$course$/QCM de maths/Première spécialité/Suites numériques, modèles discrets Modes de génération d'une suite (formule explicite, relation de
récurrence), suites arithmétiques et géométriques : terme
général, sommes $1 + 2 + \cdots + n$ et $1 + q + \cdots + q^n$,
sens de variation, modélisation d'évolutions discrètes et
intuition de la notion de limite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q01 : Reconnaître une suite arithmétique Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n + 5$.
Quelle est la nature de cette suite ?

]]> Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ (accroissement
constant $r$) ; suite géométrique : $u_{n+1} = q \times u_n$
(taux constant). Ici : arithmétique, $r = 5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique de raison $5$

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en
ajoutant toujours $5$ : c'est la définition d'une
suite arithmétique de raison $5$.

]]> Géométrique de raison $5$

]]> Erreur : géométrique signifierait multiplier par $5$ à
chaque étape ($u_{n+1} = 5u_n$). Ici on ajoute.

]]> Arithmétique de raison $2$

]]> Erreur : $2$ est le premier terme $u_0$, pas la
raison. La raison est le nombre ajouté à chaque étape :
$5$.

]]> Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : l'ajout d'une constante à chaque rang est
exactement le modèle arithmétique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q02 : Terme général d'une suite arithmétique Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de
raison $r = 2$. Que vaut $u_{10}$ ?

]]> Terme général d'une suite arithmétique (démonstration au
programme) : $u_n = u_0 + n\,r$. Ici $u_{10} = 3 + 10 \times
2 = 23$. Lien avec les fonctions affines : $u_n = f(n)$ avec
$f(x) = 2x + 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $23$

]]> Bonne réponse : $u_n = u_0 + n\,r$, donc
$u_{10} = 3 + 10 \times 2 = 23$.

]]> $21$

]]> Erreur d'indice : $21 = 3 + 9 \times 2$ utilise la formule
$u_0 + (n-1)r$, valable pour un premier terme $u_1$. Avec
$u_0$, on ajoute $n$ fois la raison.

]]> $3 \times 2^{10} = 3072$

]]> Erreur de modèle : les puissances relèvent des suites
géométriques. Une arithmétique avance par additions :
$u_{10} = 3 + 20$.

]]> $30$

]]> Erreur : $30 = 3 \times 10$ multiplie le premier terme par
l'indice. La formule est $u_0 + n\,r = 3 + 20 = 23$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q03 : Terme général d'une suite géométrique Soit $(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de
raison $q = 2$. Que vaut $v_4$ ?

]]> Terme général d'une suite géométrique (démonstration au
programme) : $v_n = v_0 \times q^n$. Ici $5 \times 2^4 = 80$.
Lien avec l'exponentielle : croissance à taux constant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $80$

]]> Bonne réponse : $v_n = v_0 \times q^n$, donc
$v_4 = 5 \times 2^4 = 5 \times 16 = 80$.

]]> $40$

]]> Erreur d'exposant : $40 = 5 \times 2^3$. De $v_0$ à
$v_4$, on multiplie quatre fois par la raison :
$q^4 = 16$.

]]> $13$

]]> Erreur de modèle : $13 = 5 + 4 \times 2$ est le calcul
arithmétique. Une géométrique multiplie :
$5 \times 2^4$.

]]> $625$

]]> Erreur : $625 = 5^4$ élève le premier terme à la
puissance. La formule est $v_0 \times q^n$ : seule la
raison porte l'exposant.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q04 : Reconnaître une suite géométrique Les premiers termes d'une suite sont $3$, $6$, $12$, $24$.
Quel modèle reconnaît-on ?

]]> Réflexe de diagnostic : différences constantes $\to$
arithmétique ; rapports constants $\to$ géométrique. Ici
chaque terme est le double du précédent : géométrique de
raison $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une suite géométrique de raison $2$

]]> Bonne réponse : le rapport de deux termes consécutifs
est constant : $\dfrac{6}{3} = \dfrac{12}{6} =
\dfrac{24}{12} = 2$.

]]> Une suite arithmétique de raison $3$

]]> Erreur : les écarts valent $3$, $6$, $12$ : ils ne sont
pas constants. C'est le quotient qui l'est : modèle
géométrique.

]]> Une suite géométrique de raison $3$

]]> Erreur : $3$ est le premier terme. La raison est le
rapport entre termes consécutifs : $2$.

]]> Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : le rapport constant $2$ signe une suite
géométrique (chaque terme double).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q05 : Sens de variation Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 3 \times 0{,}8^n$. Quel est le
sens de variation de cette suite ?

]]> Suite géométrique de premier terme positif : croissante si
$q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$.
Ici $q = 0{,}8$ : décroissante (modèle des décroissances à
taux constant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante

]]> Bonne réponse : chaque terme est multiplié par
$0{,}8 < 1$ (et les termes sont positifs) : la suite
diminue à chaque rang.

]]> Croissante

]]> Erreur : multiplier par un nombre entre $0$ et $1$
réduit une quantité positive : $3$ ; $2{,}4$ ;
$1{,}92$…

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison $q = 1$. Ici
$q = 0{,}8 \neq 1$.

]]> Ni croissante ni décroissante

]]> Erreur : le signe de $u_{n+1} - u_n = 3 \times 0{,}8^n
\times (0{,}8 - 1) < 0$ est constant : décroissance à
chaque rang.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q06 : La somme $1 + 2 + \cdots + n$ Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ ?

]]> Formule (démonstration au programme) : $1 + 2 + \cdots + n =
\dfrac{n(n+1)}{2}$. Idée de la preuve : écrire la somme dans
les deux sens et additionner, chaque colonne vaut $n + 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5050$

]]> Bonne réponse : $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$,
donc $\dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$ (la légende de
Gauss écolier).

]]> $10\,100$

]]> Oubli de la division par $2$ : $100 \times 101$ compte
chaque paire deux fois (la somme à l'endroit plus la somme
à l'envers).

]]> $5000$

]]> Erreur : $5000 = \dfrac{100 \times 100}{2}$. Le second
facteur est $n + 1 = 101$, d'où $5050$.

]]> $4950$

]]> Erreur : $4950 = \dfrac{99 \times 100}{2}$ est la somme
$1 + \cdots + 99$. Il manque le terme $100$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q07 : Somme de termes d'une suite géométrique Que vaut la somme $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^9$ ?

]]> Formule (démonstration au programme) : $1 + q + \cdots + q^n
= \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$. Avec $q = 2$,
$n = 9$ : $2^{10} - 1 = 1023$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^{10} - 1 = 1023$

]]> Bonne réponse : $1 + q + \cdots + q^n =
\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, ici $\dfrac{1 - 2^{10}}{1 -
2} = 2^{10} - 1$.

]]> $1024$

]]> Presque : $1024 = 2^{10}$ est le terme suivant de la
suite. La somme des dix premiers termes vaut un de moins :
$1023$.

]]> $512$

]]> Erreur : $512 = 2^9$ n'est que le dernier terme de la
somme, pas la somme elle-même.

]]> $2046$

]]> Erreur : $2046 = 2^{11} - 2$ correspondrait à la somme
$2 + 4 + \cdots + 2^{10}$. Notre somme commence à $1 =
2^0$ et s'arrête à $2^9$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q08 : Modes de génération d'une suite La suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ est
donnée par :

]]> Deux grands modes de génération : explicite ($u_n = f(n)$,
accès direct au rang $n$) et par récurrence ($u_{n+1} =
f(u_n)$, calcul de proche en proche). Passer de l'un à l'autre
est un enjeu du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une relation de récurrence

]]> Bonne réponse : chaque terme se calcule à partir du
précédent : pour connaître $u_{10}$, on remonte de
proche en proche (ou on cherche une formule explicite).

]]> Une formule explicite

]]> Erreur : une formule explicite donnerait $u_n$
directement en fonction de $n$ (comme $u_n = 2^{n+1}
- 1$, qui est d'ailleurs la version explicite de cette
suite).

]]> La définition d'une suite arithmétique

]]> Erreur : la présence du facteur $2$ devant $u_n$ sort du
modèle arithmétique ($u_{n+1} = u_n + r$).

]]> La définition d'une suite géométrique

]]> Erreur : le $+1$ sort du modèle géométrique ($u_{n+1} =
q\,u_n$). C'est un mélange des deux (suite
arithmético-géométrique, étudiée en terminale).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q09 : Modéliser un placement Un capital de $1000$ euros est placé à $3\ \%$ d'intérêts par
an (intérêts composés). On note $C_n$ le capital après $n$
années. Quelle est la nature de la suite $(C_n)$ ?

]]> Automatisme central (au programme) : une évolution à taux
fixe se modélise par une suite géométrique de raison le
coefficient multiplicateur. $+3\ \%$ par an :
$C_n = 1000 \times 1{,}03^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison $1{,}03$

]]> Bonne réponse : chaque année, le capital est multiplié par
$1{,}03$ (coefficient multiplicateur de $+3\ \%$) :
$C_{n+1} = 1{,}03\,C_n$.

]]> Arithmétique de raison $30$

]]> Erreur : $+30$ euros par an vaudrait pour des intérêts
simples (toujours calculés sur $1000$). Composés, les
intérêts produisent des intérêts : modèle multiplicatif.

]]> Géométrique de raison $0{,}03$

]]> Erreur : multiplier par $0{,}03$ réduirait le capital à
$3\ \%$ de sa valeur ! Le coefficient d'une hausse de
$3\ \%$ est $1 + 0{,}03 = 1{,}03$.

]]> Géométrique de raison $3$

]]> Erreur : raison $3$ signifierait tripler chaque année. Le
taux se convertit en coefficient : $1{,}03$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q10 : Taux d'évolution équivalent Une population augmente de $10\ \%$ par an pendant deux ans.
Quel est le taux d'évolution global sur les deux ans ?

]]> Évolutions successives (automatisme) : on multiplie les
coefficients. $n$ années à $+10\ \%$ : coefficient
$1{,}1^n$ : c'est exactement le lien entre taux fixe et suite
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+21\ \%$

]]> Bonne réponse : les coefficients se multiplient :
$1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21\ \%$ (les
$10\ \%$ de la deuxième année portent sur une base déjà
augmentée).

]]> $+20\ \%$

]]> Le piège additif : les taux ne s'additionnent pas. La
deuxième hausse s'applique à la population déjà
augmentée : $1{,}1^2 = 1{,}21$.

]]> $+121\ \%$

]]> Confusion : $1{,}21$ est le coefficient ; le taux
d'évolution en est la partie au-delà de $1$ : $21\ \%$.

]]> $+12\ \%$

]]> Erreur : aucun calcul ne mène à $12\ \%$. Deux hausses de
$10\ \%$ composées : $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q11 : Conjecturer une limite Soit $u_n = \dfrac{1}{n}$ pour $n \geq 1$ : les termes valent
$1$ ; $0{,}5$ ; $0{,}33\ldots$ ; $0{,}25$… Que peut-on
conjecturer sur le comportement de $(u_n)$ quand $n$ devient
très grand ?

]]> Sensibilisation à la limite (au programme, sans
formalisation) : observer numériquement le comportement des
termes pour $n$ grand. $\frac{1}{n}$ tend vers $0$,
$q^n$ ($0<q<1$) aussi, $n^2$ devient arbitrairement grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les termes se rapprochent de $0$ : la suite semble tendre
vers $0$

]]> Bonne réponse : $u_{1000} = 0{,}001$,
$u_{10^6} = 0{,}000001$ : les termes s'écrasent vers $0$
sans jamais l'atteindre. (La formalisation de la limite
attendra la terminale.)

]]> La suite tend vers $1$

]]> Erreur : $1$ n'est que le premier terme. La suite
s'en éloigne dès le rang $2$ et continue de descendre.

]]> Les termes finissent par devenir négatifs

]]> Erreur : $\dfrac{1}{n}$ reste strictement positif pour
tout $n \geq 1$ : la suite s'approche de $0$ par valeurs
positives.

]]> La suite n'a aucun comportement prévisible

]]> Erreur : la décroissance vers $0$ est parfaitement
régulière : c'est l'exemple type d'une suite qui « tend
vers » une valeur.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q12 : Suite définie par un motif Pour $n \geq 1$, on note $u_n = n^2$ le nombre de carreaux
d'un carré de côté $n$ : $1$, $4$, $9$, $16$… Cette suite
est-elle arithmétique ou géométrique ?

]]> Toutes les suites ne sont pas arithmétiques ou géométriques !
Les suites de motifs (nombres figurés) en donnent des exemples
naturels : $u_n = n^2$ a des accroissements arithmétiques
($2n+1$ : les nombres impairs), mais n'est ni arithmétique ni
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre : les écarts ($3$, $5$, $7$…) et les
quotients varient

]]> Bonne réponse : les différences $u_{n+1} - u_n = 2n + 1$
croissent, et les rapports $\frac{4}{1} \neq \frac{9}{4}$
varient : aucun des deux modèles ne convient.

]]> Arithmétique, car les termes augmentent régulièrement

]]> Erreur : « augmenter régulièrement » ne suffit pas :
l'arithmétique exige un écart constant. Ici les écarts
$3$, $5$, $7$ grandissent.

]]> Géométrique, car $4 = 4 \times 1$

]]> Erreur : le rapport suivant vaut $\dfrac{9}{4} = 2{,}25
\neq 4$ : le quotient n'est pas constant.

]]> Arithmétique de raison $3$

]]> Erreur : l'écart $3$ ne tient qu'entre $u_1$ et $u_2$ ;
ensuite $9 - 4 = 5$. Une seule vérification ne suffit
jamais.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q13 : Ni arithmétique, ni géométrique La suite définie par $u_n = n^2$ est-elle arithmétique ou
géométrique ?

]]> Beaucoup de suites ne sont d'aucun des deux modèles : le
test (différence constante ? quotient constant ?) doit être
vérifié sur tous les rangs, et un seul contre-exemple
suffit à réfuter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre : les différences valent $1, 3, 5,
\dots$ et les quotients varient aussi

]]> Bonne réponse : $u_1 - u_0 = 1$ mais $u_2 - u_1 = 3$ :
pas de raison additive ; $\frac{u_2}{u_1} = 4$ mais
$\frac{u_3}{u_2} = \frac{9}{4}$ : pas de raison
multiplicative.

]]> Arithmétique de raison $2$

]]> Erreur : $u_1 - u_0 = 1 \neq u_2 - u_1 = 3$ : la
différence n'est pas constante (elle augmente de $2$ à
chaque pas, mais ce n'est pas la définition).

]]> Géométrique de raison $n$

]]> Erreur de concept : une raison est une constante :
un quotient qui dépend de $n$ disqualifie la suite.

]]> Les deux à la fois

]]> Erreur : seules les suites constantes (non nulles)
cumulent les deux statuts : $n^2$ n'est ni l'un ni
l'autre.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q14 : Retrouver raison et premier terme Une suite arithmétique vérifie $u_3 = 11$ et $u_7 = 23$. Que
valent la raison $r$ et $u_0$ ?

]]> Entre deux termes d'une suite arithmétique : $u_q = u_p +
(q - p)r$, d'où $r = \frac{u_q - u_p}{q - p}$ : une pente,
exactement comme pour une droite. Puis on remonte à $u_0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $r = 3$ et $u_0 = 2$

]]> Bonne réponse : de $u_3$ à $u_7$ : $4$ pas pour $+12$,
donc $r = 3$ ; puis $u_0 = u_3 - 3r = 11 - 9 = 2$.

]]> $r = 12$ et $u_0 = 11$

]]> Erreur : $12$ est l'écart total sur $4$ rangs : la
raison est l'écart par pas : $\frac{12}{4} = 3$.

]]> $r = 3$ et $u_0 = 11$

]]> Erreur : $11 = u_3$, pas $u_0$ : il faut reculer de
trois pas : $11 - 9 = 2$.

]]> $r = 4$ et $u_0 = -1$

]]> Erreur : $4$ est le nombre de pas entre $u_3$ et
$u_7$, pas la raison ($\frac{23 - 11}{7 - 3} = 3$).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q15 : Somme de termes en progression arithmétique Que vaut la somme $5 + 8 + 11 + \dots + 35$ (termes en
progression arithmétique de raison $3$) ?

]]> Somme arithmétique = (nombre de termes) × (premier +
dernier)/2 : la méthode de Gauss. Deux pièges : compter les
termes (écarts + 1) et diviser la somme des extrêmes par
$2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $220$ : onze termes de moyenne $\dfrac{5 + 35}{2} = 20$

]]> Bonne réponse : nombre de termes : $\frac{35 - 5}{3} + 1
= 11$ ; somme = nombre de termes × moyenne des
extrêmes : $11 \times 20 = 220$.

]]> $200$ : dix termes de moyenne $20$

]]> Terme manquant : $\frac{35 - 5}{3} = 10$ compte les
écarts, pas les termes : il y en a $10 + 1 = 11$ (le
piège du « +1 »).

]]> $440$

]]> Division oubliée : $11 \times 40$ prend la somme des
extrêmes au lieu de leur moyenne : diviser par $2$.

]]> $40$

]]> Erreur : $5 + 35 = 40$ n'additionne que les deux bouts :
la formule multiplie leur moyenne par le nombre de
termes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q16 : Variation par la différence Une suite vérifie $u_{n+1} - u_n = 2n + 1$ pour tout $n$.
Que peut-on en conclure ?

]]> Méthode reine pour les variations : étudier le signe de
$u_{n+1} - u_n$. Positif pour tout $n$ : croissante ;
négatif : décroissante. (Pour les suites à termes positifs,
comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ marche aussi.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite est strictement croissante, car $2n + 1 > 0$
pour tout $n \geq 0$

]]> Bonne réponse : la différence $u_{n+1} - u_n$ est
positive à chaque rang : chaque terme dépasse le
précédent : croissance stricte (sans connaître $u_0$ !).

]]> La suite est arithmétique de raison $2n + 1$

]]> Erreur : une raison doit être constante : ici la
différence grandit avec $n$ : croissante oui,
arithmétique non.

]]> On ne peut rien dire sans connaître $u_0$

]]> Erreur : le sens de variation ne dépend que du signe
des différences : $u_0$ fixe le point de départ, pas
la pente.

]]> La suite est décroissante

]]> Signe mal lu : $2n + 1 \geq 1 > 0$ : les différences
sont toutes positives : la suite monte.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q17 : Dépassement de seuil Un capital de $1\,000$ euros est placé à $5\ \%$ par an
(suite $c_n = 1000 \times 1{,}05^n$). À partir de quelle
année dépasse-t-il $2\,000$ euros, sachant que
$1{,}05^{14} \approx 1{,}98$ et $1{,}05^{15} \approx
2{,}08$ ?

]]> Recherche de seuil pour une suite géométrique : premier $n$
tel que $q^n$ dépasse le rapport visé : par balayage
(calculatrice ou boucle while c < 2000). La réponse est le
PREMIER rang qui franchit, à vérifier des deux côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au bout de $15$ ans

]]> Bonne réponse : il faut $1{,}05^n > 2$ : encore
$1{,}98 < 2$ au rang $14$, et $2{,}08 > 2$ au rang
$15$ : premier dépassement à $n = 15$.

]]> Au bout de $14$ ans

]]> Lecture trop rapide : $1000 \times 1{,}98 = 1980 <
2000$ : le seuil n'est pas encore franchi au rang $14$.

]]> Au bout de $20$ ans : $5\ \% \times 20 = 100\ \%$

]]> Raisonnement linéaire sur un phénomène multiplicatif :
les intérêts composés s'accumulent plus vite : le
doublement arrive dès $15$ ans.

]]> Jamais : le capital croît de moins en moins

]]> Contresens : la croissance géométrique de raison $> 1$
s'accélère en valeur absolue : tout seuil finit par
tomber.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q18 : Le cas mixte $u_{n+1} = 2u_n + 3$ La suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$
est-elle arithmétique ou géométrique ?

]]> $u_{n+1} = au_n + b$ (avec $a \neq 1$, $b \neq 0$) : suite
arithmético-géométrique : aucun des deux modèles purs.
Le test numérique sur trois termes suffit toujours à le
montrer. (Leur étude complète attend la terminale.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre : les premiers termes $1, 5, 13,
29$ n'ont ni différence ni quotient constants

]]> Bonne réponse : différences $4, 8, 16$ (variables),
quotients $5, 2{,}6, 2{,}23$ (variables aussi) : le
mélange « fois $2$ plus $3$ » sort des deux modèles
purs.

]]> Géométrique de raison $2$

]]> Le $+3$ gâche tout : $\frac{u_1}{u_0} = 5 \neq 2$ :
sans le terme additif, elle serait géométrique ; avec,
elle ne l'est plus.

]]> Arithmétique de raison $3$

]]> Le $\times 2$ gâche tout : $u_1 - u_0 = 4 \neq 3$ : le
doublement rompt la régularité additive.

]]> Arithmétique ET géométrique

]]> Erreur : cumuler les deux exigerait une suite constante ;
celle-ci explose ($1, 5, 13, 29, \dots$).

]]>