$course$/QCM de maths/Première spécialité/Trigonométrie Cercle trigonométrique, radian et longueur d'arc, enroulement de
la droite des réels, cosinus et sinus d'un nombre réel, lien
avec le triangle rectangle, valeurs remarquables, relation
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, angles associés (opposés,
plus un tour).

]]> Trigonométrie — Q01 : Degrés et radians À combien de radians correspond un angle de $90°$ ?

]]> Le radian mesure un angle par la longueur d'arc sur le
cercle de rayon $1$ : tour complet $= 2\pi$, demi-tour $=
\pi$, quart de tour $= \pi/2$. Conversion : $x° =
x \times \frac{\pi}{180}$ rad.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Bonne réponse : le tour complet ($360°$) mesure $2\pi$
radians, donc le quart de tour vaut $\dfrac{2\pi}{4} =
\dfrac{\pi}{2}$.

]]> $\pi$

]]> Erreur : $\pi$ radians est le demi-tour ($180°$). Le
quart de tour en est la moitié : $\pi/2$.

]]> $\dfrac{\pi}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{\pi}{4}$ correspond à $45°$ (le huitième
de tour).

]]> $90\pi$

]]> Erreur : on ne multiplie pas les degrés par $\pi$. La
conversion : $180° = \pi$ rad, donc $90° = \pi/2$.

]]> Trigonométrie — Q02 : Enroulement de la droite Sur le cercle trigonométrique, quel point est associé au réel
$\dfrac{\pi}{2}$ par l'enroulement de la droite des réels ?

]]> L'enroulement part de $I(1\,;\,0)$ et parcourt le cercle dans
le sens direct (antihoraire) sur une longueur égale au réel :
$\pi/2 \to (0\,;\,1)$, $\pi \to (-1\,;\,0)$,
$2\pi \to$ retour en $I$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point de coordonnées $(0\,;\,1)$

]]> Bonne réponse : partant de $I(1\,;\,0)$ et parcourant un
quart de tour dans le sens direct (longueur d'arc
$\pi/2$), on atteint le sommet du cercle.

]]> Le point de coordonnées $(1\,;\,0)$

]]> Erreur : $(1\,;\,0)$ est le point de départ, associé
au réel $0$.

]]> Le point de coordonnées $(0\,;\,-1)$

]]> Erreur : $(0\,;\,-1)$ est atteint pour $-\dfrac{\pi}{2}$
(quart de tour dans le sens indirect) ou pour
$\dfrac{3\pi}{2}$.

]]> Le point de coordonnées $(1\,;\,1)$

]]> Erreur : ce point n'est même pas sur le cercle (sa
distance à l'origine vaut $\sqrt{2} \neq 1$).

]]> Trigonométrie — Q03 : Lire cosinus et sinus sur le cercle Cercle trigonométrique de centre O. Le point M est sur le cercle, dans le premier quadrant, repéré par l'angle pi/3 depuis le point I(1 ; 0). Des pointillés relient M à l'abscisse 1/2 sur l'axe horizontal et à l'ordonnée racine de 3 sur 2 sur l'axe vertical.

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le point $M$ est
associé au réel $\dfrac{\pi}{3}$. Quelles sont ses
coordonnées ?

]]> Définition centrale : le point associé à $x$ a pour
coordonnées $(\cos x\,;\,\sin x)$. Pour $\pi/3$ :
$\left(\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $M\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

]]> Bonne réponse : par définition, $M(\cos x\,;\,\sin x)$ :
les pointillés donnent $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
(abscisse) et $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
(ordonnée).

]]> $M\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$

]]> Coordonnées échangées : ce point correspondrait à
$\dfrac{\pi}{6}$ (angle plus proche de l'axe horizontal,
donc grande abscisse et petite ordonnée).

]]> $M\left(\dfrac{\pi}{3}\,;\,0\right)$

]]> Erreur : $\dfrac{\pi}{3}$ est l'angle (la longueur
d'arc), pas une coordonnée. Les coordonnées du point sont
le cosinus et le sinus.

]]> $M\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$

]]> Erreur : ce point n'est pas sur le cercle
($\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2
= \frac{1}{2} \neq 1$). L'ordonnée de $M$ vaut
$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> Trigonométrie — Q04 : Définition de cosinus et sinus Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel
$x$. Comment sont définis $\cos x$ et $\sin x$ ?

]]> Pour tout réel $x$ : $M(\cos x\,;\,\sin x)$ sur le cercle
trigonométrique. Conséquence immédiate : $-1 \leq \cos x \leq
1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos x$ est l'abscisse de $M$ et $\sin x$ son ordonnée

]]> Bonne réponse : c'est la définition du programme, qui
étend le cosinus et le sinus à tous les réels.

]]> $\cos x$ est l'ordonnée de $M$ et $\sin x$ son abscisse

]]> Rôles échangés : le cosinus est l'abscisse
(horizontale). Vérifie en $x = 0$ : le point $(1\,;\,0)$
donne bien $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$.

]]> $\cos x$ est la longueur de l'arc parcouru

]]> Erreur : la longueur d'arc est le réel $x$ lui-même
(c'est le principe du radian). Le cosinus en est
l'abscisse du point d'arrivée.

]]> $\cos x$ et $\sin x$ ne sont définis que pour
$x \in [0\,;\,2\pi]$

]]> Erreur : l'enroulement fonctionne pour tout réel (on peut
faire plusieurs tours, ou tourner en sens inverse) :
cosinus et sinus sont définis sur $\mathbb{R}$.

]]> Trigonométrie — Q05 : Une valeur remarquable Que vaut $\sin\dfrac{\pi}{4}$ ?

]]> Valeurs remarquables (dans l'ordre $\frac{\pi}{6}$,
$\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$) : sinus $\frac{1}{2}$,
$\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ : et cosinus dans
l'ordre inverse. En $\pi/4$, symétrie : $\cos = \sin =
\frac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Bonne réponse : à $45°$, le point du cercle est sur la
bissectrice : abscisse et ordonnée égales, valant
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (démonstration au programme).

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{2}$ est $\sin\dfrac{\pi}{6}$ (ou
$\cos\dfrac{\pi}{3}$). Pour $\pi/4$ :
$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est $\sin\dfrac{\pi}{3}$
(angle plus ouvert, ordonnée plus haute).

]]> $1$

]]> Erreur : le sinus n'atteint $1$ qu'au quart de tour
complet, $x = \dfrac{\pi}{2}$.

]]> Trigonométrie — Q06 : La relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ Soit $x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que
$\sin x = 0{,}6$. Que vaut $\cos x$ ?

]]> $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (théorème de Pythagore sur le
cercle de rayon $1$). On en tire l'un connaissant l'autre, au
signe près, tranché par le quadrant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}8$

]]> Bonne réponse : $\cos^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, et sur
$\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ le cosinus est
positif : $\cos x = 0{,}8$.

]]> $0{,}4$

]]> Erreur : $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ soustrait les valeurs au
lieu de leurs carrés. La relation est
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

]]> $\pm 0{,}8$

]]> Incomplet : l'équation du carré donne bien deux
candidats, mais l'hypothèse $x \in [0\,;\,\pi/2]$ (premier
quadrant) force le cosinus positif.

]]> $0{,}64$

]]> Presque : $0{,}64$ est $\cos^2 x$. Il reste à prendre la
racine : $\cos x = 0{,}8$.

]]> Trigonométrie — Q07 : Ajouter un tour Le réel $\dfrac{9\pi}{4}$ est associé au même point du cercle
que lequel de ces réels ?

]]> Deux réels correspondent au même point si et seulement si leur
différence est un multiple de $2\pi$ (nombre entier de
tours). $\frac{9\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi$ : d'où
$\cos\frac{9\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{4}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{9\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} +
2\pi$ : un tour complet de plus, même point d'arrivée.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{9\pi}{4} - \dfrac{\pi}{2} =
\dfrac{7\pi}{4}$, qui n'est pas un multiple de $2\pi$ :
points différents.

]]> $\dfrac{3\pi}{4}$

]]> Erreur : l'écart vaut $\dfrac{6\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2}$,
pas un tour complet.

]]> $-\dfrac{\pi}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{9\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)
= \dfrac{10\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{2}$ : pas un multiple
de $2\pi$. ($-\pi/4$ est le symétrique de $\pi/4$,
pas le même point.)

]]> Trigonométrie — Q08 : Angles opposés Que vaut $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ ?

]]> Angles opposés : $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$
(symétrie par rapport à l'axe des abscisses sur le cercle).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : les points associés à $x$ et $-x$ sont
symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même
cosinus, sinus opposés. $\sin\frac{\pi}{6} =
\frac{1}{2}$, donc $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) =
-\frac{1}{2}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : c'est le cosinus qui résiste au changement de
signe de l'angle. Le sinus (l'ordonnée) bascule sous
l'axe : $-\frac{1}{2}$.

]]> $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Erreur de valeur : $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est le sinus de
$\dfrac{\pi}{3}$, pas de $\dfrac{\pi}{6}$.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Double erreur : mauvaise valeur remarquable et signe
oublié. $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.

]]> Trigonométrie — Q09 : Lien avec le triangle rectangle Dans un triangle rectangle, l'angle aigu $\theta$ a un côté
adjacent de longueur $3$ et une hypoténuse de longueur $5$.
Que vaut $\cos\theta$ ?

]]> Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,
la définition du cercle redonne
$\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et
$\sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$. Ici :
triangle $3$-$4$-$5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{5}$

]]> Bonne réponse : $\cos\theta = \dfrac{\text{côté
adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{3}{5}$ (et le
troisième côté vaut $4$ : $\sin\theta = \frac{4}{5}$).

]]> $\dfrac{4}{5}$

]]> Erreur : $\dfrac{4}{5}$ est le sinus (côté opposé,
qui vaut $4$ par Pythagore, sur hypoténuse).

]]> $\dfrac{5}{3}$

]]> Fraction renversée : un cosinus reste entre $-1$ et $1$ ;
l'hypoténuse, plus grande, va au dénominateur.

]]> $\dfrac{3}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{3}{4}$ divise l'adjacent par l'opposé
(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à
l'hypoténuse : $\frac{3}{5}$.

]]> Trigonométrie — Q10 : Placer un réel sur le cercle Dans quel quadrant du cercle trigonométrique se trouve le
point associé au réel $\dfrac{5\pi}{6}$, et quels sont les
signes de son cosinus et de son sinus ?

]]> Placer un réel : le comparer aux multiples de
$\frac{\pi}{2}$. $\frac{5\pi}{6} \in \left]\frac{\pi}{2}\,;\,
\pi\right[$ : deuxième quadrant, $\cos\frac{5\pi}{6} =
-\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ et $\sin\frac{5\pi}{6} =
\frac{1}{2} > 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deuxième quadrant (en haut à gauche) : $\cos < 0$ et
$\sin > 0$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{5\pi}{6} < \pi$ :
entre le quart et le demi-tour. Abscisse négative,
ordonnée positive.

]]> Premier quadrant : $\cos > 0$ et $\sin > 0$

]]> Erreur : le premier quadrant s'arrête à $\dfrac{\pi}{2} =
\dfrac{3\pi}{6}$ ; or $\dfrac{5\pi}{6}$ le dépasse.

]]> Troisième quadrant : $\cos < 0$ et $\sin < 0$

]]> Erreur : le troisième quadrant commence à $\pi =
\dfrac{6\pi}{6}$, pas encore atteint par
$\dfrac{5\pi}{6}$.

]]> Deuxième quadrant : $\cos > 0$ et $\sin < 0$

]]> Signes inversés : en haut à gauche du cercle, l'abscisse
(cosinus) est négative et l'ordonnée (sinus)
positive.

]]> Trigonométrie — Q11 : Pourquoi $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$ ? Comment justifier que $\cos\dfrac{\pi}{4} =
\sin\dfrac{\pi}{4}$ ?

]]> L'angle $\pi/4$ est sur la bissectrice du premier quadrant :
abscisse $=$ ordonnée. En injectant dans $\cos^2 x + \sin^2 x
= 1$ : $2\cos^2\frac{\pi}{4} = 1$, d'où $\cos\frac{\pi}{4} =
\frac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point associé à $\dfrac{\pi}{4}$ est sur la bissectrice
$y = x$ : son abscisse égale son ordonnée

]]> Bonne réponse : à mi-chemin du quart de tour, le point est
sur la droite $y = x$. Avec $\cos^2 + \sin^2 = 1$, chaque
coordonnée vaut $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (démonstration au
programme).

]]> Parce que $\cos x = \sin x$ pour tout $x$

]]> Erreur : cosinus et sinus diffèrent presque partout
($\cos 0 = 1 \neq 0 = \sin 0$). L'égalité en $\pi/4$
vient de la symétrie particulière de cet angle.

]]> Parce que les deux valent $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur de valeur : elles valent $\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\approx 0{,}707$. (Et $\left(\frac{1}{2}\right)^2 +
\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \neq 1$ :
le point ne serait pas sur le cercle.)

]]> C'est une convention sans justification

]]> Erreur : tout se démontre : symétrie du demi-quart de
tour (triangle rectangle isocèle) plus la relation
$\cos^2 + \sin^2 = 1$.

]]> Trigonométrie — Q12 : Le sens de parcours Quel point du cercle trigonométrique est associé au réel
$-\dfrac{\pi}{2}$ ?

]]> Convention : sens direct (antihoraire) pour les réels
positifs, sens indirect pour les négatifs.
$-\frac{\pi}{2} \to (0\,;\,-1)$ : cohérent avec
$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$ et
$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(0\,;\,-1)$ : un quart de tour dans le sens indirect
(horaire)

]]> Bonne réponse : les réels négatifs s'enroulent dans le
sens indirect (celui des aiguilles d'une montre) :
quart de tour vers le bas.

]]> $(0\,;\,1)$

]]> Erreur de sens : $(0\,;\,1)$ correspond à
$+\dfrac{\pi}{2}$ (sens direct). Le signe moins renverse
le sens de parcours.

]]> $(-1\,;\,0)$

]]> Erreur : $(-1\,;\,0)$ correspond à $\pi$ (ou $-\pi$) : un
demi-tour, pas un quart.

]]> $(1\,;\,0)$

]]> Erreur : $(1\,;\,0)$ est le point de départ (réel $0$, ou
tout multiple de $2\pi$).

]]> Trigonométrie — Q13 : La valeur $\sin\dfrac{\pi}{3}$ Que vaut $\sin\dfrac{\pi}{3}$ ?

]]> Le trio à mémoriser : $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4},
\frac{\pi}{3}$ donnent pour sinus $\frac{1}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ (et les mêmes
valeurs en cosinus, dans l'ordre inverse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Bonne réponse : à $60°$, le point du cercle est haut :
grand sinus $\frac{\sqrt{3}}{2}$, petit cosinus
$\frac{1}{2}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Échange : $\frac{1}{2}$ est $\cos\frac{\pi}{3}$ (ou
$\sin\frac{\pi}{6}$) : à $60°$ le point est plus haut
que large.

]]> $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Erreur : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ appartient à
$\frac{\pi}{4}$ ($45°$), l'angle de l'égalité
sinus-cosinus.

]]> $\sqrt{3}$

]]> Trop grand : un sinus reste entre $-1$ et $1$ ; or
$\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Le bon rapport est
$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> Trigonométrie — Q14 : Cosinus de l'angle opposé Pour tout réel $x$, que vaut $\cos(-x)$ ?

]]> $\cos(-x) = \cos x$ (cosinus pair), $\sin(-x) = -\sin x$
(sinus impair) : la symétrie par rapport à l'axe des
abscisses du cercle. Chaque formule d'angle associé EST une
symétrie du cercle : les visualiser plutôt que les réciter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos x$

]]> Bonne réponse : les points d'abscisses curvilignes $x$
et $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe
horizontal : même abscisse, donc même cosinus.

]]> $-\cos x$

]]> Erreur : c'est le sinus qui change de signe
($\sin(-x) = -\sin x$) : la symétrie horizontale
préserve l'abscisse.

]]> $\sin x$

]]> Erreur : l'échange cosinus/sinus vient de
$\frac{\pi}{2} - x$ (angles complémentaires), pas de
l'opposé.

]]> $1 - \cos x$

]]> Erreur : aucune formule d'angle associé ne fait
apparaître de « $1 -$ » : les transformations donnent
$\pm\cos$ ou $\pm\sin$.

]]> Trigonométrie — Q15 : Cosinus de $\pi - x$ Pour tout réel $x$, que vaut $\cos(\pi - x)$ ?

]]> $\pi - x$ (symétrie verticale) : $\cos$ bascule, $\sin$
tient ; $\pi + x$ (symétrie centrale) : les deux basculent ;
$-x$ (symétrie horizontale) : $\sin$ bascule, $\cos$ tient.
Trois symétries, tout le jeu des angles associés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\cos x$

]]> Bonne réponse : $\pi - x$ est le symétrique de $x$ par
rapport à l'axe vertical : l'abscisse change de
signe, l'ordonnée est conservée ($\sin(\pi - x) = \sin
x$).

]]> $\cos x$

]]> Erreur : la symétrie verticale renverse l'abscisse :
$\cos\frac{2\pi}{3} = -\cos\frac{\pi}{3} =
-\frac{1}{2}$, pas $+\frac{1}{2}$.

]]> $-\sin x$

]]> Erreur : pas d'échange cosinus/sinus ici (réservé à
$\frac{\pi}{2} - x$) : le supplémentaire donne
$-\cos x$.

]]> $\sin x$

]]> Erreur : $\sin x$ est la valeur de $\sin(\pi - x)$ : le
sinus est conservé par cette symétrie, le cosinus
bascule.

]]> Trigonométrie — Q16 : Mesure principale Quelle est la mesure principale (dans $]-\pi\ ;\ \pi]$) de
l'angle $\dfrac{17\pi}{4}$ ?

]]> Mesure principale : retirer (ou ajouter) des multiples de
$2\pi$ jusqu'à tomber dans $]-\pi\ ;\ \pi]$. Astuce :
écrire la fraction en quarts de tour ($\frac{16\pi}{4} =
4\pi$ = deux tours) rend le calcul mental.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{4}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{17\pi}{4} = 4\pi +
\dfrac{\pi}{4}$ : deux tours complets, puis
$\frac{\pi}{4}$ : même point du cercle.

]]> $\dfrac{3\pi}{4}$

]]> Erreur de soustraction : $\frac{17\pi}{4} - 4\pi =
\frac{17\pi - 16\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ (retirer
$\frac{16\pi}{4}$, pas $\frac{14\pi}{4}$).

]]> $\dfrac{17\pi}{4}$ est déjà principale

]]> Erreur : $\frac{17\pi}{4} \approx 4{,}25\pi > \pi$ :
hors de $]-\pi\ ;\ \pi]$ : il faut retirer des tours.

]]> $-\dfrac{\pi}{4}$

]]> Signe : après retrait de $2$ tours ($4\pi$), il reste
$+\frac{\pi}{4}$, déjà dans l'intervalle : aucune raison
de basculer en négatif.

]]> Trigonométrie — Q17 : Calculer $\sin\dfrac{7\pi}{6}$ Que vaut $\sin\dfrac{7\pi}{6}$ ?

]]> Méthode générale : décomposer l'angle par rapport à $\pi$ ou
$\frac{\pi}{2}$ ($\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$),
appliquer la formule d'angle associé, conclure avec la
valeur remarquable. Placer mentalement le point sur le
cercle valide le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{7\pi}{6} = \pi +
\dfrac{\pi}{6}$ : symétrie centrale : $\sin(\pi + x) =
-\sin x = -\dfrac{1}{2}$ (point dans le troisième
quadrant, sous l'axe).

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Signe : au-delà de $\pi$, le point passe sous l'axe
des abscisses : le sinus devient négatif.

]]> $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Valeur : l'angle de référence est $\frac{\pi}{6}$, de
sinus $\frac{1}{2}$ ($\frac{\sqrt{3}}{2}$ appartient à
$\frac{\pi}{3}$).

]]> $\dfrac{7}{6}$

]]> Erreur : un sinus reste dans $[-1\ ;\ 1]$ : on
décompose l'angle ($\pi + \frac{\pi}{6}$) et on applique
la symétrie.

]]> Trigonométrie — Q18 : Coordonnées d'un point du cercle Quelles sont les coordonnées du point du cercle
trigonométrique associé au réel $\dfrac{2\pi}{3}$ ?

]]> Point associé à $x$ : $(\cos x\ ;\ \sin x)$ : ici
$\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ : cosinus basculé,
sinus conservé. Réflexe de contrôle : quadrant 2 = (−, +).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\left(-\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

]]> Bonne réponse : coordonnées $= (\cos\ ;\ \sin)$ :
deuxième quadrant : cosinus négatif ($-\frac{1}{2}$),
sinus positif ($\frac{\sqrt{3}}{2}$).

]]> $\left(\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

]]> Signe du cosinus : $\frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$ : le
point a dépassé la verticale : abscisse négative (ce
point-là est celui de $\frac{\pi}{3}$).

]]> $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right)$

]]> Coordonnées échangées et signe déplacé : l'abscisse est
le cosinus ($-\frac{1}{2}$), l'ordonnée le sinus
($+\frac{\sqrt{3}}{2}$).

]]> $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)$

]]> Valeurs échangées : l'angle de référence $\frac{\pi}{3}$
donne $\cos = \frac{1}{2}$ (au signe près) et $\sin =
\frac{\sqrt{3}}{2}$ : pas l'inverse.

]]>