$course$/QCM de maths/Première spécialité/Variables aléatoires réelles
Variable aléatoire réelle sur un univers fini, loi de
probabilité, notations $\{X = a\}$ et $P(X \leq a)$, espérance
(linéarité), variance et écart-type, formule de König-Huygens,
modélisation (jeux, gains) et notion de jeu équitable.]]>
Variables aléatoires réelles — Q01 : Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
Dans le cadre du programme (univers fini), qu'est-ce qu'une
variable aléatoire réelle $X$ ?]]>
Variable aléatoire réelle : fonction $X : \Omega \to
\mathbb{R}$. La notation $\{X = a\}$ désigne l'événement
« l'issue obtenue a pour image $a$ », de probabilité
$P(X = a)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de
l'univers]]>
Bonne réponse : $X$ transforme chaque issue en nombre
(un gain, un score, un temps…) : c'est la formalisation au
programme.]]>
Un nombre qui change tout le temps]]>
Trop vague : la variable est une fonction bien
définie sur l'univers ; c'est le résultat de l'expérience
qui est aléatoire, pas la règle d'affectation.]]>
Un événement particulier]]>
Erreur : un événement est un sous-ensemble de
l'univers. La variable aléatoire est une fonction à
valeurs réelles ; $\{X = a\}$, lui, est un événement.]]>
Une probabilité comprise entre 0 et 1]]>
Erreur : les valeurs de $X$ sont des nombres quelconques
(gains négatifs compris) ; ce sont les $P(X = a)$ qui
sont des probabilités.]]>
Variables aléatoires réelles — Q02 : Compléter une loi de probabilité
La variable $X$ prend les valeurs $-1$, $2$ et $5$ avec
$P(X = -1) = 0{,}5$ et $P(X = 2) = 0{,}3$. Que vaut
$P(X = 5)$ ?]]>
Loi de probabilité de $X$ : la donnée des valeurs $x_i$ et
des probabilités $p_i = P(X = x_i)$, positives et de somme
$1$. Ici : $0{,}2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}2$]]>
Bonne réponse : la somme des probabilités de la loi vaut
$1$ : $P(X = 5) = 1 - 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2$.]]>
$0{,}8$]]>
Erreur : $0{,}8 = 0{,}5 + 0{,}3$ est la somme des deux
probabilités connues ; la manquante en est le
complément à $1$.]]>
$0{,}5$]]>
Erreur : rien n'impose d'égaler la première probabilité.
La contrainte est la somme totale : $1$.]]>
On ne peut pas savoir]]>
Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine
entièrement la probabilité manquante.]]>
Variables aléatoires réelles — Q03 : Calculer une espérance
Avec la loi précédente ($-1$ avec $0{,}5$ ; $2$ avec
$0{,}3$ ; $5$ avec $0{,}2$), que vaut $E(X)$ ?]]>
$E(X) = \sum x_i\,p_i$ : moyenne des valeurs pondérée par
les probabilités. Ici $1{,}1$ : analogie directe avec la
moyenne pondérée des statistiques.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1{,}1$]]>
Bonne réponse : $E(X) = (-1)(0{,}5) + 2(0{,}3) +
5(0{,}2) = -0{,}5 + 0{,}6 + 1 = 1{,}1$.]]>
$2$]]>
Erreur : $2 = \dfrac{-1 + 2 + 5}{3}$ est la moyenne
non pondérée des valeurs. L'espérance pondère chaque
valeur par sa probabilité.]]>
$6$]]>
Erreur : $6$ est la somme brute des valeurs, sans les
probabilités.]]>
$0{,}5$]]>
Erreur : $0{,}5$ est la probabilité la plus grande, pas
l'espérance. Formule : $\sum x_i\,p_i = 1{,}1$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q04 : Interpréter l'espérance
$X$ désigne le gain (en euros) à un jeu, avec $E(X) =
1{,}1$. Quelle interprétation est correcte ?]]>
$E(X)$ : valeur moyenne par répétition, sur un grand nombre
d'expériences. Un jeu d'espérance positive est favorable au
joueur en tendance, sans rien garantir sur une partie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Sur un grand nombre de parties, le gain moyen par partie
est proche de $1{,}10$ euro]]>
Bonne réponse : l'espérance est un gain moyen en
tendance, que les fréquences réalisent sur le long
terme (loi des grands nombres, vue en simulation).]]>
À chaque partie, on gagne exactement $1{,}10$ euro]]>
Erreur : aucune partie ne rapporte $1{,}10$ euro (les
gains possibles sont $-1$, $2$ et $5$) : l'espérance est
une moyenne, pas une valeur garantie.]]>
On gagne dans $1{,}1$ partie sur $2$]]>
Erreur : l'espérance n'est pas une fréquence de succès
(et « $1{,}1$ sur $2$ » n'a pas de sens). Elle moyenne
les montants.]]>
Le gain le plus probable est $1{,}10$ euro]]>
Erreur : la valeur la plus probable est $-1$ (probabilité
$0{,}5$). L'espérance ne coïncide pas avec le mode.]]>
Variables aléatoires réelles — Q05 : Jeu équitable
Quand dit-on qu'un jeu d'argent est équitable ?]]>
Jeu équitable : $E(\text{gain algébrique}) = 0$. Capacité
attendue type : ajuster une mise ou un lot pour annuler
l'espérance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Lorsque l'espérance du gain algébrique (mise déduite) est
nulle]]>
Bonne réponse : en moyenne, ni le joueur ni l'organisateur
ne gagnent : $E(X) = 0$.]]>
Lorsque toutes les issues sont équiprobables]]>
Erreur : l'équité concerne l'espérance du gain, pas
l'uniformité des probabilités : un jeu peut être
équiprobable et très défavorable.]]>
Lorsqu'on gagne une fois sur deux]]>
Erreur : gagner souvent de petits montants et perdre
rarement de gros peut être défavorable : seul le bilan
moyen (l'espérance) juge l'équité.]]>
Lorsque la mise est faible]]>
Erreur : la modestie de la mise ne dit rien du rapport
entre mise et gains espérés.]]>
Variables aléatoires réelles — Q06 : Ce que mesure la variance
Que mesure la variance $V(X)$ d'une variable aléatoire ?]]>
$V(X) = E\left((X - \mu)^2\right)$ avec $\mu = E(X)$ :
indicateur de dispersion (toujours positif), dont la racine
$\sigma(X)$ (écart-type) s'exprime dans l'unité de $X$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance
(moyenne des carrés des écarts)]]>
Bonne réponse : $V(X) = E\left((X - \mu)^2\right)$ :
plus les valeurs s'éloignent de $\mu$ en probabilité,
plus la variance est grande.]]>
La valeur moyenne de $X$]]>
Erreur : la valeur moyenne est l'espérance. La
variance mesure l'étalement autour d'elle.]]>
La probabilité que $X$ dépasse sa moyenne]]>
Erreur : cette probabilité est un autre objet ; la
variance moyenne les carrés des écarts, dépassements
et déficits confondus.]]>
La plus grande valeur possible de $X$]]>
Erreur : le maximum ne dépend pas des probabilités ; la
variance, si : elle pèse chaque écart par sa probabilité.]]>
Variables aléatoires réelles — Q07 : Formule de König-Huygens
Soit $X$ telle que $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 7$. Que vaut
$V(X)$ ?]]>
König-Huygens (au programme) : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ :
« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours
positif : $E(X^2) \geq E(X)^2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$]]>
Bonne réponse : König-Huygens : $V(X) = E(X^2) -
\left(E(X)\right)^2 = 7 - 4 = 3$.]]>
$5$]]>
Erreur : $7 - 2$ soustrait $E(X)$ au lieu de son
carré : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 7 - 4$.]]>
$45$]]>
Erreur : $49 - 4$ ? C'est $E(X^2) = 7$ qui est donné, pas
$E(X^2) = 49$. $V = 7 - 4 = 3$.]]>
$-3$]]>
Impossible : une variance est toujours positive
(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est
$E(X^2) - E(X)^2$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q08 : De la variance à l'écart-type
Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 9$. Que vaut son
écart-type $\sigma(X)$ ?]]>
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. La variance s'exprime en unités au
carré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui
qu'on interprète.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$]]>
Bonne réponse : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{9} = 3$ :
l'écart-type ramène la dispersion dans l'unité de
$X$.]]>
$81$]]>
Erreur de sens : $81 = 9^2$ élève au carré au lieu de
prendre la racine.]]>
$9$]]>
Erreur : $9$ est la variance elle-même. L'écart-type en
est la racine carrée : $3$.]]>
$4{,}5$]]>
Erreur : on ne divise pas par $2$ : on prend la racine
carrée, $\sqrt{9} = 3$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q09 : Linéarité de l'espérance
Soit $X$ avec $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?]]>
Linéarité (au programme) : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$.
Exemple d'usage : conversion d'unités, ajout d'un bonus fixe
à un gain.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$13$]]>
Bonne réponse : $E(aX + b) = a\,E(X) + b = 2 \times 5 +
3 = 13$.]]>
$10$]]>
Incomplet : $10 = 2E(X)$ oublie le décalage $+3$, qui se
transmet tel quel à l'espérance.]]>
$16$]]>
Erreur : $2(5 + 3) = 16$ distribue mal : le $+3$ n'est
pas multiplié par $2$. Formule : $aE(X) + b$.]]>
$25$]]>
Erreur : $25 = 5^2$ n'a rien à voir : la transformation
est affine, pas quadratique.]]>
Variables aléatoires réelles — Q10 : Variance de $aX + b$
Soit $X$ avec $V(X) = 2$. Que vaut $V(2X + 3)$ ?]]>
$V(aX + b) = a^2\,V(X)$ (et $\sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)$) :
la constante $b$ translate sans disperser, le facteur $a$
entre au carré.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2\,V(X) = 4 \times 2 = 8$ :
le décalage $+3$ ne disperse rien, le facteur $2$ dilate
les écarts, donc leurs carrés par $4$.]]>
$7$]]>
Erreur : $2 \times 2 + 3$ applique la formule de
l'espérance. Pour la variance : $a$ au carré et $b$
disparaît.]]>
$4$]]>
Erreur : $4 = 2 \times 2$ multiplie par $a$ au lieu de
$a^2$. Les écarts doublés donnent des carrés quadruplés.]]>
$11$]]>
Erreur : $4 \times 2 + 3 = 11$ ajoute le décalage ; or
une translation ne change pas la dispersion : $V(aX+b) =
a^2V(X) = 8$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q11 : Utiliser la notation $P(X \leq a)$
Avec la loi : $P(X = -1) = 0{,}5$, $P(X = 2) = 0{,}3$,
$P(X = 5) = 0{,}2$, que vaut $P(X \leq 2)$ ?]]>
Passer de la langue au symbole (capacité attendue) :
$\{X \leq a\}$ cumule toutes les valeurs inférieures ou
égales à $a$. Ici $0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$ (ou $1 - P(X = 5)$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}8$]]>
Bonne réponse : $\{X \leq 2\}$ regroupe les valeurs $-1$
et $2$ : $P = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$.]]>
$0{,}3$]]>
Incomplet : $0{,}3 = P(X = 2)$ seulement. L'inégalité
large inclut aussi la valeur $-1$.]]>
$0{,}2$]]>
Erreur : $0{,}2 = P(X = 5) = P(X > 2)$ est la probabilité
de l'événement contraire.]]>
$0{,}5$]]>
Incomplet : $0{,}5 = P(X = -1)$ oublie la valeur $2$,
incluse dans $X \leq 2$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q12 : Espérance d'une loterie
Une loterie vend $100$ billets à $1$ euro ; un seul billet
gagne un lot de $50$ euros. Soit $X$ le gain algébrique d'un
acheteur d'un billet. Que vaut $E(X)$ ?]]>
Modélisation type : gain algébrique $=$ lot $-$ mise. Loi :
$49$ avec $\frac{1}{100}$, $-1$ avec $\frac{99}{100}$ :
$E(X) = -0{,}50$ euro : la moitié de la mise part en moyenne
à l'organisateur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-0{,}50$ euro : le jeu est défavorable au joueur]]>
Bonne réponse : $X$ vaut $49$ (lot moins mise) avec
probabilité $0{,}01$, et $-1$ avec probabilité $0{,}99$ :
$E(X) = 0{,}49 - 0{,}99 = -0{,}5$.]]>
$+0{,}50$ euro]]>
Erreur de signe : le joueur perd en moyenne. La
recette ($100$ euros) dépasse le lot ($50$ euros) : la
différence se répartit sur les joueurs.]]>
$0$ : le jeu est équitable]]>
Erreur : l'équité exigerait un lot de $100$ euros
(recette entière redistribuée). Avec $50$ euros :
$E(X) = -0{,}5$.]]>
$-1$ euro]]>
Erreur : $-1$ serait la perte certaine sans aucun
lot. La petite chance de gagner relève l'espérance à
$-0{,}5$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q13 : Compléter une loi
$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =
0{,}3$ et $P(X = 1) = 0{,}45$. Que vaut $P(X = 2)$ ?]]>
Toute loi de probabilité vérifie $\sum P(X = x_i) = 1$ : la
première vérification à faire sur un tableau, et l'outil
pour compléter une case manquante.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}25$]]>
Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à
$1$ : $1 - 0{,}3 - 0{,}45 = 0{,}25$.]]>
$0{,}75$]]>
Soustraction incomplète : $1 - 0{,}3 + 0{,}45$ mélange
les signes : on retire les deux probabilités
connues.]]>
$0$]]>
Erreur : la somme $0{,}3 + 0{,}45 = 0{,}75 \neq 1$ : il
manque $0{,}25$, qui revient à la valeur $2$.]]>
Impossible à déterminer]]>
Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine
entièrement la probabilité manquante.]]>
Variables aléatoires réelles — Q14 : Espérance d'un dé
$X$ est le résultat d'un dé équilibré à six faces. Que vaut
$E(X)$ ?]]>
Cas équiprobable : l'espérance est la moyenne simple des
valeurs. $E(X) = 3{,}5$ montre aussi qu'une espérance n'est
pas forcément une valeur atteignable : aucun dé
n'affiche $3{,}5$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3{,}5$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} =
\dfrac{21}{6} = 3{,}5$ : la moyenne des faces,
équiprobables.]]>
$3$]]>
Erreur : $3$ serait la « valeur du milieu » arrondie
vers le bas : la moyenne exacte des six faces est
$3{,}5$.]]>
$6$]]>
Erreur : $6$ est la valeur maximale, pas la moyenne
de long terme.]]>
$21$]]>
Division oubliée : $21$ est la somme des faces : chaque
face pèse $\frac{1}{6}$ : moyenne $3{,}5$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q15 : Espérance de $2X + 3$
$X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?]]>
$E(aX + b) = aE(X) + b$ : la linéarité, appliquée
mécaniquement. Usage type : conversion d'unités, gain après
frais fixes, mise initiale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$13$]]>
Bonne réponse : $E(aX + b) = aE(X) + b = 2 \times 5 + 3
= 13$ : la moyenne suit la transformation affine.]]>
$10$]]>
Constante oubliée : $2E(X) = 10$, puis le décalage $+3$
s'ajoute : $13$.]]>
$16$]]>
Erreur : $2 \times (5 + 3) = 16$ applique le facteur à
la constante aussi : le $+3$ est ajouté après la
multiplication.]]>
$2E(X) + 3X$]]>
Erreur d'objet : une espérance est un nombre : $X$
ne peut pas subsister dans le résultat.]]>
Variables aléatoires réelles — Q16 : Gain net d'un jeu payant
Un jeu coûte $2$ euros. On gagne $10$ euros avec probabilité
$0{,}1$, sinon rien. Que vaut l'espérance du gain net
(gain moins mise) ?]]>
Gain net = gain brut − mise : $E(\text{net}) =
E(\text{brut}) - \text{mise}$ (linéarité !). Jeu équitable
$\iff E(\text{net}) = 0$. Les jeux d'argent réels sont tous
à espérance négative pour le joueur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-1$ euro : le jeu est défavorable au joueur]]>
Bonne réponse : gain brut espéré $= 10 \times 0{,}1 =
1$ euro ; net : $1 - 2 = -1$ euro : en moyenne, le
joueur perd un euro par partie.]]>
$+1$ euro]]>
Mise oubliée : $1$ euro est le gain brut moyen : il
faut retrancher les $2$ euros de mise : $-1$.]]>
$0$ : le jeu est équitable]]>
Erreur : équitable exigerait un gain brut moyen égal à
la mise ($2$ euros) : ici il ne vaut que $1$ euro.]]>
$8$ euros]]>
Erreur : $10 - 2 = 8$ est le net en cas de victoire
seulement : l'espérance pondère par $0{,}1$ (et $-2$
pèse $0{,}9$).]]>
Variables aléatoires réelles — Q17 : Variance par König-Huygens
$X$ prend les valeurs $0$ et $2$ avec $P(X = 0) = P(X = 2)
= 0{,}5$. Que vaut $V(X)$ ?]]>
König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ : calculer les
deux moments, soustraire dans le bon ordre. Garde-fou : $V
\geq 0$ toujours.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$ : $E(X^2) - E(X)^2 = 2 - 1$]]>
Bonne réponse : $E(X) = 1$, $E(X^2) = 0 \times 0{,}5 +
4 \times 0{,}5 = 2$ : $V(X) = 2 - 1^2 = 1$ (écart-type
$1$ : les valeurs sont à distance $1$ de la moyenne).]]>
$0$ : la loi est symétrique]]>
Confusion : la symétrie centre la moyenne, elle
n'annule pas la dispersion : seules les variables
constantes ont une variance nulle.]]>
$2$]]>
Soustraction oubliée : $2 = E(X^2)$ : König-Huygens
retranche le carré de la moyenne : $2 - 1 = 1$.]]>
$-1$]]>
Impossible : une variance est toujours positive (moyenne
de carrés d'écarts) : un résultat négatif signale une
erreur de calcul.]]>
Variables aléatoires réelles — Q18 : Même espérance, risques différents
Deux placements ont la même espérance de gain, mais le
placement A a un écart-type de $2$ euros et le placement B
de $50$ euros. Comment interpréter ?]]>
Le couple $(E\ ;\ \sigma)$ résume une variable aléatoire :
tendance ET dispersion. À espérance égale, l'écart-type
départage : c'est la définition quantitative du risque
(finance, assurance, files d'attente).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
B est beaucoup plus risqué : mêmes gains moyens, mais
résultats bien plus dispersés]]>
Bonne réponse : l'espérance dit la tendance,
l'écart-type mesure les fluctuations : B peut gagner ou
perdre gros, A reste près de la moyenne : le « risque »
est dans $\sigma$.]]>
B rapporte plus en moyenne]]>
Erreur : les espérances sont égales par hypothèse :
l'écart-type ne déplace pas la moyenne, il l'entoure
d'incertitude.]]>
A et B sont identiques : même espérance]]>
Réducteur : deux lois peuvent partager leur moyenne et
différer du tout au tout en dispersion : c'est
exactement ce que la variance capture.]]>
A est plus risqué : un petit écart-type cache des
surprises]]>
Contresens : petit $\sigma$ = résultats concentrés
autour de la moyenne = peu de surprises : le risque
croît avec l'écart-type.]]>