$course$/QCM de maths/Première spécialité/Dérivation Taux de variation et sécantes, nombre dérivé comme limite du taux
de variation, tangente et son équation, approximation linéaire
$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$, fonctions dérivées des fonctions
de référence (carré, cube, inverse, racine), opérations (somme,
produit, inverse, quotient), dérivabilité de la valeur absolue
en 0.

]]> Dérivation — Q01 : Taux de variation Soit $f$ une fonction et $a$, $h$ des réels ($h \neq 0$).
Comment s'écrit le taux de variation de $f$ entre $a$ et
$a + h$ ?

]]> Taux de variation $= \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : pente de la
sécante, vitesse moyenne en cinématique. Le nombre dérivé en
sera la limite quand $h$ tend vers $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

]]> Bonne réponse : variation des images divisée par la
variation de la variable : c'est la pente de la sécante
entre les points d'abscisses $a$ et $a + h$.

]]> $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{a + h}$

]]> Erreur de dénominateur : on divise par l'écart entre
les deux abscisses, qui vaut $(a+h) - a = h$.

]]> $f(a+h) - f(a)$

]]> Incomplet : ceci est la variation de $f$. Le taux la
rapporte à la longueur du pas $h$, comme une vitesse
moyenne.

]]> $\dfrac{f(h) - f(a)}{h - a}$

]]> Erreur : les deux points sont $a$ et $a + h$, pas $a$ et
$h$. (La forme $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est correcte avec
$b = a + h$.)

]]> Dérivation — Q02 : Le nombre dérivé Que représente géométriquement le nombre dérivé $f'(a)$ ?

]]> $f'(a) = $ limite du taux de variation
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h \to 0$ : géométriquement, la
pente de la tangente ; en cinématique, la vitesse instantanée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La pente de la tangente à la courbe de $f$ au point
d'abscisse $a$

]]> Bonne réponse : quand $h$ tend vers $0$, les sécantes
pivotent vers une position limite, la tangente ; leurs
pentes tendent vers $f'(a)$.

]]> La pente de la sécante entre $a$ et $a + 1$

]]> Erreur : cette pente est le taux de variation pour
$h = 1$. Le nombre dérivé est la limite des pentes des
sécantes quand $h \to 0$.

]]> L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$

]]> Erreur : l'ordonnée est $f(a)$. Le nombre dérivé $f'(a)$
mesure l'inclinaison de la courbe en ce point, pas sa
hauteur.

]]> L'aire sous la courbe jusqu'à $a$

]]> Erreur : l'aire relève du calcul intégral (programme de
terminale). La dérivation parle de pente.

]]> Dérivation — Q03 : Lire un nombre dérivé sur un graphique Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = x² en bleu et sa tangente T en rouge au point A(1 ; 1). La tangente passe par les points (0 ; -1) et (2 ; 3) : elle monte de 2 unités par pas de 1.

Sur la figure ci-dessous, la droite $T$ est la tangente à la
courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(1\,;\,1)$. Que vaut
$f'(1)$ ?

]]> Lecture graphique du nombre dérivé (capacité attendue) :
$f'(a)$ = pente de la tangente, mesurée entre deux points
lisibles de la tangente. Ici : $2$ (cohérent avec
$f(x) = x^2$ : $f'(1) = 2$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(1) = 2$

]]> Bonne réponse : la tangente passe par $(0\,;\,-1)$ et
$(2\,;\,3)$ : pente $\dfrac{3 - (-1)}{2 - 0} = 2$. Le
nombre dérivé est cette pente.

]]> $f'(1) = 1$

]]> Erreur : $1$ est l'ordonnée du point $A$ (la valeur
$f(1)$), pas la pente de la tangente. Compte les carreaux :
$T$ monte de $2$ par pas de $1$.

]]> $f'(1) = -1$

]]> Erreur : $-1$ est l'ordonnée à l'origine de $T$ (son
intersection avec l'axe vertical), pas sa pente.

]]> $f'(1) = \dfrac{1}{2}$

]]> Pente renversée : entre $(0\,;\,-1)$ et $(2\,;\,3)$, on
monte de $4$ pour $2$ d'avance : pente $2$, pas
$\frac{1}{2}$.

]]> Dérivation — Q04 : Équation de la tangente Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à la
courbe de $f$ au point d'abscisse $a = 1$ ?

]]> Équation de la tangente en $a$ (démonstration au programme) :
$y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Toujours vérifier que le point de
tangence vérifie l'équation obtenue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x - 1$

]]> Bonne réponse : $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$ avec $f(1) = 1$
et $f'(1) = 2$ : $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$.

]]> $y = 2x + 1$

]]> Erreur de développement : $2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 =
2x - 1$. Contrôle : la tangente doit passer par
$(1\,;\,1)$, or $2(1) + 1 = 3 \neq 1$.

]]> $y = x + 1$

]]> Erreur de pente : $f'(1) = 2 \times 1 = 2$, pas $1$. (La
droite $y = x + 1$ n'est pas assez inclinée et coupe
la parabole.)

]]> $y = 2x$

]]> Erreur : cette droite a la bonne pente mais passe par
l'origine, pas par le point de tangence $(1\,;\,1)$ :
$2 \times 1 = 2 \neq 1$.

]]> Dérivation — Q05 : Dérivée de la fonction inverse Quelle est la dérivée de la fonction inverse
$f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?

]]> Dérivées de référence à connaître : $(x^2)' = 2x$,
$(x^3)' = 3x^2$, $\left(\dfrac{1}{x}\right)' =
-\dfrac{1}{x^2}$, $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$

]]> Bonne réponse : c'est une dérivée de référence
(démonstration au programme via le taux de variation). Le
signe négatif traduit la décroissance de l'inverse.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$

]]> Erreur de signe : l'inverse est décroissante, sa
dérivée doit être négative : $-\dfrac{1}{x^2}$.

]]> $f'(x) = -\dfrac{1}{x}$

]]> Erreur : l'exposant du dénominateur augmente en dérivant :
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{2x}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{2x}$ mélange avec la dérivée de la
racine carrée $\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$. Pour
l'inverse : $-\dfrac{1}{x^2}$.

]]> Dérivation — Q06 : Dérivée de la racine carrée Quelle est la dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ sur
$]0\,;\,+\infty[$ ?

]]> $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
En $0$ : le taux de variation $\frac{\sqrt{h}}{h} =
\frac{1}{\sqrt{h}}$ explose : non dérivable en $0$ (tangente
verticale).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

]]> Bonne réponse : dérivée de référence. Elle explose près de
$0$ : la courbe y démarre avec une tangente verticale
(la fonction n'est pas dérivable en $0$, démonstration au
programme).

]]> $f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2}$

]]> Erreur : la racine passe au dénominateur en dérivant :
$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

]]> $f'(x) = 2\sqrt{x}$

]]> Erreur de sens : $2\sqrt{x}$ est une primitive de
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ (vu en terminale). En dérivant
$\sqrt{x}$, on obtient $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

]]> Presque : il manque le facteur $\dfrac{1}{2}$ :
$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

]]> Dérivation — Q07 : Dériver un produit Soit $f(x) = x^2\,(x + 3)$. Que vaut $f'(x)$ ?

]]> Deux chemins concordants : la règle du produit
$(uv)' = u'v + uv'$, ou développer d'abord
($x^3 + 3x^2 \to 3x^2 + 6x$). Faire les deux est un excellent
auto-contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 3x^2 + 6x$

]]> Bonne réponse : $(uv)' = u'v + uv'$ donne
$2x(x+3) + x^2 \times 1 = 2x^2 + 6x + x^2 = 3x^2 + 6x$.
(Contrôle : $f(x) = x^3 + 3x^2$ se dérive directement en
$3x^2 + 6x$.)

]]> $f'(x) = 2x$

]]> Erreur : $2x \times 1$ est le produit des dérivées, ce
qui n'est pas la règle. Le produit se dérive en
$u'v + uv'$.

]]> $f'(x) = 2x(x + 3)$

]]> Incomplet : c'est le terme $u'v$ seul. Il faut lui ajouter
$uv' = x^2$.

]]> $f'(x) = 3x^2 + 3$

]]> Erreur : en développant d'abord, $f(x) = x^3 + 3x^2$ et le
terme $3x^2$ se dérive en $6x$, pas en $3$.

]]> Dérivation — Q08 : Dériver l'inverse d'une fonction Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$. Que vaut $f'(x)$ ?

]]> $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ : ici
$-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$. Cas particulier $u(x) = x$ : on
retrouve $-\frac{1}{x^2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$

]]> Bonne réponse : $\left(\dfrac{1}{u}\right)' =
-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u = x^2 + 1$ et $u' = 2x$.

]]> $f'(x) = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

]]> Erreur de signe : la formule de l'inverse porte un
moins : $-\dfrac{u'}{u^2}$.

]]> $f'(x) = \dfrac{-1}{(x^2 + 1)^2}$

]]> Oubli de $u' = 2x$ au numérateur : la dérivée de
l'intérieur doit apparaître.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{2x}$

]]> Erreur : on ne dérive pas un quotient en inversant la
dérivée du dénominateur. Règle :
$\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$.

]]> Dérivation — Q09 : Approximation linéaire En utilisant l'approximation $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$
avec $f(x) = \sqrt{x}$ et $a = 4$, quelle valeur approchée
obtient-on pour $\sqrt{4{,}1}$ ?

]]> Approximation linéaire (au programme) : près de $a$, la
courbe se confond avec sa tangente : $f(a+h) \approx f(a) +
f'(a)h$. Ici $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \frac{0{,}1}{4} =
2{,}025$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2{,}025$

]]> Bonne réponse : $f(4) = 2$, $f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}}
= 0{,}25$ et $h = 0{,}1$ : $\sqrt{4{,}1} \approx 2 +
0{,}25 \times 0{,}1 = 2{,}025$ (valeur exacte :
$2{,}0248\ldots$).

]]> $2{,}05$

]]> Erreur : $f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}$,
pas $\dfrac{1}{2}$. Le facteur $2\sqrt{x}$ du dénominateur
vaut $4$ ici.

]]> $2{,}1$

]]> Erreur : ajouter $h$ tel quel revient à prendre
$f'(4) = 1$. La pente locale de la racine en $4$ est bien
plus douce : $0{,}25$.

]]> $2{,}0025$

]]> Erreur de décimale : $0{,}25 \times 0{,}1 = 0{,}025$, pas
$0{,}0025$.

]]> Dérivation — Q10 : La valeur absolue en 0 La fonction $x \mapsto |x|$ est-elle dérivable en $0$ ?

]]> Étude au programme : $\dfrac{|0+h| - |0|}{h} = \dfrac{|h|}{h}$
vaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$ : pas de limite unique,
donc pas de nombre dérivé en $0$. Continue mais non dérivable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : le taux de variation vaut $1$ à droite de $0$ et
$-1$ à gauche

]]> Bonne réponse : les sécantes n'ont pas de position
limite unique (pente $+1$ d'un côté, $-1$ de l'autre) : le
« V » a un point anguleux en $0$.

]]> Oui, avec $f'(0) = 0$

]]> Erreur : une dérivée nulle signifierait une tangente
horizontale au fond du « V » ; or les pentes valent
$\pm 1$ de part et d'autre, sans se raccorder.

]]> Oui, avec $f'(0) = 1$

]]> Erreur : la pente vaut $1$ seulement à droite. À
gauche, elle vaut $-1$ : pas de valeur commune, pas de
nombre dérivé.

]]> Non, car la fonction n'est pas continue en $0$

]]> Erreur d'argument : $|x|$ est parfaitement continue en
$0$. C'est la dérivabilité qui échoue (point anguleux) :
l'exemple type qui sépare les deux notions.

]]> Dérivation — Q11 : Vitesse instantanée Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à l'instant
$t = 3$ ?

]]> Interprétation cinématique (au programme) : taux de variation
= vitesse moyenne ; nombre dérivé = vitesse instantanée.
$d'(t) = 2t$ : le mobile accélère, et $d'(3) = 6$ m/s.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ m/s

]]> Bonne réponse : la vitesse instantanée est le nombre
dérivé de la position : $d'(t) = 2t$, donc $d'(3) = 6$
m/s.

]]> $9$ m/s

]]> Erreur : $9 = d(3)$ est la position à l'instant $3$
(en mètres), pas la vitesse.

]]> $3$ m/s

]]> Erreur : $3 = \dfrac{d(3) - d(0)}{3}$ est la vitesse
moyenne entre $0$ et $3$. L'instantanée se lit sur la
dérivée : $2 \times 3 = 6$.

]]> $2$ m/s

]]> Erreur : $2$ est le coefficient de $d'(t) = 2t$, pas sa
valeur en $t = 3$.

]]> Dérivation — Q12 : Dérivée de $x^n$ pour $n$ négatif Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{-2}$ (définie pour
$x \neq 0$) ?

]]> $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ pour tout entier relatif $n$. Avec
$n = -2$ : $f'(x) = -2x^{-3}$. Cohérent avec
$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ (cas $n = -1$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = -2x^{-3}$

]]> Bonne réponse : la formule $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ vaut pour
tout $n \in \mathbb{Z}$ : ici $n = -2$ donne
$-2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3}$.

]]> $f'(x) = -2x^{-1}$

]]> Erreur d'exposant : on retranche $1$ à l'exposant :
$-2 - 1 = -3$, pas $-1$.

]]> $f'(x) = 2x^{-3}$

]]> Erreur de signe : l'exposant $n = -2$ descend en facteur
avec son signe.

]]> $f'(x) = \dfrac{x^{-1}}{-1}$

]]> Erreur de sens : remonter l'exposant relève de la
primitive. En dérivant, l'exposant descend et diminue :
$-2x^{-3}$.

]]> Dérivation — Q13 : Dérivée de $3x^2$ Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x^2$ ?

]]> $(ku)' = ku'$ : les constantes multiplicatives survivent à
la dérivation. Combiné à $(x^n)' = nx^{n-1}$ : $(3x^2)' =
6x$, et tout polynôme se dérive terme à terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 6x$

]]> Bonne réponse : la constante multiplicative reste en
facteur : $3 \times (x^2)' = 3 \times 2x = 6x$.

]]> $f'(x) = 3x$

]]> Exposant non descendu : $(x^2)' = 2x$ : le $2$ vient
multiplier le $3$.

]]> $f'(x) = 6x^2$

]]> Exposant conservé à tort : dériver fait baisser le
degré : $x^2$ devient $x$.

]]> $f'(x) = 2x$

]]> Coefficient $3$ perdu : il traverse la dérivation
intact : $(3u)' = 3u'$.

]]> Dérivation — Q14 : Dériver un polynôme Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 5x^2 + 1$ ?

]]> Dérivation d'un polynôme : chaque terme séparément, la
constante s'évanouit. Le degré baisse de $1$ : un cubique a
une dérivée quadratique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 3x^2 - 10x$

]]> Bonne réponse : terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$,
$(-5x^2)' = -10x$, et la constante $1$ disparaît.

]]> $f'(x) = 3x^2 - 10x + 1$

]]> Constante fantôme : la dérivée de $1$ est $0$ : une
constante ne varie pas, sa pente est nulle.

]]> $f'(x) = x^2 - 5x$

]]> Exposants non descendus : chaque terme reçoit son
exposant en facteur : $3x^2$ et $-10x$.

]]> $f'(x) = 3x^2 - 5x^2$

]]> Erreur : le terme $-5x^2$ se dérive en $-10x$
(l'exposant $2$ descend ET le degré baisse).

]]> Dérivation — Q15 : Dérivée d'une constante Quelle est la dérivée de $f(x) = 7$ ?

]]> Constante $\Rightarrow$ dérivée nulle (et réciproquement sur
un intervalle : le seul type de fonction de dérivée
partout nulle). Géométrie : l'horizontale n'a pas de pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 0$

]]> Bonne réponse : la courbe de $f$ est une droite
horizontale : pente nulle partout, taux de variation
toujours nul.

]]> $f'(x) = 7$

]]> Erreur : $7$ est la valeur, pas la pente : une
fonction constante ne varie pas, sa dérivée est $0$.

]]> $f'(x) = 1$

]]> Confusion : c'est $f(x) = x$ qui a pour dérivée $1$
(pente de la diagonale).

]]> $f'(x) = 7x$

]]> Sens inverse : $7x$ est une primitive de $7$ :
dériver une constante donne $0$.

]]> Dérivation — Q16 : Dériver un quotient Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$
(pour $x \neq 2$) ?

]]> $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ : pour
une homographique $\frac{ax+b}{cx+d}$, le numérateur devient
la constante $ad - bc$ : le signe de ce nombre donne le sens
de variation global.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{-7}{(x - 2)^2}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{u'v - uv'}{v^2} =
\dfrac{3(x-2) - (3x+1)}{(x-2)^2} = \dfrac{-7}{(x-2)^2}$ :
numérateur constant, fonction partout décroissante.

]]> $f'(x) = 3$

]]> Erreur : dériver haut et bas séparément
($\frac{u'}{v'} = \frac{3}{1}$) n'est pas la règle du
quotient.

]]> $f'(x) = \dfrac{7}{(x - 2)^2}$

]]> Signe : $3(x-2) - (3x+1) = -6 - 1 = -7$ : le moins
survit : la fonction est décroissante sur chaque
intervalle.

]]> $f'(x) = \dfrac{-7}{x - 2}$

]]> Dénominateur : la formule impose $v^2 = (x-2)^2$ : le
carré garantit d'ailleurs le signe constant du
dénominateur.

]]> Dérivation — Q17 : Tangente parallèle à une droite Soit $f(x) = x^2$. En quel point la tangente à la courbe
est-elle parallèle à la droite $y = 4x - 7$ ?

]]> Tangente parallèle à une droite de pente $m$ : résoudre
$f'(x) = m$. (Tangente horizontale : cas particulier
$m = 0$.) La dérivée est un vivier de pentes : on y puise
celle qu'on veut.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point d'abscisse $2$, car $f'(x) = 2x = 4 \iff x = 2$

]]> Bonne réponse : parallèles = mêmes coefficients
directeurs : on résout $f'(x) = 4$ : la pente de la
tangente est $f'$, celle de la droite est $4$.

]]> Au point d'abscisse $4$

]]> Erreur : en $x = 4$, la pente vaut $f'(4) = 8 \neq 4$ :
on égale la dérivée à $4$, pas l'abscisse.

]]> Au point d'abscisse $-7$

]]> Erreur : $-7$ est l'ordonnée à l'origine de la droite :
elle règle sa hauteur, pas sa pente : seule la pente
($4$) compte pour le parallélisme.

]]> Nulle part : une parabole n'a pas de tangente oblique

]]> Erreur : la parabole a des tangentes de toutes les
pentes (une par valeur de $f'(x) = 2x$) : chaque pente
est atteinte exactement une fois.

]]> Dérivation — Q18 : Tangente qui descend Sur un graphique, la tangente à la courbe de $f$ au point
d'abscisse $a$ descend (de gauche à droite). Que peut-on en
déduire ?

]]> Dictionnaire graphique : tangente montante $\iff f'(a) >
0$ ; horizontale $\iff f'(a) = 0$ ; descendante $\iff
f'(a) < 0$. Et la valeur $f(a)$ vit sur un axe totalement
indépendant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(a) < 0$

]]> Bonne réponse : $f'(a)$ est le coefficient directeur de
la tangente : une droite qui descend a une pente
négative.

]]> $f(a) < 0$

]]> Confusion valeur/pente : la courbe peut être très haute
($f(a) > 0$) avec une tangente qui descend : $f(a)$
donne l'altitude, $f'(a)$ l'inclinaison.

]]> $f'(a) = 0$

]]> Erreur : $f'(a) = 0$ correspond à une tangente
horizontale : ici elle penche vers le bas.

]]> $a < 0$

]]> Sans rapport : la position de $a$ sur l'axe n'a rien à
voir avec l'inclinaison de la tangente en ce point.

]]> Dérivation — Q19 : Dérivée de $\dfrac{5}{x}$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{5}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> $\left(\frac{k}{x}\right)' = -\frac{k}{x^2}$ : combinaison
de la constante multiplicative et de la dérivée de
l'inverse. Alternative : $f(x) = 5x^{-1}$ et la règle
$(x^n)' = nx^{n-1}$ avec $n = -1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = -\dfrac{5}{x^2}$

]]> Bonne réponse : $f = 5 \times \frac{1}{x}$ et
$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ : le $5$
suit, le moins reste.

]]> $f'(x) = \dfrac{5}{x^2}$

]]> Signe : la fonction inverse décroît : sa dérivée est
négative : le moins est structurel.

]]> $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$

]]> Coefficient perdu : le $5$ multiplie la dérivée comme il
multipliait la fonction.

]]> $f'(x) = 5\ln x$

]]> Sens inverse (et hors programme de première) : le
logarithme viendra en terminale comme primitive de
$\frac{1}{x}$, pas comme dérivée.

]]> Dérivation — Q20 : Produit : deux chemins, un résultat Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 1)(x - 3)$ ?

]]> Pour un produit de polynômes, deux stratégies valides :
règle du produit, ou développer puis dériver. Les deux
doivent coïncider : excellent auto-contrôle en devoir.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 4x - 5$

]]> Bonne réponse : par le produit : $2(x-3) + (2x+1) = 4x -
5$ ; ou en développant d'abord ($2x^2 - 5x - 3$) puis en
dérivant : même résultat, toujours.

]]> $f'(x) = 2$

]]> Produit des dérivées : $2 \times 1 = 2$ n'est pas la
règle : $(uv)' = u'v + uv'$, jamais $u'v'$.

]]> $f'(x) = 4x + 5$

]]> Signe : $2(x - 3) + (2x + 1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x -
5$ : le $-6$ pèse plus que le $+1$.

]]> $f'(x) = 2x^2 - 5x - 3$

]]> Développement sans dérivation : $2x^2 - 5x - 3$ est
$f(x)$ développée : il reste à dériver ($4x - 5$).

]]> Dérivation — Q21 : La racine carrée en $0$ La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est-elle dérivable en $0$ ?

]]> $\sqrt{x}$ : définie et continue sur $[0\ ;\ +\infty[$,
dérivable seulement sur $]0\ ;\ +\infty[$ : en $0$, tangente
verticale. Avec $|x|$ (angle), le deuxième contre-exemple
officiel de non-dérivabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : le taux $\dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$
tend vers $+\infty$ : tangente verticale

]]> Bonne réponse : le taux d'accroissement explose : pas de
nombre dérivé (fini). La courbe démarre verticalement en
$0$ : pente infinie.

]]> Oui, avec $f'(0) = 0$

]]> Erreur : la formule $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ n'est pas
définie en $0$, et le taux tend vers $+\infty$, pas vers
$0$ : la tangente serait horizontale, or elle est
verticale.

]]> Oui, car $f$ est définie en $0$

]]> Confusion : définie (et même continue) en $0$, oui :
mais la dérivabilité exige en plus une pente finie,
refusée ici.

]]> Non, car $\sqrt{0}$ n'existe pas

]]> Faux : $\sqrt{0} = 0$ existe parfaitement : c'est la
pente en $0$ qui fait défaut.

]]> Dérivation — Q22 : Estimer sans calculatrice Soit $f(x) = x^2$. En utilisant l'approximation $f(a + h)
\approx f(a) + h\,f'(a)$, quelle estimation de $2{,}01^2$
obtient-on ?

]]> Approximation affine : $f(a + h) \approx f(a) + h f'(a)$
pour $h$ petit : remplacer la courbe par sa tangente.
L'erreur commise est de l'ordre de $h^2$ : négligeable au
premier ordre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2{,}01^2 \approx 4 + 0{,}01 \times 4 = 4{,}04$

]]> Bonne réponse : $a = 2$, $h = 0{,}01$ : $f(2) = 4$,
$f'(2) = 4$ : estimation $4{,}04$ (exact : $4{,}0401$ :
l'erreur est en $h^2$).

]]> $2{,}01^2 \approx 4$

]]> Ordre zéro : arrondir à $f(2)$ ignore la variation ; le
terme correctif $h f'(a) = 0{,}04$ est justement ce que
l'approximation affine apporte.

]]> $2{,}01^2 \approx 4 + 0{,}01 = 4{,}01$

]]> Pente oubliée : l'accroissement de $f$ n'est pas $h$
mais $h \times f'(a)$ : la courbe monte à la vitesse
$4$, pas $1$.

]]> $2{,}01^2 \approx 4{,}4$

]]> Facteur $10$ : $h f'(a) = 0{,}01 \times 4 = 0{,}04$,
pas $0{,}4$.

]]> Dérivation — Q23 : De la position à la vitesse Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à $t = 3$ ?

]]> Vitesse instantanée = dérivée de la position : la
signification physique du nombre dérivé. La vitesse moyenne
correspond, elle, au taux de variation sur un intervalle :
les deux se rejoignent quand l'intervalle rétrécit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ m/s : la dérivée $d'(t) = 2t$ évaluée en $3$

]]> Bonne réponse : la vitesse instantanée est la dérivée de
la position : $d'(3) = 6$ m/s : le compteur affiche la
pente de la courbe position-temps.

]]> $9$ m/s

]]> Confusion : $9 = d(3)$ est la position (distance
parcourue), pas la vitesse : dériver d'abord, évaluer
ensuite.

]]> $3$ m/s : la vitesse moyenne depuis le départ

]]> Moyenne au lieu d'instantanée : $\frac{d(3) - d(0)}{3} =
3$ m/s est la moyenne sur $[0\ ;\ 3]$ ; le mobile
accélère : à l'instant $3$, il file à $6$ m/s.

]]> $2$ m/s

]]> Évaluation manquante : $2$ est le coefficient de
$d'(t) = 2t$ : en $t = 3$, la vitesse vaut $2 \times 3 =
6$ m/s.

]]> Dérivation — Q24 : Dérivée de $x\sqrt{x}$ Quelle est la dérivée de $f(x) = x\sqrt{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> $x\sqrt{x} = x^{3/2}$ : la réponse $\frac{3}{2}x^{1/2}$
illustre que la règle $(x^n)' = nx^{n-1}$ s'étend aux
exposants fractionnaires : joli contrôle de cohérence du
calcul par la règle du produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$

]]> Bonne réponse : produit $u = x$, $v = \sqrt{x}$ :
$\sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} +
\dfrac{\sqrt{x}}{2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}$.

]]> $f'(x) = \sqrt{x}$

]]> Second terme perdu : la règle du produit ajoute $x
\times (\sqrt{x})' = \frac{\sqrt{x}}{2}$ : total
$\frac{3}{2}\sqrt{x}$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

]]> Facteur $x$ ignoré : $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ est la
dérivée de $\sqrt{x}$ seule : le produit exige
$u'v + uv'$.

]]> $f'(x) = \dfrac{2}{3}\sqrt{x}$

]]> Fraction renversée : le calcul donne $\frac{3}{2}$, pas
$\frac{2}{3}$ (ajouter $\sqrt{x}$ et sa moitié).

]]>