$course$/QCM de maths/Première spécialité/Variations et courbes représentatives Lien entre signe de la dérivée et sens de variation, fonctions
constantes, extremums et tangente horizontale, fonctions paires
et impaires (traduction géométrique), position relative de deux
courbes, optimisation, étude du second degré par la dérivation.

]]> Variations et courbes représentatives — Q01 : Du signe de la dérivée aux variations Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$, avec $f'(x) > 0$
pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?

]]> Théorème : $f' > 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ strictement
croissante ; $f' < 0$ $\Rightarrow$ décroissante ; $f' = 0$
partout $\Rightarrow$ constante. Toute l'étude de fonctions
repose dessus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est strictement croissante sur $I$

]]> Bonne réponse : une pente partout positive fait monter la
courbe : c'est le théorème central du chapitre.

]]> $f$ est positive sur $I$

]]> Confusion signe/variations : $f' > 0$ parle de la
pente, pas de la hauteur. Une fonction peut monter en
restant négative.

]]> $f$ est décroissante sur $I$

]]> Sens inversé : la décroissance correspond à $f' < 0$
(pente négative, la courbe descend).

]]> $f$ est constante sur $I$

]]> Erreur : constante correspond à $f' = 0$ sur tout
l'intervalle. Ici la dérivée est strictement positive.

]]> Variations et courbes représentatives — Q02 : Étudier les variations par la dérivée Soit $f(x) = x^3 - 3x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3 =
3(x-1)(x+1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?

]]> Méthode complète : dériver, étudier le signe de $f'$
(tableau de signes du trinôme), en déduire les variations.
$f' < 0$ sur $]-1\,;\,1[$ : $f$ décroît sur $[-1\,;\,1]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[-1\,;\,1]$

]]> Bonne réponse : le trinôme $3(x-1)(x+1)$ est négatif entre
ses racines $-1$ et $1$ : la dérivée y est négative, la
fonction y descend.

]]> Sur $]-\infty\,;\,-1]$

]]> Erreur : pour $x < -1$, les deux facteurs sont négatifs et
$f' > 0$ : la fonction monte.

]]> Sur $[1\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : au-delà de $1$, les deux facteurs sont positifs,
$f' > 0$ : croissance.

]]> Nulle part : $x^3$ est toujours croissante

]]> Erreur : $x^3$ seul est croissant, mais le terme $-3x$
creuse une descente entre $-1$ et $1$ (calcule
$f(-1) = 2$ et $f(1) = -2$).

]]> Variations et courbes représentatives — Q03 : Tangentes horizontales Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : maximum local (-1 ; 2) et minimum local (1 ; -2), où deux segments horizontaux rouges en pointillés matérialisent les tangentes horizontales.

La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. En quelles
abscisses la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?

]]> En un extremum local d'une fonction dérivable, la tangente est
horizontale : $f'(a) = 0$. Ne pas confondre les zéros de $f$
(courbe coupe l'axe) et les zéros de $f'$ (tangentes
horizontales).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = -1$ et $x = 1$

]]> Bonne réponse : au sommet local et au creux local, la
tangente est horizontale (pointillés rouges) : la pente
$f'$ s'y annule.

]]> En $x = 0$

]]> Erreur : en $0$ la courbe traverse l'axe en
descendant : la tangente y est inclinée
($f'(0) = -3$), pas horizontale.

]]> En $x = -\sqrt{3}$ et $x = \sqrt{3}$

]]> Confusion : $\pm\sqrt{3}$ sont les points où $f$
s'annule (la courbe coupe l'axe des abscisses), pas où
$f'$ s'annule.

]]> Nulle part

]]> Erreur : les deux extremums locaux, bien visibles,
imposent des tangentes horizontales : $f'(-1) = f'(1) =
0$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q04 : Fonction paire Que signifie « $f$ est paire », et comment cela se traduit-il
sur sa courbe ?

]]> $f$ paire : $f(-x) = f(x)$, courbe symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées. $f$ impaire : $f(-x) = -f(x)$, symétrie
par rapport à l'origine. Vérifier au passage que le domaine
est symétrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ : courbe symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : deux antécédents opposés ont la même
image : la courbe se reflète dans l'axe vertical (exemple :
$x^2$).

]]> $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ : courbe symétrique par
rapport à l'origine

]]> Erreur : ceci définit une fonction impaire (exemple :
$x^3$).

]]> $f(x) \geq 0$ pour tout $x$

]]> Erreur : la parité n'a rien à voir avec le signe. La
fonction $x^2 - 5$ est paire et prend des valeurs
négatives.

]]> $f$ ne prend que des valeurs entières paires

]]> Erreur : « paire » qualifie ici la symétrie de la
fonction, pas la parité arithmétique de ses valeurs.

]]> Variations et courbes représentatives — Q05 : Montrer qu'une fonction est impaire Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Que vaut $f(-x)$, et qu'en
conclut-on ?

]]> Méthode : calculer $f(-x)$ et comparer à $f(x)$ et $-f(x)$.
Ici $f(-x) = -f(x)$ : impaire (symétrie par rapport à
l'origine, visible sur la courbe de $x^3 - 3x$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : la fonction est impaire

]]> Bonne réponse : $(-x)^3 = -x^3$ et $-3(-x) = +3x$ : on
obtient l'opposé de $f(x)$. Courbe symétrique par rapport
à l'origine.

]]> $f(-x) = x^3 - 3x = f(x)$ : la fonction est paire

]]> Erreur de calcul : $(-x)^3 = -x^3$ (le cube conserve le
signe). Les deux termes changent de signe : $f(-x) =
-f(x)$.

]]> $f(-x) = -x^3 - 3x$ : la fonction n'est ni paire ni
impaire

]]> Erreur de signe sur le second terme : $-3 \times (-x) =
+3x$. Au total $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : impaire.

]]> On ne peut rien dire sans la courbe

]]> Erreur : le calcul algébrique de $f(-x)$ tranche sans
figure : c'est même la méthode la plus sûre.

]]> Variations et courbes représentatives — Q06 : Extremum et nombre dérivé Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ admettant un maximum
local en $x = a$. Que peut-on affirmer ?

]]> En un extremum local d'une fonction dérivable : $f'(a) = 0$
(condition nécessaire). Mais $f'(a) = 0$ ne suffit pas :
il faut que $f'$ change de signe en $a$ (contre-exemple
$x^3$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(a) = 0$ : la tangente en $a$ est horizontale

]]> Bonne réponse : au sommet, la courbe cesse de monter avant
de descendre : la pente s'annule (résultat au programme).

]]> $f'(a) > 0$

]]> Erreur : une pente strictement positive signifierait que
la courbe continue de monter : $a$ ne serait pas un
sommet.

]]> $f(a) = 0$

]]> Confusion : c'est la dérivée qui s'annule au sommet,
pas la fonction. La valeur $f(a)$ est le maximum, quelconque.

]]> Réciproquement, $f'(a) = 0$ garantit toujours un extremum

]]> Erreur : la réciproque est fausse : $f(x) = x^3$ vérifie
$f'(0) = 0$ sans extremum en $0$ (la courbe traverse sa
tangente).

]]> Variations et courbes représentatives — Q07 : Construire les variations Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(2 - x)$.
Quel est le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\,2]$ ?

]]> Tout passe par le tableau de signes de $f'$ : $x(2-x) > 0$
sur $]0\,;\,2[$ (trinôme négatif à l'extérieur de ses
racines), donc $f$ croissante sur $[0\,;\,2]$, décroissante
avant et après.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante, car $f' \geq 0$ sur $[0\,;\,2]$

]]> Bonne réponse : entre les racines $0$ et $2$, le trinôme
$x(2-x)$ (coefficient dominant négatif) est positif :
$f$ monte.

]]> Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif

]]> Erreur : le signe du coefficient dominant dit que $f'$ est
négative à l'extérieur des racines ; entre elles,
$f' > 0$.

]]> Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $2$

]]> Erreur : les annulations aux bornes n'empêchent pas la
positivité entre elles. Teste $f'(1) = 1 > 0$.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître $f$

]]> Erreur : le signe de $f'$ suffit entièrement à donner le
sens de variation, sans expression de $f$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q08 : Position relative de deux courbes Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$. Pour étudier la position
relative de leurs courbes sur $[0\,;\,1]$, on calcule
$f(x) - g(x) = x(x - 1)$. Qu'en conclut-on ?

]]> Méthode systématique : étudier le signe de $f - g$.
Négatif : $\mathcal{C}_f$ en dessous ; positif : au-dessus ;
annulation : point d'intersection. Ici : parabole sous la
droite sur $[0\,;\,1]$ (démonstration au programme, position
de $y = x$ et $y = x^2$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ sur
$[0\,;\,1]$

]]> Bonne réponse : sur $]0\,;\,1[$, $x > 0$ et $x - 1 < 0$ :
la différence $f - g$ est négative, donc $f(x) < g(x)$ :
la parabole passe sous la droite.

]]> $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur
$[0\,;\,1]$

]]> Erreur de signe : teste $x = 0{,}5$ : $f = 0{,}25 <
g = 0{,}5$. Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ est
plus petit que ce nombre.

]]> Les courbes ne se coupent jamais

]]> Erreur : $f - g$ s'annule en $0$ et en $1$ : les courbes
se coupent en ces deux points (extrémités de
l'intervalle).

]]> On doit comparer $f'$ et $g'$

]]> Erreur de méthode : les dérivées comparent les
pentes, pas les hauteurs. La position relative se lit
sur le signe de la différence $f - g$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q09 : Optimiser avec la dérivée Soit $f(x) = x^2 - 6x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$. En
étudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?

]]> Lien dérivation-second degré (au programme) : $f'(x) = 2x - 6$
s'annule en $x = 3 = -\frac{b}{2a}$ : on retrouve le sommet de
la parabole par la dérivée. Minimum $f(3) = -8$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un minimum égal à $-8$, atteint en $x = 3$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 2x - 6$ s'annule en $x = 3$ en
passant du négatif au positif : minimum
$f(3) = 9 - 18 + 1 = -8$.

]]> Un maximum égal à $-8$, atteint en $x = 3$

]]> Erreur de nature : $f'$ passe du négatif au positif en
$3$ (la fonction descend puis monte) : c'est un
minimum. Cohérent avec la parabole tournée vers le
haut ($a = 1 > 0$).

]]> Un minimum égal à $3$, atteint en $x = -8$

]]> Valeurs échangées : la dérivée s'annule en $x = 3$
(l'abscisse), et le minimum est la valeur $f(3) =
-8$.

]]> Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois

]]> Erreur : une seule annulation avec changement de
signe suffit exactement à créer un extremum.

]]> Variations et courbes représentatives — Q10 : Caractérisation des fonctions constantes Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ avec $f'(x) = 0$
pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?

]]> Caractérisation (au programme) : $f' = 0$ sur un intervalle
$\Leftrightarrow$ $f$ constante sur cet intervalle. C'est la
réciproque « dérivée nulle » du théorème des variations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est constante sur $I$

]]> Bonne réponse : pente nulle partout : la courbe est un
segment horizontal, la fonction ne varie pas.

]]> $f(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Confusion : c'est la dérivée qui est nulle, pas la
fonction. $f(x) = 7$ convient parfaitement : constante non
nulle.

]]> $f$ n'a pas de tangente

]]> Erreur : la courbe a partout une tangente… horizontale
(confondue avec elle-même).

]]> $f$ est affine de pente quelconque

]]> Erreur : une affine $mx + p$ a pour dérivée $m$ ; la
nullité de la dérivée force $m = 0$ : constante.

]]> Variations et courbes représentatives — Q11 : Établir une inégalité par une étude de fonction Pour démontrer que $x^2 \geq 2x - 1$ pour tout réel $x$,
quelle démarche est la plus directe ?

]]> Méthode reine pour les inégalités : tout passer d'un côté et
étudier le signe de la différence (ici un carré ; en
général, par tableau de variations). Capacité attendue du
programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Étudier le signe de la différence
$x^2 - (2x - 1) = (x - 1)^2$

]]> Bonne réponse : la différence est un carré, donc positive
pour tout $x$ : l'inégalité est établie (avec égalité en
$x = 1$, point de tangence).

]]> Vérifier l'inégalité pour $x = 0$, $1$ et $2$

]]> Insuffisant : trois vérifications ne prouvent rien pour
tous les réels. Il faut un argument général (signe de
la différence).

]]> Comparer les dérivées : $2x$ et $2$

]]> Erreur de méthode : comparer les pentes ne compare pas les
valeurs. C'est le signe de la différence des fonctions
qui conclut.

]]> Diviser les deux membres par $x$

]]> Dangereux : le signe de $x$ est inconnu (division par $0$
ou renversement d'inégalité). La différence, elle,
fonctionne sans condition.

]]> Variations et courbes représentatives — Q12 : Le sommet retrouvé par la dérivée Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. En quelle
abscisse la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?

]]> Boucle de cohérence du programme : $f'(x) = 2ax + b$ s'annule
en $-\frac{b}{2a}$, avec changement de signe : extremum au
sommet de la parabole (minimum si $a > 0$, maximum si
$a < 0$). La dérivation retrouve et démontre la forme
canonique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = -\dfrac{b}{2a}$ : on retrouve l'abscisse du
sommet de la parabole

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 2ax + b = 0 \Leftrightarrow x =
-\dfrac{b}{2a}$ : la dérivation redémontre la position de
l'extremum vue en début d'année.

]]> En $x = -\dfrac{b}{a}$

]]> Erreur : $2ax + b = 0$ donne $x = -\dfrac{b}{2a}$ : le
facteur $2$ de la dérivée ne disparaît pas.

]]> En $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

]]> Confusion : ces valeurs sont les racines de $f$
(là où la parabole coupe l'axe), pas le zéro de $f'$
(le sommet).

]]> Elle ne s'annule jamais si $\Delta < 0$

]]> Erreur : $\Delta$ gouverne les racines de $f$, pas celles
de $f'$. La dérivée $2ax + b$, affine, s'annule toujours
exactement une fois.

]]> Variations et courbes représentatives — Q13 : Comparer deux images sans calcul $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comment se
comparent $f(2)$ et $f(5)$ ?

]]> Croissante : conserve l'ordre ($a < b \Rightarrow f(a) <
f(b)$) ; décroissante : le renverse. Comparer des images
via le sens de variation, sans calculer, est un réflexe
d'efficacité maximale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(2) < f(5)$

]]> Bonne réponse : croissante = l'ordre des images suit
l'ordre des antécédents : $2 < 5 \Rightarrow f(2) <
f(5)$, quelle que soit la formule de $f$.

]]> $f(2) > f(5)$

]]> Sens inversé : ce serait le comportement d'une fonction
décroissante (qui renverse l'ordre).

]]> $f(2) = f(5)$

]]> Erreur : l'égalité des images contredirait la stricte
croissance ($2 \neq 5$).

]]> Impossible à dire sans l'expression de $f$

]]> Erreur : c'est tout l'intérêt de la définition : la
croissance transporte les inégalités sans aucun calcul.

]]> Variations et courbes représentatives — Q14 : Compter les solutions sur un tableau Le tableau de variations de $f$ indique : croissante de
$-2$ à $4$ sur $]-\infty\ ;\ 1]$, puis décroissante de $4$
vers $0$ sur $[1\ ;\ +\infty[$. Combien de solutions a
l'équation $f(x) = 3$ ?

]]> Sur un tableau de variations, compter les solutions de
$f(x) = k$ : une par flèche dont l'intervalle des valeurs
contient $k$ (strictement entre les bornes). L'esquisse
mentale de la courbe (montée, sommet, descente) sécurise le
décompte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux : une avant le sommet, une après

]]> Bonne réponse : le niveau $3$ est franchi une fois en
montant (de $-2$ à $4$) et recroisé une fois en
descendant (de $4$ vers $0$, en restant au-dessus de
$3$ un temps) : deux solutions.

]]> Une seule

]]> Redescente oubliée : après le maximum $4$, la fonction
repasse par $3$ en descendant vers $0$ : deuxième
solution.

]]> Aucune : $3$ n'apparaît pas dans le tableau

]]> Erreur de lecture : le tableau liste les valeurs
extrêmes ; toutes les valeurs intermédiaires sont
atteintes ($3$ est entre $-2$ et $4$, et entre $0$ et
$4$).

]]> Trois

]]> Trop : chaque flèche (monotone) croise le niveau $3$ au
plus une fois : deux flèches, deux solutions maximum.

]]> Variations et courbes représentatives — Q15 : De la courbe de $f'$ aux variations de $f$ La courbe de la dérivée $f'$ est au-dessus de l'axe des
abscisses sur $]-\infty\ ;\ 1[$ et en dessous après. Que
fait $f$ ?

]]> Traduction systématique : position de la courbe de $f'$ par
rapport à l'axe → signe de $f'$ → variations de $f$.
L'erreur type est de lire la courbe de $f'$ comme si
c'était $f$ : toujours vérifier QUELLE courbe est donnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ croît jusqu'à $x = 1$ puis décroît : maximum en $1$

]]> Bonne réponse : $f' > 0$ : $f$ monte ; $f' < 0$ : $f$
descend ; le basculement en $1$ dessine un sommet.

]]> $f$ est positive avant $1$, négative après

]]> Confusion signe de $f'$ / signe de $f$ : la courbe
donnée est celle de $f'$ : son signe pilote les
variations de $f$, pas ses valeurs.

]]> $f$ décroît puis croît : minimum en $1$

]]> Inversé : $f'$ positive d'abord = montée d'abord : le
scénario est sommet, pas creux.

]]> $f$ a une asymptote en $x = 1$

]]> Hors sujet : le changement de signe de $f'$ signale un
extremum, pas une asymptote (qui concernerait des
limites infinies).

]]> Variations et courbes représentatives — Q16 : Minimum sur un intervalle fermé Sur $[0\ ;\ 4]$, $f$ décroît de $5$ à $-1$ (atteint en $x =
3$) puis croît de $-1$ à $2$. Quel est le minimum de $f$
sur $[0\ ;\ 4]$ ?

]]> Un extremum se décrit par deux nombres : sa valeur (le
minimum vaut $-1$) et sa position (atteint en $x = 3$).
Les confondre est l'erreur la plus pénalisée dans les
lectures de tableaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$, atteint en $x = 3$

]]> Bonne réponse : le creux du tableau : toutes les autres
valeurs lui sont supérieures : minimum $-1$, position
$x = 3$.

]]> $0$, la borne gauche de l'intervalle

]]> Confusion abscisse/valeur : $0$ est une borne du
domaine : le minimum est une valeur de $f$, lue dans
les flèches : $-1$.

]]> $2$, la dernière valeur du tableau

]]> Erreur : $2$ est la valeur finale ($f(4)$), pas la
plus basse : la fonction est descendue à $-1$ avant de
remonter.

]]> $3$

]]> Inversion classique : $3$ est l'abscisse où le
minimum est atteint ; le minimum lui-même est la valeur
$f(3) = -1$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q17 : La parité comme économie d'étude Soit $f(x) = x^4 - x^2$. Pourquoi suffit-il de l'étudier
sur $[0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> Parité : $f(-x) = f(x)$ (exposants pairs) : symétrie d'axe
$(Oy)$ ; imparité : $f(-x) = -f(x)$ : symétrie de centre
$O$. Détecter la symétrie AVANT l'étude divise le travail
par deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : $f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2 =
f(x)$ : chaque information sur $[0\ ;\ +\infty[$ se
reflète sur l'autre moitié.

]]> $f$ est impaire : symétrie par rapport à l'origine

]]> Test raté : $f(-x) = +f(x)$ (les exposants sont
pairs) : c'est la parité, pas l'imparité ($f(-x) =
-f(x)$).

]]> $f$ n'est pas définie pour $x < 0$

]]> Erreur : un polynôme est défini sur tout $\mathbb{R}$ :
la restriction est un choix d'économie, pas une
contrainte de domaine.

]]> On ne peut pas : il faut toujours étudier sur
$\mathbb{R}$ entier

]]> Erreur : exploiter une symétrie est une méthode
officielle (et attendue) : moitié d'étude, symétrie,
conclusion complète.

]]> Variations et courbes représentatives — Q18 : Courbe et droite $y = x$ Pour situer la courbe de $f$ par rapport à la droite $y =
x$, on étudie $g(x) = f(x) - x$. Si $g(x) > 0$ sur un
intervalle, que peut-on dire ?

]]> Position relative de deux courbes = signe de la
différence : $f - g > 0$ : au-dessus ; $< 0$ : en
dessous ; $= 0$ : intersection. La méthode vaut pour toute
paire de courbes, la droite $y = x$ n'étant qu'un cas
fréquent (suites, points fixes).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe de $f$ est au-dessus de la droite sur cet
intervalle

]]> Bonne réponse : $g > 0 \iff f(x) > x$ : les points de la
courbe dominent ceux de la droite aux mêmes abscisses.

]]> La courbe est en dessous de la droite

]]> Sens inversé : dessous correspondrait à $f(x) < x$,
c'est-à-dire $g < 0$.

]]> $f$ est croissante sur cet intervalle

]]> Confusion : le signe de $g = f - x$ compare des
positions, pas des variations (qui relèveraient de
$f'$).

]]> La courbe coupe la droite sur cet intervalle

]]> Contraire : couper exigerait $g(x) = 0$ quelque part ;
$g > 0$ strictement = aucun contact.

]]>