$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Statistique à deux variables Analyse croisée de deux caractères : tableaux croisés
(caractères qualitatifs), nuage de points (caractères
quantitatifs), point moyen, ajustement affine, interpolation et
extrapolation, esprit critique face aux données.

]]> Statistique à deux variables — Q01 : Représenter deux caractères quantitatifs Quelle représentation graphique est adaptée à l'étude croisée
de deux caractères quantitatifs (par exemple taille et
masse) ?

]]> Choix de représentation : deux qualitatifs $\to$ tableau
croisé (ou barres comparées) ; deux quantitatifs $\to$ nuage
de points, support de l'ajustement affine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un nuage de points

]]> Bonne réponse : chaque individu devient un point (taille
en abscisse, masse en ordonnée) : la forme du nuage révèle
l'éventuel lien entre les deux caractères.

]]> Un diagramme circulaire

]]> Erreur : le diagramme circulaire répartit un seul
caractère qualitatif en secteurs, il ne croise rien.

]]> Un tableau croisé d'effectifs

]]> Erreur : le tableau croisé convient à deux caractères
qualitatifs (ou regroupés en classes). Deux
quantitatifs continus se dispersent en nuage.

]]> Un histogramme

]]> Erreur : l'histogramme décrit la répartition d'un seul
caractère quantitatif regroupé en classes.

]]> Statistique à deux variables — Q02 : Calculer un point moyen Un nuage est constitué des points $(1\,;\,2)$, $(3\,;\,4)$ et
$(5\,;\,6)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen
$G$ ?

]]> Point moyen : $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$, moyennes des
coordonnées (capacité attendue). C'est le « centre de
gravité » du nuage, point de passage naturel d'une droite
d'ajustement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $G(3\,;\,4)$

]]> Bonne réponse : $\bar{x} = \dfrac{1+3+5}{3} = 3$ et
$\bar{y} = \dfrac{2+4+6}{3} = 4$ : le point moyen a pour
coordonnées les moyennes des abscisses et des
ordonnées.

]]> $G(9\,;\,12)$

]]> Oubli de la division : $(9\,;\,12)$ sont les sommes
des coordonnées ; il reste à diviser par l'effectif $3$.

]]> $G(5\,;\,6)$

]]> Erreur : $(5\,;\,6)$ n'est que le dernier point du nuage.
Le point moyen synthétise tous les points.

]]> $G(4\,;\,3)$

]]> Coordonnées échangées : $\bar{x} = 3$ (abscisse) et
$\bar{y} = 4$ (ordonnée).

]]> Statistique à deux variables — Q03 : Lire un nuage ajusté Repère avec un nuage de sept points presque alignés, croissants, de (1 ; 1,5) à (7 ; 4,5). Une droite d'ajustement rouge d traverse le nuage et passe par le point moyen G(4 ; 3), marqué en bleu.

Le nuage ci-dessous est ajusté par la droite $d$ ; le point
bleu est le point moyen $G$. Quelles sont ses coordonnées ?

]]> Le point moyen se situe au centre du nuage ($\bar{x} = 4$,
$\bar{y} = 3$ ici). Un bon ajustement passe par lui (la
droite de Mayer et celle des moindres carrés y passent
exactement).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $G(4\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : le point bleu se lit en $(4\,;\,3)$, au
cœur du nuage, et la droite d'ajustement passe par lui.

]]> $G(3\,;\,4)$

]]> Coordonnées échangées : abscisse $4$ (axe horizontal),
ordonnée $3$ (axe vertical).

]]> $G(7\,;\,4{,}5)$

]]> Erreur : $(7\,;\,4{,}5)$ est le dernier point du nuage,
pas son centre.

]]> $G(0\,;\,1)$

]]> Erreur : $(0\,;\,1)$ est l'ordonnée à l'origine de la
droite $d$, pas le point moyen (qui est au milieu du
nuage).

]]> Statistique à deux variables — Q04 : Interpoler avec l'ajustement Un nuage (abscisses de $1$ à $7$) est ajusté par la droite
d'équation $y = 0{,}5x + 1$. Quelle estimation de $y$ pour
$x = 3{,}5$ ?

]]> Interpoler : utiliser l'équation d'ajustement pour estimer
$y$ en un $x$ situé dans l'intervalle des observations.
Ici $y = 0{,}5 \times 3{,}5 + 1 = 2{,}75$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y \approx 2{,}75$

]]> Bonne réponse : $0{,}5 \times 3{,}5 + 1 = 2{,}75$. Comme
$3{,}5$ est dans la plage des données ($1$ à $7$),
c'est une interpolation, plutôt fiable.

]]> $y \approx 4{,}5$

]]> Erreur de calcul : $0{,}5 \times 3{,}5 = 1{,}75$, puis
$+1$ : $2{,}75$.

]]> $y \approx 3{,}5$

]]> Erreur : tu as recopié $x$. Il faut appliquer la formule
de la droite : $y = 0{,}5x + 1$.

]]> Aucune estimation possible : $3{,}5$ n'est pas une valeur
observée

]]> Erreur : c'est précisément l'intérêt de l'ajustement :
estimer des valeurs non observées à l'intérieur de la
plage des données.

]]> Statistique à deux variables — Q05 : Extrapoler avec prudence Avec le même ajustement $y = 0{,}5x + 1$ (données observées
pour $x$ de $1$ à $7$), que dire de l'estimation en
$x = 20$ ?

]]> Extrapoler : estimer hors de la plage observée. Le calcul
est mécanique, l'interprétation exige la prudence : plus on
s'éloigne des données, plus l'hypothèse de linéarité devient
fragile.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le calcul donne $y = 11$, mais c'est une extrapolation
loin des données : à interpréter avec prudence

]]> Bonne réponse : la formule s'applique
($0{,}5 \times 20 + 1 = 11$), mais rien ne garantit que la
tendance linéaire persiste si loin de la plage observée.

]]> $y = 11$, une valeur aussi sûre que les autres

]]> Erreur : hors de la plage des données, le modèle peut
cesser d'être valable (saturation, rupture de tendance) :
l'extrapolation est par nature moins fiable.

]]> $y = 21$

]]> Erreur de calcul : $0{,}5 \times 20 + 1 = 11$, pas $21$.

]]> Aucun calcul possible au-delà de $x = 7$

]]> Erreur : le calcul reste possible (la droite se
prolonge) ; c'est sa fiabilité qui se discute. La
bonne attitude : calculer et nuancer.

]]> Statistique à deux variables — Q06 : Interpolation ou extrapolation ? Des données sont observées pour des années allant de $2010$ à
$2020$. Estimer la valeur en $2015$ puis en $2030$ à l'aide
d'un ajustement, c'est respectivement :

]]> Interpolation : estimation à l'intérieur de la plage des
observations (fiabilité correcte). Extrapolation : au-delà
(fiabilité décroissante avec la distance aux données).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Interpoler ($2015$, dans la plage), puis extrapoler
($2030$, hors plage)

]]> Bonne réponse : à l'intérieur de l'intervalle des données
on interpole ; au-delà, on extrapole (avec les
réserves qui s'imposent).

]]> Extrapoler puis interpoler

]]> Définitions inversées : « inter » signifie entre les
données, « extra » en dehors.

]]> Interpoler dans les deux cas

]]> Erreur : $2030$ est hors de la période observée
($2010$-$2020$) : c'est une extrapolation.

]]> Extrapoler dans les deux cas

]]> Erreur : $2015$ est à l'intérieur de la période
observée : c'est une interpolation.

]]> Statistique à deux variables — Q07 : Lire un tableau croisé Une enquête croise « pratique d'un sport » et « genre » :
$80$ filles dont $48$ sportives, $70$ garçons dont $42$
sportifs. La proportion de sportifs est-elle différente selon
le genre ?

]]> Analyse croisée de deux caractères qualitatifs : comparer les
fréquences conditionnelles dans chaque groupe.
$\frac{48}{80} = \frac{42}{70} = 60\ \%$ : même proportion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : $60\ \%$ dans les deux groupes
($48/80 = 42/70 = 0{,}6$)

]]> Bonne réponse : les deux fréquences conditionnelles
valent $60\ \%$ : sur ces données, la pratique sportive ne
dépend pas du genre.

]]> Oui : $48$ sportives contre $42$ sportifs

]]> Erreur : comparer des effectifs bruts est trompeur
quand les groupes n'ont pas la même taille. On compare des
fréquences : $48/80$ et $42/70$.

]]> Oui : les filles sont plus nombreuses

]]> Erreur : l'effectif total des groupes ($80$ contre $70$)
ne dit rien de la proportion de sportifs dans chacun.

]]> On ne peut pas comparer des groupes de tailles différentes

]]> Erreur : c'est exactement le rôle des fréquences
conditionnelles : rendre comparables des groupes d'
effectifs différents.

]]> Statistique à deux variables — Q08 : Qualitatif ou quantitatif ? Dans un fichier de données sur des communes, on relève :
la région, la population, l'altitude et le type d'habitat
(rural/urbain). Quels caractères sont quantitatifs ?

]]> Quantitatif : valeurs numériques où moyenne et écart ont un
sens. Qualitatif : modalités (catégories). Le choix des
représentations et des traitements en découle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population et l'altitude

]]> Bonne réponse : ce sont des nombres sur lesquels les
calculs ont un sens (moyennes, écarts). Région et type
d'habitat sont des catégories : qualitatifs.

]]> La région et le type d'habitat

]]> Inversé : ce sont les caractères qualitatifs
(des catégories sans arithmétique naturelle).

]]> Tous les quatre

]]> Erreur : additionner des régions n'a pas de sens. Seuls
population et altitude sont numériques.

]]> Seulement la population

]]> Incomplet : l'altitude est aussi une grandeur numérique
mesurable, donc quantitative.

]]> Statistique à deux variables — Q09 : À quoi sert un ajustement affine ? Que permet un ajustement affine d'un nuage de points ?

]]> L'ajustement affine est un modèle : il résume la tendance
(si elle est raisonnablement linéaire) et permet d'estimer.
Il n'exige aucune théorie des moindres carrés au programme :
l'usage prime.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Résumer une tendance à peu près linéaire et estimer des
valeurs non observées

]]> Bonne réponse : la droite condense le lien entre les deux
caractères et sert d'outil de prévision (interpolation,
extrapolation prudente). Plusieurs méthodes existent (au
jugé, Mayer, moindres carrés), sans théorie exigée.

]]> Faire passer une droite par tous les points du nuage

]]> Erreur : des données réelles ne sont jamais parfaitement
alignées ; la droite passe au plus près des points,
pas dessus.

]]> Prouver que le premier caractère cause le second

]]> Erreur : un ajustement décrit une association, jamais
une causalité (voir la question suivante !).

]]> Remplacer les données par des valeurs exactes

]]> Erreur : le modèle simplifie, il ne corrige pas les
données. Les estimations restent des approximations.

]]> Statistique à deux variables — Q10 : Le point moyen au tableur Les ordonnées d'un nuage occupent la plage B2:B8 d'une
feuille de calcul. Quelle formule de tableur calcule
$\bar{y}$, l'ordonnée du point moyen ?

]]> Le tableur est l'outil du chapitre (capacité attendue) :
MOYENNE pour $\bar{x}$ et $\bar{y}$, graphique « nuage de
points » pour visualiser, courbe de tendance pour ajuster.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc =MOYENNE(B2:B8)

]]> Bonne réponse : la fonction MOYENNE d'un tableur
additionne la plage et divise par l'effectif : exactement
$\bar{y}$.

]]> =SOMME(B2:B8)

]]> Incomplet : la somme n'est pas divisée par le nombre de
valeurs. (On pourrait écrire =SOMME(B2:B8)/7, mais
MOYENNE est directe.)

]]> =MAX(B2:B8)

]]> Erreur : MAX renvoie la plus grande valeur, pas la
moyenne.

]]> =B2+B8/2

]]> Double erreur : seules deux cellules sont utilisées, et
la priorité des opérations divise seulement B8 par $2$.

]]> Statistique à deux variables — Q11 : Corrélation et causalité Sur un nuage de points, la consommation de glaces et le
nombre de coups de soleil (relevés mois par mois) sont
fortement liés : le nuage est presque aligné. Peut-on
conclure que manger des glaces cause des coups de soleil ?

]]> Esprit critique (objectif central du programme) : corrélation
$\neq$ causalité. Devant un lien statistique, chercher les
explications alternatives : facteur commun, coïncidence,
causalité inversée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : une association statistique n'est pas une
causalité ; ici l'ensoleillement estival explique les
deux

]]> Bonne réponse : un facteur commun (l'été) fait varier les
deux grandeurs ensemble. Le lien observé est réel, la
causalité directe est illusoire.

]]> Oui : le nuage aligné prouve la relation de cause à effet

]]> Erreur classique : l'alignement mesure une
association. Cause commune, hasard ou causalité
inverse restent possibles.

]]> Oui, si la droite d'ajustement est croissante

]]> Erreur : le sens de la pente indique le sens de
l'association, pas son mécanisme.

]]> Non, car les nuages de points ne montrent jamais rien

]]> Trop fort : le nuage montre bel et bien un lien
statistique ; c'est son interprétation causale qui
demande d'autres arguments.

]]> Statistique à deux variables — Q12 : L'ajustement affine est-il toujours pertinent ? Un nuage de points dessine une courbe nettement incurvée (en
forme de parabole). Que penser d'un ajustement affine de
ce nuage ?

]]> Valider un modèle (compétence modéliser) : commencer par
regarder la forme du nuage. Ligne droite $\to$ ajustement
affine ; courbure $\to$ modèles quadratique ou exponentiel
des chapitres suivants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est mal adapté : la tendance n'est pas linéaire, un
autre modèle serait préférable

]]> Bonne réponse : la droite écraserait la courbure et
fausserait les estimations. On choisit le modèle d'après
la forme du nuage (quadratique ou exponentiel, vus
dans la suite du programme).

]]> Il convient toujours : toute tendance se résume par une
droite

]]> Erreur : ajuster par une droite un phénomène courbé
produit des estimations systématiquement biaisées (trop
hautes ou trop basses selon la zone).

]]> Il suffit d'enlever les points qui dérangent

]]> Erreur méthodologique grave : supprimer des données pour
sauver un modèle inverse la démarche scientifique.

]]> Le tableur choisit toujours le bon modèle automatiquement

]]> Erreur : l'outil trace ce qu'on lui demande. Le choix et
la validation du modèle restent une décision humaine,
au vu du nuage.

]]> Statistique à deux variables — Q13 : Calculer un taux d'évolution Une valeur passe de $40$ à $50$. Quel est le taux
d'évolution ?

]]> Taux d'évolution : $t = \dfrac{V_{\text{arrivée}} -
V_{\text{départ}}}{V_{\text{départ}}}$ : toujours la valeur
initiale au dénominateur. Lien : coefficient multiplicateur
$= 1 + t$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+25\ \%$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{50 - 40}{40} = \dfrac{10}{40} =
0{,}25$ : la variation se rapporte à la valeur de
départ.

]]> $+20\ \%$

]]> Mauvaise base : $\frac{10}{50}$ divise par la valeur
d'arrivée : le taux d'évolution se calcule sur la
valeur initiale.

]]> $+10\ \%$

]]> Confusion : $10$ est la variation absolue (en
unités) : le taux la rapporte à $40$ : un quart.

]]> $+125\ \%$

]]> Confusion : $125\ \% = \frac{50}{40}$ est le rapport
final/initial (le coefficient) : le taux en retire
les $100\ \%$ de départ : $+25\ \%$.

]]> Statistique à deux variables — Q14 : Lire un coefficient multiplicateur Un prix est multiplié par $1{,}08$. Quelle évolution cela
représente-t-il ?

]]> Coefficient $= 1 + t$ : traduire dans les deux sens sans
hésiter : $\times 1{,}08 \leftrightarrow +8\ \%$ ; $\times
0{,}92 \leftrightarrow -8\ \%$. Tout le chapitre repose sur
cette conversion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une hausse de $8\ \%$

]]> Bonne réponse : $1{,}08 = 1 + 0{,}08$ : la part
au-dessus de $1$ est le taux de hausse.

]]> Une hausse de $108\ \%$

]]> Erreur : $108\ \%$ est la valeur finale en proportion
de l'initiale : la hausse proprement dite est l'écart
à $100\ \%$ : $8\ \%$.

]]> Une baisse de $8\ \%$

]]> Sens inversé : une baisse a un coefficient inférieur
à $1$ ($\times 0{,}92$ pour $-8\ \%$).

]]> Une hausse de $1{,}08\ \%$

]]> Confusion : $1{,}08$ est le multiplicateur, pas un
pourcentage : l'écart à $1$ donne le taux.

]]> Statistique à deux variables — Q15 : Prédire avec la droite d'ajustement Un nuage de points est ajusté par la droite $y = 0{,}5x +
1$. Quelle valeur de $y$ le modèle prévoit-il pour $x =
10$ ?

]]> Utiliser un ajustement : substituer $x$ dans l'équation de
la droite. La valeur obtenue est une estimation du
modèle : fiable en interpolation, fragile en extrapolation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 6$

]]> Bonne réponse : $0{,}5 \times 10 + 1 = 6$ : le modèle
sert exactement à ça : produire une valeur estimée pour
un $x$ donné.

]]> $y = 10{,}5$

]]> Erreur : $10 + 0{,}5$ additionne au lieu de
multiplier : $0{,}5x$ signifie $0{,}5 \times x$.

]]> $y = 5$

]]> Constante oubliée : $0{,}5 \times 10 = 5$, puis le $+1$
du modèle s'ajoute.

]]> Impossible : il faut la valeur observée

]]> Contresens : le modèle sert justement à estimer en
l'absence d'observation : c'est une prévision, pas une
mesure.

]]> Statistique à deux variables — Q16 : $+10\ \%$ puis $-10\ \%$ Une valeur subit une hausse de $10\ \%$ puis une baisse de
$10\ \%$. Revient-elle à son niveau initial ?

]]> Hausse puis baisse de même taux : toujours une perte nette
($1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$) : les deux évolutions
portent sur des bases différentes. Multiplier les
coefficients, jamais additionner les taux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$ : il manque
$1\ \%$

]]> Bonne réponse : la baisse s'applique à une valeur plus
haute : elle retire davantage que la hausse n'avait
ajouté : bilan $-1\ \%$.

]]> Oui : $+10$ et $-10$ s'annulent

]]> Le réflexe additif : faux : les taux ne s'additionnent
pas car ils ne portent pas sur la même base : le produit
des coefficients donne $0{,}99$.

]]> Non : elle finit $1\ \%$ au-dessus

]]> Sens de l'écart : $0{,}99 < 1$ : la valeur finit EN
DESSOUS de son niveau initial.

]]> Cela dépend de la valeur de départ

]]> Erreur : le bilan $\times 0{,}99$ vaut pour toute valeur
initiale : les coefficients se moquent du montant.

]]> Statistique à deux variables — Q17 : Écart entre observation et modèle Le modèle $y = 0{,}5x + 1$ prévoit $y = 4$ pour $x = 6$,
mais la valeur observée est $4{,}2$. Comment appeler et
interpréter la différence ?

]]> Écart (résidu) = observé − prédit : petits écarts non
systématiques = modèle pertinent ; écarts grands ou tous du
même signe = modèle à revoir. Juger un ajustement, c'est
regarder ses écarts.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'écart au modèle vaut $+0{,}2$ : l'observation dépasse
légèrement la prévision, le modèle reste bon

]]> Bonne réponse : un ajustement ne prétend pas passer par
tous les points : de petits écarts (résidus) sont
normaux : leur taille mesure la qualité du modèle.

]]> Une erreur de calcul : le modèle devrait donner
exactement $4{,}2$

]]> Contresens : la droite résume le nuage, elle ne le
traverse pas point par point : l'écart fait partie du
jeu.

]]> La preuve que le modèle est faux et doit être jeté

]]> Excessif : $0{,}2$ sur $4$ ($5\ \%$) est un petit
écart : on rejette un modèle sur des écarts
systématiques ou grands, pas sur un résidu isolé.

]]> Une extrapolation abusive

]]> Hors sujet : $x = 6$ est dans la zone des données
(interpolation) : la question porte sur l'écart
observation/prévision, pas sur le domaine.

]]> Statistique à deux variables — Q18 : Le point moyen et la droite d'ajustement Quelle propriété relie le point moyen $G(\bar{x}\ ;\
\bar{y})$ du nuage et la droite d'ajustement ?

]]> Propriété d'ancrage : la droite d'ajustement passe par
$G(\bar{x}\ ;\ \bar{y})$. Usage pratique : vérifier une
équation de droite proposée (substituer $G$), ou tracer la
droite depuis $G$ avec la pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite d'ajustement passe par le point moyen $G$

]]> Bonne réponse : la droite pivote autour du « centre de
gravité » du nuage : connaître $G$ et la pente suffit à
la tracer.

]]> $G$ est toujours le point le plus haut du nuage

]]> Erreur : $G$ est le point moyen : il occupe le
centre du nuage, pas son sommet.

]]> $G$ est un point observé du nuage

]]> Erreur : $G$ est calculé (moyennes des deux
coordonnées) : il ne coïncide généralement avec aucune
observation réelle.

]]> Aucune : le point moyen ne sert qu'aux statistiques à
une variable

]]> Erreur : en statistique à deux variables, $G$ est
l'ancre de l'ajustement : la droite passe par lui.

]]>