ ?

]]> Pour $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ avec
$ad - bc \neq 0$ : inverse $= \dfrac{1}{ad - bc}
\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
L'inverse sert à résoudre $AX = B$ : $X = A^{-1}B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : déterminant $= 2 \times 3 - 1 \times 5 =
1$, puis échange de la diagonale et signes opposés sur
l'autre : $\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2
\end{pmatrix}$. Contrôle : $AA^{-1} = I_2$.

]]> $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{5}
& \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

]]> Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche
pas : l'inverse doit vérifier $AA^{-1} = I_2$, pas
inverser chaque case.

]]> $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

]]> Signes oubliés : les coefficients hors diagonale
prennent un signe moins : $-1$ et $-5$.

]]> $A$ n'est pas inversible

]]> Erreur : le déterminant $2 \times 3 - 1 \times 5 = 1
\neq 0$ : inversible.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q07 : Matrice d'adjacence Qu'est-ce que la matrice d'adjacence d'un graphe à $n$
sommets ?

]]> Matrice d'adjacence $A$ : $a_{ij}$ = nombre d'arêtes de $i$
vers $j$. Théorème clé (démonstration au programme) : le
coefficient $(i\ ;\ j)$ de $A^k$ compte les chemins de
longueur $k$ de $i$ à $j$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La matrice carrée $n \times n$ dont le coefficient
$(i\ ;\ j)$ compte les arêtes reliant le sommet $i$ au
sommet $j$

]]> Bonne réponse : la carte d'identité numérique du
graphe : $1$ (ou le nombre d'arêtes) si liaison, $0$
sinon. Symétrique pour un graphe non orienté.

]]> La matrice colonne des degrés des sommets

]]> Erreur : les degrés se déduisent de la matrice
d'adjacence (somme de chaque ligne), mais elle contient
bien plus : qui est relié à qui.

]]> Une matrice $2 \times n$ listant les arêtes

]]> Erreur : la matrice d'adjacence est carrée $n \times
n$, indexée par les sommets en ligne et en colonne.

]]> La matrice identité $I_n$

]]> Erreur : $I_n$ décrirait un graphe où chaque sommet n'a
qu'une boucle sur lui-même : aucun intérêt.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q08 : Compter les chemins avec $A^k$ Soit $A$ la matrice d'adjacence d'un graphe. Que représente
le coefficient $(1\ ;\ 3)$ de la matrice $A^4$ ?

]]> Théorème : $\left(A^k\right)_{ij}$ = nombre de chemins de
longueur $k$ de $i$ à $j$. Preuve par récurrence : un chemin
de longueur $k$ = un chemin de longueur $k-1$ suivi d'une
arête, ce que le produit matriciel somme exactement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre de chemins de longueur $4$ allant du sommet
$1$ au sommet $3$

]]> Bonne réponse : chaque produit intermédiaire cumule une
étape ; $A^4$ compte les parcours en exactement $4$
arêtes (revisites autorisées).

]]> La distance entre les sommets $1$ et $3$

]]> Erreur : la distance est la longueur du plus court
chemin ; $A^4$ compte les chemins de longueur
exactement $4$.

]]> Le nombre d'arêtes entre les sommets $1$ et $3$

]]> C'est $A^1 = A$ qui donne les liaisons directes ; la
puissance $4$ compte les parcours en $4$ étapes.

]]> $4$ fois le coefficient $(1\ ;\ 3)$ de $A$

]]> Confusion entre $A^4$ (produit matriciel itéré) et $4A$
(multiplication par un scalaire).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q09 : Suite $U_{n+1} = AU_n$ Une suite de matrices colonnes vérifie $U_{n+1} = A\,U_n$
pour tout $n$. Comment s'exprime $U_n$ en fonction de
$U_0$ ?

]]> $U_{n+1} = AU_n \Rightarrow U_n = A^n U_0$ : tout le
comportement asymptotique se lit sur les puissances de $A$.
Avec un terme constant ($U_{n+1} = AU_n + C$), on cherche
une colonne fixe $X = AX + C$ pour s'y ramener.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $U_n = A^n\,U_0$

]]> Bonne réponse : chaque étape multiplie par $A$ à
gauche ; après $n$ étapes : $A^n U_0$ : exactement comme
une suite géométrique, en version matricielle.

]]> $U_n = n\,A\,U_0$

]]> Confusion arithmétique/géométrique : on multiplie
par $A$ à chaque étape, on n'ajoute pas : c'est une
puissance, pas un multiple.

]]> $U_n = A\,U_0^n$

]]> Erreur : la puissance porte sur $A$ (appliquée $n$
fois) ; $U_0^n$ n'a même pas de sens pour une colonne.

]]> $U_n = A^{n-1}\,U_1$ donc rien de plus simple

]]> Exact mais inutilement décalé : en remontant jusqu'à
$U_0$ : $U_n = A^n U_0$ : la forme close attendue.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q10 : Matrice de transition Graphe orienté pondéré à deux états A et B : flèche de A vers B de poids 0,2, flèche de B vers A de poids 0,3, boucle sur A de poids 0,8, boucle sur B de poids 0,7.

Le graphe ci-contre décrit une chaîne de Markov à deux états
$A$ et $B$. Quelle est sa matrice de transition $P$ (états
dans l'ordre $A$, $B$, lignes = état de départ) ?

]]> Matrice de transition : $p_{ij}$ = probabilité de passer de
l'état $i$ à l'état $j$ en une étape ; chaque ligne somme à
$1$. Le graphe pondéré et la matrice sont deux écritures du
même objet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7
\end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : ligne $A$ : rester en $A$ ($0{,}8$),
aller en $B$ ($0{,}2$) ; ligne $B$ : $0{,}3$ puis
$0{,}7$. Chaque ligne somme à $1$.

]]> $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7
\end{pmatrix}$

]]> Transposée : ici les lignes ne somment plus à $1$
($0{,}8 + 0{,}3 = 1{,}1$) : le signe sûr d'un échange
lignes/colonnes.

]]> $P = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8 \\ 0{,}7 & 0{,}3
\end{pmatrix}$

]]> Diagonale échangée : le coefficient $(1\ ;\ 1)$ est la
probabilité de rester en $A$, soit $0{,}8$ (la
boucle).

]]> $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}7 & 0{,}3
\end{pmatrix}$

]]> Ligne $B$ inversée : depuis $B$, la probabilité d'aller
en $A$ (première colonne) est $0{,}3$, celle de rester
est $0{,}7$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q11 : Distribution après $n$ transitions Une chaîne de Markov a pour matrice de transition $P$ et
pour distribution initiale la matrice ligne $\pi_0$. Que
représente la matrice ligne $\pi_0 P^n$ ?

]]> $\pi_{n+1} = \pi_n P$, d'où $\pi_n = \pi_0 P^n$
(démonstration au programme). Interprétation coefficient par
coefficient : $(P^n)_{ij}$ = probabilité de passer de $i$ à
$j$ en $n$ transitions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La distribution de probabilité de l'état du système
après $n$ transitions

]]> Bonne réponse : chaque multiplication par $P$ fait
avancer d'une étape ; $\pi_n = \pi_0 P^n$ donne les
probabilités d'occupation de chaque état à l'instant
$n$.

]]> La probabilité de rester dans l'état initial

]]> Réducteur : $\pi_0 P^n$ est une ligne complète : une
probabilité par état, pas un seul nombre.

]]> La matrice des chemins de longueur $n$ du graphe

]]> Confusion avec la matrice d'adjacence : ici les
coefficients sont des probabilités, et $\pi_0 P^n$ est
une ligne, pas une matrice carrée.

]]> Toujours la distribution uniforme

]]> Erreur : la limite éventuelle dépend de $P$ (c'est la
distribution invariante, rarement uniforme).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q12 : Distribution invariante Pour la chaîne de matrice $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2
\\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$, quelle est la distribution
invariante $\pi = (x\ ;\ y)$ (vérifiant $\pi P = \pi$ et
$x + y = 1$) ?

]]> Distribution invariante : $\pi P = \pi$ avec somme $1$ : si
la chaîne démarre sur $\pi$, elle y reste ; et ici les
distributions $\pi_n$ convergent vers $\pi$ quel que soit le
départ. L'état $A$ est occupé $60\ \%$ du temps en régime
établi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi = (0{,}6\ ;\ 0{,}4)$

]]> Bonne réponse : $\pi P = \pi$ donne $0{,}8x + 0{,}3y =
x$, soit $0{,}3y = 0{,}2x$ ; avec $x + y = 1$ :
$x = 0{,}6$, $y = 0{,}4$. Contrôle : $0{,}8 \times
0{,}6 + 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}6$.

]]> $\pi = (0{,}5\ ;\ 0{,}5)$

]]> Uniforme par réflexe : contrôle : $0{,}8 \times 0{,}5 +
0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}55 \neq 0{,}5$ : pas
invariante.

]]> $\pi = (0{,}8\ ;\ 0{,}2)$

]]> Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :
on résout $\pi P = \pi$ avec $x + y = 1$.

]]> Il n'en existe pas

]]> Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le
système $\pi P = \pi$, $x + y = 1$ a une solution :
$(0{,}6\ ;\ 0{,}4)$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q13 : Le lemme des poignées de main Dans un graphe non orienté, que vaut la somme des degrés de
tous les sommets ?

]]> Lemme des poignées de main : $\sum \deg(s) = 2 \times
|\text{arêtes}|$ : donc la somme des degrés est toujours
PAIRE, et le nombre de sommets de degré impair aussi. Deux
conséquences qui tuent bien des constructions impossibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le double du nombre d'arêtes

]]> Bonne réponse : chaque arête possède deux extrémités :
elle contribue $2$ à la somme des degrés : somme $= 2
\times$ arêtes.

]]> Le nombre d'arêtes

]]> Moitié : chaque arête est comptée par ses DEUX bouts :
la somme des degrés double le compte des arêtes.

]]> Le nombre de sommets

]]> Erreur : la somme dépend des connexions, pas du seul
effectif : un triangle (3 sommets) a une somme de degrés
de $6$.

]]> Cela dépend du graphe, sans formule générale

]]> Erreur : la formule $\sum \deg = 2 \times$ arêtes vaut
pour TOUT graphe : c'est un des rares invariants
universels.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q14 : La matrice identité Que vaut le produit $A\,I_2$, où $I_2 = \begin{pmatrix} 1 &
0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $A$ est une matrice $2 \times
2$ ?

]]> $I_n$ : des $1$ sur la diagonale, des $0$ ailleurs : le
neutre du produit matriciel. Elle définit l'inverse
($AA^{-1} = I$) et sert de point de départ aux puissances
($A^0 = I$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A$ : l'identité est neutre pour le produit

]]> Bonne réponse : $AI = IA = A$ : l'identité joue pour les
matrices le rôle du nombre $1$ : c'est la référence des
inverses ($AA^{-1} = I$).

]]> $I_2$

]]> Erreur : multiplier par l'identité ne « remplace » pas
par elle : chaque ligne de $A$ ressort intacte.

]]> La matrice nulle

]]> Confusion : c'est la matrice NULLE qui absorbe tout :
l'identité, elle, laisse tout passer.

]]> $2A$

]]> Erreur : les $1$ de la diagonale recopient chaque
coefficient UNE fois : aucun doublement.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q15 : $AB$ contre $BA$ Pour deux matrices carrées $A$ et $B$, a-t-on toujours
$AB = BA$ ?

]]> Le produit matriciel n'est PAS commutatif : réflexe
permanent : ne jamais échanger l'ordre des facteurs
(développements, factorisations, équations : tout doit
respecter le côté de multiplication).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : par exemple $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : les deux produits donnent
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et
$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ :
l'ordre des facteurs CHANGE le résultat.

]]> Oui : la multiplication est toujours commutative

]]> Réflexe des nombres à abandonner : composer des
transformations dépend de l'ordre (tourner puis étirer
n'est pas étirer puis tourner).

]]> Oui, dès que les deux matrices sont carrées de même
taille

]]> Erreur : même carrées, l'ordre compte : le contre-exemple
ci-contre utilise deux matrices $2 \times 2$.

]]> Non, sauf si les matrices sont différentes

]]> Confus : certains COUPLES commutent (une matrice et ses
puissances, l'identité avec tout) : mais la règle
générale est la non-commutativité.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q16 : Dimensions compatibles $A$ est de taille $2 \times 3$ et $B$ de taille $3 \times
1$. Que dire du produit $AB$ ?

]]> Règle des dominos : $(m \times n)(n \times p) = m \times p$ :
les dimensions intérieures doivent coïncider et
disparaissent. À vérifier AVANT tout calcul : la moitié des
erreurs de produit sont des produits impossibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe et mesure $2 \times 1$ (une colonne de hauteur
$2$)

]]> Bonne réponse : les dimensions intérieures coïncident
($3 = 3$) : le produit existe, aux dimensions
extérieures $2 \times 1$.

]]> Il n'existe pas : les tailles sont différentes

]]> Erreur : le produit n'exige pas des tailles égales, mais
des dimensions INTÉRIEURES égales (colonnes de $A$ =
lignes de $B$) : c'est le cas.

]]> Il existe et mesure $3 \times 3$

]]> Erreur : $3 \times 3$ sortirait de $BA$… qui n'existe
d'ailleurs pas ($1 \neq 2$) : $AB$ prend les dimensions
extérieures : $2 \times 1$.

]]> Il existe et mesure $2 \times 3$

]]> Erreur : la dimension commune $3$ est CONSOMMÉE par le
produit : restent $2$ (lignes de $A$) et $1$ (colonnes
de $B$).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q17 : Calculer $A^2$ Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Que vaut $A^2$ ?

]]> Puissance = produits successifs (jamais coefficient par
coefficient). La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$ vérifie $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 &
1 \end{pmatrix}$ : premier exemple de conjecture + récurrence
matricielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : produit ligne par colonne : seul le
coefficient supérieur droit bouge : $1 \times 1 + 1
\times 1 = 2$. (Et $A^n$ y affichera $n$ : récurrence
élégante.)

]]> $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Erreur : $A$ n'est pas idempotente : le coefficient
droit cumule : $1 + 1 = 2$.

]]> $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ coefficient
par coefficient

]]> Erreur de méthode : élever chaque coefficient au carré
n'est PAS le produit matriciel (qui croise lignes et
colonnes).

]]> $A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

]]> Confusion : $2A$ double les coefficients : $A^2 = A
\times A$ suit la règle ligne-colonne : seul le $2$
supérieur droit apparaît.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q18 : Une matrice de transition valide ? La matrice $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}6 \\ 0{,}3 & 0{,}7
\end{pmatrix}$ peut-elle être la matrice de transition
d'une chaîne de Markov ?

]]> Matrice de transition (stochastique) : coefficients dans
$[0\ ;\ 1]$ ET chaque ligne somme à $1$ (toutes les
destinations depuis un état). Vérification systématique
avant tout calcul de $\pi_0 P^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : la première ligne somme à $1{,}1 \neq 1$

]]> Bonne réponse : chaque LIGNE d'une matrice de transition
liste les probabilités de départ d'un état : elle doit
sommer à $1$ ($0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1$ : impossible).

]]> Oui : tous les coefficients sont entre $0$ et $1$

]]> Nécessaire mais pas suffisant : il faut AUSSI que chaque
ligne somme à $1$ : la première déborde.

]]> Non : les colonnes ne somment pas à $1$

]]> Mauvais axe : la convention du programme somme les
lignes (ligne = état de départ) : et c'est bien une
ligne qui cloche ici.

]]> Oui : il suffit de la diviser par $1{,}1$

]]> Erreur : renormaliser une seule ligne casserait l'autre
($0{,}3 + 0{,}7 = 1$ déjà) : la matrice donnée est
simplement invalide.

]]>