$course$/QCM de maths/Première spécialité/Fonction exponentielle Définition de l'exponentielle (unique fonction dérivable telle
que $f' = f$ et $f(0) = 1$), propriétés algébriques, notation
$e^x$, signe, variations et courbe, dérivée de $t \mapsto
e^{at}$, fonctions $t \mapsto e^{kt}$ et $t \mapsto e^{-kt}$,
lien avec les suites géométriques.

]]> Fonction exponentielle — Q01 : Définition de l'exponentielle Comment la fonction exponentielle est-elle définie au
programme de première ?

]]> Définition (au programme) : $\exp$ est l'unique fonction
dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et
$\exp(0) = 1$. Cette équation traduit une croissance dont la
vitesse est proportionnelle à la valeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$
vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée et
vaut $1$ en $0$ (existence et unicité admises).

]]> C'est la fonction $x \mapsto x^e$

]]> Erreur : $x^e$ est une fonction puissance (variable en
base). L'exponentielle a la variable en exposant :
$e^x$.

]]> C'est l'unique fonction vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 0$

]]> Piège : avec $f(0) = 0$, la seule solution de $f' = f$
est la fonction nulle. La condition $f(0) = 1$ est
essentielle.

]]> C'est la fonction réciproque du logarithme

]]> Anachronique : le logarithme n'arrive qu'en terminale. En
première, l'exponentielle se définit par l'équation
$f' = f$ avec $f(0) = 1$.

]]> Fonction exponentielle — Q02 : Signe de l'exponentielle Que peut-on dire du signe de $e^x$ ?

]]> Propriété fondamentale : $e^x > 0$ pour tout $x$ (conséquence
de $e^x \, e^{-x} = 1$ : le produit valant $1$, aucun facteur
ne peut s'annuler). Utile pour les signes de dérivées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^x > 0$ pour tout réel $x$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement positive
sur $\mathbb{R}$ : sa courbe reste entièrement au-dessus
de l'axe des abscisses, sans jamais le toucher.

]]> $e^x > 0$ seulement pour $x > 0$

]]> Erreur : $e^{-2} = \dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}135 > 0$ :
même pour les $x$ négatifs, l'exponentielle reste
positive (petite, mais positive).

]]> $e^x$ s'annule en $x = 0$

]]> Erreur : $e^0 = 1 \neq 0$. L'exponentielle ne s'annule
jamais.

]]> $e^x$ change de signe en $x = 0$

]]> Erreur : aucun changement de signe : $e^x$ passe par $1$
en $0$ et reste strictement positive partout.

]]> Fonction exponentielle — Q03 : Équation fonctionnelle Pour tous réels $x$ et $y$, que vaut $e^{x + y}$ ?

]]> Relation fonctionnelle : $e^{x+y} = e^x \, e^y$. On en
déduit $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$, $e^{x-y} =
\dfrac{e^x}{e^y}$ et $(e^x)^n = e^{nx}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^x \times e^y$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle transforme les sommes en
produits : c'est sa propriété algébrique fondamentale.

]]> $e^x + e^y$

]]> Erreur : teste $x = y = 0$ : $e^0 = 1$ alors que
$e^0 + e^0 = 2$. La somme des exposants correspond au
produit des exponentielles.

]]> $e^{xy}$

]]> Erreur : le produit des exposants correspond à une
puissance de puissance : $(e^x)^y = e^{xy}$, autre
formule.

]]> $e^x \times y$

]]> Erreur : aucune règle de ce type. La bonne formule :
$e^{x+y} = e^x e^y$.

]]> Fonction exponentielle — Q04 : Exponentielle d'un opposé Que vaut $e^{-3}$ ?

]]> $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$ (conséquence de $e^x e^{-x} = 1$).
$e^{-3} = \frac{1}{e^3} \approx 0{,}0498$ : positif et petit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{e^3}$

]]> Bonne réponse : $e^x \, e^{-x} = e^0 = 1$, donc $e^{-x}
= \dfrac{1}{e^x}$ : l'exponentielle d'un opposé est
l'inverse.

]]> $-e^3$

]]> Erreur : une exponentielle n'est jamais négative. Le
signe moins de l'exposant se traduit par un inverse, pas
par un opposé.

]]> $e^{1/3}$

]]> Erreur : l'inverse porte sur l'exponentielle entière
($\frac{1}{e^3}$), pas sur l'exposant.

]]> $1 - e^3$

]]> Erreur : aucune soustraction n'intervient :
$e^{-3} = \dfrac{1}{e^3} \approx 0{,}05$, alors que
$1 - e^3 \approx -19$.

]]> Fonction exponentielle — Q05 : Puissance d'une exponentielle Que vaut $\left(e^x\right)^2$ ?

]]> $(e^x)^n = e^{nx}$ pour tout entier $n$. Bien distinguer
$e^{2x} = (e^x)^2$, $2e^x$ (double) et $e^{x^2}$ (carré dans
l'exposant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{2x}$

]]> Bonne réponse : $(e^x)^2 = e^x \times e^x = e^{x + x} =
e^{2x}$ : élever à une puissance multiplie l'exposant.

]]> $e^{x^2}$

]]> Erreur : $e^{x^2}$ élève $x$ au carré dans
l'exposant : tout autre chose. $(e^x)^2$ double
l'exposant : $e^{2x}$.

]]> $2e^x$

]]> Erreur : $2e^x$ est le double, pas le carré. Teste
$x = 1$ : $(e^1)^2 = e^2 \approx 7{,}39$ alors que
$2e \approx 5{,}44$.

]]> $e^{x+2}$

]]> Erreur : $e^{x+2} = e^x \times e^2$ correspond à une
multiplication par $e^2$, pas à une mise au carré.

]]> Fonction exponentielle — Q06 : Dérivée de $e^{at}$ Quelle est la dérivée de la fonction $f(t) = e^{5t}$ ?

]]> Formule au programme : pour $a$ réel, $(e^{at})' = a\,e^{at}$.
Elle traduit l'équation $y' = ay$ des évolutions
exponentielles (croissance si $a > 0$, décroissance sinon).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(t) = 5\,e^{5t}$

]]> Bonne réponse : $(e^{at})' = a\,e^{at}$ : le coefficient
de $t$ descend en facteur, l'exponentielle se conserve.

]]> $f'(t) = e^{5t}$

]]> Oubli du facteur $5$ : seule $e^t$ est exactement sa
propre dérivée. Le $5t$ dans l'exposant fait sortir un
facteur $5$.

]]> $f'(t) = 5\,e^{t}$

]]> Erreur : l'exposant $5t$ ne change pas en dérivant. On
multiplie par $5$ sans toucher à $e^{5t}$.

]]> $f'(t) = 5t\,e^{5t - 1}$

]]> Erreur : c'est la règle des puissances $(t^n)' =
nt^{n-1}$ appliquée à tort. Pour une exponentielle :
$(e^{at})' = a\,e^{at}$.

]]> Fonction exponentielle — Q07 : La tangente en 0 Repère orthonormé avec la courbe de l'exponentielle en bleu
(croissante, passant par (0 ; 1)) et sa tangente T en rouge
au point (0 ; 1) : une droite de pente 1 passant par (0 ; 1)
et (1 ; 2). La courbe reste au-dessus de la tangente.

Repère orthonormé avec la courbe de l'exponentielle en bleu
(croissante, passant par (0 ; 1)) et sa tangente T en rouge
au point (0 ; 1) : une droite de pente 1 passant par (0 ; 1)
et (1 ; 2). La courbe reste au-dessus de la tangente.

Sur la figure ci-dessous, la droite $T$ est la tangente à la
courbe de l'exponentielle au point d'abscisse $0$. Quelle est
son équation ?

]]> En $0$ : $\exp(0) = 1$ et $\exp'(0) = 1$ (car $\exp' =
\exp$) : tangente $y = x + 1$. La courbe, au-dessus de cette
tangente, illustre $e^x \geq 1 + x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = x + 1$

]]> Bonne réponse : pente $\exp'(0) = \exp(0) = 1$ et passage
par $(0\,;\,1)$ : $y = x + 1$. (Toute la définition de
l'exponentielle se lit sur cette tangente.)

]]> $y = x$

]]> Erreur : cette droite passe par l'origine, alors que le
point de tangence est $(0\,;\,1)$ ($e^0 = 1$).

]]> $y = 1$

]]> Erreur : une tangente horizontale signifierait
$\exp'(0) = 0$ ; or $\exp'(0) = \exp(0) = 1$ : la
tangente monte avec une pente $1$.

]]> $y = e\,x$

]]> Erreur : la pente $e \approx 2{,}72$ est celle de la
tangente au point d'abscisse $1$, pas $0$.

]]> Fonction exponentielle — Q08 : Comparer avec la croissance Comment se comparent $e^{-2}$ et $e^{-3}$ ?

]]> $\exp$ strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :
$a < b \Leftrightarrow e^a < e^b$. Cette équivalence sert à
comparer, mais aussi à résoudre équations et inéquations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{-2} > e^{-3}$, car l'exponentielle est strictement
croissante et $-2 > -3$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle conserve l'ordre des
exposants : $-3 < -2 \Rightarrow e^{-3} < e^{-2}$.

]]> $e^{-2} < e^{-3}$, car les exposants sont négatifs

]]> Erreur : la croissance de l'exponentielle vaut sur
tout $\mathbb{R}$, exposants négatifs compris :
$e^{-3} \approx 0{,}05 < e^{-2} \approx 0{,}14$.

]]> Ils sont égaux

]]> Erreur : l'exponentielle est strictement croissante :
deux exposants distincts donnent deux valeurs distinctes.

]]> On ne peut pas les comparer sans calculatrice

]]> Erreur : la stricte croissance permet de comparer par les
exposants seuls, sans aucune valeur numérique.

]]> Fonction exponentielle — Q09 : Exponentielle et suite géométrique Soit la suite définie par $u_n = e^{0{,}5\,n}$ pour $n$
entier naturel. Quelle est sa nature ?

]]> Lien au programme : $(e^{kn})$ est géométrique de raison
$e^k$ : l'exponentielle est le prolongement continu des
suites géométriques (évolution à taux constant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison $e^{0{,}5}$

]]> Bonne réponse : $u_{n+1} = e^{0{,}5(n+1)} = e^{0{,}5n}
\times e^{0{,}5}$ : chaque terme est multiplié par
$e^{0{,}5} \approx 1{,}65$.

]]> Arithmétique de raison $0{,}5$

]]> Erreur : c'est l'exposant qui avance de $0{,}5$ en
$0{,}5$ ; les valeurs, elles, sont multipliées par
$e^{0{,}5}$ : modèle géométrique.

]]> Géométrique de raison $0{,}5$

]]> Erreur : la raison est le facteur multiplicatif
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = e^{0{,}5}$, pas le coefficient de
l'exposant.

]]> Géométrique de raison $e$

]]> Erreur : la raison $e$ correspondrait à $u_n = e^n$. Ici
le pas de l'exposant est $0{,}5$ : raison $e^{0{,}5}$.

]]> Fonction exponentielle — Q10 : Croissance ou décroissance de $e^{kt}$ Une quantité radioactive évolue selon $N(t) = N_0\,
e^{-0{,}3\,t}$ (avec $N_0 > 0$). Que peut-on dire de la
fonction $N$ ?

]]> Fonctions $t \mapsto e^{kt}$ (capacité attendue) : croissantes
si $k > 0$, décroissantes si $k < 0$, toujours strictement
positives. Modèles : intérêts composés, désintégration,
dilution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est strictement décroissante : c'est une décroissance
exponentielle

]]> Bonne réponse : $N'(t) = -0{,}3\,N_0\,e^{-0{,}3t} < 0$ :
le coefficient $k = -0{,}3 < 0$ impose la décroissance
(modèle de la désintégration radioactive).

]]> Elle est croissante, car une exponentielle croît toujours

]]> Erreur : c'est $t \mapsto e^t$ qui croît. Avec un exposant
$-0{,}3\,t$, la fonction décroît ($t \mapsto e^{-kt}$,
$k > 0$).

]]> Elle devient négative pour $t$ assez grand

]]> Erreur : une exponentielle reste strictement positive : la
quantité s'approche de $0$ sans jamais l'atteindre ni
passer dessous.

]]> Elle est constante égale à $N_0$

]]> Erreur : $N_0$ n'est que la valeur initiale
($N(0) = N_0\,e^0 = N_0$) ; ensuite le facteur
$e^{-0{,}3t}$ diminue.

]]> Fonction exponentielle — Q11 : Simplifier une expression Simplifier l'expression $\dfrac{e^x \times e^2}{e^{x+1}}$.

]]> Règles combinées : produit $\to$ somme des exposants, quotient
$\to$ différence. $\dfrac{e^x e^2}{e^{x+1}} = e^{x + 2 - x -
1} = e$. Transformer les écritures est la capacité attendue
centrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e$

]]> Bonne réponse : le numérateur vaut $e^{x+2}$, et
$\dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}} = e^{(x+2)-(x+1)} = e^1 = e$.

]]> $e^x$

]]> Erreur : les exposants se soustraient entièrement :
$(x + 2) - (x + 1) = 1$ : les $x$ se compensent.

]]> $e^{2x + 1}$

]]> Erreur : au quotient, les exposants se soustraient,
ils ne s'ajoutent pas : $(x+2) - (x+1) = 1$.

]]> $1$

]]> Erreur : la différence des exposants vaut $1$, pas $0$ :
le résultat est $e^1 = e \approx 2{,}72$.

]]> Fonction exponentielle — Q12 : Résoudre une équation avec exponentielles Quelle est la solution de l'équation $e^{x} = e^{2x - 1}$ ?

]]> Stricte croissance $\Rightarrow$ $e^a = e^b \Leftrightarrow
a = b$ (et $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$ pour les
inéquations). L'équation se transporte sur les exposants :
$x = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 1$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle étant strictement
croissante (donc injective), $e^a = e^b \Leftrightarrow
a = b$ : $x = 2x - 1$ donne $x = 1$.

]]> $x = 0$

]]> Erreur : teste : $e^0 = 1$ et $e^{-1} \approx 0{,}37$ :
pas égaux. L'égalité des exponentielles équivaut à
l'égalité des exposants.

]]> $x = -1$

]]> Erreur de résolution : $x = 2x - 1 \Rightarrow -x = -1
\Rightarrow x = 1$ (attention aux signes en regroupant).

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : l'équation se ramène à une équation du premier
degré $x = 2x - 1$, qui a une solution : $x = 1$.

]]> Fonction exponentielle — Q13 : La valeur $e^0$ Que vaut $e^0$ ?

]]> $e^0 = 1$ : ancre de toutes les courbes exponentielles, et
point de tangence avec la droite $y = 1 + x$. À coupler avec
$e^1 = e \approx 2{,}72$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $\exp(0) = 1$ : le point de départ de la
courbe, imposé par la définition ($f' = f$ et $f(0) =
1$).

]]> $0$

]]> Erreur : l'exponentielle ne s'annule jamais : en $0$
elle vaut $1$, comme toute puissance d'exposant nul.

]]> $e$

]]> Décalage : $e = e^1$ : c'est l'image de $1$, pas de
$0$.

]]> $-1$

]]> Erreur : l'exponentielle est strictement positive : elle
ne prend jamais de valeur négative.

]]> Fonction exponentielle — Q14 : Produit d'exponentielles Que vaut $e^2 \times e^3$ ?

]]> Relation fonctionnelle : $e^{a}e^{b} = e^{a+b}$, d'où
$\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$, $(e^a)^n = e^{na}$ et $e^{-a} =
\frac{1}{e^a}$ : les règles des puissances, intégralement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^5$

]]> Bonne réponse : $e^a e^b = e^{a+b}$ : les exposants
s'additionnent quand les exponentielles se multiplient.

]]> $e^6$

]]> Exposants multipliés : $2 \times 3 = 6$ correspondrait à
$(e^2)^3$ : le produit additionne : $2 + 3 = 5$.

]]> $2e^3$

]]> Erreur : $e^2$ n'est pas $2e$ : les exponentielles se
combinent par la relation fonctionnelle, pas par des
coefficients.

]]> $e^2 + e^3$

]]> Erreur : la relation transforme le produit en somme
d'exposants, pas en somme d'exponentielles.

]]> Fonction exponentielle — Q15 : Résoudre $e^x = e^3$ Quelle est la solution de l'équation $e^x = e^3$ ?

]]> $e^a = e^b \iff a = b$ (stricte croissance) : le levier de
toutes les équations exponentielles : ramener chaque membre
à UNE exponentielle, puis égaler les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement
croissante, donc injective : deux exponentielles
égales ont des exposants égaux.

]]> $x = e^3$

]]> Erreur : la comparaison se fait exposant contre
exposant : $x = 3$, pas $x = e^3 \approx 20$.

]]> Aucune solution

]]> Erreur : $x = 3$ convient à l'évidence : l'équation
$e^x = k$ a une solution dès que $k > 0$.

]]> $x = 3$ ou $x = -3$

]]> Symétrie imaginaire : l'exponentielle n'est pas paire :
$e^{-3} = \frac{1}{e^3} \neq e^3$ : une seule solution.

]]> Fonction exponentielle — Q16 : Simplifier $(e^x)^2$ Pour tout réel $x$, que vaut $\left(e^x\right)^2$ ?

]]> $(e^x)^2 = e^x \times e^x = e^{2x}$ : cas particulier de
$(e^a)^n = e^{na}$. Bien distinguer $e^{2x} = (e^x)^2$ de
$e^{x^2}$ : les parenthèses changent tout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{2x}$

]]> Bonne réponse : $(e^a)^n = e^{na}$ : élever à une
puissance multiplie l'exposant.

]]> $e^{x^2}$

]]> Erreur : $e^{x^2}$ élève $x$ au carré dans
l'exposant : tout autre objet : la règle donne $2x$ en
exposant.

]]> $2e^x$

]]> Erreur : le carré multiplie l'exponentielle par
elle-même ($e^x \times e^x = e^{2x}$), pas par $2$.

]]> $e^{x+2}$

]]> Erreur : $e^{x+2} = e^x \times e^2$ : l'addition
d'exposants vient d'un produit par $e^2$, pas d'un
carré.

]]> Fonction exponentielle — Q17 : Résoudre $e^x \geq 1$ Quel est l'ensemble des solutions de $e^x \geq 1$ ?

]]> Méthode : écrire le second membre comme exponentielle ($1 =
e^0$), puis comparer les exposants dans le même sens
(croissance stricte). Signe de $e^x - 1$ : celui de $x$ :
très utile dans les tableaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[0\ ;\ +\infty[$

]]> Bonne réponse : $1 = e^0$, et la croissance stricte
conserve l'ordre : $e^x \geq e^0 \iff x \geq 0$.

]]> $\mathbb{R}$ : une exponentielle est toujours positive

]]> Confusion : positive, oui ($e^x > 0$), mais pas toujours
$\geq 1$ : $e^{-1} \approx 0{,}37 < 1$ : la barre est à
$x = 0$.

]]> $[1\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : $1$ est la valeur seuil, pas l'abscisse :
$e^x = 1$ en $x = 0$.

]]> $]-\infty\ ;\ 0]$

]]> Sens inversé : pour $x \leq 0$, $e^x \leq 1$ :
l'exponentielle croît, elle dépasse $1$ après $0$.

]]> Fonction exponentielle — Q18 : Dérivée de $x\,e^x$ Quelle est la dérivée de $f(x) = x\,e^x$ ?

]]> $(xe^x)' = (1 + x)e^x$ : le produit polynôme × exponentielle
garde toujours un facteur $e^x$ : son signe (toujours
positif) laisse le polynôme décider des variations : ici $f$
décroît avant $-1$, croît après.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = (1 + x)\,e^x$

]]> Bonne réponse : produit $u = x$, $v = e^x$ : $u'v + uv'
= e^x + xe^x = (1 + x)e^x$.

]]> $f'(x) = e^x$

]]> Produit ignoré : $e^x$ est la dérivée de $e^x$ seul : le
facteur $x$ impose la règle $u'v + uv'$.

]]> $f'(x) = x\,e^x$

]]> Erreur : $f' = f$ ne vaut que pour $e^x$ pur : le
facteur $x$ casse cette propriété (il ajoute le terme
$e^x$).

]]> $f'(x) = e^{x} + x$

]]> Erreur : le second terme est $x \times (e^x)' = xe^x$,
pas $x$ : l'exponentielle ne disparaît pas en dérivant.

]]> Fonction exponentielle — Q19 : L'allure de $e^{-x}$ Quelle description correspond à la fonction $x \mapsto
e^{-x}$ ?

]]> $e^{-x}$ : le miroir de $e^x$ (symétrie par rapport à l'axe
des ordonnées) : décroissante, positive, limite nulle en
$+\infty$ : le modèle des décharges, refroidissements et
désintégrations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement décroissante, toujours positive, tend vers
$0$ en $+\infty$

]]> Bonne réponse : $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ : positive,
décroissante (dérivée $-e^{-x} < 0$), asymptote $y = 0$
en $+\infty$ : la décroissance exponentielle type.

]]> Décroissante puis négative après son zéro

]]> Erreur : $e^{-x}$ ne s'annule jamais : elle frôle
zéro sans le toucher : aucun passage en négatif.

]]> Croissante, comme toute exponentielle

]]> Erreur : le signe de l'exposant décide : $e^{kt}$ croît
pour $k > 0$, décroît pour $k < 0$ : ici $k = -1$.

]]> Constante égale à $\dfrac{1}{e}$

]]> Erreur : $\frac{1}{e} = e^{-1}$ est la valeur en
$1$ : la fonction varie ($1$ en $0$, $\approx 0{,}14$
en $2$…).

]]> Fonction exponentielle — Q20 : Simplifier $\dfrac{e^{x+1}}{e^x}$ Pour tout réel $x$, que vaut $\dfrac{e^{x+1}}{e^{x}}$ ?

]]> $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ : ici $e^{x+1-x} = e$. Les
quotients d'exponentielles décalées sont constants : la
signature des suites géométriques ($\frac{u_{n+1}}{u_n} = e$
pour $u_n = e^n$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e$

]]> Bonne réponse : $e^{(x+1) - x} = e^1 = e$ : le quotient
soustrait les exposants, et le $x$ s'efface : résultat
constant.

]]> $e^{x}$

]]> Erreur : la soustraction des exposants donne $(x + 1) -
x = 1$ : tout le $x$ disparaît.

]]> $1 + \dfrac{1}{e^x}$

]]> Erreur : $e^{x+1}$ n'est pas $e^x + e$ : l'exposant
somme se factorise ($e^x \times e$), il ne se
développe pas en somme.

]]> $x + 1 - x = 1$

]]> Presque : $1$ est le bon exposant : le quotient vaut
$e^1 = e \approx 2{,}72$, pas $1$.

]]> Fonction exponentielle — Q21 : Décroissance exponentielle modélisée La température d'un café suit $f(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1t}$
($t$ en minutes). Que valent la température initiale et la
température de long terme ?

]]> Lecture d'un modèle $A + Be^{-kt}$ : valeur initiale $A +
B$, valeur limite $A$ (l'exponentielle s'évanouit), vitesse
réglée par $k$. Trois questions, trois lectures immédiates :
aucun calcul lourd.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $80$ degrés au départ, $20$ degrés à long terme

]]> Bonne réponse : $f(0) = 20 + 60 = 80$ ; quand $t \to
+\infty$, $e^{-0{,}1t} \to 0$ : reste $20$ degrés : la
température de la pièce.

]]> $60$ degrés au départ, $0$ degré à long terme

]]> Deux oublis : le $+20$ compte dès le départ ($f(0) =
80$), et à long terme il reste : le café finit à
température ambiante, pas à zéro.

]]> $20$ degrés au départ, $80$ degrés à long terme

]]> Inversé : l'exponentielle décroît ($e^{-0{,}1t}$) :
le café refroidit de $80$ vers $20$, il ne chauffe pas.

]]> $80$ degrés au départ, $0$ degré à long terme

]]> Asymptote fausse : le terme constant $20$ ne s'éteint
pas : seule la partie exponentielle fond : limite $20$.

]]> Fonction exponentielle — Q22 : L'inégalité $e^x \geq 1 + x$ Pourquoi a-t-on $e^x \geq 1 + x$ pour tout réel $x$ ?

]]> $e^x \geq 1 + x$ : l'inégalité de tangente de
l'exponentielle, démontrable en étudiant $g(x) = e^x - 1 -
x$ (minimum $0$ en $0$). Un outil de minoration
omniprésent, jusqu'aux limites de terminale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa
tangente en $0$, qui a pour équation $y = 1 + x$

]]> Bonne réponse : tangente en $0$ : $y = e^0 + e^0(x - 0)
= 1 + x$, et la courbe (convexe) la domine partout,
avec égalité au seul point de tangence.

]]> Parce que $e^x$ est toujours positif

]]> Insuffisant : $1 + x$ est parfois positif aussi ($x >
-1$) : la positivité ne compare pas les deux membres :
c'est la position par rapport à la tangente qui le fait.

]]> Parce que $e > 2$

]]> Hors sujet : la valeur de $e$ n'explique pas une
inégalité valable pour tout $x$ : l'argument est
géométrique (courbe/tangente).

]]> L'inégalité est fausse pour $x$ négatif

]]> Erreur : testez $x = -2$ : $e^{-2} \approx 0{,}14 \geq
-1$ : vrai. L'inégalité tient sur tout $\mathbb{R}$
(égalité en $x = 0$ seulement).

]]> Fonction exponentielle — Q23 : Résoudre $e^{2x} = e^{x}$ Quelles sont les solutions de $e^{2x} = e^x$ ?

]]> Deux voies sûres : injectivité ($e^a = e^b \iff a = b$) ou
factorisation par $e^x$ (jamais nul !). La factorisation
généralise mieux : $e^{2x} - 3e^x = 0$, etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 0$ seulement

]]> Bonne réponse : par injectivité, $2x = x \iff x = 0$.
(Ou en factorisant : $e^x(e^x - 1) = 0$, et $e^x \neq
0$ : reste $e^x = 1$.)

]]> $x = 0$ ou $x = 1$

]]> Contrôle : $x = 1$ : $e^2 \neq e$. L'équation $2x = x$
n'a qu'une solution : $0$.

]]> Aucune : les exposants sont différents

]]> Erreur : les exposants $2x$ et $x$ coïncident en $x
= 0$ : c'est exactement là que l'équation se résout.

]]> Tout réel $x$

]]> Erreur : $x = 1$ échoue déjà ($e^2 \approx 7{,}4$
contre $e \approx 2{,}7$) : l'égalité est
exceptionnelle, pas générale.

]]> Fonction exponentielle — Q24 : Signe de $e^x - 1$ Quel est le signe de $e^x - 1$ selon les valeurs de $x$ ?

]]> Signe de $e^x - 1$ = signe de $x$ (et plus généralement,
signe de $e^{u} - 1$ = signe de $u$) : brique récurrente
des tableaux de signes dès que l'exponentielle s'invite dans
une dérivée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Négatif pour $x < 0$, nul en $0$, positif pour $x > 0$ :
le signe de $x$

]]> Bonne réponse : $e^x - 1 > 0 \iff e^x > e^0 \iff x > 0$
(croissance stricte) : l'expression a exactement le
signe de $x$.

]]> Toujours positif, car une exponentielle est positive

]]> Le $-1$ change la donne : $e^{-1} - 1 \approx -0{,}63 <
0$ : c'est $e^x$ qui est toujours positif, pas $e^x -
1$.

]]> Toujours négatif

]]> Erreur : $e^1 - 1 \approx 1{,}72 > 0$ : le signe bascule
en $x = 0$.

]]> Positif pour $x < 0$, négatif pour $x > 0$

]]> Inversé : l'exponentielle croît : elle est sous $1$
avant $0$, au-dessus après.

]]>