$course$/QCM de maths/Première spécialité/Calcul vectoriel et produit scalaire Produit scalaire : projection orthogonale, formule avec le
cosinus, expression en base orthonormée, caractérisation de
l'orthogonalité, bilinéarité, développement de
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$, formule d'Al-Kashi, ensemble des
points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot
\overrightarrow{MB} = 0$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q01 : Produit scalaire en coordonnées Dans un repère orthonormé du plan, on donne
$\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(1\,;\,-2)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

]]> En base orthonormée : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
Ici $-4 < 0$ : l'angle entre les deux vecteurs est obtus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-4$

]]> Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' =
2 \times 1 + 3 \times (-2) = 2 - 6 = -4$.

]]> $8$

]]> Erreur de signe : $3 \times (-2) = -6$, pas $+6$. Total :
$2 - 6 = -4$.

]]> $(2\,;\,-6)$

]]> Erreur de nature : le produit scalaire est un nombre
(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur.

]]> $4$

]]> Erreur : le résultat est bien $4$ en valeur absolue, mais
négatif : $2 - 6 = -4$ (l'angle entre les vecteurs
est obtus).

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q02 : Caractériser l'orthogonalité À quelle condition deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?

]]> $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}
= 0$ (via $\cos\frac{\pi}{2} = 0$). En coordonnées :
$xx' + yy' = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

]]> Bonne réponse : la nullité du produit scalaire est la
caractérisation de l'orthogonalité : c'est son utilité
première.

]]> $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$

]]> Erreur : la valeur $1$ n'a rien de spécial. L'angle droit
correspond à $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, donc à un produit
scalaire nul.

]]> $\vec{u} = -\vec{v}$

]]> Erreur : des vecteurs opposés sont colinéaires
(angle plat), le contraire de perpendiculaires.

]]> $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$

]]> Erreur : l'égalité des longueurs ne dit rien de l'angle.
L'orthogonalité se teste par $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q03 : Formule avec le cosinus Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = 3$,
$\|\vec{v}\| = 4$ et l'angle entre eux vaut
$\dfrac{\pi}{3}$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

]]> $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|
\cos(\vec{u}\,,\,\vec{v})$. Avec $\cos\frac{\pi}{3} =
\frac{1}{2}$ : $6$. Choisir la formule adaptée aux données
(normes et angle, coordonnées, ou projection) est la capacité
clé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} =
\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta = 3 \times 4 \times
\dfrac{1}{2} = 6$.

]]> $12$

]]> Oubli du cosinus : $12 = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$
correspondrait à des vecteurs colinéaires de même sens
($\cos 0 = 1$). Ici $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

]]> $6\sqrt{3}$

]]> Erreur : tu as utilisé $\sin\dfrac{\pi}{3} =
\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le produit scalaire fait intervenir
le cosinus.

]]> $0$

]]> Erreur : le produit scalaire ne s'annule que pour un angle
droit ; or $\dfrac{\pi}{3} \neq \dfrac{\pi}{2}$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q04 : Signe du produit scalaire Que peut-on dire du signe de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ selon
l'angle $\theta$ entre les deux vecteurs (non nuls) ?

]]> Lecture géométrique du signe : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ du
signe de $\cos\theta$. Aigu : positif ; droit : nul ; obtus :
négatif. La projection orthogonale raconte la même chose
(projeté du même côté ou non).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Positif si $\theta$ est aigu, nul si $\theta$ est droit,
négatif si $\theta$ est obtus

]]> Bonne réponse : le signe du produit scalaire est celui de
$\cos\theta$ : positif avant $\frac{\pi}{2}$, nul à
$\frac{\pi}{2}$, négatif au-delà.

]]> Toujours positif, comme toute « multiplication » de
longueurs

]]> Erreur : le facteur $\cos\theta$ peut être négatif :
deux vecteurs « qui se tournent le dos » ont un produit
scalaire négatif.

]]> Positif si les deux vecteurs sont dans le même quadrant

]]> Erreur : les quadrants n'ont rien à voir : seul compte
l'angle entre les vecteurs (aigu ou obtus).

]]> Le signe dépend uniquement des normes

]]> Erreur : les normes sont toujours positives ; le signe
vient exclusivement du cosinus de l'angle.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q05 : Utiliser la bilinéarité Sachant que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$, que vaut
$(2\vec{u}) \cdot (3\vec{v})$ ?

]]> Bilinéarité : $(a\vec{u}) \cdot (b\vec{v}) = ab\,(\vec{u}
\cdot \vec{v})$ et distributivité sur les sommes. Ici :
$6 \times 3 = 18$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $18$

]]> Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :
$(2\vec{u}) \cdot (3\vec{v}) = 2 \times 3 \times
(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 6 \times 3 = 18$.

]]> $6$

]]> Erreur : $6 = 2 \times 3$ oublie le produit scalaire
initial. Les trois nombres se multiplient :
$2 \times 3 \times 3 = 18$.

]]> $9$

]]> Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti
($3 \times 3$). Chaque coefficient sort : $2 \times 3
\times 3$.

]]> $3$

]]> Erreur : les coefficients $2$ et $3$ ne disparaissent
pas : le produit scalaire est linéaire en chacun de
ses arguments.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q06 : Développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ Soient $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$. Que vaut
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ?

]]> Identité fondamentale : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 =
\|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
Lue à l'envers, elle définit le produit scalaire à partir
des normes (polarisation).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$

]]> Bonne réponse : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 +
2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 = 4 + 2 + 9 = 15$.

]]> $13$

]]> Oubli du double produit : $4 + 9 = 13$ ne vaudrait que
pour des vecteurs orthogonaux (Pythagore). Ici
$2\,\vec{u}\cdot\vec{v} = 2$ s'ajoute.

]]> $25$

]]> Erreur : $25 = (2+3)^2$ additionne les normes avant le
carré, ce qui supposerait des vecteurs colinéaires de
même sens. La formule exacte passe par le produit
scalaire.

]]> $14$

]]> Erreur : le double produit vaut $2 \times 1 = 2$, pas
$1$ : total $4 + 2 + 9 = 15$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q07 : Formule d'Al-Kashi Dans un triangle $ABC$, on donne $AB = 3$, $AC = 4$ et
$\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}$. Que vaut $BC$ ?

]]> Al-Kashi (démonstration au programme, par le produit
scalaire) : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$ : le
« Pythagore généralisé » aux triangles quelconques. Ici
$BC = \sqrt{13}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $BC = \sqrt{13}$

]]> Bonne réponse : Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 -
2 \times AB \times AC \times \cos\widehat{A} = 9 + 16 -
24 \times \dfrac{1}{2} = 13$.

]]> $BC = 5$

]]> Erreur : $25 = 9 + 16$ est le calcul de Pythagore,
valable seulement pour un angle droit en $A$. Ici
$\widehat{A} = \frac{\pi}{3}$ : le terme correctif
$-2bc\cos A$ retranche $12$.

]]> $BC = \sqrt{37}$

]]> Erreur de signe : $9 + 16 + 12 = 37$ ajoute le terme au
lieu de le retrancher. La formule porte un moins :
$b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.

]]> $BC = 13$

]]> Oubli de la racine : $13$ est $BC^2$. La longueur vaut
$\sqrt{13} \approx 3{,}6$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q08 : L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Quel est
l'ensemble des points $M$ vérifiant
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ ?

]]> $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0
\Leftrightarrow$ $M$ voit $[AB]$ sous un angle droit
$\Leftrightarrow$ $M$ appartient au cercle de diamètre
$[AB]$. Version vectorielle du théorème du cercle de Thalès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le cercle de diamètre $[AB]$

]]> Bonne réponse : la nullité du produit scalaire signifie
que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ (ou que $M$ est
en $A$ ou $B$) : c'est le cercle de diamètre $[AB]$
(démonstration au programme).

]]> La médiatrice de $[AB]$

]]> Erreur : la médiatrice est l'ensemble des points
équidistants de $A$ et $B$ ($MA = MB$), une autre
condition.

]]> La droite $(AB)$

]]> Erreur : sur la droite $(AB)$ (hors segment), les
vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$
sont colinéaires : produit scalaire non nul (sauf en $A$
et $B$).

]]> Le cercle de centre $A$ passant par $B$

]]> Erreur : ce cercle correspond à la condition $MA = AB$.
Notre condition parle d'un angle droit en $M$ :
cercle de diamètre $[AB]$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q09 : Produit scalaire par les normes Soient $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et
$\|\vec{u} + \vec{v}\| = 5$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

]]> Polarisation : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.
Le triplet $3$-$4$-$5$ redonne Pythagore : produit scalaire
nul, vecteurs orthogonaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ : les vecteurs sont orthogonaux

]]> Bonne réponse : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2
\right) = \dfrac{25 - 9 - 16}{2} = 0$. Le triangle
$3$-$4$-$5$ est rectangle !

]]> $12$

]]> Erreur : $12 = 3 \times 4$ supposerait un angle nul.
La formule de polarisation donne $\frac{25 - 25}{2} = 0$.

]]> $25$

]]> Erreur : $25$ est $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$, une étape du
calcul, pas le produit scalaire.

]]> $5$

]]> Erreur : aucune formule ne donne $5$. Polarisation :
$\frac{1}{2}(25 - 9 - 16) = 0$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q10 : Retrouver un angle Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que
$\vec{u} \cdot \vec{v} = -6$, $\|\vec{u}\| = 2$ et
$\|\vec{v}\| = 6$. Que vaut l'angle $\theta$ entre les deux
vecteurs ?

]]> $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,
\|\vec{v}\|}$ : ici $-\frac{1}{2}$, donc $\theta =
\frac{2\pi}{3}$. Le produit scalaire mesure les angles sans
rapporteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$

]]> Bonne réponse : $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{-6}{12} =
-\dfrac{1}{2}$, donc $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$
($120°$).

]]> $\theta = \dfrac{\pi}{3}$

]]> Erreur de signe : $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$, négatif :
l'angle est obtus. $\frac{\pi}{3}$ correspond à
$+\frac{1}{2}$.

]]> $\theta = \dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : l'angle droit exigerait un produit scalaire
nul ; ici il vaut $-6$.

]]> $\cos\theta = -6$

]]> Impossible : un cosinus reste entre $-1$ et $1$. Il faut
diviser par le produit des normes : $\frac{-6}{12} =
-\frac{1}{2}$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q11 : Déterminer un paramètre Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,k)$ et
$\vec{v}(2\,;\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?

]]> Méthode : écrire la condition $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ et
résoudre. $6 - k = 0 \Rightarrow k = 6$. (Ne pas confondre
avec le déterminant, qui teste la colinéarité.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $k = 6$

]]> Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - k = 0
\Leftrightarrow k = 6$. Vérification :
$(3\,;\,6) \cdot (2\,;\,-1) = 6 - 6 = 0$.

]]> $k = -6$

]]> Erreur de signe : l'équation est $3 \times 2 + k \times
(-1) = 6 - k = 0$, donc $k = +6$.

]]> $k = \dfrac{3}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{3}{2}$ rendrait les vecteurs
colinéaires ($\det = 3 \times (-1) - k \times 2 = 0$
donne $k = -\frac{3}{2}$… vérifie ton critère). Pour
l'orthogonalité, on annule le produit scalaire.

]]> $k = 0$

]]> Erreur : avec $k = 0$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \neq
0$ : pas orthogonaux.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q12 : Transformer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Quelle transformation de
l'expression $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$
est correcte (pour tout point $M$) ?

]]> Transformation au programme :
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
\frac{AB^2}{4}$ ($I$ milieu). On y lit le cercle de diamètre
$[AB]$ : produit nul $\Leftrightarrow MI = \frac{AB}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
\dfrac{AB^2}{4}$

]]> Bonne réponse : en insérant $I$ par Chasles,
$(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot
(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})$ se développe
en $MI^2 - IA^2$, et $IA = \dfrac{AB}{2}$.

]]> $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 +
\dfrac{AB^2}{4}$

]]> Erreur de signe : $\overrightarrow{IA}$ et
$\overrightarrow{IB}$ sont opposés : leur produit
scalaire vaut $-IA^2$, d'où le moins.

]]> $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MA^2 +
MB^2$

]]> Erreur : la somme des carrés des distances relève d'une
autre identité (théorème de la médiane). Le produit
scalaire se transforme en $MI^2 - IA^2$.

]]> $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
AB^2$

]]> Erreur de facteur : c'est $IA^2 = \left(\dfrac{AB}{2}
\right)^2 = \dfrac{AB^2}{4}$ qui se retranche, pas
$AB^2$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q13 : Un produit scalaire en coordonnées Soient $\vec{u}(3\ ;\ -1)$ et $\vec{v}(2\ ;\ 4)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

]]> En repère orthonormé : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ :
produits coordonnée à coordonnée, puis somme. Le résultat
est un réel (positif, négatif ou nul).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : $xx' + yy' = 3 \times 2 + (-1) \times 4
= 6 - 4 = 2$.

]]> $10$

]]> Signe : $(-1) \times 4 = -4$, à soustraire : $6 - 4
= 2$.

]]> $(6\ ;\ -4)$

]]> Erreur de nature : le produit scalaire est un
nombre, pas un vecteur : on additionne les produits
de coordonnées.

]]> $14$

]]> Croisement : $3 \times 4 + (-1) \times 2 = 10$… non
plus : la formule apparie $x$ avec $x'$ et $y$ avec
$y'$, sans croiser.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q14 : Norme d'un vecteur Que vaut la norme du vecteur $\vec{u}(3\ ;\ 4)$ ?

]]> $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ : Pythagore en habits
vectoriels. Lien avec le produit scalaire : $\|\vec{u}\|^2 =
\vec{u} \cdot \vec{u}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\|\vec{u}\| = 5$

]]> Bonne réponse : $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ : le
triangle $3$-$4$-$5$ (Pythagore).

]]> $\|\vec{u}\| = 7$

]]> Erreur : $3 + 4 = 7$ additionne les coordonnées : la
norme additionne leurs carrés puis prend la racine.

]]> $\|\vec{u}\| = 25$

]]> Racine oubliée : $25 = \|\vec{u}\|^2$ est le carré
scalaire : la longueur vaut $5$.

]]> $\|\vec{u}\| = 12$

]]> Erreur : $3 \times 4 = 12$ multiplie les coordonnées :
rien à voir avec la longueur.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q15 : Produit scalaire de vecteurs colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens,
avec $\|\vec{u}\| = 2$ et $\|\vec{v}\| = 5$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?

]]> $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ :
même sens ($\theta = 0$) : produit des normes ; sens
opposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères
mentaux du produit scalaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : angle nul, $\cos 0 = 1$ : le produit
scalaire atteint son maximum $\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| =
10$.

]]> $-10$

]]> Sens : $-10$ correspond aux vecteurs colinéaires de sens
contraires ($\cos \pi = -1$).

]]> $0$

]]> Erreur : $0$ signe l'orthogonalité : des vecteurs
alignés donnent au contraire le produit scalaire
extrême.

]]> $7$

]]> Erreur : $2 + 5 = 7$ additionne les normes : la formule
les multiplie (avec le cosinus, ici égal à $1$).

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q16 : Al-Kashi en action Dans un triangle, $b = 3$, $c = 5$ et l'angle entre eux vaut
$60°$. Que vaut le côté opposé $a$ ?

]]> Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$ :
Pythagore corrigé par l'angle. Angle aigu : on retranche ;
obtus : on ajoute ; droit : correction nulle : Pythagore
redevient exact.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a = \sqrt{19}$, car $a^2 = 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5
\times \dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 -
2bc\cos 60° = 34 - 15 = 19$.

]]> $a = \sqrt{34}$

]]> Pythagore appliqué à tort : $34 = 9 + 25$ vaudrait pour
un angle droit ; à $60°$, le terme correctif
$-2bc\cos 60° = -15$ s'impose.

]]> $a = \sqrt{49} = 7$

]]> Signe du correctif : $34 + 15 = 49$ correspondrait à
$\cos = -\frac{1}{2}$ ($120°$) : à $60°$, on
retranche.

]]> $a = 2$

]]> Erreur : $\sqrt{19} \approx 4{,}36$ : contrôle de
cohérence : $a$ doit rester entre $c - b = 2$ (exclu) et
$c + b = 8$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q17 : Retrouver l'angle par le cosinus Soient $\vec{u}(1\ ;\ 2)$ et $\vec{v}(3\ ;\ 1)$. Que vaut
l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

]]> Protocole : produit scalaire en coordonnées, normes, puis
$\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$, et reconnaissance de la valeur
remarquable ($\frac{\sqrt{2}}{2} \to 45°$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $45°$, car $\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} =
\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

]]> Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 + 2 = 5$,
normes $\sqrt{5}$ et $\sqrt{10}$ : $\cos\theta =
\frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : $45°$.

]]> $60°$

]]> Valeur croisée : $\cos 60° = \frac{1}{2} = 0{,}5$, or le
calcul donne $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ :
c'est $45°$.

]]> $90°$

]]> Erreur : le produit scalaire vaut $5 \neq 0$ : les
vecteurs ne sont pas orthogonaux.

]]> $5°$

]]> Erreur : $5$ est le produit scalaire, pas un angle :
il faut le diviser par le produit des normes puis
reconnaître le cosinus.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q18 : Produit scalaire par projection $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$,
et $H$ appartient à la demi-droite $[AB)$. Que vaut
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?

]]> Formule du projeté : $\overrightarrow{AB} \cdot
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot
\overrightarrow{AH} = \pm AB \times AH$ (signe selon la
position de $H$ par rapport à $A$). La vision géométrique du
produit scalaire : longueur × ombre portée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $AB \times AH$

]]> Bonne réponse : la projection remplace
$\overrightarrow{AC}$ par son ombre
$\overrightarrow{AH}$ sur la droite $(AB)$ : produit des
longueurs, positif car $H$ est du côté de $B$.

]]> $AB \times AC$

]]> Projection oubliée : $AB \times AC$ vaudrait pour des
vecteurs alignés : en général, seule la composante
projetée $AH$ compte.

]]> $AB \times HC$

]]> Mauvais segment : $HC$ est la partie perpendiculaire,
celle qui ne contribue en rien au produit scalaire.

]]> $0$, car $H$ est un projeté orthogonal

]]> Confusion : l'orthogonalité est entre $(CH)$ et $(AB)$ :
le produit $\overrightarrow{AB} \cdot
\overrightarrow{AC}$, lui, capte la partie alignée $AH
\neq 0$.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q19 : Paramètre d'orthogonalité Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(2\ ;\ m)$ et
$\vec{v}(3\ ;\ -1)$ sont-ils orthogonaux ?

]]> Orthogonalité $\iff xx' + yy' = 0$ : avec un paramètre,
cette condition devient une équation à résoudre. Le contrôle
final : $\vec{u}(2\ ;\ 6) \cdot \vec{v}(3\ ;\ -1) = 6 - 6 =
0$ ✓.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = 6$

]]> Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - m = 0 \iff
m = 6$ : l'orthogonalité se traduit en équation, d'une
inconnue ici.

]]> $m = -6$

]]> Signe : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 + m \times
(-1) = 6 - m$ : s'annule pour $m = +6$.

]]> $m = \dfrac{2}{3}$

]]> Confusion avec la colinéarité : $\frac{2}{3}$ sortirait
d'une proportionnalité : l'orthogonalité annule le
produit scalaire.

]]> Aucune valeur ne convient

]]> Erreur : l'équation $6 - m = 0$ a une solution : en
dimension $2$, on peut toujours ajuster une coordonnée
pour créer l'angle droit.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q20 : Produit scalaire par les normes On connaît $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 2$ et
$\|\vec{u} + \vec{v}\| = 4$. Que vaut $\vec{u} \cdot
\vec{v}$ ?

]]> Identité de polarisation : $\vec{u} \cdot \vec{v} =
\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 -
\|\vec{v}\|^2\right)$ : le produit scalaire se lit dans
trois longueurs : aucune coordonnée, aucun angle
nécessaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{2}$, car $\vec{u} \cdot \vec{v} =
\dfrac{16 - 9 - 4}{2}$

]]> Bonne réponse : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 +
2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ : isoler :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{16 - 13}{2} = \frac{3}{2}$.

]]> $3$

]]> Division par $2$ oubliée : le développement contient
$2\,\vec{u} \cdot \vec{v}$ : après isolation, on divise
par $2$.

]]> $16$

]]> Erreur : $16 = \|\vec{u}+\vec{v}\|^2$ est le point de
départ, pas la réponse : il faut lui retirer les carrés
des normes puis diviser par $2$.

]]> $6$

]]> Erreur : $6 = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|$ serait le produit
scalaire de vecteurs colinéaires de même sens : ici
les normes imposent un angle (cosinus $\frac{1}{4}$).

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q21 : Al-Kashi à l'envers : trouver l'angle Un triangle a pour côtés $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$. Que
vaut l'angle $\widehat{A}$ (opposé au côté $a$) ?

]]> Forme inversée d'Al-Kashi : $\cos\widehat{A} = \frac{b^2 +
c^2 - a^2}{2bc}$ : l'angle opposé au côté isolé au
numérateur. Trois côtés connus = tous les angles
accessibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60°$, car $\cos\widehat{A} = \dfrac{25 + 64 - 49}{2
\times 5 \times 8} = \dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : Al-Kashi inversé : $\cos\widehat{A} =
\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{40}{80} =
\frac{1}{2}$ : angle de $60°$.

]]> $30°$

]]> Valeur croisée : $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx
0{,}87 \neq 0{,}5$ : le calcul donne $\frac{1}{2}$,
donc $60°$.

]]> $90°$

]]> Test de Pythagore : $5^2 + 8^2 = 89 \neq 49$ : pas
d'angle droit en $A$ (le cosinus calculé, $0{,}5$, n'est
pas nul).

]]> Impossible sans les angles du triangle

]]> Erreur : trois côtés déterminent entièrement le
triangle : Al-Kashi en extrait chaque angle.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q22 : L'ensemble $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$ $A$ est un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul. Quel est
l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}
\cdot \vec{u} = 0$ ?

]]> Lignes de niveau du chapitre : $\overrightarrow{AM} \cdot
\vec{u} = 0$ : droite (normale $\vec{u}$) ;
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ : cercle
de diamètre $[AB]$ ; $AM = r$ : cercle. Reconnaître la
structure avant de calculer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{u}$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AM}$ doit rester
orthogonal à $\vec{u}$ : $M$ décrit la droite passant
par $A$ perpendiculaire à la direction de $\vec{u}$.

]]> La droite passant par $A$ dirigée par $\vec{u}$

]]> Contresens : sur cette droite, $\overrightarrow{AM}$ est
colinéaire à $\vec{u}$ : produit scalaire maximal
(en valeur absolue), pas nul.

]]> Le cercle de centre $A$

]]> Erreur : un cercle sortirait d'une condition de
distance ($AM = r$) ; ici la condition est
d'orthogonalité : une droite.

]]> Le seul point $A$

]]> Trop pauvre : $A$ convient ($\overrightarrow{AA} =
\vec{0}$), mais tout point de la perpendiculaire aussi :
l'ensemble est une droite entière.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q23 : L'identité du parallélogramme Que vaut $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 + \|\vec{u} -
\vec{v}\|^2$ ?

]]> Identité du parallélogramme : la somme des carrés des deux
diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.
Démonstration en deux lignes par développement : l'archétype
du calcul vectoriel efficace.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2\|\vec{u}\|^2 + 2\|\vec{v}\|^2$

]]> Bonne réponse : en développant les deux carrés, les
doubles produits $+2\vec{u}\cdot\vec{v}$ et
$-2\vec{u}\cdot\vec{v}$ s'annulent : restent les carrés,
deux fois chacun.

]]> $0$

]]> Erreur : une somme de carrés de normes ne s'annule que
si tout est nul : les doubles produits se compensent,
pas les carrés.

]]> $4\,\vec{u} \cdot \vec{v}$

]]> C'est la différence des deux carrés qui isole le
produit scalaire : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 -
\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = 4\vec{u}\cdot\vec{v}$.

]]> $2\|\vec{u}\|^2 - 2\|\vec{v}\|^2$

]]> Signe : les deux développements donnent
$+\|\vec{v}\|^2$ : la somme totale les additionne, sans
soustraction.

]]> Calcul vectoriel et produit scalaire — Q24 : Peut-on simplifier par $\vec{u}$ ? On sait que $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$
avec $\vec{u} \neq \vec{0}$. Peut-on conclure $\vec{v} =
\vec{w}$ ?

]]> Pas de « division » par un vecteur : $\vec{u} \cdot \vec{v}
= \vec{u} \cdot \vec{w} \iff \vec{u} \perp (\vec{v} -
\vec{w})$. Le produit scalaire ne voit que l'ombre portée
sur $\vec{u}$ : deux vecteurs différents peuvent projeter la
même ombre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : cela signifie seulement que $\vec{u} \perp
(\vec{v} - \vec{w})$

]]> Bonne réponse : l'égalité équivaut à $\vec{u} \cdot
(\vec{v} - \vec{w}) = 0$ : la différence peut être
n'importe quel vecteur orthogonal à $\vec{u}$, pas
seulement le vecteur nul.

]]> Oui : on simplifie par $\vec{u}$ comme avec des nombres

]]> Le piège exact : le produit scalaire n'est pas une
multiplication de nombres : il « écrase » la composante
orthogonale, qui reste donc libre : pas de
simplification.

]]> Oui, si $\vec{u}$ est unitaire

]]> Erreur : la norme de $\vec{u}$ ne change rien : même
unitaire, $\vec{u}$ ignore tout ce qui lui est
orthogonal.

]]> Non, sauf si $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont opposés

]]> Erreur : le cas d'égalité n'a rien à voir avec des
opposés : la conclusion correcte est l'orthogonalité de
$\vec{u}$ et $\vec{v} - \vec{w}$.

]]>