$course$/QCM de maths/Première spécialité/Le second degré Trinôme du second degré : forme canonique, discriminant, racines,
factorisation, somme et produit des racines, signe du trinôme,
parabole (sommet, orientation, lectures graphiques).

]]> Le second degré — Q01 : Calculer un discriminant Quel est le discriminant du trinôme $2x^2 - 3x + 1$ ?

]]> Pour $ax^2 + bx + c$ : $\Delta = b^2 - 4ac$. Avec $a = 2$,
$b = -3$, $c = 1$ : $\Delta = 9 - 8 = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\Delta = 1$

]]> Bonne réponse : $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2
\times 1 = 9 - 8 = 1$.

]]> $\Delta = 17$

]]> Erreur de signe : $9 + 8 = 17$ correspond à $b^2 + 4ac$. La
formule est $b^2 - 4ac$, avec un moins.

]]> $\Delta = -1$

]]> Erreur : $4ac - b^2 = -1$ inverse les deux termes. C'est
$b^2$ qui vient en premier : $b^2 - 4ac = 9 - 8 = 1$.

]]> $\Delta = 3$

]]> Erreur : tu as sans doute utilisé $b$ au lieu de $b^2$.
Ici $b = -3$ donc $b^2 = 9$, et $\Delta = 9 - 8 = 1$.

]]> Le second degré — Q02 : Calculer les racines Quelles sont les racines du trinôme $2x^2 - 3x + 1$
(on rappelle que $\Delta = 1$) ?

]]> $\Delta = 1 > 0$ : deux racines
$x = \dfrac{3 \pm 1}{2 \times 2}$, soit $x_1 = \dfrac{1}{2}$ et
$x_2 = 1$. Vérification : $2 \times 1 - 3 + 1 = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x_1 = \dfrac{1}{2}$ et $x_2 = 1$

]]> Bonne réponse : $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
= \dfrac{3 \pm 1}{4}$, soit $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
et $\dfrac{4}{4} = 1$.

]]> $x_1 = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = -1$

]]> Erreur de signe : $-b = -(-3) = +3$. Le numérateur est
$3 \pm 1$, pas $-3 \pm 1$.

]]> $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$

]]> Erreur de dénominateur : tu as divisé par $2$ au lieu de
$2a = 4$. La formule est $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

]]> Le trinôme n'a pas de racine réelle

]]> Erreur : $\Delta = 1 > 0$, donc il y a exactement deux
racines réelles distinctes.

]]> Le second degré — Q03 : Sommet et forme canonique Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 3$. Quelles sont les coordonnées du
sommet de la parabole représentant $f$ ?

]]> Forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ : le sommet de
la parabole est $S(\alpha\,;\,\beta)$. Ici $\alpha = 2$ et
$\beta = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : sous la forme canonique
$a(x - \alpha)^2 + \beta$, le sommet est $(\alpha\,;\,\beta)$,
ici $(2\,;\,3)$.

]]> $(-2\,;\,3)$

]]> Erreur de signe classique : dans $(x - \alpha)^2$, on lit
$\alpha = 2$ car $x - 2 = x - \alpha$. Le signe moins
fait que l'abscisse du sommet est $+2$.

]]> $(2\,;\,-3)$

]]> Erreur : $\beta = +3$ se lit directement, sans changement de
signe. Seul $\alpha$ est affecté par le moins de la formule.

]]> $(3\,;\,2)$

]]> Erreur d'inversion : $\alpha = 2$ est l'abscisse et
$\beta = 3$ l'ordonnée du sommet, pas l'inverse.

]]> Le second degré — Q04 : Signe d'un trinôme Le trinôme $x^2 - 4x + 3$ a pour racines $1$ et $3$.
Sur quel ensemble est-il strictement négatif ?

]]> Règle du signe d'un trinôme avec deux racines : signe de $a$ à
l'extérieur des racines, signe opposé entre elles. Ici $a = 1 > 0$
donc $x^2 - 4x + 3 < 0$ exactement sur $]1\,;\,3[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $]1\,;\,3[$

]]> Bonne réponse : $a = 1 > 0$, donc le trinôme est du signe de
$a$ (positif) à l'extérieur des racines et du signe contraire
(négatif) entre les racines.

]]> Sur $]-\infty\,;\,1[ \cup ]3\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : c'est là que le trinôme est positif (signe de
$a$ à l'extérieur des racines, avec $a = 1 > 0$).

]]> Sur $[1\,;\,3]$

]]> Presque : entre les racines le trinôme est bien négatif,
mais en $1$ et $3$ il s'annule. « Strictement négatif »
exclut les racines : intervalle ouvert.

]]> Nulle part, car $a > 0$

]]> Erreur : $a > 0$ garantit un signe positif seulement si
$\Delta < 0$. Ici il y a deux racines, donc le trinôme change
de signe.

]]> Le second degré — Q05 : Somme et produit des racines Le trinôme $x^2 - 5x + 6$ admet deux racines. Que valent leur
somme $S$ et leur produit $P$ ?

]]> Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :
$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $P = x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Ici $S = 5$, $P = 6$ (racines $2$ et $3$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $S = 5$ et $P = 6$

]]> Bonne réponse : $S = -\dfrac{b}{a} = 5$ et
$P = \dfrac{c}{a} = 6$. Les racines sont d'ailleurs $2$ et
$3$.

]]> $S = -5$ et $P = 6$

]]> Erreur de signe : $S = -\dfrac{b}{a}$ avec $b = -5$ donne
$S = +5$. Le moins de la formule et celui de $b$ se
compensent.

]]> $S = 6$ et $P = 5$

]]> Erreur d'inversion : la somme se lit sur $b$
($S = -b/a$) et le produit sur $c$ ($P = c/a$).

]]> $S = 5$ et $P = -6$

]]> Erreur de signe sur le produit : $P = \dfrac{c}{a} =
\dfrac{6}{1} = 6$, sans changement de signe.

]]> Le second degré — Q06 : Orientation de la parabole Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a < 0$. Que peut-on dire de la
parabole représentant $f$ ?

]]> Le signe de $a$ donne l'orientation : $a > 0$ branches vers le
haut (sommet minimum), $a < 0$ branches vers le bas (sommet
maximum).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum

]]> Bonne réponse : quand $a < 0$, les branches descendent et le
sommet est le point le plus haut de la courbe.

]]> Elle est tournée vers le haut et son sommet est un minimum

]]> Erreur : c'est la situation $a > 0$. Le signe de $a$ commande
l'orientation des branches.

]]> Elle est tournée vers le bas et son sommet est un minimum

]]> Incohérent : si les branches descendent, le sommet est
au-dessus de tout le reste, c'est un maximum.

]]> Son orientation dépend du signe de $c$

]]> Erreur : $c = f(0)$ ne fixe que le point d'intersection avec
l'axe des ordonnées. L'orientation dépend uniquement du signe
de $a$.

]]> Le second degré — Q07 : Lire les racines sur la parabole Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de f(x) = -x² + 2x + 3.

La parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous représente un trinôme du
second degré $f$. Quelles sont les racines de $f$ ?

]]> Les racines d'un trinôme sont les abscisses des intersections de
sa parabole avec l'axe des abscisses : ici $x = -1$ et $x = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ et $3$

]]> Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points où
la parabole coupe l'axe des abscisses, ici $-1$ et $3$.

]]> $1$ et $3$

]]> Erreur de lecture : $1$ est l'abscisse du sommet, pas un
point de traversée de l'axe des abscisses. La courbe coupe
l'axe en $x = -1$, à gauche de l'origine.

]]> $1$ et $4$

]]> Erreur : $(1\,;\,4)$ sont les coordonnées du sommet. Les
racines se lisent sur l'axe des abscisses, là où $f$
s'annule.

]]> $3$ seulement

]]> Oubli : la parabole traverse l'axe des abscisses en deux
points. N'oublie pas l'intersection du côté négatif,
en $x = -1$.

]]> Le second degré — Q08 : Signe de $a$ et de $\Delta$ d'après la courbe Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de f(x) = -x² + 2x + 3.

D'après la parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous, quels sont les
signes de $a$ (coefficient dominant) et de $\Delta$
(discriminant) ?

]]> Deux informations graphiques : l'orientation des branches donne le
signe de $a$ (ici vers le bas, $a < 0$) ; le nombre
d'intersections avec l'axe des abscisses donne le signe de
$\Delta$ (ici deux points, $\Delta > 0$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a < 0$ et $\Delta > 0$

]]> Bonne réponse : branches vers le bas donc $a < 0$ ; deux
intersections avec l'axe des abscisses donc deux racines,
donc $\Delta > 0$.

]]> $a > 0$ et $\Delta > 0$

]]> Erreur sur $a$ : les branches de la parabole descendent,
donc $a < 0$.

]]> $a < 0$ et $\Delta < 0$

]]> Erreur sur $\Delta$ : la courbe coupe l'axe des
abscisses (deux racines réelles), donc $\Delta > 0$.
$\Delta < 0$ correspondrait à une parabole entièrement d'un
côté de l'axe.

]]> $a < 0$ et $\Delta = 0$

]]> Erreur : $\Delta = 0$ signifierait que la parabole touche
l'axe des abscisses en un seul point (racine double). Ici
elle le traverse en deux points distincts.

]]> Le second degré — Q09 : Cas $\Delta < 0$ Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $\Delta < 0$. Que peut-on en
déduire ?

]]> Si $\Delta < 0$, le trinôme n'a pas de racine réelle : sa
parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses, donc il garde un
signe constant, celui de $a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le trinôme garde le signe de $a$ pour tout réel $x$

]]> Bonne réponse : sans racine réelle, le trinôme ne peut pas
changer de signe : il reste du signe de $a$ sur tout
$\mathbb{R}$.

]]> Le trinôme est strictement positif pour tout réel $x$

]]> Incomplet : c'est vrai seulement si de plus $a > 0$. Avec
$a < 0$ et $\Delta < 0$, le trinôme est toujours
négatif.

]]> Le trinôme admet une racine double

]]> Erreur : la racine double correspond à $\Delta = 0$. Avec
$\Delta < 0$, il n'y a aucune racine réelle.

]]> Le trinôme change de signe en $x = -\dfrac{b}{2a}$

]]> Erreur : $-\dfrac{b}{2a}$ est l'abscisse du sommet, pas un
point de changement de signe. Sans racine, aucun changement
de signe n'est possible.

]]> Le second degré — Q10 : Factoriser un trinôme Quelle est la forme factorisée de $x^2 - x - 6$ ?

]]> Racines de $x^2 - x - 6$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$,
$x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$, soit $3$ et $-2$. D'où la
factorisation $a(x - x_1)(x - x_2) = (x - 3)(x + 2)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 3)(x + 2)$

]]> Bonne réponse : les racines sont $3$ et $-2$ (avec
$\Delta = 25$), donc
$x^2 - x - 6 = (x - 3)\left(x - (-2)\right) = (x-3)(x+2)$.

]]> $(x + 3)(x - 2)$

]]> Erreur de signes : ce produit se développe en
$x^2 + x - 6$. Vérifie toujours le terme en $x$ après
factorisation.

]]> $(x - 6)(x + 1)$

]]> Erreur : ce produit vaut $x^2 - 5x - 6$. Le produit des
racines doit valoir $-6$ et leur somme $1$ : c'est
$3$ et $-2$, pas $6$ et $-1$.

]]> $(x - 2)(x - 3)$

]]> Erreur : ce produit vaut $x^2 - 5x + 6$, dont le terme
constant est $+6$. Ici il faut un produit de racines égal à
$-6$, donc deux racines de signes opposés.

]]> Le second degré — Q11 : Résoudre une inéquation du second degré Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$x^2 - 2x - 8 < 0$ ?

]]> $\Delta = 4 + 32 = 36$, racines $\dfrac{2 \pm 6}{2} = 4$ et
$-2$. Avec $a > 0$, le trinôme est strictement négatif entre ses
racines : $S = \,]-2\,;\,4[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-2\,;\,4[$

]]> Bonne réponse : les racines sont $-2$ et $4$
($\Delta = 36$), et comme $a = 1 > 0$, le trinôme est
négatif strictement entre ses racines.

]]> $]-\infty\,;\,-2[ \cup ]4\,;\,+\infty[$

]]> Erreur de règle : à l'extérieur des racines, le trinôme est
du signe de $a = 1 > 0$, donc positif. La partie négative
est entre les racines.

]]> $[-2\,;\,4]$

]]> Attention au strict : l'inégalité est $< 0$, or le trinôme
s'annule en $-2$ et $4$. Ces bornes sont donc exclues :
intervalle ouvert.

]]> $]2\,;\,4[$

]]> Erreur de calcul des racines : $x = \dfrac{2 \pm 6}{2}$
donne $4$ et $-2$, pas $2$. Reprends la formule
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

]]> Le second degré — Q12 : Extremum d'un trinôme Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 1$. Quel est l'extremum de $f$ sur
$\mathbb{R}$, et en quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

]]> L'extremum d'un trinôme est atteint en $x = -\dfrac{b}{2a} = 2$ ;
$f(2) = -7$. Le signe de $a$ ($2 > 0$) indique que la parabole
est tournée vers le haut : c'est un minimum.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un minimum égal à $-7$, atteint en $x = 2$

]]> Bonne réponse : $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{8}{4} = 2$ et
$f(2) = 8 - 16 + 1 = -7$. Comme $a = 2 > 0$, c'est un
minimum.

]]> Un maximum égal à $-7$, atteint en $x = 2$

]]> Erreur d'orientation : $a = 2 > 0$, la parabole est tournée
vers le haut, son sommet est donc un minimum.

]]> Un minimum égal à $1$, atteint en $x = 0$

]]> Erreur : $1 = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine, pas
l'extremum. Le sommet est en $x = -\dfrac{b}{2a} = 2$.

]]> Un minimum égal à $-7$, atteint en $x = -2$

]]> Erreur de signe : $-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{4} = +2$.
Le moins de la formule et celui de $b = -8$ se compensent.

]]>